初三数学二次函数的专项培优易错试卷练习题(含答案)及答案

初三数学二次函数的专项培优易错试卷练习题(含答案)及答案
一、二次函数
1．如图，已知抛物线y =x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C （0，－3），对称轴是直线x =1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；
（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限． ①当线段PQ =
3
4
AB 时，求tan ∠CED 的值； ②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为y =x 2－2x －3．（2）直线BC 的函数表达式为y =x －3．（3）①23．①P 1（122），P 2（16，74）． 【解析】 【分析】
已知C 点的坐标，即知道OC 的长，可在直角三角形BOC 中根据∠BCO 的正切值求出OB 的长，即可得出B 点的坐标．已知了△AOC 和△BOC 的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO 与OB 的比．由此可求出OA 的长，也就求出了A 点的坐标，然后根据A 、B 、C 三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式． 【详解】
（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴− 221
b
b
a -
⨯＝＝1 ∴b=-2
∵抛物线与y 轴交于点C （0，-3）， ∴c=-3，
∴抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3； （2）∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点， 当y=0时，x 2-2x-3=0．
∴x1=-1，x2=3．
∵A点在B点左侧，
∴A（-1，0），B（3，0）
设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m，
则
03
3
k m
m
＝
＝
+
⎧
⎨
-
⎩
，
∴
1
3 k
m
⎧
⎨
-⎩
＝
＝
∴直线BC的函数表达式为y=x-3；
（3）①∵AB=4，PQ=3
4 AB，
∴PQ=3
∵PQ⊥y轴∴PQ∥x轴，
则由抛物线的对称性可得PM=3
2
，
∵对称轴是直线x=1，∴P到y轴的距离是1
2
，
∴点P的横坐标为−1
2
，
∴P（−1
2，−
7
4
）
∴F（0，−7
4
），
∴FC=3-OF=3-7
4
=
5
4
∵PQ垂直平分CE于点F，
∴CE=2FC=5 2
∵点D在直线BC上，
∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），过点D作DG⊥CE于点G，
∴DG=1，CG=1，
∴GE=CE-CG=5
2
-1=
3
2
．
在Rt△EGD中，tan∠CED=
2
3 GD
EG
＝．
②P1（2，-2），P2（6
-
5
2
）．
设OE=a，则GE=2-a，
当CE为斜边时，则DG2=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），
∴1=1×（2-a），
∴a=1，
∴CE=2，
∴OF=OE+EF=2
∴F、P的纵坐标为-2，
把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：2或2∵点P在第三象限．
∴P1（2-2），
当CD为斜边时，DE⊥CE，
∴OE=2，CE=1，
∴OF=2.5，
∴P和F的纵坐标为：-5
2
，
把y=-5
2
，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1-
6
2
1+
6
2
∵点P在第三象限．
∴P2（6-5
2
）．
综上所述：满足条件为P1（2-2），P2（6
-
5
2
）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．
（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；
（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标；
（Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；（2）Q553）M （1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．
【解析】
【分析】
(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；
(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；
(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.
【详解】
（Ⅰ）设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，
∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，
令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，
解得x=﹣1或5，
∴A（﹣1，0），B（5，0）．
（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．
把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，
得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，
∴55
∴Q55
（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．
①当MK=OA ，NK=OC=5时，四边形ACNM 是平行四边形． ∵此时点M 的横坐标为1， ∴y=8，
∴M （1，8），N （2，13），
②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形， 此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）． 【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC 可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.
3．已知抛物线26y x x c =-++.
（1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围；
（Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N 两点，若25MN =C 的值； （Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ∆≅∆，求c 的取值范围.
