2020版高中数学人教A版选修2-2课件：1.7.1 定积分在几何中的应用

【跟踪训练】 如图,在一个长为π,宽为2的矩形OABC内,由曲线y= sin x(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分,向矩 形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是 等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D.
4
【解析】选A.根据题意可知所投的点落在阴影部分的
S1=
t 0
(tx-x2)dx=1
6
t3,S2=
t2(x2-tx)dx=
8-2t+
3
1t3.
6
因为S1=S2,所以t=43
,点P的坐标为( 4，16).
39
(2)令S=S1+S2=16
t3+83
-2t+1 t3=1 t3-2t+ 8 ,
63
3
S′=t2-2,令S′=0得t2-2=0.
因为0<t<2,所以t= 2 ,因为0<t< 2时,S′<0; <t2<2 时,S′>0.
()
A.1
B. 2
C.2
D.2 2
(2)求由抛物线y=-x2+4x-3及其在点M(0,-3)和N(3,0) 处的两条切线所围成的图形的面积.
【解题指南】(1)一般情况下,定积分 fab(x)dx的几何
意义是介于x轴、曲线y=f(x)以及直线x=a,x=b之间的 曲边梯形面积的代数和,其中在x轴上方的面积等于该 区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分 值的相反数,所以在用定积分求曲边梯形面积时,一定 要分清面积与定积分是相等还是互为相反数.若是两个
解方程组
x x
y,
y
1得2 交1,点的纵坐标为
y1=0及y2=3,
因此,阴影部分面积
S＝
3{y－[(y－1)2－1]}dy＝
0
3 (3y－y 2
0
)dy＝(
3 2
y2
1 3
y3
)|30＝
9 2
.
类型二 分割型图形面积的求法 【典例2】(1)如图所示,正弦曲线y=sin x,余弦曲线 y=cos x与两直线x=0,x=π所围成的阴影部分的面积为
【跟踪训练】
由曲线xy=1与直线y=x,y=3所围成的封闭图形的面积
为( )
A.2-ln3
B.ln3
C.2
D.4-ln3
【解析】选D.由xy=1,y=3可得交点坐标为( 1 ,3),由
3
xy=1,y=x可得交点坐标为(1,1),
由y=x,y=3可得交点坐标为(3,3),所以由曲线xy=1,直
线y=x,y=3所围成的封闭图形的面积为
所以当t=
2时,S1+S2有最小值
8－4,此2 时点P的坐
33
标为( 2,2).
【方法总结】解决与曲边图形有关的综合问题的基本 思路 解决与曲边图形有关的综合问题,关键是要正确分析题 意,先分清是求曲边图形面积,还是利用曲边图形面积 解决其他问题,再正确作出图形,确定积分区间和被积 函数,然后根据条件,建立等量关系或方程,进行求解.
f(x)=0.
【跟踪训练】
1.定积分
1
0

x2 x
dx的值为
A.
B.
C.π
4
2
() D.2π
【解析】选A.因为y= x 2 x ,所以(x-1)2+y2=1表示
以(1,0)为圆心,以1为半径的圆,所以定积分
1
0
x 2 xdx
就是该圆的面积π·r2=π的四分之一,所以定积分
1
0
x 2 xdx＝ .
4
2.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x,y),则点 M取自阴影部分的概率为________.
【解析】长方形的面积为S1=3,S阴=
1
0
3x2dx= x3|10=1,则
P= S阴 ＝1．
S1 3
答案: 1
3
【补偿训练】计算(y-1)2=x+1及y=x所围成的平面图形 的面积.
【解析】将已知条件改写为x=y以及x=(y-1)2-1,由图 知所求面积为阴影部分的面积.
函数之间的面积,直接求两函数差的定积分即可(上面函 数为被减数,下面函数为减数). (2)求出两切线的交点,把待求图形的面积分为两部分来 求.
【解析】(1)选D.由图形以及定积分的意义,得到所求
5
5
阴影部分面积等价于
4
sin
x
cos
x dx
cos
x
sin
x |4
4
4
2 2.
(2)因为y′=-2x+4,
解方程组 yy2得xx2到， 交点横坐标为x=0及x=1. 所以S=S曲边梯形OABC-S曲边梯形OABD
1 xdx 1x2dx
0
0
2 3
3
x2
|10
1 3
x3
|10
2 3
1 3
1. 3
【方法总结】 1.利用定积分求平面图形面积的步骤 (1)根据题意画出图形. (2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分 的上、下限.
【方法总结】两条曲线围成的平面图形的面积的解题 思路和步骤 (1)思路:在求平面图形的面积时,如果平面图形的曲边 部分由两条不同的曲线构成,则应分两段分别求面积, 然后相加,这时在相应的两段积分区间上分别用不同的 被积函数.
(2)步骤: ①作出示意图(弄清相对位置关系); ②求交点坐标,确定图形范围(积分的上限、下限); ③写出平面图形的定积分表达式; ④运用微积分基本定理计算定积分,求出面积.
