东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2020年高三一模文科数学试题(详细答案)

2020年高三第一次联合模拟考试
文科数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
0322<--=x x x A ，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧>=11x x
B 则=)(B A
C R Y （ ） A.),3()1,(+∞--∞Y B.),3[]1,(+∞--∞Y C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞--∞Y 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1
+i z
是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（ ）
A.0=+b a
B.0=-b a
C.02=-b a
D.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（ ） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥
4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ）
A.9
B.10
C.11
D.12 5.下列说法中正确的是（ ）
A.若“b a >”是“c a >”的充分条件，则“c b ≥”
B.若“b a >”是“c a >”的充分条件，则“c b ≤”
C.若“b a >”是“c a >”的充要条件，则“c b >”
D.若“b a <”是“c a >”的充要条件，则“c b <”
6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，DC BD 2
1
=
，则AC AD ⋅=（ ） A.6 B.9 C.12 D.6-
7.已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为21F F 、，点A 是椭圆短轴的一个顶
点，且8
7
cos 21=
∠AF F ，则椭圆的离心率e =（ ） A.
21 B.23 C.4
1
D.47
8.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)2
0(π
ϕϕ<
<个单位后，其图像关于
y 轴对称，则=ϕ（ ）
A.
12π B.6π C.3π D.12
5π
9.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，
22==FC ED ，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）
A.
31 B.55 C.10103 D.3
2
10.已知双曲线132
2
=-y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且ο12021=∠PF F ，21PF F ∆的面积为（ ）
A.32
B.3
C.52
D.5 11.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记
n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2
n 个数的和，则数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前6项和为（ ）
A.
125 B.65 C.76 D.7
3 12.已知)(x f 满足⎪⎩⎪
⎨⎧<-≤--=0),2(2
10
,84)(2x x f x x x x f ，若在区间)3,1(-内，关于x 的方程
)()(R k k kx x f ∈+=有4个根，则实数k 的取值范围是（ ）
A.410≤
<k 或1528-=k B.4
1
0≤<k C.15280-≤<k D.4
1
0<<k
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.已知向量)1,2
sin 2(cos ),2,2sin
2
(cos -+=-=ααααα
n m ρ
ρ，其中),0(πα∈，若n m ρ
ρ⊥，则=α .
14.已知函数x
x ae e x f -+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .
15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*
2N n n S S a n n n ∈≥=-，则n a = .
16.已知函数5)(,ln )(23--=+=
x x x g x x x a x f ，若对于任意的]2,2
1
[,21∈x x ，都有2)()(21≥-x g x f 成立，则实数a 的取值范围是 .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2
（Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c .
18.（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC C B A -111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，
31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.
（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；
（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且12FC CF =，求1A 到平面ABF 的距离.
19.（本小题满分12分）
2020年2月1日0：00时，英国顺利“脱欧”.在此之前，英国“脱欧”这件国际大事被社会各界广泛关注，英国大选之后，曾预计将会在2020年1月31日完成“脱欧”，但是因为之前“脱欧”一直被延时，所以很多人认为并不能如期完成，某媒体随机在人群中抽取了100人做调查，其中40岁以上的55人中有10人认为不能完成，40岁以下的人中认为能完成的占
3
2
. （Ⅰ）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“预测国际大事的准确率与年龄有关”？
能完成 不能完成
合计 40岁以上 40岁以下 合计
（Ⅱ）从上述100人中，采用按年龄分层抽样的方法，抽取20人，从这20人中再选取40岁以下的2人做深度调查，则2人中恰有1人认为英国能够完成“脱欧”的概率为多少？
附表：
参考公式：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
20.（本小题满分12分）
已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:-=x l 相切，与定圆⊙：F 4
1)1(22=+-y x 相外切.
（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；
（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别
为321S S S 、、，且312
24S S S =，证明：直线MN 过定点.
21.（本小题满分12分） 已知函数)0(2ln )(2
>-+
-=a x
x
a x a x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）记函数)(x f 的最小值为)(a g .证明：1)(<a g .。