四川省达州市普通高中2020届高三第二次诊断性测试数学试题(理科)

数学试题（理科）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}24A x x =≤≤，{}
1B x x =>，则A B =I （ ） A.(]1,2 B.[]2,4
C.()4,+∞
D.()2,4
2.复数21i
z i
+=
-，则z 在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.在公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，5a 是2a ，14a 的等比中项，则7a =（ ） A.13
B.49
C.6
2
D.7
21-
4.函数()21
ln f x x x x
=-+
的图象大致是（ ） A.
B. C. D.
5.10
1
⎫
-⎪⎭
的展开式中3x -的系数是（ ） A.252
B.252-
C.210-
D.210
6.已知双曲线的两条渐近线的方程是0x +=和0x -=，则双曲线离心率是（ ）
或
5
或
2
7.已知[]8,2a ∈-，则命题2
0000,10x x ax ∃>++<为假命题的概率（ ）
A.0.4
B.0.3
C.0.2
D.0.1
8.已知22log a
a =，1
212b
b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，n 1si c c =+，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A.b a c <<
B.a b c <<
C.c b a <<
D.a c b <<
9.甲烷，化学式4CH ，是最简单的有机物，在自然界分布很广，也是重要的化工原料.甲烷分子结构为正四面体结构（正四面体是每个面都是正三角形的四面体），碳原子位于正四面体的中心，4个氢原子分别位于正四面体的4个顶点.若相邻两个氢原子间距离为a ，则相邻的碳、氢原子间的距离是（不计原子大小）（ ）
10.在ABC △中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，BE 与CD 交于点P ，设BE a =u u u r ，CD b =u u u r ，则AP =
u u u r
（ ）
A.22
33
a b -
- B.44
33
a b -
- C.33
44
a b -
- D.55
44
a b -
- 11.
已知方程()2sin 2002
x
x ωωω--=>在区间()0,π内只有一个实根，则ω的取值范围
（ ） A.17,33
⎛⎤ ⎥⎝⎦
B.713,66⎛⎤
⎥⎝
⎦ C.410,33⎛⎤
⎥⎝
⎦ D.113,
66⎛⎤
⎥⎝⎦
12.己知a>0，函数f （x ）=|
12.已知0a >，函数(
)2,03
2,0
x x f x a x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩
，()2a g x x =-和点()()(),0P m f m m <，将y 轴左半平面
沿y 轴翻折至与y 轴右半平面垂直.若()0,1n ∃∈，直线x n =分别与曲线()y f x =，()y g x =相交于点
A B ，，PA PB =，PAB △面积为2，则实数a 的取值范围为（ ）
A.,19⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
B.0,
9⎛
⎝⎦
C.(]0,1
D.0,
9⎛ ⎝⎦
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设,x y 满足约束条件200360x y x y x y +-≥⎧⎪
-≥⎨⎪--≤⎩
，则z x y =+的最小值是 .
14.函数()1
12122
x
x f x +-=++，若() 1.2f t -=，则()f t = . 15.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1
3n n S m -=+，则实数m 的值是 .
16.已知F 是抛物线2
:4C x y =的焦点.O 是坐标原点，A 是C 上一点，OFA △外接圆B e （B 为圆心）与C 的准线相切，则过点B 与C 相切的直线的斜率 .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.ABC △的内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，()2cos cos 0a c B b C ++=. （1）求B ；
（2）若2,c B =的角平分线1BD =，求ABC △的面积ABC S △.
18.某单位为了更好地应对新型冠状病毒肺炎疫情，对单位的职工进行防疫知识培训，所有职工选择网络在线培训和线下培训中的一种方案进行培训.随机抽取了140人的培训成绩，统计发现样本中40个成绩来自线下培训职工，其余来自在线培训的职工，并得到如下统计图表： 线下培训茎叶图在线培训直方图
线下培训茎叶图 在线培训直方图
（1）得分90分及以上为成绩优秀，完成右边列联表，并判断是否有95%
的把握认为成绩优秀与培训方式
有关？
（2）成绩低于60分为不合格.在样本的不合格个体中随机再抽取3个，其中在线培训个数是ξ，求ξ分布列与数学期望.
附：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++．
19.如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA AC CB ===，AB =D 是BC 中点，E 是PD 中点，F 是线段AB 上一动点.
