高三毕业班总复习立体几何形成性试题(理).docx
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一.选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1. 设m,n 是两条不同的直线,a,B 是两个不同的平面,则下列命题正确的是()
【答案】D
【解析】可以线在平面内,③可以是两相交平面内与交线平行的直线,②对④对,
故选D.
2. 一水平放置的平面图形,用斜二测画法画出了它的直观图,此直观
图恰好是一个边长为2的正方形,则原平面图形的面积为(
(D) 8\2
【解析】由斜二测画法可知,原图形是一个平行四边形,且平行四边形的一组对边长为2,
在斜二测图形中OB’ = 2返且ZBOA = 45。
,那么在原图形中,ZBOA = 90。
且OB = 4\2. 因
此,原平面图形的面积为2 x 4\2 = 8\/2,
故选D.
3. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系 统的
数学典籍,其中记载有求“困盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成 一,该术
相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h,计算其体积V 的近似公式V =秽l?h,它实 际上是将圆锥
体积公式中的圆周率TI 近似取为3,那么近似公式v =売l?h ,相当于将圆锥体 积公式中的TT 近
似取为()
、
22 A. 7 【答案】B
【解析】V = |nr 2h = j^L 2h» 若V « ^L 2h» 则— n =罟.
①若n 丄a, a 丄B,则n//B
②若n 丄a,a//B,n u B,则n 丄n ③若n u a,n u B,m//n,贝阪〃B ④若n 丄a,n 丄B,m 丄B,则n 丄a ⑷①②
(B )③④ (C )①③ (D )②④
D. 355 113
⑻ 2\ 2 (C) 4\/3 【答案】
D
故选B.
4. 如图4,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为正方形,PA 丄底面ABCD, AB = 2,若该四棱
(A) 3 ⑻扌 (° 2\3
(D)|
【答案】B 【解析】试题分析:连结AC,BC 交于点已収PC 的中点O,连结0已则OE//PA,所以0E 丄 底
血ABCD,则O 到四棱锥的所有顶点的距离相等,即O 为球心,半径为 R =扌PC = I^PA 2 + AC 2
= l^'PA 2 + 8'所以球的体积为訊(扌J P A : + 8「=弓尹’解得 PA =扌,故选B.
考点:球的内接多面体;求的体积和表面积公式.
【方法点晴】本题主要考查了四血体的外接球的体积公式、球内接四棱锥的性质等知识的应
用,同时考查了共定理的运用,解答值需要认真审题,注意空间思维能力的配用,解答中四 棱锥
的外接球是以0为球心,半径为R = 8^利用体积公式列岀等式是解答的关键,
着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.
5. 如图5,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某
多面体的三视图,则该多面体 的儿条棱中,最长的棱的长度为( )
(A) 6\2 (B) 4V '2 (0 6 (D)4
【答案】C
锥的所有顶点都在体积为学 同一球面上,贝IJPA =
原儿何体为三棱锥D-ABC,
其中AB = BC = 4,AC = 4^2,DB = DC = 2\5, DA = J(4迈f + 4 = 6,故最长的棱的
长度为DA = 6,选C
点睛:对于小方格中的三视图,可以放到长方体,或者正方体里面去找到原图,这样比较好 找;
6. 二面角的棱上有A 、B 两点,直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于
AB.已知AB = 4, AC = 6, BD = 8, CD = 2\17,则该二面角的大小为( )
(A) 150 °
(B )45 ° (C) 60 ° ⑴)120 °
【答案】C 【解析】由条件知XX •忑=0,忑•丽=0, CD = CA + AB + BD-
• ------- 2 ---------- ? ------------- 2 -------------- ? -------------- -------- -- ----------- - -------- ---------- - ------
・・|CD| = |CA| + |AB| + |BD| + 2CA ・ AB + 2AB ・ BD + 2CA ・ BD =62 + 42 + 82
4- 2 x 6 x 8cos(CA,BD) = (2\17)2-
.••cos(CA z BD) = -p (CA,BD) = 120 °,•:二面角的大小为60° ;
故选C.
