2007届广东深圳市学高考数学(理科)模拟试题-2

2007届广东深圳市学高考数学（理科）模拟试题
一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.） 1．设全集U = R ，A =10x
x ⎧⎫
<⎨⎬⎩⎭
，则U A=（ ）
． A ．10x
x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B.｛x | x > 0｝ C.｛x | x ≥0｝ D.1
x x ⎧⎨⎩≥0⎭
⎬⎫ 2．
是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小正周期为π”的 ( )．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3 在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为 （ ）． A ．25 B ．6 C ．7 D ．8 4.设两个非零向量12,e e 不共线，若12ke e +与12e ke +也不共线，则实数k 的取值范围为 （ ）．
A ．(,)-∞+∞
B ．(,1)(1,)-∞-⋃-+∞
C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞
D ．(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞ 5.曲线)4
cos()4sin(2π
π
-+
=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次
记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于（ ）．
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
6．右图为函数log n y m x =+ 的图象，其中m ，n 为常数，
则下列结论正确的是（ ）．
A ．m < 0 , n >1
B ．m > 0 , n > 1
C ．m > 0 , 0 < n <1
D ． m < 0 , 0 < n < 1
7．一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点，
该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③ 4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断是
A ．①
B ．①②
C ．①③
D ．①②③ 8.下列程序执行后输出的结果是( C )
A 、-1
B 、0
C 、1
D 、2
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案写在横线上）．
9、某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图 如图所示，若130-140分数段的人数为90人，则90-100分数段的人数为
n=5 s=0 WHILE s<14 s=s+n n=n-1 WAND PRINT n END
10．0000
sin168sin 72sin102sin198+= ．
11．已知i ， j 为互相垂直的单位向量，a = i – 2j ， b = i + λj ，且a 与b 的夹角为
锐角，则实数λ的取值范围是 ． 12已知函数()f x ,对任意实数,m n 满足()()(),f m n f m f n +=⋅且 (1)(
0f a a =≠则()f n = ()n N +∈.
13符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]208.1,3-=-=π，定义函数{}[]x x x -=， 那么下列命题中正确的序号是 ．
（1）函数{}x 的定义域为R ，值域为[]1,0； （2）方程{}2
1
=
x ，有无数解； （3）函数{}x 是周期函数； （4）函数{}x 是增函数.
14.在平面直角坐标系中，已知曲线c ：2cos sin x y θθ
=-+⎧⎨
=⎩，（3,[,]22ππ
θθ∈
为参数） 则曲线c 关于y=x 对称的曲线方程是
三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）
已知02
cos 22sin
=-x
x ， （Ⅰ）求x tan 的值；（Ⅱ）求
x
x x sin )4
cos(22cos ⋅+π
的值．
16．（本题满分13分）
在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．
地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ． （Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．
17．（本题满分13分）
如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线
AD 与侧面11BB C C 所成的角为45．
（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；
（Ⅱ） 求二面角C BD A --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．
18．（本小题满分14分）
一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．
（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标； （Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；
（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点
Q 的坐标．
A
B
C
D
1
A 1
B 1
C
19．（本题满分14分）
已知数列}{n a 满足：,2
1
,121=
=a a 且
*2,0]1)1[(22])1(3[N n a a n n n n ∈=--+--++．
（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n n a a b 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；
20．（本题满分14分）
已知函数)0()(>+
=t x
t
x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．
（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；
（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存
在，请说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64
, 2[n
n +
内总存在1+m 个实数m a a a ,,,21 ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值．
2007届广东深圳市学高考数学（理科）模拟试题参考答案
一、选择题： 1. 答案：C. {}A |0,U x x C A =<∴=｛x | x ≥0｝,故选C.
2.C
3. （理）对于(1)2n n +中，当n ＝６时，有
67
21,2
⨯=所以第２５项是７．选C. 4.D
5.Ａ． ∵)4
cos()4sin(2π
π
-+=x x y
＝2sin()sin()1cos(2)1sin 2442
x x x x πππ
+
+=-+=+， ∴根据题意作出函数图象即得．选A ．
6. 答案：Ｄ．当x=1时，y ＝m ,由图形易知m<0, 又函数是减函数，所以0<n<1,故选Ｄ．
7.A
8.C
二、填空题： 9.810 10．答案：
1
2
． 0000sin168sin 72sin102sin198+=00000sin12cos18cos12sin18sin30+=1
.
