湖北省洪湖一中2014-2015学年下学期高一数学4月月考试题

洪湖一中高一四月月考数学（理）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中,
选出符合题目要求的一项。

1．若角600︒的终边上有一点(4,)a -，则a 的值是 ( ) A ．43± B ．43 C ．43- D ．
43
3
2．已知向量a 、b 、c 两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|2|a b c -+= ( ) A ．5 B ．5 C ．6 D ．6
3．已知,a b c d >>，则下列不等式：（1）a c b d +>+；（2）a c b d ->-；（3）ac bd >；（4）
a b
c d
>中恒成立的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4. 若一个等差数列的前5项的和为10，前10项的和为50，则这个数列前15项的和为( )
A ．90
B ．110
C ．120
D ．150
5．若{}n a 是等比数列，前n 项和21n n S =-,则2222
12
3n a a a a ++++=( )
A.2(21)n -
B.21(21)3n -
C.41n -
D.1
(41)3
n -
6．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2
A π
ϕ><
）的图
象如图所示，为了得到()sin 2g x x =的图像，则只需将
()f x 的图像 ( )
A ．向右平移
6π个长度单位 B ．向右平移12π
个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12
π
个长度单位
7．已知集合2{|40}A t t =-≤，对于满足集合A 的所有实数t ，使不等式221x tx t x +->-恒成立的x 的取值范围为（ ）
A ．(,1)(3,)-∞+∞
B ．(,1)(3,)-∞-+∞
C ．(,1)-∞-
D ．(3,)+∞
8．下面能得出ABC ∆为锐角三角形的是( )
A ．1
sin cos 5A A += B ．0AB BC ⋅<
A ．14S 必为n S 的最大值
B ．14S 必为n S 的最小值
C ．15S 必为n S 的最大值
D ．14S 可能为n S 的最大值，也可能为n S 的最小值 10．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =+，且在[]3,2--上递增. 若αβ、为钝角三角形的两个锐角，则( )
A ．(sin )(cos )f f αβ>
B ．(sin )(cos )f f αβ<
C ．(sin )(sin )f f αβ>
D ．(cos )(cos )f f αβ>
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在题中横线上。

11．已知1231,,,,9a a a --五个实数成等差数列，1231,,,,9b b b --五个实数成等比数列，则
． 12．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得75BCD ︒∠=，60BDC ︒∠=，60CD =米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，则塔高AB =________．
13．已知不等式20ax bx c ++<的解集为{}|21x x -<<，则不等式20cx bx a ++<的解集为 ．
14．如果满足30B =︒，6AC =，BC k =的ABC ∆恰有一个，那么k 的取值范围为 ．
15．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任何m ，n ∈N *，都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，给出以下三个结论：①f (1,5)＝9；②f (5,1)＝16；③f (5,6)＝26，其中正确答案的序号是 ．
三、解答题：本大题共六小题，共计75分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16．（本小题满分12分）
设ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、且1
cos 2
a C c
b +=.
（1）求A 的大小；
（2）若3a =，求b c +的取值范围.
17．（本小题满分12分）
已知f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集为（0,5），且在区间上的最大值为12. （1）求f (x )的解析式；
（2）解关于x 的不等式：22
2(10)1()
x m x m f x +-->(0)m >.
18．（本小题满分12分）
在等差数列{a n }中，已知53a =，107a =-，求： （1）求通项a n 和前n 项和S n ；
（2）求S n 的最大值以及取得最大值时的序号n 的值； （3）数列{|a n |}的前n 项和T n .
19．（本小题满分12分）
若公比为q 的等比数列{a n }的首项a 1＝1且满足a n ＝a n －1＋a n －2
2(n ＝3,4，…)．
（1）求q 的值；
（2）求数列{na n }的前n 项和S n .
20．（本小题满分13分）
已知向量)cos ,cos 3(x x a =→
，)sin ,0(x b =→
，)cos ,(sin x x c =→
，)sin ,(sin x x d =→
.
（1）当4
π
=
x 时，求向量→a 与→
b 的夹角θ；
（2）当]2
,0[π
∈x 时，求→
→⋅d c 的最大值；
（3）设函数)()()(x f +⋅-=，将函数)(x f 的图像向右平移s 个长度单位，向上平移t 个长 度单位)0,(>t s 后得到函数)(x g 的图像，且12sin 2)(+=x x g ，令),(t s =，求||的最小值．
21．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点, n
S n n ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
在直线4+=x y 上．数列{}n b 满足2120n n n b b b ++-+=*()n N ∈，且84=b ，前11项和为154.
⑴求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； ⑵设)52)(2(23+-=
n n n b a c ，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式75
k
T n >对一切
*n N ∈都成立的最大正整数k 的值；
⑶设⎪⎩⎪⎨⎧∈=∈-==).
,2(,),,12(,)(*
*N l l n b N l l n a n f n n 是否存在*
m N ∈，使得)(3)9(m f m f =+成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
高一数学（理）
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 43
- 12. 13. 1
(,)(1,)2-∞-+∞ 14. 0612k k <≤=或 15.
三、解答题：本大题共六小题，共计75分。