7. 河堤斜面与水平面所成角为60 °,堤面上有一条直道CD,它与堤角的水平线AB 的夹角为
30°,沿着这条直道从堤角向上行走到20m 时,则人升高了( )
⑷ 15m
⑻ 10m (0 10\.3m (D) 5\3m
【答案】D
作直线AB 所在的水平面的垂线EG,垂足为G,
【解
析】 如图所示
则线段EG的长就是所求的高度.在河堤斜面内,
作EF丄AB.垂足为F,连接FG ,由三垂线定理的逆定理,知FG丄AB.因此,ZEFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角,ZEFG = 60°•
由此得:EG = EFsin60 ° = CEsin30 ° sin60 °= 20 x j x y = 5\3 (m)
点睛:理解题意,人升高,指的是竖直距离升高了多少,所以要构造地面的垂直线段;
8. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
白]&
倍視图
(A) 16 + 8n (B) 8 + 8n
(0 16 + 16n (D) 8 + 16n
将三视图还原为原来的几何体,再利用体积公式求解.
原几何体为组合体;上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示), 其体积为V = 4 x 2 x 2 + |n x 22 x 4 = 16 + 8n.
故选A;
9. 己知H 是球O 的直径AB 上一点,AH 汨B = 1:3,
AB 丄平血a, H 为垂足,a 截球O 所得截面的面积为TT ,
则球O 的体积为()
【答案】B
设球O 的半径为R ,则AH = p OH = | .
又・・•截面的面积为TT ,・・・EH = 1 .
・・•在RtAOEH 中,R 2 =(》2
+ 1,・・・R =萼. •••故体积v = |n(^)3 = 網
点睛:运用球当中的垂面定理,构造勾股定理,求出球的半径;
10. 已知正四棱锥S —ABCD 屮,SA = 2\,3,当该棱锥的
体积最大时,它的高为()
(A)l
(B) \,3 (C)2 (D)3
【答案】C 【解析】设h 二SO,则OA =、匕一",所以底面边长为Q24-2h 2,所以
V = |(24-2h 2)h = |(12-h 2)h ,令V = |(12-3h 2) = 0得,h = 2,故当 h=2 时,该棱锥
的体积最大.所以选C
11. 如图,四边形ABCD 中,AB = AD = CD = 1, BD = \庁,BD 丄CD.将四边形ABCD 沿
(B) 32
』3TT
H
(A )
16n 9
对角线BD折成四面体A BCD,使平面A BD丄则卜列结论正确的是()•
(A)AC 丄BD ⑻ ZBAC = 90 °
(C) CA与平面A BD所成的角为30 °⑴)四面体A BCD的体积为扌
【答案】B
【解析】考点:异面直线及其所成的角;棱锥的结构特征;棱柱、棱锥、棱台的体积.
专题:计算题.
分析:根据题意,依次分析命题:对于A可利用反证法说明真假,若A成立可得BD丄A,D, 产生矛盾;对于C由CA'与平面A' BD所成的角为ZCA' D=45。
知C的真假;对于BABA* D 为等腰RtA, CD丄平面A' BD,得BA'丄平面A' CD,根据线而垂直可知ZBA' 090°,对于D利用等体积法求出所求体积进行判定即可,综合可得答案.
解答:解:若A成立可得BD丄"D,产生矛盾,故A不正确;
由CA'与平面A' BD所成的角为ZCA' D=45°知C不正确;
由题设知:Z\BA' D为等腰RtA, CD丄平面A' BD,得BA'丄平面A' CD,于是B正确;
\5 -BCD二Vc-A,BD=T» D 不止确.
o
其中正确的有1个
故选B.
点评:木题主要考查了异面直线及其所成的角,以及三棱锥的体积的计算,同时考查了空间想象能力,论证推理能力,解题的关键是须对每一个进行逐一判定.
