【成才之路】2021学年高中数学 综合素养测试 新人教B版选修2-2(1)

【成才之路】2021-2021学年高中数学 综合素养测试 新人教B 版选修2-2
时刻120分钟，总分值150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．)
1．(2021·江西理，1)z －是z 的共轭复数．假设z ＋z －＝2，(z －z －
)i ＝2(i 为虚数单位)，那么z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i
[答案] D
[解析] 此题考查复数、共轭复数的运算． 设z ＝a ＋b i ，那么z －
＝a －b i. 由题设条件可得a ＝1，b ＝－1.选D.
2．假设f (x )＝x 2－2x －4ln x ，那么f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0) [答案] C
[解析] 此题要紧考查导数的概念及分式不等式的解法和对数的概念．因为f (x )＝x 2－2x －4ln x ， ∴f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－x －2
x
>0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x >0x x 2
－x －2>0
，解得x >2，应选C.
3．以下命题中正确的选项是( )
A ．复数a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d
B ．任何复数都不能比较大小
C ．假设z 1＝z 2，那么z 1＝z 2
D ．假设|z 1|＝|z 2|，那么z 1＝z 2或z 1＝z 2 [答案] C
[解析] A 选项未注明a ，b ，c ，d ∈R .实数是复数，实数能比较大小．z 1与z 2的模相等，符合条件的z 1，
z 2有无数多个，如单位圆上的点对应的复数的模都是1.应选C.
4．数列1，12，12，13，13，13，14，14，14，1
4，…，的前100项的和等于( )
A ．139
14
B ．1311
14
C ．14114
D ．143
14
[答案] A
[解析] 从数列排列规律看，项1n 有n 个，故1＋2＋…＋n ＝n n ＋1
2≤100.得n (n ＋1)≤200，因此n ≤13，
当n ＝13时，n n ＋1
2
＝13×7＝91(个)，故前91项的和为13，从第92项开始到第100项满是1
14，共9个
1
14，故前100项的和为139
14
.应选A. 5．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2,2] C ．[－2，＋∞) D ．[0，＋∞)
[答案] C
[解析] 用分离参数法可得a ≥－⎝
⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |(x ≠0)，那么|x |＋1
|x |≥2，∴a ≥－2.当x ＝0时，显然成立．
6．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.9
4 B ．2e 2 C ．e 2 D ．e 2
2
[答案] D
[解析] y ′＝(e x )′＝e x ，曲线在点(2，e 2)处的切线斜率为e 2，因此切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，那么切线与坐标轴交点为A (1,0)，B (0，－e 2)，
因此：S △AOB ＝12×1×e 2＝e 2
2
.
7．(2021·淄博市临淄区检测)已知函数f (x )＝x 3－12x ，假设f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，那么实数
m 的取值范围是( )
A ．－1≤m ≤1
B ．－1<m ≤1
C ．－1<m <1
D ．－1≤m <1
[答案] D
[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )<0⇒－2<x <2，因此函数f (x )＝x 3－12x 的单调递减区间为(－2,2)，要使f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，那么区间(2m ，m ＋1)是区间(－2,2)的子区间，因
此⎩⎪⎨⎪
⎧
2m ≥－2，m ＋1≤2，m ＋1>2m .
从中解得－1≤m <1，选D.
8．(2021·辽宁实验中学高二期中)三次函数当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，那么此函数是( )
A ．y ＝x 3＋6x 2＋9x
B ．y ＝x 3－6x 2＋9x
C ．y ＝x 3－6x 2－9x
D ．y ＝x 3＋6x 2－9x
[答案] B
[解析] 由条件设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，那么f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3a (x －1)(x －3)，∴b ＝－6a ，c ＝9a ， ∴f (x )＝ax 3－6ax 2＋9ax ，∵f (1)＝4，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，应选B.
9．假设xy 是正实数，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
y ＋12x 2的最小值是( )
A ．3
B ．72
C ．4
D ．92
[答案] C
[解析] 因为xy 是正实数，因此
⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋12x 2＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋1
4x 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2
＋14y 2≥1＋2＋1＝4，当且仅当x ＝y ＝±22时，等号成立．应选C.