16. 解：（1）由正弦定理得:1
sin cos sin sin sin()sin cos cos sin 2
A C C
B A
C A C A C +==+=+
1
sin cos sin 2
C A C ∴= 1sin 0cos 2C A ≠∴=
又03A A π
π<<∴= .............6分
（2）由正弦定理得：sin sin 2sin ,2sin sin sin a B a C
b B
c C A A
====,
又由（1）知：23
B C π+= 23
C B π
∴=-
22sin 2sin 2sin sin())36
b c B C B B B ππ
∴+=+=+-=+ 3
A π= 20,
3
B π⎛⎫∴∈ ⎪
⎝
⎭ 5,666
B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭
1
sin(),162B π⎛⎤
∴+∈ ⎥⎝⎦
b c ∴+∈
..............12分
17. 解：（1）由题意可设()(5)(0)f x ax x a =->.........2分
对称轴为52
x =
∴()f x 在区间[1,4]-上的最大值为(1)12f -=,解得2a =.......5分 2()210f x x x ∴=-…………6分
（2）该不等式等价于22
22(10)1(0)210x m m m x x
+-->>-
等价于2()(5)0mx x m x -->...........8分 可得：5m ≥时，(0,5)(,)x m ∈+∞..........10分 05m <<时，(0,)(5,)x m ∈+∞............12分
18. 解：（1）设等差数列{a n }的首项为1a ，公差为d ，则511
1014311
972
a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨
⎨=+=-=-⎩⎩ 112(1)132n a n n ∴=--=-， 2(11132)122
n n n S n n +-==- ..........4分
（2）∵ 2212(6)36n S n n n =-=--+
∴ 当6n =时，max ()36n S = .............6分 （3）令1320
n a n =-=，得132
n =
∴ 当132
n <时，0n a > 21212||||||12n n n n T a a a a a a S n n =++=++==-
当132
n >时，0n a <
21212676||||||21272n n n n T a a a a a a a a S S n n =++
=++
+--
-=-=-+
综上所述：22126,12727,n n n n n N T n n n n N
*
*
⎧-≤∈=⎨-+≥∈⎩ .............12分
19. 解：（1）由题：123212
202102
n n n n n n a a a q q q q q -----+=
⇒--=⇒--=
解得：1
12
q q ==-或 .............5分
（2）当1q =时，11n a a ==， n na n = ∴ (1)
1232
n n n S n +=+++
+= 当12
q =-时，1()2
n n a =-， 1()2
n n na n =-
∴ 22111
11
112()3()(1)()()22
22
n n n S n n --=⨯+⨯-+⨯-+
+-⨯-+⨯- ①
231111111
1()2()3()(1)()()222222
n n n S n n --=⨯-+⨯-+⨯-++-⨯-+⨯- ② ①-②得：2131111
1()()()()22222
n n n S n -=+-+-++--⨯-
1
1[1()]
122112()()()1233221()2
n n n n n n ⨯--=
-⨯-=-⨯--⨯--- ∴4641()9
9
2
n n n S +=-⨯-
综上所述：(1)(1)246411
()()
9
922
n n n n q S n q +⎧=⎪⎪=⎨
+⎪-⨯-=-⎪⎩ .............12分
20.
（1）4
π
=x ，)22,26(=∴→
a ， 21
)22,0()22,26(=⋅=⋅∴→→b a
而222
62222,0222a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
212
2221
cos =
⨯
=
⋅=
∴→
→→
→b
a b a θ，即3
πθ=. （2）2
2sin 22cos 1cos sin sin )sin ,(sin
)cos ,(sin 2x
x x x x x x x x d c +
-=
+=⋅=⋅→
→ ()111sin 2cos 222224x x x π⎛
⎫=+-=- ⎪
⎝
⎭ 30,,2,2444x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
∴当2
4
2π
π
=
-
x ，即83π
=
x ，212max
+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅→→d c .
（3）()()(
)()
(
)3cos ,cosx sinx 2sin ,cosx sinx f x a b c d x x =-⋅+=
-⋅+
22cos cos sin 2cos 22sin 26x x x x x x x π⎛⎫
=+-=+=+ ⎪⎝
⎭
()()()+t=2sin 22sin 222sin 2166g x f x s x s t x s t x ππ⎡⎤⎛⎫=--++=-++=
+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭ ()1,12t s k k z π
π∴==+∈ ∴2m s =+= ∴0=k 时，1214411222
min
+=
+⎪⎭⎫
⎝⎛=→
ππm .
21. 解：（1）由题意，得
4+=n n
S n
，即n n S n 42+=． 当1n =时，511==S a ，
当2n ≥时，1n n n a S S -=-=n n 42+-)1(4)1(2---n n 32+=n ．显然1n =也
满足.
∴ 32+=n a n *()n N ∈．
又2120n n n b b b ++-+=，即211n n n n b b b b +++-=-*()n N ∈， 所以{}n b 为等差数列，于是1542
)
(1184=+b b ． 而84=b ，故208=b ，34
8
20=-=
d ， ∴ 43)4(34-=-+=n n b b n ............5分 （2）)52)(2(23+-=
n n n b a c ]5)43(2][2)32[(23
+-•-+=
n n )
36)(12(23-+=n n =-+=
)12)(12(21
n n )1
21121(41)12)(12(21+--=+-n n n n ．
∴12n n T c c c =++
+=)]1
21
1
21
(...)7151()5131()311[(41+-
-++-+-+-n n n
n n n 2
4124)1211(41+=+=+-=．
显然n T 单调递增，故6
1)(min =N T ．
令7561k >，得2
1
12<k ，所以12max =k ．...........10分
（3）⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=+=)
,2(43)
,12(32)(*
*
N l l n n N l l n n n f ① 当m 为奇数时，9+m 为偶数．
此时2334)9(3)9(+=-+=+m m m f ，96)(3+=m m f ∴96233+=+m m , *3
14
N m ∉=
(舍去) ② 当m 为偶数时，9+m 为奇数．
此时，2123)9(2)9(+=++=+m m m f ，129)(3-=m m f ， ∴129212-=+m m ，*733N m ∉=（舍去）． 综上，不存在正整数m ，使得)(3)9(m f m f =+成立． ..........14分。