2=
11. 答案：)
,2()2,(21---∞ . 2
221+(-2)12121
cos , 2.2515(1)
5(1)
λλλ
θθλλλλλ⋅--=
=
⇒<≠-⋅+++由是锐角得0<
<1且
12.n
a
13. （2）、（3）
14.2
2
(2)1(32)x y y ++=-≤≤- 15．（本题满分12分）
已知02
cos 22sin
=-x
x ， （Ⅰ）求x tan 的值；
（Ⅱ）求
x
x x
sin )4cos(22cos ⋅+π
的值．
解：（Ⅰ）由02cos 22sin =-x x , 22
tan =⇒x
， ………………………2分
3421222
tan
12tan
2tan 22-=-⨯=-=
∴x x
x ． …………………5分 （Ⅱ） 原式＝
x x x x x sin )sin 2
2cos 22(
2sin cos 22--
x
x x x x x x sin )sin (cos )
sin )(cos sin (cos -+-=
x x
x sin sin cos +=
…………………10分
1cot +=x
1)43(+-= 4
1
=． …………………12分
16．（本题满分13分）
在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．
地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．
（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）x 、y 可能的取值为1、2、3， 12≤-∴x ，2≤-x y ，
3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ． ……………3分
因此，随机变量ξ的最大值为3．
有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，
9
2
)3(==∴ξP ．
答：随机变量ξ的最大值为4，事件“ξ取得最大值”的概率为9
1
． ………5分 （Ⅱ）ξ的所有取值为3,2,1,0．
0=ξ 时，只有2,2==y x 这一种情况，
1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况，
2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况．
91)0(=
=∴ξP ，94)1(==ξP ，9
2
)2(==ξP ． …………11分 则随机变量ξ的分布列为：
ξ
0 1 2 3
P
9
1
94 92 9
2
因此，数学期望9
14
923922941910=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． ……………………13分
17．（本题满分13分）
如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45．
（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ） 求二面角C BD A --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．
解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC —111C B A 的侧棱长为x ．取BC 中点E ，连AE ．
ABC ∆ 是正三角形，AE BC ∴⊥． 又底面ABC ⊥侧面11BB C C ，且交线为BC ．
AE ∴⊥侧面11BB C C ．
连ED ，则直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45ADE ∠=． ……………2分 在AED Rt ∆中，2
3tan 4514
AE
ED
x =
=+，解得22x =． …………3分
∴此正三棱柱的侧棱长为22． ……………………4分
注：也可用向量法求侧棱长．
（Ⅱ）解法1：过E 作EF BD ⊥于F ，连AF ，
⊥AE 侧面,11C C BB ∴AF BD ⊥．
AFE ∴∠为二面角C BD A --的平面角． ……………………………6分 在BEF Rt ∆中，sin EF BE EBF =∠，又
A
B
C
D
1
A 1
B 1
C E
F G H I
22231,sin 32(2)
CD BE EBF BD =∠=
==+， ∴3
3EF =．
又3,AE =
∴在AEF Rt ∆中，tan 3AE
AFE EF
∠=
=． …………………………8分 故二面角C BD A --的大小为arctan 3． …………………………9分
解法2：（向量法，见后） （Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，⊥BD 平面AEF ,∴平面AEF ⊥平面ABD ，且交线为AF ，∴过E 作EG AF ⊥于G ，则EG ⊥平面ABD ． …………10分
在AEF Rt ∆中，223330
310
3(3)(
)3
AE EF
EG AF
⨯
⨯=
==
+． …………12分
E 为BC 中点，∴点C 到平面ABD 的距离为230
210EG =
． …………13分 解法2：（思路）取AB 中点H ，连CH 和DH ，由,C
A C
B =D
A D
B =，易得平面ABD ⊥
平面CHD ，且交线为DH ．过点C 作CI DH ⊥于I ，则CI 的长为点C 到平面ABD 的
距离．
解法3：（思路）等体积变换:由C ABD A BCD V V --=可求． 解法4：（向量法，见后） 题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：
（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系xyz o -． 则(0,0,3),(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0)A B C D --． 设
1(,,)n x y z =为平面ABD 的法向量．
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
,021AD n AB n 得3230
y z x y z ⎧=-⎪
⎨
-+=⎪⎩． 取1(6,3,1).n =-- …………6分 又平面BCD 的一个法向量2(0,0,1).n = …………7分
∴10
10
1)3()6(1)1,0,0()1,3,6(,cos 222212121=+-+-⨯⋅--=
⋅>=<n n n n n n ． …………8分 结合图形可知，二面角C BD A --的大小为10
arccos
10
． …………9分 A B
C
D 1
A 1
B 1
C x y
z
o
（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，1(6,3,1),n =--(0,1,3).CA =-…………10分
∴点C 到平面ABD 的距离1
1
n n CA d ⋅=2
221)3()6()1,3,6()3,1,0(+-+---⋅-=＝
10
30
2．13分 18． （本小题满分14分）
一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．
（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标； （Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；
（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．
解：（Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则211-=+m n 且032
212=+--⋅n
m ．……2分 解得52,59=-=n m ， 因此，点 1F '的坐标为)5
2
