江西省鹰潭市2021届高三数学第一次模拟考试试题 理(含解析)

江西省鹰潭市2021届高三数学第一次模拟考试试题 理（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知复数3
12i z i
=+，则复数z 的实部为（ ）
A. 25
-
B. 25
i -
C. 15
-
D. 15
i -
【答案】A 【解析】 【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】解：∵3(12)21
12(12)(12)55
i i i z i i i i --=
==--++-， ∴复数z 的实部为2
5
-． 故选A ．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.
已知集合|A x y ⎧⎫==
⎨⎩，{}|31x
B y y ==-，则（ ） A. B A ⊆
B. A B ⊆
C. A B =
D.
A B ⋂=∅
【答案】B 【解析】 【分析】
集合A 研究对象是定义域，集合B 的研究对象是值域，分别求得,A B 的范围，由此得出选项. 【详解】集合A 研究对象是定义域，即220x x -++>，解得12x -<<.集合B 的研究对象是值域，由于30,311x
x
>->-，即1y >-.所以集合A 是集合B 的子集.故选B.
【点睛】本小题主要考查集合的研究对象，考查函数的定义域与函数的值域，还考查了子集的知识，属于基础题.
3.如图1为某省2018年1～4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（）
A. 2018年14
～月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件
B. 2018年14
～月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高
C. 从两图来看，2018年14
～月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从14
～月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合所给
的统计图确定选项中的说法是否正确即可. 【详解】对于选项A： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值为439724111986
-=，接近2000万件，所以A是正确的；
对于选项B： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高，所以B是正确的；
对于选项C：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；对于选项D，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D错误.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4.已知向量a与b的夹角为120︒，3
a=，||13
a b
+=，则||b=（）
A. 1
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知条件对||13a b +=两边平方，进行数量积的运算即可得到2||3||40b b --=，解该方程即可得出||b ．
【详解】解：根据条件，222||2a b a a b b +=+⋅+293||||13b b =-+=； ∴解得4b =，或1-（舍去）． 故选C ．
【点睛】考查数量积的运算及其计算公式，解一元二次方程和 22||b b =．
5.曲线3
44y x x =-+在点(1,1)处的切线的倾斜角为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 135
【答案】D 【解析】 【分析】
求出函数的导数，在(1,1)处的导数就是切线的斜率，然后求出倾斜角即可．
【详解】解：344y x x =-+可得，2
()34f x x '=-，(1)1f '=-，
设切线的倾斜角为α，tan 1α=- 可得135α=︒ 故选D ．
【点睛】本题考查直线的倾斜角，利用导数研究曲线上某点切线方程，考查计算能力，是基础题．
6.已知()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭的最大值为A ，若存在实数1x 、2x ，使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ）
A.
2019
π
B.
42019
π
C.
22019
π
D.
4038
π
【答案】C 【解析】 【分析】
先化简()2sin 20193f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，得2A =，根据题意即求半个周期的A 倍． 【
详
解
】
解
：
依
题
意
()sin2019cos
cos2019sin
cos2019cos
sin2019sin
6
6
3
3
f x x x x x π
π
π
π
=+++
3sin2019cos2019x x =+,
2sin 20196x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
2A ∴=，22019T π
=
， 12||22019
min T x x π
∴-==，
12A x x ∴-的最小值为22019
π
，
故选：C ．
【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题．
7.在如图算法框图中，若3
3
(21sin )a x x dx -=
++⎰
，程序运行的结果S 为二项式5(2)x +的展
开式中3x 的系数的3倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（ ）
A. 3k <
B. 3k >
C. 4k <
D. 4k >
【答案】C
【解析】 【分析】
根据积分和二项式定理的内容求出a ，S ，结合程序框图进行模拟运算即可．
【
详解】解：(
)
3
32
3
3
(21sin )cos a x x dx x x x
--=++=+-⎰
93cos393cos36=+--++=，
二项式5(2)x +的展开式中3x 的系数为32
5240C ⋅=，即340120S =⨯=，
根据程序图 若填5k =，6a =，6S =，S 不满足条件.
4k =，S 6530=⨯=，S 不满足条件．
3k =，654120S =⨯⨯=，则3k =满足条件．
输出120S =， 故选C ． 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，求出a ，S 的值，利用模拟运算法是解决本
题的关键．
8.已知抛物线C ：2
2(0)x py p =>的焦点为F ，抛物线C 的准线与y 轴交于点A ，点()01,M y 在抛物线C 上，0
5||4
y MF =
，则tan FAM ∠=（ ） A.
