常速度流场下纯物质枝晶生长的相场法模拟

常速度流场下纯物质枝晶生长的相场法模拟
何聪聪;杨斌鑫
【摘要】用相场法模拟金属枝晶在常数速度流场下的生长过程.相场模型的离散采用有限差分法;对不同速度、各向异性、方向角、界面宽度等因素对金属枝晶形貌和生长的影响进行了研究.得出的结论:在有速度情况下,枝晶形貌不对称;不同速度会对枝晶的形貌产生不同的影响;在常数速度流场条件下,流速、方向角、界面宽度、各向异性越大,枝晶生长的就越快,枝晶长的越发达.%The growth process of metal dendrite in constant velocity field was simulated by phase field method.The finite difference method is used in the phase field model, and the effects of different velocity, anisotropy, direction angle and interface width on the morphology and growth of metallic dendrites are studied.The conclusions are as follows: different speed will have different effects on dendrite morphology under the speed and asymmetric dendrite morphology;in constant velocity conditions, the greater velocity and direction angle, interface width, anisotropy, dendrite growth faster, the more developed the long dendrite will be.
【期刊名称】《太原科技大学学报》
【年(卷),期】2017(038)003
【总页数】6页(P238-243)
【关键词】枝晶;相场法;常数流场
【作者】何聪聪;杨斌鑫
【作者单位】太原科技大学应用科学学院,太原 030024;太原科技大学应用科学学院,太原 030024
【正文语种】中文
【中图分类】TQ026.7
用相场法模拟枝晶生长，一直受到许多学者的青睐。

这都在于它免于了对固液界面的追踪、易与外部场(温度场、流场、浓度场等)耦合、模拟直观等优点。

最具有代表性的模型是KARMA等[1]建立的模型。

然而，在熔体凝固过程会产生对流效应，而枝晶的形貌会在对流作用下发生改变。

研究表明, 枝晶生长动力学会很容易被液相中的对流改变，从而形成的枝晶形貌与无流速条件下形成的不同。

所以，在流场下，研究和了解枝晶的生长规律是非常重要的。

因此研究耦合流场的金属凝固成为焦点。

在国外，Tong等[2-3]和Beckermann等[4]基于Karma的纯扩散相场模型,建立了耦合流场的相场模型, 在强迫对流下模拟了枝晶形貌；Tonhardt 和 Amberg[5-6] 在强制对流情况下，用自适应有限元方法模拟了枝晶的生长过程；Goldenfeld,Dantzig等[7]采用有限元法模拟了三维枝晶在流动下的生长过程，并且比较分析其生长过程和二维枝晶的不同及原因；在国内，许多学者在模拟金属凝固过程方面也开始考虑流场。

陈玉娟[8-9]等在基于 Tong和 Beckermann 建立的耦合流场相场模型，模拟了纯金属枝晶的生长过程，并且又对相场参数对枝晶形貌的作用进行了研究。

兰州理工大学丁雨田、王智平[10-12]等利用相场法模拟了在对流作用下纯物质枝晶的生长过程。

然而，由于耦合流场的金属凝固过程是一个复杂的过程，对其过程的研究有着很大的困难。

所以在耦合流场方面取得的成果不多。

在张晨辉[13]的枝晶生长过程的相场方法模拟研究的基础上耦合流场，比较了无流场和有流场下的枝晶形貌，并做出合理的解释，又简单研究了不同流速和在常数速
度流场条件下，方向角，界面宽度，各向异性等因素对枝晶形貌的影响，而且做出简单解释。

两个偏微分方程组成了相场模型，它们是温度场和相场，分别用无量纲变量T和
ψ代表。

在本文中ψ=0 是液相；ψ=1是固相；0<ψ<1表示界面层。

2.1 相场控制方程
▽·(ε2▽ψ)-
其中，温度T是关于m 的函数，满足 .
是双势自由能函数[13]。

取m为,其中，β,η 为材料参数；T 是系统的实际温度；Tm 为材料的熔点，(T,Tm是无量纲值)；各向异性为ε(θ)=δ(1+γcos(j(θ-θ0))) ，(δ 是常数)；ε=δ 表示各向同性；γ 是各向异性系数，j 是各向异性模数；x 轴与
▽ψ 的夹角是θ，θ0 是各向异性轴的方向。

1.2 耦合流场的扩散方程
耦合流场的温度方程如下：
▽
其中,V为流速，F 是潜热扩散率。

(1-ψ)V 能保证当ψ=1 时，速度为0；ψ=0 时，液体的速度为V.
2.1 数值计算方法
对二维求解区域离散，Δx是x方向的步长，Δy是y方向的步长。

空间上，用中心差分格式。

时间上，用向前差分格式。

如下式离散：
为了减少误差，对▽2ψ，▽2T采用九点公式离散。

例如：
▽2ψ=[ψi,j-1+ψi,j+1+ψi+1,j+ψi-1,j+
0.5×(ψi+1,j-1+ψi-1,j-1+ψi+1,j+1+ψi-1,j+1)-
6ψi,j]/Δx2
2.2 初始及边界条件
假设均匀的过冷熔体充满了整个计算区域，熔体流动速度为V，计算中心有一个初始晶核，则
当x2+y2≤r2时，ψ=1.0
当x2+y2≥r2时，ψ=0.0
式中，x，y分别为横，纵坐标，r是初始晶核半径。