,59(-． …………………4分
（Ⅱ）11PF F P =' ，根据椭圆定义， 得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)05
2
()159(22=-+--=
，……………5分 2=∴a ，112=-=b ．
∴所求椭圆方程为1222
=+y x ． ………………………………7分 （Ⅲ）22
=c
a ，∴椭圆的准线方程为2±=x ． …………………………8分 设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭圆的右准线的距离． 则10105)32()1(2221++=++-=
t t t t d ，22-=t d ．
2
222
1
)
2(2
25210105-++⋅=-++=t t t t t t d d ， ……………………………10分
令22)
2(22)(-++=t t t t f )22(<<-t ，则3422)
2()86()2()2(2)22()2()22()(-+-=--⋅++--⋅+='t t t t t t t t t f ， 当0)(,342<'-<<-t f t ，0)(,234>'<<-t f t ， 3
4-=t ，0)(='t f ． ∴ )(t f 在3
4-=t 时取得最小值． ………………………………13分 因此，2
1d d 最小值＝22)34(5=-⋅f ，此时点Q 的坐标为)31,34(-．…………14分 注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．
说明：求得的点Q )31,34(-即为切点P ，2
1d d 的最小值即为椭圆的离心率． 19．（本题满分14分） 已知数列}{n a 满足：,21,121==a a 且0]1)1[(22])1(3[2=--+--++n n n n a a ，
*N n ∈．
（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n n n a a b 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；
解：（Ⅰ）经计算33=a ，414=a ，55=a ，8
16=a ． 当n 为奇数时，22+=+n n a a ，即数列}{n a 的奇数项成等差数列，
122)1(112-=⋅-+=∴-n n a a n ；
当n 为偶数，n n a a 212=
+，即数列}{n a 的偶数项成等比数列， n n n a a )2
1()21(1
22=⋅=∴-． 因此，数列}{n a 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧=)()2
1()( 2为偶数为奇数n n n a n n ．
（Ⅱ） n
n n b )21
()12(⋅-=， n n n n n S )2
1()12()21()32()21(5)21(3211132⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=∴- ……（1） 1432)2
1()12()21()32()21(5)21(3)21(1 21+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S …（2） （1）、（2）两式相减， 得
132)2
1()12(])21()21()21[(2211 21+⋅--++++⋅=n n n n S 11)21()12(2
11])21(1[2121+-⋅----⋅+=n n n 1)21()32(23+⋅+-=n n ． n n n S )21()32(3⋅+-=∴．
20．（本题满分14分） 已知函数)0()(>+
=t x
t x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ． （Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；
（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64 , 2[n
n +内总存在1+m 个实数 m a a a ,,,21 ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值．
解：（Ⅰ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，
21)(x t x f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(121
11x x x t x t x y --=+-， 又 切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x t x t x --=+
-， 即02121=-+t tx x ， ………………………………………………（1） …… 2分 同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得0222
2=-+t tx x ． (2)
由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，
⎩⎨⎧-=⋅-=+∴.
,22121t x x t x x ………………（ * ） ……………………… 4分 22211221)()(x t x x t x x x MN --++-=])1(1[)(22
1221x x t x x -+-= ])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -
+-+=， 把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=,
因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ． ……………………5分
（Ⅱ）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴
01111--+x x t x ＝01222--+x x t x ， 即211
21x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，
21x x ≠ ，1212)(x x x x t =+∴． ………………（3） …………… 7分 把（*）式代入（3），解得2
1=t ． ∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 21=
t ． ……………………9分 （Ⅲ）解法1：易知)(t g 在区间]64,2[n
n +上为增函数， ∴)64()()2(n
n g a g g i +≤≤)1,,2,1(+=m i ， 则)64()()()()2(21n n g m a g a g a g g m m +
⋅≤+++≤⋅ ． 依题意，不等式)64()2(n
n g g m +<⋅对一切的正整数n 恒成立， …………11分 )64(20)n 6420(n 22022022n
n m +++<⋅+⋅， 即)]64()n 64[(n 612n
n m +++<对一切的正整数n 恒成立，． 1664≥+n n ， 3
136]1616[61)]64()n 64[(n 6122=+≥+++∴n n ，
3
136<∴m ． 由于m 为正整数，6≤∴m ． ……………………………13分 又当6=m 时，存在221====m a a a ，161=+m a ，对所有的n 满足条件． 因此，m 的最大值为6． ……………………………14分 解法2：依题意，当区间]64,2[n
n +的长度最小时，得到的m 最大值，即是所求值． 1664≥+n
n ，∴长度最小的区间为]16,2[， …………………11分 当]16,2[∈i a )1,,2,1(+=m i 时，与解法1相同分析，得)16()2(g g m <⋅， 解得3
136<m ． ……………………………13分 后面解题步骤与解法1相同（略）．。