25
B.
52
C.
54
D.
45
【答案】D 【解析】 【分析】
过M 向抛物线的准线作垂线，垂足为N ，根据MN MF 和M 在坐标求出p 的值，进而
可得出MN 的值，再计算出tan FAM ∠即可．
【详解】解：过M 向抛物线的准线作垂线，垂足为N ，则0
05||24
y p MN y =+=，故02y p =． 又()01,M y 在抛物线上，故012y p =，于是122p p =，解得1
2
p =，
∴055
||44
y MN =
=，
∴
||4 tan tan
||5
AN
FAM AMN
MN
∠=∠==．
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
9.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3
cm）是（）
A. 4310
3
3
C. 3
8
3
3
【答案】B 【解析】
由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，
110
43233
33
V=⋅=.
故选：B.
10.设P为双曲线
22
22
1
x y
a b
-=右支上一点，1F，2F分别为该双曲线的左右焦点，c，e分别
表示该双曲线的半焦距和离心率．若120PF PF ⋅=，直线2PF 交y 轴于点A ，则1AF P 的内
切圆的半径为（ ） A. a B. b
C. c
D. e
【答案】A 【解析】
分析：首先应用向量的数量积等于零，可以断定向量垂直，从而得到三角形是直角三角形，之后应用直角三角形的内切圆的半径等于两直角边和减去斜边长，再结合双曲线的定义最后求得结果.
详解：根据题意12
0PF PF ⋅=，可知1AF P ∆是直角三角形，根据直角三角形的内切球的半径
公式以及双曲线的定义可知
11122r PF PA AF PF PA AF =+-=+-1212()2PF AF PA PF PF a =--=-=，求得r a =，
故选A.
点睛：该题考查的是有关直角三角形的内切圆的半径公式，一是要注意向量垂直的条件为向量的数量积等于零的应用，再者就是双曲线的定义要铭记.
11.已知定义在R 上的函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且(2,2]x ∈-时，
(
)2111,022()2,20
x x x x x f x x x x ⎧⎛⎫
+--<≤⎪ ⎪⎝⎭=⎨⎪-+-<≤⎩，则函数4()()log g x f x x =-的零点个数是（ ）
A. 4
B. 7
C. 8
D. 9
【答案】D 【解析】
根据()()4f x f x +=可知，函数的周期为4，画出()f x 与4log y x =的图象如下图所示，由图可知它们交点个数为8，也即()g x 的零点个数为8个.
【点睛】本题主要考查周期函数图像的画法，考查分段函数图像的画法，考查含有绝对值函数的图像画法.对于分段函数，需要将图像每一段都画出来，题给函数()f x 第一段函数含有两个绝对值，则分成()[]
0,1,1,2两段，去绝对值来画.log a y x =的图像是由log a y x =的图像保留，然后关于y 轴对称再画另一半所得.
12.设*n N ∈，函数1()x
f x xe =，21()()f x f x '=，32()()f x f x '=，…，1()()n n f x f x +'=，曲
线()n y
f x 的最低点为n P ，12n n n P P P ++的面积为n S ，则（ ）
A. {}n S 是常数列
B. {}n S 不是单调数列
C. {}n S 是递增数列
D. {}n S 是
递减数列 【答案】D 【解析】
根据题意得()()()'
211x
f x f x x e ==+，()()()'
322x
f x f x x e ==+…，
()()()'1x n n f x f x x n e +==+，又曲线()n y f x =的最低点为n P ，则当1n =时111P e
-⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
， 当2n =时1212P e -⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，，当3n =时1313P e ，-⎛⎫- ⎪⎝
⎭
…，则1n n P n e -⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，，1111n n P n e ，++-⎛⎫-- ⎪⎝
⎭
，22
12n n P n e ++-⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭，，222211122n n n n P P n e e e k e
+++----=
=--，2n n P P l +：()2
2112n n e y x n e e +---=-+ 2
2
22
211212n n e d e e e ++-=
⎛⎫
--+ ⎪⎝⎭
，2
22214n n n e P P e ++⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭
则
()12
2
212n n n P P P n e S e ++∆+-==
所以{}n S 是递减数列，故选D
点睛：本题根据题意总结出()n f x 最低点的规律，计算三角形面积时采用了点到线的距离为高，在计算出底边长度，从而计算出面积，这样虽计算量较大，但是最后好多可以约去，得出函数的单调性，本题也可以通过分割三角形计算面积
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设变量x ，y 满足约束条件0
