湖南长沙市一中高中数学 2.4等比数列(二) 教案 新人教版必修5

2.4等比数列（二）
教学目标
（一） 知识与技能目标 1． 等比中项的概念；
2． 掌握＂判断数列是否为等比数列＂常用的方法； 3． 进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用． （二） 过程与能力目标
1． 明确等比中项的概念；
2． 进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用．
教学重点
等比数列的通项公式、性质及应用．
教学难点
灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题．
教学过程
一、复习
1．等比数列的定义．
2. 等比数列的通项公式:
)0,(111≠⋅=-q a q a a n n ， )0,(≠⋅=-q a q a a m m n m n ， )0,(≠=B A AB a n n
3．｛a n ｝成等比数列⇔
)0,( 1
≠∈=++q N n q a a n
n 4．求下面等比数列的第4项与第5项：
（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3）2
2
,1,2)4(;,83.21,32 ，…….
二、讲解新课：
思考：类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？
1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a , G ，b 成等比数列，那么称这个数G
为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号） ，则ab G ab G G
b
a G ±=⇒=⇒=2，
反之，若G 2
=ab ,则
G
b
a G =，即a ,G ,
b 成等比数列∴a ,G ,b 成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0）
例1．三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数. 解:设m ,G ,n 为所求的三个数,
有已知得m +n + G =14, 64=⋅⋅G n m , ,2
mn G = ,4643
=⇒=∴G G ∴这三个数为8,4,2或2,4,8. 解法二:设所求三个数分别为
,,,aq a q
a
则,4,643=∴=a a 又
,14=++aq a q a 14444=++∴q q 解得,2
1,2==q q 或
∴这三个数为8,4,2或2,4,8.
2．等比数列的性质：若m +n =p +k ，则k p n m a a a a = 在等比数列中，m +n =p +q ，k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？
由定义得：1
1n 11 --==n m m q a a q a a 11k 11 --⋅==k p p q a a q a a
221-+=⋅n m n m q a a a ，22
1-+=⋅k p k p q a a a
则k p n m a a a a =
例2. 已知{n a }是等比数列，且252,
0645342=++>a a a a a a a n , 求53a a +．
解： ∵{n a }是等比数列，∴ 2a 4a ＋23a 5a ＋4a 6a ＝(3a ＋5a )2
＝25,
又n a >0, ∴3a ＋5a ＝5;
3．判断等比数列的常用方法：定义法，中项法，通项公式法
例3．已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列.
证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列
{}n n b a ⋅的第n 项与第n +1项分别
n n n
n n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(21111211121111211
1
1与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅
它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q 1q 2为公比的等比数列.
思考；（1）｛a n ｝是等比数列，C 是不为0的常数，数列{}n ca 是等比数列吗？ （2）已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n n b a 是等比数列吗？ 4．等比数列的增减性：当q >1, a 1>0或0<q <1, a 1<0时, {a n }是递增数列;
当q >1, a 1<0,或0<q <1, a 1>0时, {a n }是递减数列; 当q =1时, {a n }是常数列;当q <0时, {a n }是摆动数列．
思考：通项为12-=n n a 的数列的图象与函数1
2-=x y 的图象有什么关系？
三、例题讲解
例4． 已知无穷数列 ,10,10,10,105
15
25
15
-n ，
求证：（1）这个数列成等比数列；
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的
10
1；
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．
证：（1）51
5
2
5
1
1
1010
10==---n n n n a a （常数）∴该数列成等比数列． （2）
10110101015
45
15===-+-+n n n n a a ，即：510
1
+=n n a a ． （3）5
25
15
110
10
10
-+--==q p q p q p a a ，∵N q p ∈,，∴2≥+q p ．
∴11≥-+q p 且()N q p ∈-+1，
∴⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈--+51
n 5
21010
q p ，
（第1-+q p 项）． 四、练习：教材第53页第3、4题． 五、课堂小结： 1.等比中项的定义；
2.等比数列的性质；
3．判断数列是否为等比数列的方法． 六、课外作业
1.阅读教材第52～52页；
2.《习案》作业十六．。