【答案】（I ）9c -…；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是21
74
c -<< 【解析】 【分析】
(1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;
(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解; (3)由OPA OQB ∆≅∆可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解. 【详解】
解：（I ）∵抛物线2
6y x x c =-++与x 轴有交点，
∴一元二次方程260x x c -++=有实根。

240b ac ∴∆=-…，即264(1)0c -⨯-⨯…
.解得9c -… （Ⅱ）根据题意，设()()1122,21,,21M x x N x x ++
由2621
y x x c y x ⎧=-++⎨=+⎩，消去y ，得2410x x c -+-= ①. 由2
(4)4(1)1240c c ∆=---=+>，得3c >-. ∴方程①的解为1223,
23x c x c =-+=++
()()()()2
2
2
21212122121520(3)MN x x x x x x c ∴=-++-+=-=+⎡⎤⎣⎦ 20(3)20c ∴+=，解得2c =-
（Ⅲ）设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，且0,
0,m n m n >>≠，
2266m m c n n n c m
⎧-++=∴⎨-++=⎩，两式相减，得227()0n m m n -+-=，即()(7)0m n m n -+-= 7m n ∴+=，即7n m =-
2770m m c ∴-+-=，其中07m <<
由0∆…
，即2
74(1)(7)0c -⨯-⨯-…，得21
4
c -…. 当214c =-
时，7
2
m n ==，不合题意。

又70c ->，得7c <. ∴c 的取值范围是21
74
c -<< 【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式，数形结合思想的应用及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．
4．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的 日销售量(件)与时间(天)的关系如下表： 时间(天) 1 3 6 10 36 … 日销售量(件)
94
90
84
76
24
…
未来40天内，前20天每天的价格y 1(元/件)与t 时间(天)的函数关系式为：y 1=t+25(1≤t≤20且t 为整数)；后20天每天的价格y 2(原/件)与t 时间(天)的函数关系式为：y 2=—t+40(21≤t≤40且t 为整数).下面我们来研究 这种商品的有关问题.
(1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；
(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？
(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润(a ＜4)给希望工程，
公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围.
【答案】（1）y=﹣2t+96；（2）当t=14时，利润最大，最大利润是578元；（3）3≤a＜4．
【解析】
分析：（1）通过观察表格中的数据日销售量与时间t是均匀减少的，所以确定m与t是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；
（2）根据日销售量、每天的价格及时间t可以列出销售利润W关于t的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质求出a的取值范围．
详解：（1）设数m=kt+b，有,解得
∴m=-2t+96，经检验，其他点的坐标均适合以上
析式故所求函数的解析式为m=-2t+96．
（2）设日销售利润为P，
由P=（-2t+96）=t2-88t+1920=（t-44）2-16，
∵21≤t≤40且对称轴为t=44，
∴函数P在21≤t≤40上随t的增大而减小，
∴当t=21时，P有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元），
答：来40天中后20天，第2天的日销售利润最大，最大日销售利润是513元.
（3）P1=（-2t+96）
=-+（14+2a）t+480-96n，
∴对称轴为t=14+2a，
∵1≤t≤20，
∴14+2a≥20得a≥3时，P1随t的增大而增大，
又∵a＜4，
∴3≤a＜4．
点睛：解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式，并会根据图示得出所需要的信息．同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系，利用不等式组求解．
5．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°，对角线AC，BD相交于点O，动点P 从点A出发，以4cm/s的速度，沿A→B的路线向点B运动；过点P作PQ∥BD，与AC相交于点Q，设运动时间为t秒，0＜t＜5．
（1）设四边形PQCB 的面积为S ，求S 与t 的关系式；
（2）若点Q 关于O 的对称点为M ，过点P 且垂直于AB 的直线l 交菱形ABCD 的边AD （或CD ）于点N ，当t 为何值时，点P 、M 、N 在一直线上？
（3）直线PN 与AC 相交于H 点，连接PM ，NM ，是否存在某一时刻t ，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) S=﹣231003t +0＜t ＜5）； (2) 30
7
;(3)见解析. 【解析】 【分析】
（1）如图1，根据S=S △ABC -S △APQ ，代入可得S 与t 的关系式；
（2）设PM=x ，则AM=2x ，可得3，计算x 的值，根据直角三角形30度角的性质可得3