12. 如图,棱长为1的正方体ABCD-AiBiCQi中,P为线段"B上的动点,则下列结论错误的是()
(0 ZAPD]的最大值为go °
(D)AP + PD]的最小值为Y2 + \/2
【答案】C 【解析】试题分析:TA1D1丄DC 】,A]B 丄DC r A DC T 丄面A^CDp D X P u 面 A^BCD],
・・・DCi 丄D]P, A 正确;・.•平面RAf 即为平面D^iBC,平面"AP 即为平面 A]ABBi ,且
D]A]丄平面A]ABB],
・•・平面DiA^BC 丄平面A 1ABB 1, 平面。
"\疋丄平面A X AP, AB 正确;
当0 vA]Pv 乎时,ZAPD]为钝角,・・・C 错;将面AA]B 与面A]BCD]沿"B 展成平面图形,
线段A"即为AP+PD]的最小值,在AD]AiA 中,ZD^A = 135 °,利用余眩定理解三角 形得
AD 】=V2 + \/2,
即AP + PD] > \『2 + \b,・・・D 正确,故选C.
考点:立体几何中的动态问题.
【思路点睛】立体儿何问题的求解策略是通过降维,转化为平面儿何问题,具体方法表现为:
1.求空问角、距离,归到三角形屮求解;
2.对于球的内接外切问题,作适当的截面,既要 能反映
出位置关系,乂要反映出数量关系;求曲面上两点Z 间的最短距离,通过化曲为直转 化为同一平
面上两点间的距离.
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
(A) DC 】丄 D]P
⑻平面D]A]P 丄平面
A]AP
13. 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为
1 : 16,截去的圆锥的母线长是3 cm,则圆台的母线长为 _________ cm.
【答案】9
【解析】设圆台的母线长为lcm,截得圆台的上、下底面半径分别为rem, 4rcm. 根据相似三角形
的性质得扫二2,解得1二9.所以,圆台的母线长为9cm.
14. 已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm 和30cm 的正三角形,侧面是全等的等
腰梯形,且侧血面积等于两底血血积之和,棱台的体积为 __________ o
【答案】1 900 cm 3
是等腰梯形BCC B 的高,又AB = 20cm ,AB = 30cm ,
1 * 9
所以5侧=3 x - x (20 4- 30) x DD = 75DD.
S 上 + S T = Y x (202 + 302) = 325A /3 (cm 2)-
由%J= S 上 + S-f,得75DD = 325\3» 所以DD = yV3 cm ,
又因为OD = y x 20 =葺^(cm),OD = y x 30 = 5\§(cm),
所以棱台的高
h = oo = V DD 2-(OD-OD)2 = J (畔)2-(5\厅_畔)2 = 4\/3(cm),
rti 棱台的体积公式,可得棱台的体积为:
v =殳(S 上 + S 下 + V'SjS =讐 X (325\/3 + 罟 x 20 x 30) = 1900
•
在三棱台ABC -ABC 中,o ,o 分别为
上、下底面的中心,D , D 分别是BC , BC 的中点,则DD’
故棱台的体积为1 900 cm3
点睛:熟知棱台的体积公式,利用题目中的条件:S M= S T得到DD = yV3;
再求体高,h = 00 = ^DD2-(OD-OD)2= -(5v3_i^)2 = 4\3(cm);最后
求得体积;
15. _______________________________ 如图,三棱柱ABC—AiBiC]中,侧棱AA]丄底面ABC,底面是以ZABC为直角的等腰直角三角形,AC = 2a, BB】=3a, D是"5 的中点,点F在线段AA]上,当AF= 时,CF丄駆]DF.
【答案】a或2a
【解析】由已知得B]D丄平面AC】,又CF u平面AC- ・・.BiD丄CF,故若CF丄平面BQF,
则必有CF 丄DF,设AF = x (0 v x v 3a),贝忙戏=x2 + 4a2,DF2 = a2 + §a-x)2»
又CD? = a2 + 9a2 = 10a2,A10a2 = x2 + 4a2 + a2 + Ba-x)2,解得x = a或2a,故
答案为a或2a.
