完全平方公式

⎪
(a (a
第 5 讲 完全平方公式及其应用
一、新知探索
⎧两数和的平方： + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 完全平方差公式： ⎨
⎪⎩两数差的平方： - b )2 = a 2 - 2ab + b 2
★ 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积在中央。

二、典例剖析
考点一：公式的几何意义
【例 1】如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，
写出一个关于 a 、 b 的恒等式___________.
a b
a
b
【变式】如图，利用边长为 a - b 的正方形的面积的不同表示方法，写出一个关于 a 、 b 的
恒等式___________.
b a-b
a-b
b 2
b
考点二：完全平方公式的应用
【例 2】计算
（1）
(4m + n)2 （2） (3x - 2 y )2 （3） (-a + 2b )2
【变式】 ⑴ (-8a + 11b )2
⑵ (-2x - 3y)2 （3） (b + c )(-b - c )
小结：注意与平方差公式的区别，防止出现类似 (a ± b )2 = a 2 ± b 2
【例 3】计算
⑴ (a + b + c)2
⑵ (a + b - c)2
【例5】已知x+1
=3，①求x2+的值。

②求x4+
2
【变式】填空：（1）(a-b-c)2=_________________________________.
（2）(2x-y+3z)2=________________________。

考点三：完全平方公式的恒等变形
①a2+b2=(a+b)2-2ab②a2+b2=(a-b)2+2ab
③(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)④(a+b)2-(a-b)2=4ab 【例4】已知：a+b=4,ab=-2，
求：（1）a2+b2的值。

（2）(a-b)2的值。

【变式】已知实数a、b满足(a+b)2=1，(a-b)2=25，求a2+b2+ab的值．
11
x x x4的值。

考点四：利用完全平方公式简化计算
【例6】计算（1）5012（2）99.82
考点五：配方思想
【例7】填空：⑴x2+_____+y2=(x+y)2；⑵9a2-_____+b2=(3a-___)2；
⑶4m2+4mn+____=(2m+___)2；⑷_____+10xy+______=(x+5y)2.【变式】1、已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于（）
A.64
B.48
C.32
D.16
2、若整式4x2+Q+1是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q是
【例8】已知x2+y2-2xy+6x-12=0，求x-2y的值。

【变式】已知x2+y2+13=6x-4y，求x y的值。

三、每日一练，天天向上
【基础演练】
1、计算：
1
⑵(a m-b n)2⑶(2x-5)(5-2x)
⑴(3a2b+ab2)2
3
(x+2)2(x-2)2（5）(a-2b+3c)2
（4）
3、已知：x2-3x+1=0，①求:x2+11
的值。

②求:x4+
x2x4的值
4、已知a+b=5，ab=-3，求代数式ab(a-b)2的值。

5、先化简后求值：⎡⎣(x-y)2+(x+y)(x-y)⎤⎦÷2x，其中x=3，y=1.5.
例5】．已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式（a2+b2+c2）=(a+b+c)2
，
3
请说明该三角形是什么三角形？
1、已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值
2、已知，y、x、都是有理数，求xy的值。