剩余定理及其应用

拟采用
的研究
思 路
（方法、
技术路
线、可
行性论
证等）
论文主要研究方法：
文献分析法：收集该方面的文献资料进行研究分析该课题的现状，并从中引出自己的观点。
归纳法：通过分析课题在各方面的研究进行归纳总结。
案例分析法：根据典型的例子进行分析研究，加强例题的严谨性，从而得到自己的结果。
研究工
作安排
及进度
2019年5月1日到2019年5月25日:选题
2019.6.20
6
确定终稿并提交论文答辩申请
2020.3.18-2020.4.30
3
完成论文初稿
2019.10.21-2019.11.20
7
学位论文答辩
2020.5
4
修改论文
2019.11.28-2019.12.10
8
任务下达人签字
年月日
任务接受人签字
年月日
教研室主任签字
年月日
题目名称
剩余定理及其应用研究
2019年5月26日到2019年6月10日:搜集相关课题的文献，准备开题报告
2019年6月10日到2019年6月20日:提交开题报告
2019年6月21日到2019年10月15:研究文献，准备撰写论文
2019年10月21日到2019年11月20日:撰写论文
2019年11月28日到2019年12月10日:修改论文
主要研
究内容
和目标
主要研究内容：
论文是在查阅、分析资料上，主要从以下几个方面进行研究：
1.剩余定理的定义、证明、要求及剩余定理作用的研究；
2.剩余定理在一组“两两不互素”正整数情况下如何解决问题；
3标：
论文以剩余定理为基础，归纳总结剩余定理在纯数学上不同类型的应用，并拓展如何运用将剩余定理简单化，快速准确的解决“同余”问题。探究在一组“两两不互素”正整数的条件下的同余方程组且系数为1，怎样用剩余定理来解决，而在此之前是用计算机编程来解决这类问题，通过探究给出具体解法过程。
5.开题报告、毕业论文等的格式、字体、排版、打印必须严格按照学校的规定进行设计。
进度
安排
序号
工作任务
起止日期
序号
工作任务
起止日期
1
论文选题
2019.5.1-
2019.5.25
5
修改论文、中期检查、英文摘要校对、重复率检测
2019.12.16-2020.3.5
2
撰写任务书、开题报告，参加开题答辩
2019.5.26-
随着现代科学技术的发展，“剩余定理”特别是其理论，在计算机软硬件技术、数字通讯技术、编写等诸多领域得到应用，还因为“剩余定理”的实用性比较强，从古至今流传的也比较广，在推广普及上有独特的优势，对于基础教育、培养学生的数学性质，锻炼逻辑思维能力和空间想象能力等方面是有益的。
鉴于剩余定理的重要性，许多学者开展了与剩余定理紧密相关的研究。如：1987年，在北京师范大学召开了“秦久韶《数书九章》成书740周年纪念暨学术研讨国际会议”。由于这是国际上的第一次专题性会议，因此，关注度很高，报告内容有秦久韶生平事迹、学术成就等，其中对大衍求一术、上元积年的推算等问题深入探讨.由此可见对同余式解法的重视。1988年，沈康身在《剩余定理的历史发展》中提到在国外印度学家阿耶波多的库塔卡七世纪的数学家婆罗摩笈多和九世纪裴波那契等都对一次同余问题进行研究。论述了剩余定理的历史发展，分析比较了印度、日本、欧洲等国的情况，表明中国古代在解一次同余方程组的问题上，不但时间遥遥领先，而且在理论和方法上也有光辉而独特的成就。2003年第三版闵嗣鹤、严士健的《初等数论》和2001年潘承洞、潘承彪的《简明数论》都写到了剩余定理，都是以《孙子算经》的“物不知数”问题引出定理及证明，还例举了一些经典例题，让人们学习到了剩余定理的精髓之处，用一首诗歌来使人们更容易记作剩余定理。2005年，曲安京的《中国历法与数学》探讨的是中国古代历法中天文常数与算法的构造机理及其数学思想.里面详细介绍了秦久韶对同余方程组计算中国历法的不足改进，即用剩余定理解决。2010年，杨天标在《孙子定理的推广》也提到了中国南北朝时期的数学文献《孙子算经》在世界上享有盛誉，其中的“物不知数”问题及解法被称为剩余定理，它的出现早于德国数学家高斯所提出的同类定理约一千五百年。2013年，山世光把等差数列与剩余定理想结合，在《等差数列前 项和定理的几个推广定理及其运用》中具体写出哪一类型能用剩余定理。2016年，王鹏飞写的《古算题“物不知数”算法赏析》中是结合了教材古算题“韩信点兵”算法比较分析，对“物不知数”程大位歌诀进行了解析，说明了“物不知数”题与“剩余定理”的关系，通过算法赏析进一步明晰了寻找算法的基本步骤。