16. ____________________ 棱长为2cm的正方体容器盛满水,把半径7vlcm的铜球放入水中刚好被淹没,然后再放入一个铁球,使它淹没水屮,要使流出来的水量最多, 则这个铁球的表面积为
【答案】(28-16\3)n
【解析】过正方形对角线的截而图如图所示,
AC. =2 忑、AO=h,AS= AO-OS = ®\
设小球的半径为r。
在MO\D中,AO} = V3r,AS = AO. + O.S,
所以V3 -1 = 4^r + r,解得F= 2 ■ J5(cffi),故表面积S = (28-16\/3)TI
三、解答题
17. 如图,直四棱柱ABCD—AiBiC^D]中,四边形ABCD为梯形,AD || BC,且AD = 2BC.
过A],C,D三点的平面记为a, BB]与a的交点为Q.
(I) 证明:Q为BB]的中点;
(II) 求此四棱柱被平面a所分成上下两部分的体积之比.
4 --------- A
【答案】⑴见解析;⑵学=竿
V下7
【解析】试题分析:(1)由己知得平面QBC〃平面儿AD,从而QC/7A.D,由此能证明Q为BB:
的中点.
(2)连接QA, QD.设AA^h,梯形ABCD的高为d,四棱柱被平面u所分成上下两部分的体
积分别为V 上和V 下,BC=a,则AD=2a. V T=V Q ADA I+V
四棱链QABCD二〒^ •ahd ・
V A]B]C]D】-ABCD弓ahd,由此能求出此四棱柱被平面«所分成上下两部分的体积之比.
(I)证明:延长AiQ.DC交于P,则PW平面A X ABQ,
又P e平面ABCD,平面A]ABQ n平面ABCD = AB,
所以P G AB因为BQ || AA] , AD || BC, 所以最== AP = AD = 2-即Q为BBi的中点.
(II)如图所示,连接QA,QD.设AA] = h,梯形ABCD的高为d,四棱柱被平面a所分成上下两部分的体积分别为V上和\/丁,BC = a,则AD = 2a •
三棱椎V QTAD = |i,2a,h,d =扌ahd‘四棱椎V Q.ABCD = |.(a +22a)d-|h =扌ahd 所以
V^=三棱椎V Q.A]A D+四棱椎V Q. AbcD二誇ahd.又四棱柱V A^G D]・ABCD = |ahd,
所以V》=四棱柱匕代三口-ABCD-\/下=|ahd・誇ahd =誇ahd,
18. 如图,在三棱锥ABOC中,AO丄平面BOC, ZOAB = ZOAC AB = AC = 2,
b
BC = \/2, D,E分别为AB,OB的屮点.(19)
(I) 求O到平面ABC的距离;
(II) 在线段CB上是否存在一点F,使得平ffiDEF〃平面AOC,若存在,试确定F的位置,并证明此点满足要求;若不存在,请说明理由.
【答案】⑴h =普];(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)证明0C丄0B,利用等体积法,求出0到平面ABC的距离;
(2)取CB的中点F,连接DF, EF,则DF〃AC, DE〃AO,从而可得平面DEF〃平面AOC.
仃)因为AO丄平面COB,所以AO丄CO,AO丄BO,
A
即△ AOC与△ AOB为直角三角形.
又因为ZOAB = Z.OAC =碁AB = AC = 2
所以OB = OC = 1. AO = \'3
由OB: + OC2 = 14-1 = 2 = B C£可知△ BOC为直角三角形•
所以CO 丄BO,所以BOC = S A ABC =扌 X 返 x ^22 - (y)=普设O到平而ABC的距离为h, 由于V A・BOC = V。
-ABC,得£s △ BOC*\3 = |s A ABC・h,解得h =
(II)在线段CB上存在一点F,使得平面DEF ||平面AOC,此时F为线段CB的中点. 证明过程:如图,连接DF,EF,因为D,E分别为AB,OB的中点,所以DE || OA. 又DE0平面AOC上,所以DE ||平面AOC.
