第八章 分布检验和拟合优度 检验

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其中 n ( x) S ( x) F0 ( x) 在零假设下, W 2 ,U 2 的分布和F0 ( x)的分布无关. 注: nD2 2 和 U 2 的渐近分布一样; 4nD2 2 和 两个独立的 W 2 统计量的和的渐近分布一样.
关于正态分布的一些其他检验和相应的R程序


S ( x)
i
n
针对上面三种检验,检验统计量分别为 :
D sup x ( F0 ( x) S ( x)) D sup x F0 ( x) S ( x) D sup x ( S ( x) F0 ( x))
在零假设下,统计量D的分布对于一切连续分布F0 ( x) 是一样的
min i ni
分 时,Q趋于 (k 1)
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例题
例8.3 某饭店想知道他的顾客用电话是否服从 Possion分布,在他们计算机上(n=908)获得一 个小时内打电话得数据:
打电话次数 相应的人数 0 1 2 3 490 334 68 16
15.04 15.36 14.57 14.53 15.57 14.69 15.37 14.66 14.52 15.41 15.34 14.28 15.01 14.76 14.38 15.87 13.66 14.97 15.29 14.95
按照设计要求，内径应该为15±0.2mm。 问题：检验一下这个数据是否来自均值为15，方差为0.04 的正态分布？
8.1 Kolmogrov-Smirnov单样本检验及一些正态性检验
设真实分布为F(x),假设问题：
F ( x) F0 ( x) H 0 : F ( x) F0 ( x) H1 : F ( x) F0 ( x) F ( x) F ( x) 0
令S(x)为该组数据的经验分布 一般来说，随机样本X1, X 2 ,, X n 的经验分布函数 定义为 #( X x)
0, x 0 P( nDn x) K ( x) (1) j exp(2 j 2 x 2 ), x 0 j
Cramer-von Mises类
2 W 2 n n ( x)dF ( x) 2
U n n ( x) n (t )dF (t ) dF ( x)
多项分布参数P的检验
检验问题: H0 : P P H1 : pi pi 0 , i 0 当n大时,多项分布的似然比检验统计量可用下面 k 的Pearson统计量近似: ( N np )2
Q
i 1
k
i
i0
npi 0Байду номын сангаас
上式也常被写为
在零假设下,当k>2, 布.
(Oi Ei )2 Q Ei i 1
第八章 分布检验和拟合优度 检验
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主要内容: 8.1 Kolmogrov-Smirnov单样本检验及一些正态 性检验 8.2 Kolmogrov-Smirnov两样本分布检验 2 8.3 Pearson 拟合优度检验
当拿到一列数据后，希望知道它的总体分布 是不是一个已知的分布，以便为下一步的统计决 策作准备。 核对某些方法对总体分布的条件是否满足 核对诸如随机数的产生等某些特殊的统计方法 是否符合要求。
8.3 Pearson 拟合优度检验
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一个随机变量X,无论是连续的还是离散的,都 可以用一系列的离散随机变量来近似. 把X的样本空间S划分为k个互不相交的部分 S1 ,..., Sk ,满足: ik1 Si S, Si S j (i j) 令 pi P( X Si ), i 1,..., k , P ( p1,..., pk ) 若抽取n个观测值,则X落在 S i 中的数目 Ni 服从一 个参数为(n,P)的多项分布,有 n! nk n1 P( N1 n1 ,..., N k nk ) p1 ... pk n1 !...nk !
例8.2现有13个非洲地区和15个欧洲地区地人均 酒精年消费量. 问题:这两个地区的酒精人均年消费量是否分布 相同?
检验过程
假定样本 1 来自G(y). 检验问题:
x ,..., xm来自F(x),而样本 y1,..., yn
F ( x) G ( x) H 0 : F ( x) G ( x ) H1 : F ( x ) G ( x ) F ( x) G ( x)
关于正态性检验的总结
对于正态性检验, Shapiro-Wilk检验表现最好. 在处理实际问题时,若需要检验正态性,应该避 2 免使用Kormogorov-Smirnov检验和Pearson 检验,应该常规地使用Shapiro-Wilk检验.

8.2 Kolmogrov-Smirnov两样本分布检验

Lilliefors(1967)提出的对Kormogorov-Smirnov 的修正. Anderson-Darling正态性检验 Cramer-von Mises正态性检验 Pearson 2 正态性检验 Shapiro-Francia正态性检验 Shapiro-Wilk 正态性检验
前面介绍了QQ图法，其最常用的是和正态分布比较。 样本x的分位数为其经验分布函数的逆函数，若把数 据列x的经验分位数点对一个已知分布的相应分位数点 画出散点图，则当x的经验分布类似于已知分布时，图 形就近似的形成一条斜率为1的直线，否则图形中部 就会较大的偏离这条直线。
例题
例8.1 在检验了一个车间生产的20个轴承外座圈的内径后 得到下列数据：
在实际运作中,若有n个观测值,则用下面的统 计量代替上面的D:
Dn max max( S ( xi ) F0 ( xi ) , S ( xi 1 ) F0 ( xi ) )
1 x n
上述统计量被称为Kormogorov统计量或者KormogorovSmirnov统计量.
在零假设下, D 的分布有表可查. n 在零假设下,当n充分大时,有
令Fm ( x)和 Gn ( y)表示这两个样本的经验分布,则 上面的第二个检验,实用的检验统计量为
DN max max i ( Fm ( xi ) Gn ( yi ) ), max j ( Fm ( x j ) Gn ( y j )
在零假设下, DN 有表可查.


大样本近似
0, x 0 mn lim P( DN x) (1) j exp(2 j 2 x 2 ), x 0 mn min( m , n ) j