020x y x y x y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪+≥⎩
，则26z x y =-+的最大值为__________．
【答案】6 【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，将目标函数化为11
322
y x z =+-，利用数形结合即可的得到结论．
【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由26z x y =-+得直线l ：11
322
y x z =
+-， 平移直线l ，由图象可知当直线l 经过点(0,0)O 时截距最小，此时z 最大，max 6z =． 即z 的最大值是6。

【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
14.设ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若6a =6b =，1
cos 2
B =-，那么角
C 的大小为__________． 【答案】
12
π 【解析】 【分析】 由1
cos 2
B =-
，可得角B 和sin B ．再利用正弦定理即可得出sin A 的值和角A ，根据三角形的内角和定理可求C 的值．
【详解】解：
1
cos 2B =-，
∴B 为钝角，可得23
B π=，3sin B =．
263=2
sin A =
A 为锐角，∴4
A π
=
．
∴24
312
C A B π
ππππ=--=-
-
=． 【点睛】本题考查了正弦定理，以及推理能力与计算能力，属于基础题．
15.一名同学想要报考某大学，他必须从该校的8个不同专业中选出5个，并按第一志愿、第二志愿、…第五志愿的顺序填写志愿表．若A 专业不能作为第一、第二志愿，则他共有______
种不同的填法（用数字作答）． 【答案】5040 【解析】 【分析】
分2步进行分析：①从除A 之外的7个专业中任选2个，作为第一、第二志愿，②在剩下的6个专业中任选3个，作为第三、四、五志愿，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步选专业：
①A 专业不能作为第一、第二志愿有2
742A =种选法，
②第三、四、五志愿，有3
6120A =种选法，
则这名同学共有421205040⨯=种不同的填报方法， 故答案为：5040
【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理，属于基础题．
16.已知正三棱柱111ABC A B C -底面边长为高为3，圆O 是三角形ABC 的内切圆，点P 是圆O 上任意一点，则三棱锥111P A B C -的外接球的体积为__________．
【答案】
3
【解析】 【分析】
求出三角形ABC 的内切圆的半径，再求出三角形111A B C 的外接圆的半径，可得三棱锥
111P A B C -的外接球的半径，即可求出三棱锥111P A B C -的外接球的体积．
【详解】解：∵正三棱柱111ABC A B C -底面边长为
∴等边三角形ABC 1=，
111A B C △2=． 设球心O 到上下底面的距离分别为h ，(3)h -， 则2
2
2
14(3)R h h =+=+-，解得2h =．
∴R =
则三棱锥111P A B C -
的外接球的体积为343π⨯=
． 【点睛】本题考查三棱锥111P A B C -的外接球的体积，考查学生的计算能力，确定三棱锥
111P A B C -的外接球的半径是关键，是中档题．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知等比数列{}n a 为递增数列，且2
510a a =，()2125n n n a a a +++=，数列{}n b 满足：
112b a =，11n n b b a +-=．
（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设1
23
n n n n n c a b b ++=
，求数列{}n c 的
前n 项和n T ．
【答案】（I ）2n
n
a =，21n
b n =-（II ）1
1(21)2n
n T n -+⋅=
【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用已知有条件，建立方程组求出数列的通项公式．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用裂项求和求出数列的和．
【详解】解：（Ⅰ）对于数列{}n a ，由题得(
)
289
112
25n n n a q a q
a a q a q
⎧=⎪⎨+=⎪⎩（10a q ≠，*n N ∈） 解得11212a q ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或122a q =⎧⎨=⎩，
又{}n a 为递增数列，则122a q =⎧⎨=⎩
，
∴2n n a =，
数列{}n b 满足：1122b a ==，112n n b b a +-==，
∴数列{}n b是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴21
n
b n
=-.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
1
2323
2(21)(21)
n n
n n
n
n n
c
a b b n n
+
++
==
-+1
11
2
(21)2(21)2
n n
n n+
⎡⎤
=-
⎢⎥
-⋅+⋅
⎣⎦
，
∴
12231
1111111
2)1