的切线方程为y-y0=2x0(x-x0),
即y=2x0x-x02.
令y=0,得x=x0 ,即C( x0 ,0).
2
2
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S,
则S=S曲边△AOB-S△ABC.
S曲边△AOB=
x0 0
x 2dx
1 3
x3
|x0
0
1 3
x
3 0
,
S△ABC=
1 2
|
BC
|g|
x=b(a<b)以及x轴所围成的曲边梯形的面积:
S
|
b
a
f
x
dx
|
b
a
f
x
dx
(如图(2)).
(3)由两条曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)≥g(x))与直线
x=a,x=b(a<b)所围成的曲边梯形的面积:
S
b
a
f
x
dx
b
a
g
x
dx
［b f a
x
g
x
］dx.
(如图(3))
注意:(1)(2)两种情况可以统一为(3)只需g(x)=0或
对y积分,则S=
3
(y
1
1 )dy＝(1
y
2
y2
lny)
|13
＝ 9 －ln3－( 1 －0)
2
2
＝4－ln3.
【补偿训练】求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面 图形的面积.
【解析】由
y2
2得x 交点为(2,2),(8,-4)
y 4 x
所以 S
［2
2x
2x
］dx
8
【解题指南】(1)把阴影分成(a,b)和(b,c)两部分求解. (2)为了确定出积分的上、下限,我们需要求出两条曲线 的交点的横坐标.
【解析】(1)选D.因为x∈[a,b]时,f(x)<0,x∈[b,c]
时,f(x)>0,所以S=
c
b
f
x
dx
b
a
f
x
dx.
(2)作出草图,所求面积为阴影部分的面积.
1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用
类型一 不分割型图形面积的求解 【典例1】(1)用S表示图中阴影部分的面积,则S的值 是( )
A.
c a
f
x
dx
B.
|
c a
f
x
dx|
C.
b a
f
x
dx
cb
f
x
dx
D.
c b
f
x
dx
b a
f
x
dx
(2)计算由曲线y=x2与y2=x所围成图形的面积.
AB |
1 2
(x0
x0 2
)gx
2 0
1 4
x
3 0
,
即S
1 3
x 30
1 4
x
3 0
1所12 以x30 x011=2 ,1.
从而切点A为(1,1),切线方程为y=2x-1.
【知识思维导图】
(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和. (4)计算定积分,写出答案.
2.不分割型图形的面积计算
(1)由一条曲线y=f(x)(其中f(x)≥0)与直线x=a,x=b
(a<b)以及x轴所围成的曲边梯形的面积:S=
b
a
f(x)dx
(如图(1)).
(2)由一条曲线y=f(x)(其中f(x)≤0)与直线x=a,
(4 x
2x
］dx
0
2
2
2
2 0
1
x 2dx
(4x
1 2
x2
2
2 3
x
3 2
)|82
2
2 g2 3
3
x2
|02
38 3
16 38 18 33
类型三 定积分在几何中的综合应用 【典例3】如图,设点P在曲线y=x2上,从原 点向A(2,4)移动,记直线OP与曲线y=x2所 围成的图形的面积为S1,直线OP、直线x=2 与曲线y=x2所围成的图形的面积为S2.
(1)当S1=S2时,求点P的坐标. (2)当S1+S2有最小值时,求点P的坐标和最小值.
【解题指南】(1)先用定积分求出面积S1,S2,再解方程, 求点P的坐标. (2)先写出S1+S2的函数表达式,再用导数求最小值.
【解析】(1)设点P的横坐标为t(0<t<2),则P点的坐标
为(t,t2),直线OP的方程为y=tx.
1 1 3
(3
1 x
)dx
3 1
(3－x
)dx＝(3x－lnx)
|11
3
(3x－
1 2
x
2
)
|13
＝(3－1－ln3)＋(9－9－3 1)＝4－ln3. 22
【一题多解】由xy=1,y=3可得交点坐标为(1 ,3),
3
由xy=1,y=x可得交点坐标为(1,1),由y=x,y=3可得交
点坐标为(3,3),
所以过点(0,-3)的切线斜率为4,过点(3,0)的切线斜率
为-2,切线方程分别为y=4x-3,y=-2x+6,
由
y y
4x2x得3两，6，切线交点为(
,3)3，
2
3
则所求图形的面积为S=02 [(4x-3)-(-x2+4x-3)]dx+
3
3[(-2x+6)-(-x2+4x-3)]dx=
9
.
2
4
概率是
S阴影 ， S矩形
由S阴影=
0
sin
xdx
cos
x
|0
2，得所求概
率为 S阴影 2 1 .
S矩形 2
【补偿训练】在曲线y=x2(x≥0)上的某一点A处作一切
线,使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为 1 .试求:
12
切点A的坐标和过切点A的切线方程.
【解析】如图所示,设切点A(x0,y0),由y′=2x得过A点