江西省南昌实验中学2018学年高一上学期期中数学试卷

2018-2018学年江西省南昌实验中学高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．下列结论不正确的是（）
A．0∈N B．∈Q C．∉R D．﹣1∈Z
2．已知集合A={x/x﹣1＞2}与B={x/﹣2x+5≤0}，下列关于集合A与B的关系正确的是（）
A．B⊆A B．A⊆B C．A=B D．A⊄B
3．已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={0，1，3}，集合B={2，4}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）
A．{0，5}B．{0，1，2，3，4，5}C．{0，1，2}D．{5}
4．下列四个图象中，是函数图象的是（）
A．（1） B．（1）（3）（4） C．（1）（2）（3） D．（3）（4）
5．下列四组函数中，f（x）与g（x）是同一函数的一组是（）
A．f（x）=|x|，g（x）=B．f（x）=x，g（x）=（）2
C．f（x）=，g（x）=x+1 D．f（x）=1，g（x）=x0
6．点（x，y）在映射f下的对应元素为（x+y，x﹣y），则点（2，0）在f作用下的对应元素为（）
A．（0，2）B．（2，0）C．（2，2）D．（﹣1，﹣1）
7．在函数y=+x中，幂函数的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．函数f（x）=2﹣log2x的零点是（）
A．（1，0）B．1 C．（4，0）D．4
9．函数﹣2的图象不经过（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．已知函数f（x）=，则f[f（2）]=（）
A．B．C．9 D．
11．若函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x的定义域均为R，则（）
A．f（x）与g（x）均为偶函数 B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
C．f（x）与g（x）均为奇函数 D．f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
12．已知函数f （x）=，则方程的实根个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．2018
二、填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={2，4，6}，求∁U A=．
14．函数y=的定义域为．
15．比较的大小．
16．函数y=log（x2﹣3x）的单调递减区间是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．计算下列各式
（1）；
（2）．
18．集合A={x|﹣5＜x＜1}，B={x|﹣2＜x＜8}，C={x|x＜a}，全集为实数集R
（1）求A∪B，（∁R A）∩B；
（2）若A∩B⊆C，求实数a的取值范围．
19．若函数f（x）=x2﹣2ax+3为定义在[﹣2，2]上的函数．
（1）当a=1时，求f（x）的最大值与最小值；
（2）若f（x）的最大值为M，最小值为m，函数g（a）=M﹣m，求g（a）的解析式，并求其最小值．
20．已知函数
（1）当a=2时，求f（x）在x∈[0，1]的最大值；
（2）当0＜a＜1，f（x）在x∈[0，1]上的最大值和最小值之和为a，求a的值．
21．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，并且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2x．
（1）求f（log2）的值；
（2）求f（x）的解析式．
22．若定义在R上的函数f（x）满足：
①对任意x，y∈R，都有：f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1；
②当x＜0时，f（x）＞1．
（Ⅰ）试判断函数f（x）﹣1的奇偶性；
（Ⅱ）试判断函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若不等式f（a2﹣2a﹣7）+＞0的解集为{a|﹣2＜a＜4}，求f（5）的值．
2018-2018学年江西省南昌实验中学高一（上）期中数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．下列结论不正确的是（）
A．0∈N B．∈Q C．∉R D．﹣1∈Z
【考点】元素与集合关系的判断．
【分析】根据题意，结合N、Z、Q、R4个常见集合的定义，依次分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、0是自然数，即有0∈N，故A正确；
对于B、是有理数，即有∈Q，故B正确；
对于C、是无理数，属于实数，即有∈Q，故C不正确；
对于D、﹣1是整数，即有﹣1∈Z，故D正确；
故选：C
2．已知集合A={x/x﹣1＞2}与B={x/﹣2x+5≤0}，下列关于集合A与B的关系正确的是（）
A．B⊆A B．A⊆B C．A=B D．A⊄B
【考点】集合的表示法．
【分析】通过解不等式便可求出集合A，B，从而判断出集合A，B的关系．
【解答】解：；
∴A⊆B．
故选B．
3．已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={0，1，3}，集合B={2，4}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）
A．{0，5}B．{0，1，2，3，4，5}C．{0，1，2}D．{5}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由已知直接利用交、并、补集的混合运算得答案．