（1）当F 为AB 中点时，求证：平面CEF ⊥平面PAB ； （2）当EF ∥平面PAC 时，求二面角E FD C --的余弦值.
20.已知动点P 到两点()，)
的距离之和为4，点P 在x 轴上的射影是C ，2CQ CP =u u u r u u u r
.
（1）求动点Q 的轨迹方程；
（2）过点()
的直线交点P 的轨迹于点,A B ，交点Q 的轨迹于点,M N ，求2
14
MN AB -的最大值.
21.函数()()ln 1cos f x x x ax =++-. （1）若0x =为()f x 的极值点，求实数a ；
（2）若()1f x ≤在(]1,0-上恒成立，求实数a 的范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，曲线13cos :1sin x t C y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩（t 为参数），其中[)0,απ∈.在以O 为极点，x 轴正半轴
为极轴的极坐标系中，曲线2:4sin C ρθ=. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（2）若1C 与2C 相交于点,A B 两点，点()3,1P ，求PA PB ⋅. 23.[选修4-5：不等式选讲] 设()124f x x x =-+-. （1）解不等式()5f x ≤；
（2）若,,a b c 均为正实数，()f x 最小值为m ，a b c m ++=，求
111
111
a b c ++
+++. 达州市普通高中2020届第二次诊断性测试
理科数学参考答案及评分参考
评分说明：
1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.
2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再得分.
3.解答右端所注分数，表示该生正确做到这一步应该得的累加分数.
4.只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题：
1.B
2.D
3.B
4.C
5.D
6.D
7.A
8.B
9.C 10.A 11.D 12.B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.[]2,6 14.0.8 15.13- 16.2
±
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：（1）()2cos cos 0a c B b C ++=Q ，
∴在ABC △中，由正弦定理得，()2sin sin cos sin cos 0A C B B C ++=，
2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ∴++=，
()2sin cos sin 0A B B C ∴++=.
A B C π++=Q ，2sin cos sin 0A B A ∴+=.
A Q 为三角形内角，sin 0A ∴≠，12cos 23
B B π
=-=
. （2）在ABC △中，BD 为角B 的角平分线，23B π=Q ，3
ABD π
∴∠=，
Q 在ABD △中，,2,13
A ABD
B BD π
=∠==
，由余弦定理可得AD =
222AB BD AD ∴=+，ABD △为直角三角形.
即BD AC ⊥，故ABC △
为等腰三角形，2AC AD ==，
11
122
ABC A S BD C ∴=
=⨯⨯⋅=△ 18.解：（1）根据题意得列联表：
()2
140570303514
4.66735105100403
k ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯.
4.667 3.841>有95%的把握认为培训方式与成绩优秀有关.
（2）在抽出的样本中，线下培训不合格3个，线上培训不合格5个，在这8个中抽取3个含在线培训个数为ξ.0ξ=，1，2，3
()33381056C P C ξ===，()21
353
815
156C C P C ξ
===， ()123538301525628C C P C ξ====，()3538105
35628
C P C ξ====
. ξ的分布列为：
()15
0123 1.875565656568
E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯==.
19.（1）证明：222AC BC AB +=Q ，
ABC ∴△为等腰直角三角形，当F 为AB 中点时，CF AB ∴⊥.
PA ⊥Q 平面,ABC CF ⊆平面,ABC PA CF ∴⊥.
PA AB A =Q I 且都在平面PAB 中，CF ∴⊥平面PAB .
CF ⊆Q 平面CEF ，∴平面CEF ⊥平面PAB .
（2）解：过点C 作z 轴垂直于平面ABC ，建立如图的空间直角坐标系，()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，
()2,0,2P ，()0,1,0D 。

11,,12
E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
F Q 在线段AB 上，.[]()0,1AF AB λλ∴=∈u u u r u u u r
，
()22,2,0F λλ∴-，()0,1,0Q 是平面PAC 的法向量，
∴当EF ∥平面PAC 时，():0,1,00EF =u u u r 解得14λ=，即31,,022F ⎛⎫
⎪⎝⎭.
()10,0,1n =u r
为平面CDF 的法向量.
设()2,,n x y z =u u r 为平面EFD 的法向量11,,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，31,,022DF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u
r ，
2200n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r Q u u r u u u r
，102
31022
x y z x y ⎧-+=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，不妨设1x =，131
2
x y z ⎧
⎪
=⎪∴=⎨⎪⎪=⎩，211,3,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u r . 121212
1
cos ,41
n n n n n n ⋅==
=
⋅u r u u r
u r u u r u r u u r Q . ∴二面角E FD C --的余弦值为
41
.