12323252(21)2(21)2(21)2
n n n n
T
n n n
+
⎛
=-+-++-=- ⨯⨯⨯⨯-⋅+⋅+⋅
⎝。

【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
18.如图，在四棱锥P ABCD
-中，PA⊥平面ABCD，AB AD
⊥，AC CD
⊥，60
ABC
∠=︒，PA AB BC
==，E是PC的中点．
（1）求PB和平面PAD所成的角的大小．
（2）求二面角A PD C
--的正弦值．
【答案】（1）45︒（2）
14
4
【解析】
【分析】
（1）推导出PA AB
⊥．又AB AD
⊥，从而AB⊥平面PAD．进而APB
∠为PB和平面PAD 所成的角，由此能示出PB和平面PAD所成的角的大小．
（2）推导出PA CD
⊥，从而CD⊥平面PAC，进而AE⊥平面PCD．过点E作EM PD
⊥，
垂足为M ，连接AM ，则AME ∠是二面角A PD C --的平面角．由此能求出二面角
A PD C --的正弦值．
【详解】解：（1）在四棱锥P ABCD -中，∵PA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ，
∴PA AB ⊥．又AB AD ⊥，PA AD A ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ． 故PB 在平面PAD 内
的
射影为PA ，从而APB ∠为PB 和平面PAD 所成的角．
在Rt PAB 中，AB PA =，故45APB ∠=︒． 所以PB 和平面PAD 所成角的大小为45︒．
（2）在四棱锥P ABCD -中，∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA CD ⊥． 由条件AC CD ⊥，PA
AC A =，∴CD ⊥平面PAC ．
又∵AE ⊂平面PAC ，∴CD AE ⊥．由PA AB BC ==，60ABC ∠=︒，可得AC PA =． ∵E 是PC 的中点，∴PC AE ⊥．又∵CD PC C ⊥=，∴AE ⊥平面PCD ． 过点E 作EM PD ⊥，垂足为M ，连接AM ，如图所示．
∵AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，
∴AM PD ⊥．∴AME ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知∵30CAD ∠=︒，∴设1CD =， 则3PA AC ==
2AD =，6PC =7PD =
Rt PAC △中，16
2AE PC =
=
． 在Rt ADP 中，∵AM PD ⊥，∴••AM PD AP AD =，得21
7
AM =
． 在Rt AEM 中，14
sin AE AME AM ∠=
=
．
所以二面角A PD C --的正弦值为
14． 【点睛】本题考查线面角的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
19.已知椭圆22
:1(02)2x y C n n
+=<<.
（Ⅰ）若椭圆C 的离心率为
1
2
，求n 的值； （Ⅱ）若过点(2,0)N -任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，在x 轴上是否存在点M ，使得180NMA NMB ︒∠+∠=？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）3
2
;（Ⅱ）()1,0M -. 【解析】 【分析】
（1）由a 2=2，b 2=n ，所以c 2=2-n ，又1
2
c e a =
=，得n （2）若存在点M （m ，0），使得∠NMA+∠NMB=180°，
则直线AM 和BM 的斜率存在，分别设为k 1，k 2．等价于k 1+k 2=0．
依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y=k （x+2）．与椭圆方程联立，利用△＞0．求出．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），利用韦达定理，通过令12
12120y y k k x m x m
+=+=--，求出m ．
【详解】解：（1） 因为 22a =，2b n =，所以 22c n =-．
又 12c e a ==，所以有 2221
24
c n a -==，得 32n =．
（2）若存在点 (),0M m ，使得 180NMA NMB ∠+∠=， 则直线 AM 和 BM 的斜率存在， 分别设为 1k ，2k ，且满足 120k k +=．
依题意，直线 l 的斜率存在，故设直线 l 的方程为 ()2y k x =+．
由 ()222,1,2
y k x x y n ⎧=+⎪⎨+=⎪
⎩ 得 ()222228820k n x k x k n +++-=．
因为直线 l 与椭圆 C 有两个交点，所以 0∆>． 即 ()
()()
2
2
22842820k k n k n -+->，解得 22
n k <
． 设 ()11,A x y ，()22,B x y ，则 212282k x x k n +=-+，2122
822k n
x x k n
-=+， ()112y k x =+，()222y k x =+． 令 12
12120y y k k x m x m
+=
+=--，即 ()()12210x m y x m y -+-=， 即 ()()()()1221220x m k x x m k x -++-+=， 当 0k ≠ 时，()()12122240x x m x x m --+-=，
所以 ()
22
22828224022k n k m m k n k n -⨯+-⨯-=++，化简得，()2102n m k n