AM=AO+OM ，列方程可得t 的值； （3）存在，通过画图可知：N 在CD 上时，直线PN 平分四边形APMN 的面积，根据面积相等可得MG=AP ，由AM=AO+OM ，列式可得t 的值． 【详解】
解：（1）如图1，∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABD=∠DBC=1
2
∠ABC=60°，AC ⊥BD ， ∴∠OAB=30°， ∵AB=20，
∴OB=10，3 由题意得：AP=4t ， ∴PQ=2t ，3， ∴S=S △ABC ﹣S △APQ ， =11··22
AC OB PQ AQ -， =
11
1020322322
t t ⨯⨯⨯⨯ ， =﹣323（0＜t ＜5）； （2）如图2，在Rt △APM 中，AP=4t ，
∵点Q 关于O 的对称点为M ， ∴OM=OQ ， 设PM=x ，则AM=2x ， ∴AP=3x=4t ， ∴x=
3
， ∴AM=2PM=
3
， ∵AM=AO+OM ，
∴3
=103+103﹣23t ，
t=
307
； 答：当t 为
30
7
秒时，点P 、M 、N 在一直线上； （3）存在，
如图3，∵直线PN 平分四边形APMN 的面积， ∴S △APN =S △PMN ，
过M 作MG ⊥PN 于G ，
∴
11··22PN AP PN MG ， ∴MG=AP ，
易得△APH ≌△MGH ，
∴3
，
∵AM=AO+OM ，
同理可知：3﹣3，
3
333t ， t=
3011
． 答：当t 为
30
11
秒时，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积．
【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.
6．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或
41
2
或
5-41 2；②点M的坐标为（
13
6
，﹣
17
6
）或（
23
6
，﹣
7
6
）．
【解析】
分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到
∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以2，接着根据平行四边形的
性质得到
，PQ ⊥BC ，作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，利用∠PDQ=45°得到
PQ=4，设P （m ，-m 2+6m-5），则D （m ，m-5），讨论：当P 点在直线BC 上方时，PD=-m 2+6m-5-（m-5）=4；当P 点在直线BC 下方时，PD=m-5-（-m 2+6m-5），然后分别解方程即可得到P 点的横坐标；
②作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM 1B=2∠ACB ，再确定N （3，-2）， AC 的解析式为y=5x-5，E 点坐标为（
12，-52），利用两直线垂直的问题可设直线EM 1的解析式为y=-15x+b ，把E （12，-52）代入求出b 得到直线EM 1的解析式为y=-15x-125
，则解方程组511255y x y x -⎧⎪⎨--⎪⎩
＝＝得M 1点的坐标；作直线BC 上作点M 1关于N 点的对称点M 2，如图2，利用对称性得到∠AM 2C=∠AM 1B=2∠ACB ，设M 2（x ，x-5），根据中点坐标公式
得到3=13+62
x ，然后求出x 即可得到M 2的坐标，从而得到满足条件的点M 的坐标．
详解：（1）当x=0时，y=x ﹣5=﹣5，则C （0，﹣5），
当y=0时，x ﹣5=0，解得x=5，则B （5，0），
把B （5，0），C （0，﹣5）代入y=ax 2+6x+c 得
253005a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得15
a b =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；
（2）①解方程﹣x 2+6x ﹣5=0得x 1=1，x 2=5，则A （1，0），
∵B （5，0），C （0，﹣5），
∴△OCB 为等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵AM ⊥BC ，
∴△AMB 为等腰直角三角形，
∴
AM=2
AB=2
， ∵以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，AM ∥PQ ，
∴
PQ ⊥BC ，
作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，则∠PDQ=45°，
∴PD=2PQ=2×22=4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，当P点在直线BC下方时，
PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=5+41
2
，m2=
5-41
2
，
综上所述，P点的横坐标为4或5+41
或
5-41
；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1，
∴∠AM1B=2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH=BH=NH=2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（1
2
，﹣
5
2
，
设直线EM1的解析式为y=﹣1
5
x+b，
把E（1
2
，﹣
5
2
）代入得﹣
1
10
+b=﹣
5
2
，解得b=﹣
12
5
，
∴直线EM1的解析式为y=﹣1
5x﹣
12
5
解方程组
5
112
55
y x
y x
=-
⎧
⎪
⎨
=--
⎪⎩
得
13
6
17
6
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，则M1（
13
6
，﹣
17
6
）；
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），
∵3=13
+ 6
2
x
∴x=23
6
，
∴M2（23
6，﹣
7
6
）.