20.解：（1）Q 点P
到两点(
)),
的距离之和为4，
∴点P
的轨迹是以(
)),为焦点，长轴长为4的椭圆，
∴点P 的轨迹方程是2
214
x y +=.
设点Q 坐标为(),x y ，因2CQ CP =u u u r u u u r 所以点P 的坐标为,2y x ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
2
2142x y ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
∴， 化简得点Q 的轨迹方程为2
2
4x y +=. （2）若AB x ⊥轴，则12AB MN ==，，
2
104
MN AB ∴
-=. 若直线AB 不与x 轴垂直，设直线AB
的方程为y kx =+，
即0kx y -+=，则坐标原点到直线AB
的距离d =
，
()()22
22
44441
k MN d k +∴=-=
+.
设()()1122,,,A x y B x y .
将y kx =代入2
214
x y +=，并化简得， (
)2
2
22141240k x
x k +++-=.
12x x ∴+=2122
12414k x x k
-=+.
12AB x ∴=
-=
2
2
44
14
k
k
+
==
+
2
2
42
2
2
199
1
1
445145
k
MN AB
k k k
k
∴-==≤=
++++
，
当且仅当2
2
1
4k
k
=即
2
k=±时，等号成立.
综上所述，2
1
4
MN AB
-最大值为1.
21.解：（1）()cos
x
f x e x a
'=++
Q，令()00
f'=
即
1
sin00
01
a
--=
+
，1
a
∴=.
()()
1
sin11
1
f x x x
x
'=-->-
+
，
当10
x
-<<时，设()()1sin1
1
g x f x x
x
'
==--
+
，
()
()2
1
cos0
1
g x x
x
'
∴=--<
+
，故()
f x
'为减函数，
()()00
f x f
''
∴>=，
当0xπ
<<时，
1
1
1
x
<
+
，sin0
x
-<，()0
f x
'
∴<
综上1
a=时，0
x=为()
f x的极值点成立，所以1
a=.
（2）由（1）知()
1
sin
1
f x x a
x
'=--
+
，当10
x
-<<时，()
f x
'
Q为减函数
()()01
f x f a
''
∴>=-，
①1
a≤时，()()010
f x f a
''
>=-≥
Q，()
f x为增函数，()()01
f x f
∴≤=
②1
a>时，()
f x
'
Q为减函数，()00
f'<；
11
1sin10
f
a a
⎛⎫⎛⎫
'-=-->
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
∴存在(]
1,0
x∈-使()00
f x
'=，[]
,0
x x
∈，()00
f'<，()
f x递减，()()
01
f x f
>=，与()1
f x≤矛盾.
综上1
a≤时()1
f x≤恒成立.
所以，实数a的范围是(],1
-∞.
22.解：（1）1tan 3tan 102:C x y πααα⎛
⎫
--+=≠
⎪⎝
⎭
，或32x πα⎛⎫
==
⎪⎝
⎭
； ()2
222:4C x y +-=﹒
（2）将13cos :1sin x t C y t αα
=+⎧⎨=+⎩代入()2
222:4C x y +-=，
得()()2
2
3cos 1sin 24t t αα+++-=，
()26cos 2sin 60t t αα+-+=﹐
设,A B 两点对应的参数为1t ，2t ，
则12126PA PB t t t t ⋅=⋅==，6PA PB ∴⋅=. 23.解：（1）1245x x -+-≤
当1x ≤时，1245x x -+-+≤，解得0x ≥，01x ∴≤≤； 当12x <<时，1245x x --+≤解得2x ≥-，12x ∴<<； 当2x ≥时，1245x x -+-≤，解得1010
,233
x x ∴≤≤≤， 综上不等式解集为100,
3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. （2）()53,1
3,1235,2x x f x x x x x -≤⎧⎪
=-<<⎨⎪-≥⎩
Q ，1m ∴=，即1a b c ++=，
()()()11111111111114111a b c a b c a b c ⎛⎫++=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭
Q
1111111911141111114
b c a c a b a a b b c c ++++++⎛⎫=++++++++≥ ⎪++++++⎝⎭. 当1
3
a b c ===
时取等号， 111111a b c +∴++
++最小值为9
4
.。