10．复数z 知足方程⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
z ＋21＋i ＝4，那么复数z 在复平面内对应的点P 组成的图形为( ) A ．以(1，－1)为圆心，以4为半径的圆 B ．以(1，－1)为圆心，以2为半径的圆 C ．以(－1,1)为圆心，以4为半径的圆 D ．以(－1,1)为圆心，以2为半径的圆 [答案] C
[解析] 原方程可化为|z ＋(1－i)|＝4，即|z －(－1＋i)|＝4，表示以(－1,1)为圆心，以4为半径的圆．应选C.
11．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( ) A ．有最大值15
2
B ．有最大值－15
2
C ．有最小值15
2
D ．有最小值－15
2
[答案] B
[解析] 由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在[－1,2]上，f ′(x )≤0恒成立．
因此⎩⎪⎨⎪⎧
f ′－1≤0f ′2≤0
，
即⎩⎪⎨⎪⎧
2b －c －3≥04b ＋c ＋12≤0
， 令b ＋c ＝z ，b ＝－c ＋z ，
如图A ⎝
⎛⎭⎪⎫
－6，－32是使得z 最大的点，
最大值为b ＋c ＝－6－32＝－15
2
.故应选B.
12．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于点(1,0)，那么f (x )的( )
A ．极大值为4
27，极小值为0
B ．极大值为0，极小值为－
4
27
C ．极小值为－5
27，极大值为0
D ．极小值为0，极大值为5
27
[答案] A
[解析] 由题设条件知⎩⎪⎨⎪⎧
f ′1＝0
f 1＝0
，
因此⎩⎪⎨⎪⎧
3－2p －q ＝0
1－p －q ＝0
.
因此p ＝2，q ＝－1.因此f (x )＝x 3－2x 2＋x ，进而可求得
f (1)是极小值，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13是极大值．应选A.
二、填空题(本大题共4个小题，每题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．(2021·四川理，11)复数2－2i
1＋i ＝________.
[答案] －2i
[解析] 此题考查了复数的运算． 2－2i 1＋i ＝21－i 2
1＋i 1－i
＝－2i. 14．(2021·陕西文，14)已知f (x )＝x
1＋x ，x ≥0，假设f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋， 那么f 2021(x )
的表达式为________．
[答案] f 2021(x )＝x
1＋2014x
[解析] 此题考查了函数的解析式．
f 1(x )＝f (x )＝
x
1＋x
，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝
x
1＋x
1＋x 1＋x ＝1
1＋2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x
1＋2
1＋
x 1＋2x
＝x
1＋3x ，…， f 2021(x )＝
x
1＋2014x
.
15．定积分0sin t cos tdt ＝________.
[答案] 1
2
[解析]
sin t cos t d t ＝1
2
sin2t d t
＝1
4(－cos2t ) ＝14×(1＋1)＝12
. 16．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，那么a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．
[答案] －2
[解析] 本小题要紧考查导数的几何意义和对数函数的有关性质． ∵k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，
∴切线l ：y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，x n ＝
n
n ＋1
，∴a n ＝lg
n
n ＋1
，
∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99
100
＝lg 12×23×…×99100＝lg 1
100
＝－2.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤)
17．(此题总分值12分)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1.求证：关于任意不小于3的正整数n 都有f (n )>n n ＋1成立．
[解析] 要证f (n )>n
n ＋1(n ∈N *且n ≥3)，只需证2n －12n ＋1>n n ＋1，即证1－22n ＋1>1－1
n ＋1，也确实是证明2n
－1>2n .
下面用数学归纳法来证明2n －1>2n (n ∈N *，且n ≥3)． ①当n ＝3时，左侧＝7，右边＝6，左侧>右边，不等式成立．
②假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥3)时不等式成立，即2k －1>2k ，那么当n ＝k ＋1时，2k ＋1－1＝2·2k －1＝2(2k －1)＋1>2·2k ＋1＝2(k ＋1)＋2k －1>2(k ＋1)，故当n ＝k ＋1时，不等式也成立．
综上所述，当n ∈N *且n ≥3时，2n －1>2n 成立． 因此f (n )>
n
n ＋1
(n ∈N *且n ≥3)成立．
[说明] 关于2n －1>2n ，还能够用二项式定理证明．由2n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n ，有2n －C 0n ＝C 1n ＋C n －1n ＋(C 2n ＋C 3n ＋…＋C n －2n ＋C n n )，即2n －1＝2n ＋(C 2n ＋C 3n ＋…＋C n －2n ＋C n n )，当n ≥3时，C 2n ＋C 3n ＋…＋C n －2n
＋C n n >0.因此2n －1>2n .
