人教版高中数学选修一课时作业：1.1命题及其关系

第一章第 1 节命题及其关系
本节教材剖析
（一）三维目标
１、知识与技术：理解命题的观点和命题的组成，能判断给定陈说句能否为命题，能判断命
题的真假；能把命题改写成“若p，则 q”的形式；
２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培育他们的辨析能力；以及培育他们的剖析问题和
解决问题的能力；
３、感情、态度与价值观：经过学生的参加，激发学生学习数学的兴趣。

（2）教课要点：命题的观点、命题的组成
（3）教课难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假
（4）教课建议：经过学生的参加，激发学生学习数学的兴趣。

（一）三维目标
◆知识与技术：认识原命题、抗命题、否命题、逆否命题这四种命题的观点，掌握四种命题
的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．
◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培育学生发现问题、提出问题、
剖析问题、有创建性地解决问题的能力；培育学生抽象归纳能力和思想能力．
◆感情、态度与价值观：经过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和踊跃性，培育他们的辨析能力以及培育他们的剖析问题和解决问题的能力．
（2）教课要点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．（3）教课难点：（1）命题的否认与否命题的差别；
（2）写出原命题的抗命题、否命题和逆否命题；
（3）剖析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．
（4）教课建议：经过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和踊跃性，培育他们的辨析能
力以及培育他们的剖析问题和解决问题的能力
新课导入设计
学生研究过程：
１．复习引入
初中已学过命题与抗命题的知识，请同学回首：什么叫做命题的抗命题？
导入二
一、创建情境
在我们平时生活中，常常波及到逻辑上的问题。

不论是进行思虑、沟通，仍是从事各项工作，都需要用逻辑用语表达自己的思想，需要用逻辑关系进行判断和推理。

所以，正确使用逻辑用语和
逻辑关系是现代社会公民应当具备的基本素质。

本章我们将从命题及其关系下手，学习四种命题的相互关系、充足条件和必需条件，学习逻辑用语，认识数理逻辑的相关知识，领会逻辑用语在表述或论证中的作用，使此后的论证和表述更为正确、清楚和简短。

在学习过程中我们应防止对逻辑用语的机械记忆和抽象解
释，而应当经过详细、生动的实例来使学生领会常用的逻辑用语，学习使用常用的逻辑用语，掌
握常用逻辑用语，并在使用过程中纠正出现的逻辑错误。