因为E,F分别为OB,BC的中点,所以EF || OC-
又EF@平面AOC,所以EF ||平面AOC,
又EF n DE = E,EF u 平面DEF, DE u 平面DEF,
所以平面DEF 〃平面AOC.
19. 如图,四边形ABCD是矩形,AB = 1, AD = \/2, E是AD的中点,BE与AC交于点F, GF 丄平面ABCD.
(I )求证:AF丄面BEG;
(II)^AF = FG,求直线EG与平面ABG所成角的正眩值.
【答案】⑴见解析;⑵ 直线EG与平面ABG所成角的正眩值为孕・.
【解析】试题分析:(I)要证AF与平面BEG垂直,只要证AF与平面内两条相交直线垂直,
由已知GF垂直于底面ABCD,有GF垂直AF,另外可以在矩形BACD中证明BE垂直于AC (可用相似三角形证明角相等);(II )求直线EG与平面所成角的正弦,可用体积法求出E到平面ABG 的距离d,则总就是所求正弦值,而求棱锥E-ABG的体积可通过V G_ABE =扌S^BE・GF来求得.
试题解析:证法1:
IF EF 4E ]
・・・四边形ABCD为矩形,・・・X4EF s SCBF , .••二二=土二=二二=一
CF BF BC 2
又・・•矩形一45CD 中,AB = l:AD=^/2 , :. AE = —.AC=^
A Z^IF
B = 90 s ,即 A
C - BE
•・・ GF _ 平面 ABCD , AC 二平面 ABCD :. AC _ GF
又•: BERGF = F, BE Z GF u 平面 BCE •*. AF _ 平面 BEG 证法2:(坐标法)证明K A C -K BE =-
1,得AC _ BE ,往下同证法1・
r 二 ’ ・ ■ ■ ■ 1 ■
■ 」 j 证法 3:(向量法)以 AD Z AB 为基底,T AC = AD + AB :BE = — AD - .4B ,
= 0 1 w 1 f ■ 1 f I • f
/. AC - BE — (AD + AB) - (—AD — AB) AC 丄BE ,往下同证法1.
在亠 15G 中,AG =邑,BG = AB = 1 3
・ u 1 I ,76.2 1 76 ^30 75
•・= 2X T X J 1-(T ) =I X T X T =T
设点E 到平面ABG 的距离为d ,则
i 71 1
U 「F ・—S 阳GF 7>: —: 1: T 730
二 S MG ・ d =~S^iBF GF, ..d -—-
3 3 d 皿G EG = 如 +护=J (芈)2 +(当)2 =卷 设直线EG 与平面且PG 所成角的大小为&,则(2)在RZGF 中,川G = J 川F :+GF := 2 =76
在RiABGF 屮,BG =』BF : +GF :二 V5
6
在AzlEF 屮,
■
—AB =—x2 —1 = 0
■ + ■ +
另法:由(1)得两两垂直,以点F 为原点,所在直线分别为x 轴,
»轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
H 3
- • 3 • …3 ■ 「6 •
r 76 n
r :屈 AB = 一 ■一
2_.O r ■ n ,AG — .0.— 3 3 . ・•‘
设n = (x.y 5 z )是平面ABG 的法向量,则
设直线£6与平面且PG 所成角的大小为&,则
10
“EGr 取 x = Q 得 77 = (72-1^/2)
EG ・n
EG n Ox 仁丰><(一1) +丰x 血
Jo + * + ?j2 + l + 2 AB •刃=0
AGn = 0
5
・・・直线£G与平面.4PG所成角的正弦值为匹
一
考点:线面垂直的判定,直线与平面所成的角.