18．(此题总分值12分)一艘渔艇停泊在距岸9km 处，今需派人送信给距渔艇334km 处的海岸渔站，若
是送信人步行每小时5km ，船速每小时4km ，问应在何处登岸再步行能够使抵达渔站的时刻最省？
[解析] 如图，设BC 为海岸线，A 为渔艇停泊处，C 为渔站，D 为海岸上一点， ∵AB ＝9，AC ＝3
34，
BC ＝AC 2－AB 2＝15，
设CD ＝x ，由A 到C 所需时刻为T ， 则T ＝15x ＋
1
415－x 2＋81(0≤x ≤15)，
T ′＝15－
15－x 4
15－x
2－81
.
令T ′＝0，解得x ＝3.
x <3时，T ′<0，x >3时，T ′>0，因此在x ＝3处取得极小值．又T (0)＝3
344
，T (15)＝214，T (3)＝87
20
，比
较可知T (3)最小．
答：在距渔站3km 登岸可使抵达渔站的时刻最省． 19．(此题总分值12分)求同时知足以下条件的所有复数z ： (1)z ＋10z 是实数，且1<z ＋10
z
≤6；
(2)z 的实部和虚部都是整数．
[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，且a 2＋b 2≠0)． 则z ＋10z ＝a ＋b i ＋10a ＋b i ＝a ＋b i ＋10a －b i a 2＋b 2
＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋10a 2
＋b 2＋b ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1－10a 2＋b 2i. 由(1)知z ＋10z 是实数，且1<z ＋10
z
≤6，
∴b ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－10a 2
＋b 2
＝0，即b ＝0或a 2＋b 2＝10. 又1<a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1＋10a 2
＋b 2≤6，(*) 当b ＝0时，(*)化为1<a ＋10
a
≤6无解．
当a 2＋b 2＝10时，(*)化为1<2a ≤6， ∴1
2
<a ≤3. 由题中条件(2)知a ＝1,2,3. ∴相应的b ＝±3，±
6(舍)，±1.
因此，复数z 为：1±3i 或3±i.
20．(此题总分值12分)(2021·安徽理，18)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其概念域上的单调性；
(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． [解析] (1)f (x )的概念域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2， 令f ′(x )＝0得x 1＝－1－
4＋3a
3
，
x 2＝
－1＋4＋3a
3
，x 1<x 2，
因此f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)，
当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，
x 2)内单调递增．
(2)因为a >0，因此x 1<0，x 2>0，
①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增，因此f (x )在x ＝0和x ＝1处别离取得最小值和最大值．
②当0<a <4时，x 2<1，
由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减， 因此f (x )在x ＝x 2＝
－1＋
4＋3a
3
处取得最大值，
又f (0)＝1，f (1)＝a ，因此当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值， 当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值． 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．
21．(此题总分值12分)已知数列{a n }知足a 1＝a ，a n ＋1＝1
2－a n
(n ∈N *)．
(1)求a 2，a 3，a 4；
(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．
[解析] (1)由a n ＋1＝1
2－a n ，可得a 2＝1
2－a 1＝1
2－a ，a 3＝1
2－a 2＝1
2－12－a ＝2－a
3－2a ，a 4＝1
2－a 3＝
1
2－
2－a
3－2a ＝3－2a
4－3a
. (2)猜想a n ＝
n －1－n －2a n －n －1a
(n ∈N *)．
下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，左侧＝a 1＝a ，
右边＝1－1－1－2a
1－1－1a ＝a ，猜想成立．
②假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立， 即a k ＝
k －1－k －2a k －k －1a
. 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1
2－a k ＝1
2－
k －1－k －2a
k －k －1a
＝
k k －1a
2[k －k －1a ]－[k －1－k －2a ]
＝
k －k －1a
k ＋1－ka
.
故当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 由①，②可知，对任意n ∈N *都有
a n ＝
n －1－n －2a n －n －1a
成立．
22．(此题总分值14分)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．
(1)假设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．
[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，和分类讨论思想． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .
因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，
因此⎩⎪⎨⎪⎧ f ′2＝0，f 2＝8.即⎩
⎪⎨⎪⎧
34－a ＝0，8－6a ＋b ＝8.
解得a ＝4，b ＝24. (2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．
当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，现在函数f (x )没有极值点． 当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .
当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；
当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(
a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．
现在x ＝－
a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．。