在初中我们已经学过命题的相关观点，下边我们来复习一下：
【课标学习目标】
1．认识命题的观点．
2．认识命题的抗命题、否命题、逆否命题，能写出原命题的其余三种命题．
3．能利用四种命题间的相互关系判断命题的真假．
【基础梳理】
1．一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的陈说句叫做
________．此中判断为真的语句叫做________，判断为假的语句叫做________．
2．拥有“若 p，则q”的形式的命题中的p 叫做命题的________， q 叫做命题的________．3．一般地，对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，
那么我们把这样的两个命题叫做________．假如此中一个命题叫做_____，另一个叫做原命题的 ________．
假如此中一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的条件的否认和结论的否认，我们把这样的两个命题叫做 ________．假如把此中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的
________．
假如此中一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的结论的否认和条件的否认，我们这样的两个命题叫做________．假如把此中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的
________．
4 ．设“若p ，则q”为原命题，则
“________为”原命题的抗命题；
“________为”原命题的否命题；
“ ________为”原命题的逆否命题．
5．四种命题有以下关系：
6．四种命题的真假性：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；
(2)两个命题为互抗命题或互否命题，它们的真假性________．
——题型研究——
题型一命题的判断
【例 1】判断以下语句是不是命题．假如，判断其真假，并说明原因．
(1)矩形莫非不是平行四边形吗？
(2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
(3)一个数不是合数就是质数；
(4)大角所对的边大于小角所对的边；
(5)求证 x∈ R，方程 x2＋x＋ 1＝ 0 无实根．
[分析 ](1) 经过反问句，对矩形是平行四边形作出判断，是真命题．
(2)是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线能否平行作出判断，不是命题．
(3)是假命题，如数 1 既不是合数也不是质数．
(4)是假命题，一定在同一个三角形或全等三角形中判断．
(5)是祈使句，不波及真假，不是命题．
变式训练 1 判断以下语句中哪些是命题？是真命题仍是假命题．
(1)末位是 0 的整数能被 5 整除；
(2)平行四边形的对角线相等且相互均分；
(3)两直线平行则斜率相等；
(4)在△ ABC 中，若∠ A＝∠ B，则 cosA＝ cosB；
(5)余弦函数是周期函数吗？
[ 分析 ] (1)(2)(3)(4) 都是陈说句，且能判断真假，故都是命题，(5) 是疑问句，故不是命题．
∴此中 (1)(4) 是真命题， (2)(3) 是假命题．
题型二命题的构造
【例 2】把以下命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)已知 x， y 为正整数，当 y＝ x＋ 1 时， y＝ 3， x＝ 2；
(2)当 m>1
4时， mx2－ x＋ 1＝ 0 无实根；
(3)当 abc＝ 0 时， a＝ 0 或 b＝ 0 或 c＝ 0.
[分析 ] (1)已知 x， y 为正整数，若y＝ x＋1，则 y＝3 且 x＝ 2，假命题．
12
(2)若 m> ，则 mx －x＋ 1＝0 无实根，真命题．
(3)若 abc＝ 0，则 a＝ 0 或 b＝ 0 或 c＝ 0，真命题．
变式训练2把命题“当m>0时，方程x2＋ x－ m＝ 0 有实数根”改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
[分析 ]若m>0，则方程x2＋x－ m＝0 有实数根，真命题．由于方程x2＋ x－ m＝ 0 有无
2
为真．
题型三【例 3】题的真假．四种命题
写出命题“正数 a 的平方大于零”的抗命题、否命题、逆否命题，并判断这四种命
[分析 ]原命题能够写成：若 a 是正数，则 a 的平方大于零．
抗命题：若 a 的平方大于零，则 a 是正数．
否命题：若 a 不是正数，则 a 的平方不大于零．
逆否命题：若 a 的平方不大于零，则 a 不是正数．
由于 (－ 3)2>0，但 a＝－ 3<0 ，所以抗命题为假；依据抗命题与否命题等价的性质，否命题为假；原命题为真，依据原命题与逆否命题等价的性质，逆否命题为真．
变式训练 3 把以下命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的抗命题、否命题、逆否命
题．
(1)正三角形的三内角相等； (2) 全等三角形的面积相等．
[分析 ] (1)原命题：“若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等”．抗命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形(或写成：三个内角相等的三角形是正