2
20. 如图,在MBC屮,已
知Z/fBC = 45°,O在
AB上,且O B = OC
= -AB.又PO丄平面
3
ABC,DA//PO,DA = AO =扌PO.
(I )求证:PD丄平面COD;
(II)求二面角B-DC-O的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)警・
【解析】试题分析:(I )本题条件中量比较多,因此应从量上找垂直关系:
PD _DO,C O丄AB,又PO丄平而ABC,因此PO丄OC,进而CO平面PAB.故
CO _ PD. :. PD丄平而COD. (II)求二面角,可借助空间向量求解,先利用(I )屮垂直关系建系,再分别求平面BDC及平面DCO的一个法向量,利用向量数量积求角.
试题解析:解:(I )设OA = 1,贝PO = OB = 2,DA = 1,
由DA//PO,PO 丄平面ABC,知DA丄平面ABC,二DA 丄AO.从而DO = \2,PD = \/2
在APDO中V PO = 2 /. SPD O为直角三角形,故PD丄DO
又•・・OC = OB = 2,ZABC = 45°,二CO 丄九3 又PO 丄平面ABC,
・•・ PO 丄OC,PO,AB u平面PAB.PO n AB = O, /. CO丄平面PAB.
故CO 丄PD. V CO n DO = OAPD 丄平面COD.
(II)以OCOB,OP所在射线分别为x,y r z轴,建立直角坐标系如图.
则由(I )知,C(2O0),B(020)f(0Q2)Q(0,-:L:L),
••• PD = (0-1,-1),BC = (2 -2r0)r BD = (0-3,1)
由(I )知PD丄平面COD, 而是平面DCO的一个法向量,
设平面BDC的法向量为H = (x,y,z), 化器金,「• {焉篦議
令y = 1,则x = l t z = 3,・•・ n = (1,1,3),
cos < PD,n >
由图可知,二面角B-DC-O的余弦值为寧, 考点:线而垂直判定定理。
利用空间向量求二而角
21. 如图1,在Rt A ABC 中,ZC = 90 °,BC = 3,AC = 6, D,E 分别是AC,AB 上的点,且DE || BC, DE = 2,将AADE沿DE折起至U^A I DE的位置,使A^C丄CD,女口图2.
(I)求证:A]C丄聊BCDE;
仃T)线段BC上是否存在点P,使平面A]DP与平面A]BE垂直?说明理由.
图2
【答案】⑴见解析;⑵线段BC上不存在点P,使平面AQP与平面"BE垂直..
【解析】试题分析:⑴证明A2丄平面BCDE ,因为A】C丄CD ,只需证明A】C丄DE ,即证明DE丄平面A I CD;(2)设线段BC上存在点F,设P点坐标为(0心,0),则a € [0,3],求出平面A】DP法向量为
A = (-3a,6,V3a)假设平面A i DP与平面A i BE垂直,则£ * n = 0,可求得。
< a < 3 ,从而可得结
论.
⑴证明因为AC丄BC,DE//BC,
所以DE丄AC.
所以DE丄A X D, DE丄CD,
又因为A]D n CD = D,
所以DE丄平面A X DC.
所以DE丄A]C.又因为A]C丄CD, DE A CD = D
所以A]C丄平面BCDE・
仃I)解:线段BC上不存在点P,使平面"DP与平面A]BE垂直. 以C为坐标原点,建立空间直角坐标系C・xy 乙则A](0,0,2\,§), D(0,2,0), M(0,l,\亍),
B(3,0,0), E(2,2,0).
假设这样的点P存在,设其坐标为P(p,0,0),其中PG [0,3]. 设平血A]BE的法向量为n = (x,y,z),—* 、
则心膏=0 ,又砸=(30 - 2\/3), BE = ( - 1,2,0),
• BE = 0
所以{3X x+%2y = 0 令丫 = 1'贝収= 2,z = 7I 所以A = (2,1,\'3).