综上所述，点M的坐标为（13
6
，﹣
17
6
）或（
23
6
，﹣
7
6
）．
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
7．若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．
(1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；
(2)若M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三点均在函数y＝k
x
(k为常数，k≠0)的图象上，且这
三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；
(3)若直线y＝2bx+2c(bc≠0)与x轴交于点A(x1，0)，与抛物线y＝ax2+3bx+3c(a≠0)交于B(x2，y2)，C(x3，y3)两点．
①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；
②若a＞2b＞3c，x2＝1，求点P(c
a
，
b
a
)与原点O的距离OP的取值范围．
【答案】(1)不能，理由见解析；(2)t的值为﹣4、﹣2或2；(3)①证明见解析；
≤OP
＜2
且OP≠1． 【解析】
【分析】
（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；
（2）把M 、N 、R 三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t 和k 分别表示出y 1、y 2、y 3，再由和谐三组数的定义可得到关于t 的方程，可求得t 的值；
（3）①由直线解析式可求得x 1＝﹣c b
，联立直线和抛物线解析式消去y ，利用一元二次方程根与系数的关系可求得x 2+x 3＝﹣b a ，x 2x 3＝c a
，再利用和谐三数组的定义证明即可；②由条件可得到a+b+c ＝0，可得c ＝﹣(a+b)，由a ＞2b ＞3c 可求得
b a 的取值范围，令m ＝b a
，利用两点间距离公式可得到OP 2关于m 的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP 2的取值范围，从而可求得OP 的取值范围．
【详解】
（1）不能，理由如下：
∵1、2、3的倒数分别为1、
12、13， ∴12+13≠1，1+12≠13，1+13≠12
， ∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”； （2）∵M(t ，y 1)，N(t+1，y 2)，R(t+3，y 3)三点均在函数
k x (k 为常数，k≠0)的图象上， ∴y 1、y 2、y 3均不为0，且y 1＝
k t ，y 2＝1k t +，y 3＝3k t +， ∴11y ＝t k ，21y ＝1t k +，3
1y ＝3t k +， ∵y 1，y 2，y 3构成“和谐三组数”，
∴有以下三种情况： 当11y ＝21y +31y 时，则t k ＝1t k ++3t k
+，即t ＝t+1+t+3，解得t ＝﹣4； 当21y ＝11y +31y 时，则1t k +＝t k +3t k
+，即t+1＝t+t+3，解得t ＝﹣2； 当31y ＝11y +21y 时，则3t k +＝t k +1t k
+，即t+3＝t+t+1，解得t ＝2； ∴t 的值为﹣4、﹣2或2；
（3）①∵a 、b 、c 均不为0，
∴x 1，x 2，x 3都不为0，
∵直线y ＝2bx+2c(bc≠0)与x 轴交于点A(x 1，0)，
∴0＝2bx 1+2c ，解得x 1＝﹣c b
， 联立直线与抛物线解析式，消去y 可得2bx+2c ＝ax 2+3bx+3c ，即ax 2+bx+c ＝0，
∵直线与抛物线交与B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)两点，
∴x 2、x 3是方程ax 2+bx+c ＝0的两根，
∴x 2+x 3＝﹣b a ，x 2x 3＝c a
， ∴21x +31x ＝2323x x x x +＝b a c a
-＝﹣b c ＝11x ， ∴x 1，x 2，x 3构成“和谐三组数”；
②∵x 2＝1，
∴a+b+c ＝0，
∴c ＝﹣a ﹣b ，
∵a ＞2b ＞3c ， ∴a ＞2b ＞3(﹣a ﹣b)，且a ＞0，整理可得253a b b a >⎧⎨
>-⎩，解得﹣35＜b a ＜12， ∵P(c a ，b a
)， ∴OP 2＝(
c a )2+(b a )2＝(a b a --)2+(b a )2＝2(b a )2+2b a +1＝2(b a +12)2+12， 令m ＝b a ，则﹣35＜m ＜12且m≠0，且OP 2＝2(m+12)2+12
， ∵2＞0，
∴当﹣35＜m ＜﹣12时，OP 2随m 的增大而减小，当m ＝﹣35时，OP 2有最大临界值1325，当m ＝﹣
12时，OP 2有最小临界值12， 当﹣
12＜m ＜12时，OP 2随m 的增大而增大，当m ＝﹣12时，OP 2有最小临界值12，当m ＝
12时，OP 2有最大临界值52， ∴12≤OP 2<52
且OP 2≠1， ∵P 到原点的距离为非负数，
∴2≤OP＜10
2
且OP≠1．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识．在(1)中注意利用和谐三数组的定义，在(2)中由和谐三数组得到关于t的方程是解题的关键，在(3)①中用a、b、c分别表示出x1，x2，x3是解题的关键，在(3)②中把OP2表示成二次函数的形式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．
8．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．
（1）直接写出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；
