2013届高考数学(浙江专用)冲刺必备：第二部分 专题五 第三讲2 冲刺直击高考含答案

限时：40分钟满分：56分
1．（满分14分)在直角坐标系xOy中,已知中心在原点，离心率为错误!的椭圆E的一个焦点为圆C：x2＋y2－4x＋2＝0 的圆心．（1)求椭圆E的方程；
（2)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为错误!的直线l1,l2.当直线l1，l2都与圆C相切时,求P的坐标．
解：(1)由x2＋y2－4x＋2＝0得（x－2）2＋y2＝2,故圆C的圆心为点（2,0)．
从而可设椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1(a>b〉0），其焦距为2c。

由题设知c＝2，e＝错误!＝错误!。

所以a＝2c＝4，b2＝a2－c2＝12。

故椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1。

（2）设点P的坐标为（x0,y0），l1，l2的斜率分别为k1，k2,则l1，l2的方程分别为l1:y－y0＝k1(x－x0)，
l2：y－y0＝k2（x－x0),且k1k2＝错误!，
由l1与圆C：（x－2)2＋y2＝2相切得错误!＝错误!，即[（2－x0）2－2］k错误!＋2（2－x0）y0k1＋y错误!－2＝0。

同理可得[（2－x0）2－2］k错误!＋2(2－x0)y0k2＋y错误!－2＝0。

从而k1，k2是方程［(2－x0)2－2］k2＋2（2－x0)y0k＋y错误!－2＝0
的两个实根，于是
错误!①
且k 1k 2＝错误!＝错误!。

由错误!得5x 错误!－8x 0－36＝0，
解得x 0＝－2，或x 0＝错误!.
由x 0＝－2得y 0＝±3；由x 0＝185
得y 0＝±错误!，它们均满足①式． 故点P 的坐标为（－2,3)，或（－2，－3），或错误!，或错误!。

2．（满分14分）如图，椭圆C 0:错误!＋错误!＝1(a 〉
b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 12，b
〈t 1<a 。

点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．
(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程;
（2）设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ,t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等,证明：t 12＋t 22为定值．
解：(1）设 A (x 1，y 1），B (x 1,－y 1）,又知A 1（－a,0)，A 2（a,0),则直线A 1A 的方程为y ＝错误!（x ＋a ），①
直线A 2B 的方程为y ＝错误!（x －a ）．②
由①×②得y 2＝错误!(x 2－a 2）．③
由点A（x1,y1）在椭圆C0上,得错误!＋错误!＝1。

从而y错误!＝b2错误!，代入③得错误!－错误!＝1(x〈－a，y〈0）．
(2）证明：设A′（x2,y2），由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4｜x1｜|y1|＝4｜x2|｜y2｜，
故x错误!y错误!＝x错误!y错误!.
因为点A，A′均在椭圆上，所以
b2x错误!错误!＝b2x错误!错误!.
由t1≠t2，知x1≠x2，所以x错误!＋x错误!＝a2.
从而y错误!＋y错误!＝b2，
因此t错误!＋t错误!＝a2＋b2为定值．
3．(满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：错误!＋
错误!＝1（a>b>0）的离心率e＝错误!,且椭圆C上的点到点Q(0，2）的距离的最大值为3。

（1）求椭圆C的方程；
(2）在椭圆C上,是否存在点M（m，n）,使得直线l:mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
解:(1)由e＝错误!＝错误!＝错误!，得a＝错误!b,
椭圆C：错误!＋错误!＝1，即x2＋3y2＝3b2，
设P(x,y)为C上任意一点，
则|PQ|＝错误!
＝错误!，－b≤y≤b，
若b<1,则－b>－1，当y＝－b时，
｜PQ|max＝错误!＝3,
又因为b〉0，得b＝1（舍去）;
若b≥1，则－b≤－1，当y＝－1时，
|PQ｜max＝错误!＝3，得b＝1，
所以椭圆C的方程为错误!＋y2＝1。

(2）法一:假设存在这样的点M（m,n)满足题意，
则有错误!＋n2＝1，
即n2＝1－错误!，－错误!≤m≤错误!.
由题意可得S△AOB
＝错误!|OA｜·|OB｜sin ∠AOB＝错误!sin ∠AOB≤错误!，
当∠AOB＝90°时取等号，这时△AOB为等腰直角三角形，此时圆心(0，0）到直线mx＋ny＝1的距离为错误!，
则错误!＝错误!，得m2＋n2＝2，又因为错误!＋n2＝1，
解得m2＝错误!，n2＝错误!，
即存在点M 的坐标为错误!，或错误!，或错误!，或错误!满足题意，且△AOB 的最大面积为错误!.
法二：假设存在这样的点M （m ,n )满足题意,
则有错误!＋n 2＝1，即n 2＝1－错误!，－错误!≤m ≤错误!。

设A （x 1， y 1)、B (x 2,y 2)，由错误!
消去y 得（m 2＋n 2)x 2－2mx ＋1－n 2＝0，①
把n 2＝1－错误!代入①整理得（3＋2m 2）x 2－6mx ＋m 2＝0，
则Δ＝8m 2(3－m 2)≥0，
所以错误!②
而S △AOB ＝12
|OA ｜·｜OB ｜sin ∠AOB ＝错误!sin ∠AOB ， 当∠AOB ＝90°，S △AOB 取得最大值错误!，
此时OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，
又因为y 1y 2＝1－mx 1n
·错误!＝错误!， 所以x 1x 2＋错误!＝0,
即3－3m (x 1＋x 2）＋(3＋2m 2)·x 1x 2＝0，
把②代入上式整理得2m 4－9m 2＋9＝0，
解得m 2＝错误!或m 2＝3(舍去)，
所以m ＝±错误!，n ＝± 错误!＝±错误!，
所以M点的坐标为错误!，或错误!，或错误!,或错误!,使得S△AOB取得最大值错误!。

4．（满分14分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。

(1）求椭圆C的标准方程；
（2)若直线l:y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D。

求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标．
解：（1)由题意设椭圆的标准方程为：
错误!＋错误!＝1（a>b〉0)．
由已知得a＋c＝3,a－c＝1，
所以a＝2，c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3,
因此椭圆C的标准方程为错误!＋错误!＝1。

(2）证明：设A(x1,y1），B(x2，y2)，
联立错误!
得（3＋4k2)x2＋8mkx＋4（m2－3)＝0,则
错误!
又y1y2＝（kx1＋m)（kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk（x1＋x2）＋m2＝3m2－4k2
3＋4k2.
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），
所以k AD k BD＝－1,即
y1
x1－2·错误!＝－1.
故y1y2＋x1x2－2(x1＋x2）＋4＝0。

即错误!＋错误!＋错误!＋4＝0.
则7m2＋16mk＋4k2＝0.
解得m＝－2k，或m＝－错误!,且均满足3＋4k2－m2〉0.
当m＝－2k时,l的方程为：y＝k（x－2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；
当m＝－错误!时，l的方程为：y＝k错误!，直线过定点错误!。

所以，直线l过定点，定点坐标为错误!.。