' • ■
平面"DP的法向量为帛=(Xi,y「Zi),则(巴.垃=° ,
m ■ DP = 0
又A]D = (0,2, - 2^/3), DP = (p, - 2,0),
所以『註i驚令X】=2,则九=P-Z I =甞.所以恳=(2.P.V)
平面"DP丄平面A]BE,当且仅当m・n = 0,
即4 + p+p = 0・解得p=・2,与p G [0,3]矛盾.
所以线段BC上不存在点P,使平面AiDP与平面A]BE垂直.
点睛:本题考查线面垂直,考查线面角,考查面面垂直,眼:向量语言表述面面的垂直、平行关系;LW:直线与平面垂直的判定;MQ:用空间向量求直线与平面的夹角;既有传统方法, 又有向量知识的运用,要加以体会.
22. 如图,儿何体EF-ABCD中,CDEF为边长为2的正方形,ABCD为直角梯形,AB || CD,
AD 丄DC, AD = 2, AB = 4, /.ADF = 90 ° •
(I) 求异面直线DF和BE所成角的余弦值;
(II) 求儿何体EF-ABCD的体积.
E F
【答案】⑴见解析;(2)异面直线DF和BE所成角的余弦值为罟.
【解析】试题分析:(1)求异面直线所成的角,一般根据定义,过异面直线屮的一条上某一点作中一条直线的平行线,把异面直线所成的角化为相交直线所夹的锐角或直角,而这可能通过在三角形中求得,如杲图形屮有两两相互垂直且交于同一点的三条直线,那么我们可以建
立空间直角坐标系,把异面直线所成的角转化为空间两向量的夹角,要注意异面直线所成的角的范围是(0,自,而向量的夹角范围是[O,TI],解题吋注意转化;(2)这个几何体我们要通过划分,把它变成儿个可求体积的儿何体,如三棱锥E-ABD和四棱锥B-CDEF,这两个棱锥的体积都易求,故原几何体的体积也易求得.
试题解析:(1)解法一:在CD的延长线上延长至点M使得CD = DM,连接ME,MB,BD.
由题意得,AD丄DC, AD丄DF, DC,DF :平面CDEF,
A AD丄平面CDEF, ・・・AD丄D已同理可证DE丄面ABCD.
VCD//EF, CD = EF = DM,
・・・EFD M为平行四边形,•••ME//DF.
则Z.MEB (或其补角)为界面直线DF和BE 所成的角.
由平面儿何知识及勾股定理可以得
ME = 2\2, BE = 2\'6, BM = 2\10
在厶MEB中,由余弦定理得
・・・异面直线的夹角范围为(0》,
异面直线DF和BE所成的角为arccos当.7分
O
解法二:同解法一得AD,DC,DE所在直线相互垂直,故以D为原点,DA,DC,DE所在直线
分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,2分
cosZMEB =
ME2 4- BE2-BM2
2ME: BE
可得 D(0,0,0),F(0,2,2),B(2,4,0),E(0,0,2),
•••DF = (0,2f 2)f BE = (-2,-4,2),
得|6F| = 2V2,|BE| = 2\ 6• 4 分
设向量6冃館夹角为e,则
__ c 丽•匪 0 ・(一2) + 2 ・(一4) + 2 ・ 2
\)3 COS0 = |DF| • |BE| = 2返・2肩
=一石•
・・・异面直线的夹角范围为(0,劭,
异面直线DF 和BE 所成的角为arccos^- 7分
6 (2)如图,连结EC,过B 作CD 的垂线,垂足为N,贝IJBN 丄平面CDEF,且BN = 2. 9分
TV EF -ABCD = V E _ABCD + ^B -ECF 1 1
分=|s A ABCD - DE + |s A EFC ・ BN
・•・几何体EF-ABCD 的体积为y. 14分
考点:(1)异面直线所成的角;(2)几何体的体积
. ="(4 + 2)・2・2+扌・扌・2・2・2
16 3。