（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y 轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+1；（2）-3；（3）当2﹣1时，点P的坐标为（02）
和（0，22
3
）；当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．
【解析】
【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A（0，1）利用待定系数法进行求解可即得；
（2）根据直线y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出
BG=2，由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=1
2
BG•x N﹣
1
2
BG•x M=1得出x N﹣x M=1，联立直线和抛物线
解析式求得
2
28
k k
-±-
，根据x N﹣x M=1列出关于k的方程，解之可得；
（3）设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出
关于t 与m 的方程，利用符合条件的点P 恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．
【详解】（1）由题意知
()1211b c ⎧-=⎪⨯-⎨⎪=⎩
，解得：21b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线L 的解析式为y=﹣x 2+2x+1；
（2）如图1，设M 点的横坐标为x M ，N 点的横坐标为x N ，
∵y=kx ﹣k+4=k （x ﹣1）+4，
∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G 坐标为（1，4），
∵y=﹣x 2+2x+1=﹣（x ﹣1）2+2，
∴点B （1，2），
则BG=2，
∵S △BMN =1，即S △BNG ﹣S △BMG =
12BG•（x N ﹣1）-12
BG•（x M -1）=1， ∴x N ﹣x M =1， 由2421
y kx k y x x =-+⎧⎨=--+⎩得：x 2+（k ﹣2）x ﹣k+3=0， 解得：()
()22243k k k -±---=2282
k k -±-， 则x N 228k k -+-、x M 228k k --- 由x N ﹣x M =128k -，
∴k=±3，
∵k ＜0，
∴k=﹣3；
（3）如图2，
设抛物线L 1的解析式为y=﹣x 2+2x+1+m ，
∴C （0，1+m ）、D （2，1+m ）、F （1，0），
设P （0，t ），
（a ）当△PCD ∽△FOP 时，
PC FO CD OP =， ∴112m t t
+-=， ∴t 2﹣（1+m ）t+2=0①； (b)当△PCD ∽△POF 时，
PC PO CD OF =， ∴121
m t t +-=， ∴t=
13（m+1）②； （Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，
△=（1+m ）2﹣8=0，
解得：21（负值舍去），
此时方程①有两个相等实数根t 1=t 22，
方程②有一个实数根22， ∴2﹣1，
此时点P 的坐标为（02）和（0，223
）； （Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得：
19（m+1）2﹣13
（m+1）+2=0， 解得：m=2（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根t 1=1、t 2=2，
方程②有一个实数根t=1，
∴m=2，此时点P 的坐标为（0，1）和（0，2）；
综上，当m=22﹣1时，点P 的坐标为（0，2）和（0，
223
）； 当m=2时，点P 的坐标为（0，1）和（0，2）． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及到待定系数法求函数解析式、割补法求三角形的面积、相似三角形的判定与性质等，（2）小题中根据三角形BMN 的面积求得点N 与点M 的横坐标之差是解题的关键；（3）小题中运用分类讨论思想进行求解是关键．
9．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A ，与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为(1,0)-．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P ，使PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916
？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2y x 2x 3=-++ （2）最大值为10
（3）故点P 坐标为：315(,)24或33232(24+--或332362(,24
--+． 【解析】
【分析】
（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式，即可求解； （2）矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，即可求解； （3）2711sin4532822PNC S PK CD PH ∆=
=⨯⨯=⨯⨯︒⨯94
PH HG ==，即可求解．
【详解】
（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，
将点B 的坐标代入上式得：044a =+，解得：1a =-，
故函数表达式为：223y x x =-++…①；
（2）设点M 的坐标为()2,23x x x -++，则点()22,23N x x x --++，
则222MN x x x =-+=-，223GM x x =-++，
矩形MNHG 的周长()()