三角形 )．否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等．逆否命题：若
一个三角形的三个内角不全相等，则这个三角形不是正三角形 ( 或写成：三个内角不全相等的三角
形不是正三角形 )．
题型四四种命题之间的关系
【例 4】判断命题“若 m≥0，则对于 x 的方程 x2＋ x－ m＝ 0 有实数根”的逆否命题的真假．
2 [分析 ] ：由于 m≥0，所以 4m≥0，所以 4m＋ 1>0.所以对于 x 的方程 x ＋ x－ m＝ 0
的根的鉴别式＝ 4m＋ 1>0，所以对于 x 的方程 x2＋ x－ m＝ 0 有实数根，所以原命题“若 m≥0，则对于 x 的方程 x2＋x－ m＝ 0 有实数根”为真．又由于原命题与它的逆否命题等价，所以“若m≥0，则对于 x 的方程 x2＋ x－m＝0 有实数根”的逆否命题也为真．
变式训练4已知函数f(x)是 (－∞，＋∞)上的增函数，a， b∈ R，对命题“若 a＋ b≥0，则 f( a)＋f(b) ≥f(－ a)＋ f(－ b) ”．
(1)写出抗命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出其逆否命题，并证明你的结论．
[分析 ] (1)抗命题是：若f(a)＋ f(b) ≥f(－a)＋ f(－ b)，则 a＋b≥0，它是建立的，可用反证
法证明它．
假定 a＋ b<0 ，则 a<－ b，b<－ a.由于 f(x) 是(－∞，＋∞)上的增函数，则 f(a)<f( － b)，f(b)<f(－
a)，所以 f( a) ＋f(b)<f( － a)＋f(－ b)，与条件矛盾，所以抗命题为真．
(2)逆否命题是：若f(a)＋ f(b)< f(－ a)＋ f(－b)，则 a＋b<0. 若证它为真，可证明原命题为
真来证明它．
[作业 ]P8：习题 1．１Ａ组第 1 题
P9：习题 1．１Ａ组第２、３、４题
【当堂检测】
一、选择题
1．以下语句是命题的是()
A ． x－ 1＝ 0B．2＋3＝8
C．你会说口语吗？D．这是一棵大树
2．以下命题中的真命题是()
A. 2是有理数B． 2 2是实数
C．e 是有理数D．{ x|x 是小数R
3．以下命题中是真命题的是()
A ．若 1＝ 1，则
x y
x＝ y B．若x2＝ 1，则x＝ 1
C．若x＝ y，则x＝y D．若x<y，则x2<y2
4．设α、β是两个不一样的平面，a、b是两条不一样的直线，给出以下四个命题，此中真
命题是()
A ．若 a∥ α， b∥ α，则 a∥ b
B．若 a∥ α， b∥β， a∥ b，则α∥ β
C．若 a⊥ α， b⊥β， a⊥ b，则α⊥ β
D．若 a、 b 在平面α内的射影相互垂直，则a⊥ b
二、填空题
5．有以下语句：①会合 { a，b， c} 有 3 个子集；② x2－ 1≤0；③今每日气真好啊；④ f( x) ＝2log 3 x(x>0) 是一个对数函数；⑤若 A∪B＝ A∩B，则 A＝ B.此中是假命题的序号为 ________．
三、解答题
6．把以下命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：
(1)奇数不可以被2 整除；
(2)实数的平方是正数；
(3)已知 x， y 为正整数，当y＝ x＋ 1 时， y＝ 3，x＝ 2.
7．命题“ax2－ 2ax－ 3>0 不建立”是真命题，务实数 a 的取值范围．
参照答案
1.分析：选项 A 和选项 D 不可以判断真假；选
项
C 不是陈说句．
答案： B
2.分析：22属于无理指数幂，结果是个实数；2
和
e 都是无理数；{ x|x是小数R 显然是错误的；应选 B.
答案： B
3.分析：选项
1＝
1
，得 x＝y；选项 B，由 x2＝ 1，得 x＝±1；选项 C，当 x＝ y＝A，由x y
－1 时，x，y没存心义；选项 D ，当 x＝－ 3，y＝ 1 时， x<y，但 x2＝ 9>1＝ y2.应选 A.
答案： A
4.分析：与一个平面平行的两条直线不必定平行，所以 A 错误；两条平行直线分别平行
于两个平面，则这两个平面不必定平行，所以 B 错误；如图(1) ，设OA∥a， OB∥ b，直线OA、OB确立的平面交平面α、β于 AC、BC，
则
OA⊥ AC，OB⊥ BC，所以四边形OACB为
矩形，由于∠ACB为二面角α－ l －β的平面角，所
以
α⊥ β，C 正确；如图(2) ，直线a、b 在
平面α内的射影分别为m、 n，若此时 m⊥ n，则 a、b 不垂直，所以 D 错误，应选 C.
答案： C
5.分析：①是命题，但不是真命题，由于 { a， b， c} 应有 8 个子集；②不是命题；③不是命题；④是假命题， f(x)＝ 2log 3x 不是一个对数函数；⑤是命题且是真命题．
答案：①④
2 整除，是真命题．
6.解： (1)若一个数是奇数，则这个数不可以
被
(2)若一个数是实数，则这个数的平方是正数，是假命题.0 的平方仍是0，不是正数．
(3)已知x，y为正整数，若y＝ x＋ 1，则y＝ 3且x＝ 2，是假命题．比如y＝ 4， x＝ 3 也
切合条件．
2
7.解：由于ax － 2ax－3>0 不建立，
2
所以 ax －2ax－ 3≤0恒建立．
(1)当 a＝ 0 时，－ 3≤0建立；
a<0，
(2)当 a≠0时，应知足
Δ≤0，
解之得－ 3≤a<0.
由(1)(2) ，得 a 的取值范围为 [ － 3,0] ．。