2019年12月16日到2020年3月5日：中期检查，英文摘要校对，检测论文的重复率
2020年3月18日到2020年4月30：提交正式论文和答辩申请
2020年5月：学位论文答辩
研究类别
B
A.基础研究 B.应用研究 C.基础教育教学改革与实践 D.其他研究
选题来源
A
A.自拟题目 B.教师命题 C.教师科研子课题D.其他研究
选题
背景与
意义
选题背景
在生活中，人们往往忘记在自己周围的数学，认为数学只有在“数字”上才体现出来。其实数学和我们的生活是融合在一起的，只是人们没有去想哪些属于数学，而生活中的数学就是各种活动中的数学问题，实际上生活中充满了各种数学问题.像玩游戏组队，它可能会多出来几个人但这几个人又不够组一个组的，而“多出来的人”我们在数学上称为“余数”。生活中有很多这样类似的，如果人数少，我们可以直接用数数的方法就可以，而若像“韩信点兵”那么多的人，我们就要用剩余定理来解决，做什么事我们都希望用最简便的方法来做，没有哪个人是愿意去简留繁。为了以后遇到同样的问题能够更快更准确的写出来，因此想到了总结剩余定理及应用。
论文的要求
1.查阅与课题相关的文献资料，明确本论文主要研究的内容；
2.论文各个部分要具备提出问题、分析问题、解决问题的框架结构，行文中心突出，内容充实，论据充分，论证有力，结构紧凑，层次分明，结论正确，字数不少于6000字；
3.论文写作应遵守学术规范，不能抄袭，引用他人成果要标明出处；
4.根据进度按时完成开题报告、毕业论文初稿和终稿的撰写工作；
2.现实意义
剩余定理是一个高级的定理，在小学阶段我们就已经接触过，只是叫法不一样，之后也一直运用该定理，而且其在生活中运用广泛，与人们的实际生活紧密相关，通过学习剩余定理能让学生更好的运用其来解决“同余问题”。
文献综述
剩余定理是中国古代史上最完美和最值得骄傲的数学成果，它是中国对世界数学思想史的重要贡献。在西方的数学著作中把一次同余式组的解法称之为“剩余定理”，在国内不少数论著作中，称其为“孙子定理”。它最早出现在孙子的《孙子算经》中解“物不知数”的问题上，当时称为“孙子定理”。而南宋时期的数学家秦久韶从计算程序和理论上对其研究并完善，在他的《数书九章》中称为“大衍总数术”，如今称为“剩余定理”，它是中外任何一本基础数论教科书中不可或缺的一部分。
近现代以来，对剩余定理的研究都是以秦久韶的大衍求一术来拓展研究的。在前人研究的基础上探究剩余定理在如今一些题型上的应用。近几年来，国内的剩余定理在很多领域上应用很广，无论是科学技术上，还是生活上的应用都得到了很大的突破。
综上，剩余定理是数论中的一个重要定理，其定理的应用在整个数论的学习与理解中尤为重要。剩余定理的应用有很多，范围较广，除了教材中一些经典例题的应用之外很多学者也找到了一些其他方面的应用.在很多文献中也总结了很多剩余定理的其他应用，但较为分散。因此，将其进行全面系统地归纳和概括，认定在“两两不互素”的正整数条件下也能用公式来解决同余方程组.总结出在不同的领域上重要通过剩余定理来解决问题。为了更好的理解和学习剩余定理可以有哪些应用。
研究的意义
1.理论意义
本论文从剩余定理的概念出发，以其定理证明为主线，梳理出剩余定理在学习上遇到不同的“同余式”的问题计算和应用。剩余定理是一个重要的定理，在定理结论成立的前提条件是有一组“两两互素”的正整数，而对于有一组 “两两不互素”的正整数情况下的计算过程模糊，因此，本论文在前人的基础上进一步研究。
题目名称
剩余定理及其应用
论文
（设计）
的主
要内
容与
要求
论文的主要内容
论文在查阅、分析材料，首先介绍选题的背景、意义及课题在国内外的发展现况；其次，从剩余定理的定义、证明、要求及剩余定理作用的研究；再次，分析剩余定理在一组“两两不互素”的整数下如何解决问题；最后，总结剩余定理在学习上的一些不同类型的应用。