模型求解采用Zero-Neumann的边界条件。

用FORTRAN语言对控制方程和计算方法编程序。

模拟枝晶在有无流场条件下的形貌，并比较和分析了常数流场对枝晶生长的影响。

又模拟了枝晶在不同速度、方向角、各向异性强度界面宽度下的枝晶形貌。

无量纲参数如下：
网格区域选为500×500，Δx=Δy=0.015 Δt=0.00003，τ=0.0003，η=10，Tm=1.0 ，β=0.9，ε=0.01，μ=0.02，F=1.6，j=6
3.1 有对流时枝晶的生长形貌
下面的图1和图2分别比较了无流速和有流速下不同时刻枝晶的演化形貌。

取
u=0,v=1.8 (u,v 是速度V两个方向的分量) 。

从图1的图形中可以看出：无流速时，在各个方向枝晶生长相同，温度扩散层在枝晶附近的厚度是一样的，枝晶形貌对称。

加入常数速度后，枝晶水平方向的主轴不再对称，枝晶呈现不对称形貌，枝晶向水平左侧迅速生长并很快达到稳态，而水平左侧枝尖端生长速度显然比右侧方向枝晶生长速度快，右侧的水平主轴変的“细短”。

竖直方向的枝晶主轴几乎也受到流动的影响，右侧的竖直主轴出现了少许的“锯齿”，如图2中的相场分布所示。

从图2的温度场分布，可以看出：在温度场的边界层厚度方面观察，枝晶水平方向左侧比同方向右侧的薄，竖直方向左侧也比右侧的薄。

模拟结果符合Bouissou,Perrin和Tabeling[14]的结果。

因为在水平方向，枝晶左侧受到流体的
清洗，大量热量到了枝晶的右侧，使得枝晶左侧温度扩散层変薄，过冷度変大，促进了枝晶的生长；而枝晶右侧温度扩散层変厚，从而过冷度変小，抑制枝晶生长，枝晶臂显的细小。

因为枝晶凝固驱动力是过冷度，往往过冷度大的枝晶比过冷度小的枝晶生长快；这和无流的情况一样。

3.2 流速对枝晶的作用
图3中(a)，(b)，(c)是在t=13000Δt时，流速分别为u=0,v=0.8，u=0,v=1.5，
u=0,v=2的温度场，(d)，(e)，(f)是相应的相场在图中观察到，不同过冷熔体的流速对枝晶的对称性产生不同的影响。

随着常数流速的增加，水平方向上左侧的枝晶臂生长受到促进，変的粗大；而右侧枝晶臂生长受到抑制，变得细短；竖直方向的枝晶臂也受到流动的影响，长度变化不大，但明显向左侧方向倾斜，而且左侧方向的枝晶臂间的间距变小，竖直方向右侧的枝晶臂随着流速的增大，枝晶臂“几乎光滑”。

原因是界面处结晶潜热的分散受到影响，熔体的流速越大，对流换热强度越大，枝晶左侧的过冷度変大，促使了左侧方向枝晶的生长；而右侧方向温度扩散层厚，过冷度変小，抑制枝晶的生长。

3.3 不同方向角对枝晶的影响
方向角θ0 表示为各向异性轴的方向，θ0 值的改变会使枝晶的方向发生变化。

图
4是相同条件下，在t=1 300 Δt 时，(a)，(b) 分别是方向角θ0为 (弧度)时的枝
晶形态。

从图中给出的两个方向角对应的枝晶形貌，可以观察到，在有常数速度的条件下，θ0 的改变不会使枝晶的“容貌”发生变化，但枝晶主轴与x 轴的夹角发生了变化。

3.4 各向异性对枝晶的影响
各向异性强度γ表示的物理意义是枝晶生长过程中界面处的各向异性的强度。

图5是t=13 000Δt不同各向异性的枝晶形貌。

在图中，可以看到，当各向异性系数为零时，枝晶的左侧生长比较均匀，并且主枝和侧枝发生了分裂。

当各向异性系数逐
渐的增加时，主枝明显。

当各向异性系数比较小时，左侧的枝晶生长缓慢，优先生长的方向的生长优势明显，在枝晶的左侧方向枝晶臂间方向生长出分支，右侧方向枝晶比较短小；枝晶随着各向异性的增大，生长的就越快；生长最快的是左侧枝晶臂，最慢的是右侧枝晶，枝晶主轴上有锯齿形分叉出现；各向异性系数进一步增加，各向异性为γ=0.1时，各枝晶臂长得短粗。

3.5 界面宽度ε 对枝晶的作用
在相同常数流速，不同时刻下，分别给出ε=0，0.09,0.091时的枝晶形貌。

(a)，(b)分别是ε=0，t=10000Δt，t=15000Δt时的枝晶形貌；(c),(d)是相同时刻，不同界面宽度下，形成的枝晶形貌。

在(a)，(b)可以看到，当ε=0时，枝晶几乎停止生长，在(c)，(d)中，可以观察到，界面宽度稍微增加，都会增大左侧枝晶侧枝尖端生长的速度和尖端半径。

这与纯物质枝晶生长过程的模拟结果相似。

通过简单分析各个参数：流速，和在有常数速度流场条件下，方向角，各向异性，界面宽度对枝晶形貌的影响，和它们各自对枝晶生长过程的影响原因。

可以得出：(1)加入常数流速后，各个方向的枝晶臂生长速率不一样，枝晶不对称，随着流速
的增大，左侧流枝晶生长的越快，也越容易达到稳定，而且扰动也随之被放大，
晶臂间距离缩小；水平右侧枝晶生长受到阻碍。

(2)在常数流场下，界面宽度越大，枝晶生长的越快，长的越发达。

(3)在常数流场下，各向异性系数越大，枝晶生长
的速度也大，主轴変的粗大，晶臂的距离变小。

【相关文献】
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[13] 张晨辉,杨斌鑫.枝晶生长过程的相场方法模拟研究[J].太原科技大学学报,2015,36(2):160-164.
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