2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++， ∵20-<，故当22b x a =-=，C 有最大值，最大值为10， 此时2x =，点()0,3N 与点D 重合；
（3）PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的
916， 则99272316168
PNC S MN GM ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 连接DC ，在CD 得上下方等距离处作CD 的平行线m 、n ，
过点P 作y 轴的平行线交CD 、直线n 于点H 、G ，即PH GH =，
过点P 作PK CD ⊥于点K ，
将()3,0C 、()0,3D 坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD 的表达式为：3y x =-+，
OC OD =，∴45OCD ODC PHK ∠=∠=︒=∠，32CD =
设点()
2,23P x x x -++，则点(),3H x x -+， 2711sin4532822
PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯ 解得：94
PH HG ==， 则292334PH x x x =-+++-=
， 解得：32
x =， 故点315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
直线n 的表达式为：93344y x x =-+-=-+…②， 联立①②并解得：3322
x ±=， 即点'P 、''P 的坐标分别为332362,⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭、332362,⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭
； 故点P 坐标为：315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或332362,24⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭或332362,24⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
10．如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当12
MQ NQ =时，求t 的值；
（3）如图②，连接AM 交BC 于点D ，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值．
【答案】（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）t 的值为
12
；（3）当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或t 2﹣1．
【解析】
【分析】
（1）求直线y=-x+4与x 轴交点B ，与y 轴交点C ，用待定系数法即求得抛物线解析式． （2）根据点B 、C 坐标求得∠OBC=45°，又PE ⊥x 轴于点E ，得到△PEB 是等腰直角三角形，由2PB =
求得BE=PE=t ，即可用t 表示各线段，得到点M 的横坐标，进而用m 表
示点M 纵坐标，求得MP 的长．根据MP ∥CN 可证MPQ NCQ V V ∽，故有
12
MP MQ NC NQ ＝＝，把用t 表示的MP 、NC 代入即得到关于t 的方程，求解即得到t 的值． （3）因为不确定等腰△PDM 的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP ，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP ，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME ，把含t 的式子代入并解方程即可；③若MP=DP ，则∠PMD=∠PDM ，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF 进而得CF=CD ．用t 表示M 的坐标，求直线AM 解析式，求得AM 与y 轴交点F 的坐标，即能用t 表示CF 的长．把直线AM 与直线BC 解析式联立方程组，解得x 的值即为点D 横坐标．过D 作y 轴垂线段DG ，得等腰直角△CDG ，用DG 即点D 横坐标，进而可用t 表示CD 的长．把含t 的式子代入CF=CD ，解方程即得到t 的值．
【详解】
（1）直线y ＝﹣x +4中，当x ＝0时，y ＝4
∴C （0，4）
当y ＝﹣x +4＝0时，解得：x ＝4
∴B （4，0）
∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点
∴1640004b c c -++=⎧⎨++=⎩ 解得：34b c =⎧⎨=⎩
∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+3x +4
（2）∵B （4，0），C （0，4），∠BOC ＝90°
∴OB ＝OC
∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°
∵ME ⊥x 轴于点E ，PB
t
∴∠BEP ＝90°
∴Rt △BEP 中，2PE sin PBE PB ∠=＝
∴2
BE PE PB t ＝＝＝， ∴4M P P x x OE OB
BE t y PE t ＝＝＝﹣＝﹣，＝＝ ∵点M 在抛物线上
∴2243445M y t t t t +++＝﹣（﹣
）（﹣）＝﹣， ∴24M
P MP y y t t +＝﹣＝﹣ ， ∵PN ⊥y 轴于点N
∴∠PNO ＝∠NOE ＝∠PEO ＝90°
∴四边形ONPE 是矩形
∴ON ＝PE ＝t
∴NC ＝OC ﹣ON ＝4﹣t
∵MP ∥CN