+=+，所以 1m =-． 当 0k = 时，检验也成立．
所以存在点 ()1,0M -，使得 180NMA NMB ∠+∠=．
【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，考查转化思想的应用，存在性问题的处理方法，考查分析问题解决问题的能力，属于难题
20.近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1．
附注：①对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u βα=+的斜率和截
距的最小二乘估计分别为()()
()
1
2
1
n
i
i i n
i
i u
u v v u
u β∧
==--=
-∑∑，ˆa v u β=-；
②参考数据： 2.9519.1e ≈， 1.75 5.75e ≈，0.55 1.73e ≈，0.650.52e -≈， 1.850.16e -≈． （Ⅰ）记“在2017年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在(8,16]”为事件A ，试估计A 的概率；
（Ⅱ）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中x （单位：年）表示二手车的使用时间，y （单位：万元）表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用
a bx y e +=作为二手车平均交易价格y 关于其使用年限x 的回归方程，相关数据如下表（表中ln i i Y y =，1
110n
i i Y Y ==
∑）
： x
y
Y
10
1
i i
i x y =∑
10
1
i i i x Y =∑
10
21
i
i x
=∑
5.5 8.7 1.9
301.4 79.75 385
①根据回归方程类型及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
②该汽车交易市场对使用8年以内（含8年）的二手车收取成交价格4%的佣金，对使用时间8年以上（不含8年）的二手车收取成交价格10%的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．
【答案】（1）0.40（2）① 3.550.3x y e ∧
-=，②0.29万元 【解析】 【分析】
（1）由频率分布直方图求得该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在(8,12]与
(12,16]的频率，作和估计A 的概率； （2）①由
ax b
y e +=得，ln y a bx =+，即 Y 关于 x 的线性回归方程为 ˆY
a bx =+．分别求得
b ∧
与a ∧
的值，则 Y 关于 x 的线性回归方程可求，进一步得到 Y 关于 x 的回归方程； ②根据①中求出的回归方程和图1，对成交的二手车在不同区间逐一预测，即可求得该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金．
【详解】解：（1）由题得，二手车使用时间在(8,12]的频率为0.0740.28⨯=， 在(12,16]的频率为0.0340.12⨯=， ∴()0.280.120.40P A =+=；
（2）①由题得，ln y a bx =+，即 Y 关于 x 的线性回归方程为ˆY
a bx =+． ∵10
12
102
1
1010i i i i i x Y x Y b x x
∧
==-⋅=
=
-∑∑2
79.7510 5.5 1.9
0.338510 5.5
-⨯⨯=--⨯， ˆ 1.9(0.3) 5.5 3.55a
Y b x ∧
=-⋅=--⨯=， ∴ Y 关于 x 的线性回归方程为ˆ 3.550.3Y x =-，即 Y 关于 x 的回归方程为 3.550.3x y e ∧
-=；
②根据①中的回归方程 3.550.3x y e ∧
-=和图1，对成交的二手车可预测：
使用时间在(0,4]的平均成交价格为 3.550.32 2.9519.1e e -⨯=≈，对应的频率为0.2； 使用时间在(4,8]的平均成交价格为 3.550.36 1.75 5.75e e ⋅⨯=≈，对应的频率为0.36； 使用时间在(8,12]的平均成交价格为 3.550.3100.55 1.73e e -⨯=≈，对应的频率为0.28； 使用时间在(12,16]平均成交价格为 3.550.3140.650.52e e -⨯-=≈，对应的频率为0.12； 使用时间在(16,20]的平均成交价格为 3.550.318 1.850.16e e -⨯-=≈，对应的频率为0.04． ∴该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为
(0.219.10.36 5.75)4%⨯+⨯⨯+
(0.28 1.730.120.520.040.16)10%0.290920.29⨯+⨯+⨯⨯=≈万元．
【点睛】本题考查回归方程的求法，考查计算能力，正确理解题意是关键，是中档题．
21.已知函数2
()ln 1f x x mx nx =+++的图象在1x =处的切线过点11,22⎛⎫
⎪⎝⎭
．
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）若函数()()1(0)g x f x x m =-++>有两个极值点1x ，2x ．证明：
()()1232ln 2g x g x +>-．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】