∴△MPQ ∽△NCQ ∴12MP MQ NC NQ == ∴24142
t t t -+=- 解得：12142t t ＝，＝（点P 不与点C 重合，故舍去）
∴t 的值为12
（3）∵∠PEB ＝90°，BE ＝PE
∴∠BPE ＝∠PBE ＝45°
∴∠MPD ＝∠BPE ＝45°
①若MD ＝MP ，则∠MDP ＝∠MPD ＝45°
∴∠DMP ＝90°，即DM ∥x 轴，与题意矛盾
②若DM ＝DP ，则∠DMP ＝∠MPD ＝45°
∵∠AEM ＝90°
∴AE ＝ME
∵y ＝﹣x 2+3x +4＝0时，解得：x 1＝﹣1，x 2＝4
∴A （﹣1，0）
∵由（2）得，x M ＝4﹣t ，ME ＝y M ＝﹣t 2+5t
∴AE ＝4﹣t ﹣（﹣1）＝5﹣t
∴5﹣t ＝﹣t 2+5t
解得：t 1＝1，t 2＝5（0＜t ＜4，舍去）
③若MP ＝DP ，则∠PMD ＝∠PDM
如图，记AM 与y 轴交点为F ，过点D 作DG ⊥y 轴于点G
∴∠CFD ＝∠PMD ＝∠PDM ＝∠CDF
∴CF ＝CD
∵A （﹣1，0），M （4﹣t ，﹣t 2+5t ），设直线AM 解析式为y ＝ax +m
∴()2045a m a t m t t -+=⎧⎨-+=-+⎩
解得：a t m t =⎧⎨=⎩ ， ∴直线AM ：y tx t +＝
∴F （0，t ）
∴CF ＝OC ﹣OF ＝4﹣t
∵tx +t ＝﹣x +4，解得：41t x t -=+， ∴41
D x t t DG -=+＝＝， ∵∠CGD ＝90°，∠DCG ＝45°
∴()2421t CD DG t -+＝＝
， ∴()2441
t t t -+﹣＝ 解得：21t ＝﹣
综上所述，当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或21t ＝﹣．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．
11．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y 轴交于点C
.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、 Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ.
①若点P 的横坐标为12
-，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标； ②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.
【答案】（1）抛物线y=-x 2+2x+3；（2）①点D （ 31524
，）；②△PQD 面积的最大值为8
【解析】
分析：（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）（I）由点P的横坐标可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐
标为（x，-x+5
4
），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ=-
2x2+6x+7
2
，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，进而可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E 的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
详解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：
30
9330
a b
a b
-+
⎧
⎨
++
⎩
＝
＝
，解得：
1
2
a
b
-
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3．
（2）（I）当点P的横坐标为-
1
2
时，点Q的横坐标为
7
2
，
∴此时点P的坐标为（-
1
2
，
7
4
），点Q的坐标为（
7
2
，-
9
4
）．
设直线PQ的表达式为y=mx+n，
将P（-
1
2
，
7
4
）、Q（
7
2
，-
9
4
）代入y=mx+n，得：
17
24
79
24
m n
m n
⎧
-+
⎪⎪
⎨
⎪+-
⎪⎩
＝
＝
，解得：
1
5
4
m
n
-
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
＝
＝
，
∴直线PQ的表达式为y=-x+5
4
．
如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，
设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+
5
4
），
∴DE=-x 2+2x+3-（-x+
54）=-x 2+3x+74， ∴S △DPQ =12
DE•（x Q -x P ）=-2x 2+6x+72=-2（x-32）2+8． ∵-2＜0，
∴当x=32时，△DPQ 的面积取最大值，最大值为8，此时点D 的坐标为（32，154）． （II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，
∴点P 的坐标为（t ，-t 2+2t+3），点Q 的坐标为（4+t ，-（4+t ）2+2（4+t ）+3）， 利用待定系数法易知，直线PQ 的表达式为y=-2（t+1）x+t 2+4t+3．
设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3）， ∴DE=-x 2+2x+3-[-2（t+1）x+t 2+4t+3]=-x 2+2（t+2）x-t 2-4t ，
∴S △DPQ =
12
DE•（x Q -x P ）=-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t=-2[x-（t+2）]2+8． ∵-2＜0，
∴当x=t+2时，△DPQ 的面积取最大值，最大值为8． ∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ 面积有最大值，面积的最大值为8．
点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I ）利用三角形的面积公式找出S △DPQ =-2x 2+6x+72
；（II ）利用三角形的面积公式找出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ．
12．如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+．
①求抛物线的解析式．
②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值．
③过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．
【答案】①265y x x =-+-；②当2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22③点
N 的横坐标为：4541+541-． 【解析】
【分析】 ①点B 、C 在直线为y x n =+上，则B （﹣n ，0）、C （0，n ），点A （1，0）在抛物线
上，所以250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩
，解得1a =-，6b =，因此抛物线解析式：
265y x x =-+-；
②先求出点P 到BC 的高h 为2sin 45)BP t ︒=-，于是21122)22)2222PBE S BE h t t t ∆=⋅=-⨯=-+2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22
③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，所以点A 到直线BC 的距离22d =N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设()
2,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -，易证△PQN 为等腰直角三角形，即22NQ PQ ==4PN =，Ⅰ．4NH HP +=，所以265(5)4m m m -+---=解得11m =（舍去），24m =，Ⅱ．4NH HP +=，()25654m m m ---+-=解得15412
m =，25412m =（舍去），Ⅲ．4NH HP -=，()265[(5)]4m m m --+----=，解得15412m =
（舍去），25412
m =
． 【详解】
解：①∵点B 、C 在直线为y x n =+上，
∴B （﹣n ，0）、C （0，n ），
∵点A （1，0）在抛物线上，
∴250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩
，
∴1a =-，6b =，
∴抛物线解析式：265y x x =-+-；
②由题意，得，
4PB t =-，2BE t =，
由①知，45OBC ︒∠=，
∴点P 到BC 的高h
为sin 45(4)2BP t ︒=
-，
∴211)22)22PBE S BE h t t t ∆=⋅=-⨯=-+ 当2t =时，△PBE
的面积最大，最大值为
③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，
∴点A 到直线BC
的距离d =
过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．
设()2,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -，
易证△PQN
为等腰直角三角形，即NQ PQ ==
∴4PN =，
Ⅰ．4NH HP +=，
∴265(5)4m m m -+---=
解得11m =，24m =，
∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
∴4m =；
Ⅱ．4NH HP +=，
∴()25654m m m ---+-=
解得1m =
，2m = ∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
5m >，
∴m =， Ⅲ．4NH HP -=，
∴()265[(5)]4m m m --+----=， 解得1541m +=，2541m -=， ∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
0m <， ∴541m -=， 综上所述，若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为：4或5412+或5412
-． 【点睛】
本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．
13．如图甲，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．
【答案】（1）y=x 2﹣4x+3；（2）（2，
）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E 点坐标为（，）时，△CBE 的面积最大．
【解析】
试题分析：（1）由直线解析式可求得B 、C 坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由抛物线解析式可求得P 点坐标及对称轴，可设出M 点坐标，表示出MC 、MP 和PC 的长，分MC=MP 、MC=PC 和MP=PC 三种情况，可分别得到关于M 点坐标的方程，可求得M 点的坐标；
（3）过E 作EF ⊥x 轴，交直线BC 于点F ，交x 轴于点D ，可设出E 点坐标，表示出F 点的坐标，表示出EF 的长，进一步可表示出△CBE 的面积，利用二次函数的性质可求得其取得。