（Ⅰ）求出切线方程，代入点的坐标，求出n 的值，求出()f x 的解析式，求出导数，讨论m 的取值范围，写出函数单调区间即可（Ⅱ）求出函数的导数，结合二次函数的性质证明即可. 【详解】由题意()f x 的定义域是()0,∞+，()1
'2f x mx n x
=
++， 故()'112f m n =++，()11f m n =++，故切线方程是：()21y m n x m =++-，
又切线过11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
，故()112122m n m =++-，解得：0n =，故()2
ln 1f x x mx =++；
(Ⅰ()221
)'mx f x x +=，①当0m ≥时，()'0f x >，()f x 在()0,∞+递增，
②当0m <时，令()'0f x =，解得：x =x =舍)，
()f x 在⎛ ⎝递增，在∞⎫+⎪⎪⎭递减， 综上，0m ≥时，()f x 在()0,∞+递增，
0m <时，()f x 在⎛ ⎝递增，在∞⎫+⎪⎪⎭递减；
(Ⅱ)证明：()2
ln g x x mx x =--+，故()221
'mx x g x x
-+-=，
()g x 有两个极值点1x ，2x ，()'0g x ∴=即2210mx x -+=有2个相异实根1x ，2x ，
1212x x m ∴+=
，1212x x m =，180m =->即10,8m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， ()()12211
11ln
242g x g x m m m
m m ⎛⎫∴+=---+ ⎪⎝⎭ 1
ln 1ln24m m
=+
++， 令()1ln 4h m m m =+，()241'4m h m m -=，1
08m <<，()'0h m ∴<，
()h m ∴在10,8
⎛
⎫
⎪⎝
⎭
递减，()123ln28h m h ⎛⎫∴>=- ⎪⎝⎭
，()()1232ln2g x g x ∴+>-．
【点睛】本题主要考查了切线方程，函数的单调性，利用导数证明不等式问题，涉及分类讨论思想，属于难题.
22.已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为4x t
y =-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的
方程为
22(1)1x y +-=以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l 和曲线1C 的极坐标系方程； （2）曲线2C ：0,02πθαρα⎛
⎫
=><< ⎪⎝
⎭
分别交直线l 和曲线1C 交于A 、B ，求
22
OB OA +的最大值．
【答案】
40cos sin θρθ+-=,2sin ρθ=
【解析】 【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式转换为正弦型函数，进一步利用三角函数的性质求出结果．
【详解】解:(1)∵4y -=,∴直线l 的普通方程为40y +-=,
直线l 40cos sin θρθ+-=.
曲线C 1的普通方程为222x y y +=,
∵,2x cos y sin ρθρθ==
∴C 1的参数方程为: 2sin ρθ=
(2)直线l cos sin 40θρθ+-=，令a θ=，则
OA ρ==
所以2sin 2
a a OA += 又2sin ,sin 2
OB OB a a ==
∴2sin 3sin sin 22226OB a a a a a a OA π+⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎝
⎭ ∵02a π<<，∴2663
a πππ<+<
，
∴62a ππ+=时，即3a π=时，22OB OA +【点睛】本题主要考查把参数方程转化为普通方程，在引进参数和消去参数的过程中，要注意保持范围的一致性；在参数方求最值问题中，将动点的参数坐标，根据题设条件列出三角函数式，借助于三角函数的图象与性质，即可求最值，注意求最值时，取得的条件能否成立.
23.已知函数()|2|f x x =-．
（Ⅰ）求不等式()|1|f x x x <++的解集；
（Ⅱ）若函数5log [(3)()3]y f x f x a =++-的定义域为R ，求实数a 的取值范围．
【答案】（I ）1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
（II ）(,1)-∞
【解析】
【分析】
（I ）讨论x 的范围，去绝对值符号，解不等式；
（II ）求出(3)()3f x f x a ++-的最小值，令最小值大于零即可得出a 的范围．
【详解】解：（I ）由已知不等式()|1|f x x x <++，得|2||1|x x x -<++，
当2x ≥时，不等式为21x x x -<++，解得3x >-，所以2x ≥；
当12x -<<时，不等式为21x x x -<++，解得13x >，所以123
x <<； 当1x ≤-时，不等式为21x x x -<--，解得3x >，此时无解． 综上：不等式的解集为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
．
（II ）若5log [(3)()3]y f x f x a =++-的定义域为R ，则(3)()30f x f x a ++->恒成立． ∵|1||2|3|12|333x x a x x a a ++--≥+-+-=-，当且仅当[1,2]x ∈-时取等号． ∴330a ->，即1a <．
所以实数a 的取值范围是(,1)-∞．
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属于中档题．。