【解答】解：全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={0，1，3}，集合B={2，4}，
则（∁U A）={2，4，5}，（∁U B）={0，1，3，5}，
∴（∁U A）∩（∁U B）={5}，
故选：D．
4．下列四个图象中，是函数图象的是（）
A．（1） B．（1）（3）（4） C．（1）（2）（3） D．（3）（4）
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数值的定义，在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定唯一一个值，体现在函数的图象上的特征是，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，从而对照选项即可得出答案．
【解答】解：根据函数的定义知：
在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定一个值，
体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，
对照选项，可知只有（2）不符合此条件．
故选B．
5．下列四组函数中，f（x）与g（x）是同一函数的一组是（）
A．f（x）=|x|，g（x）=B．f（x）=x，g（x）=（）2
C．f（x）=，g（x）=x+1 D．f（x）=1，g（x）=x0
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．
【解答】解：对于A，f（x）=|x|（x∈R），与g（x）==|x|（x∈R）的定义域相同，
对应关系也相同，∴是同一函数；
对于B，f（x）=x（x∈R），与g（x）==x（x≥）的定义域不同，∴不是同一函数；
对于C，f（x）==x+1（x≠1），与g（x）=x+1（x∈R）的定义域不同，∴不是同一
函数；
对于D，f（x）=1（x∈R），与g（x）=x0=1（x≠0）的定义域不同，∴不是同一函数．
故选：A．
6．点（x，y）在映射f下的对应元素为（x+y，x﹣y），则点（2，0）在f作用下的对应元素为（）
A．（0，2）B．（2，0）C．（2，2）D．（﹣1，﹣1）
【考点】映射．
【分析】映射f：（x，y）→（x+y，x﹣y），已知x=2，y=0，可得x+y=2，x﹣y=2，即可得出结论．
【解答】解：由映射的定义知，已知x=2，y=0，
∴x+y=2，x﹣y=2，
∴（2，0）在映射f下的对应元素是（2，2），
故选：C．
7．在函数y=+x中，幂函数的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】根据幂函数的定义进行判断即可．
【解答】解：根据幂函数的定义只有形如y=xα是幂函数，
y==x﹣2，是幂函数，
y=﹣x2不是幂函数，
y=x2+x不是幂函数，
则三个函数中是幂函数的只有1个，
故选：A．
8．函数f（x）=2﹣log2x的零点是（）
A．（1，0）B．1 C．（4，0）D．4
【考点】函数的零点．
【分析】函数的零点是函数值为0时自变量的取值，故可令函数值为0，解出此时自变量的值，故令f（x）=2﹣log2x=0，解出其根即为所求的零点，再对照四个选项找出正确选项．【解答】解：由题意令f（x）=2﹣log2x=0，得log2x=2，得x=22=4
所以函数f（x）=2﹣log2x的零点是x=4
故选D
9．函数﹣2的图象不经过（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】指数函数的图象与性质．
【分析】根据指数函数的性质求出f（x）的范围，从而求出答案．
【解答】解：x＞0时，f（x）＜0，
故函数﹣2的图象不经过第一象限，
故选：A．
10．已知函数f（x）=，则f[f（2）]=（）
A．B．C．9 D．
【考点】函数的值．
【分析】由已知得f（2）=log0.52=﹣1，由此能求出f[f（2）]=f（﹣1）的值．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（2）=log0.52=﹣1，
f[f（2）]=f（﹣1）=3﹣1=．
故选：B．
11．若函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x的定义域均为R，则（）
A．f（x）与g（x）均为偶函数 B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
C．f（x）与g（x）均为奇函数 D．f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】首先应了解奇函数偶函数的性质，即偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）．然后在判断定义域对称性后，把函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x ﹣3﹣x代入验证．即可得到答案．
【解答】解：由偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）．
对函数f（x）=3x+3﹣x有f（﹣x）=3﹣x+3x满足公式f（﹣x）=f（x）所以为偶函数．
对函数g（x）=3x﹣3﹣x有g（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣g（x）．满足公式g（﹣x）=﹣g（x）所以为奇函数．
所以答案应选择D．
12．已知函数f （x）=，则方程的实根个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．2018
【考点】根的存在性及根的个数判断；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质．
【分析】在同一个坐标系中画出函数①y=和②y=的图象，如图所示，
图象交点的个数即为方程的实根个数．
【解答】解：由于函数y=是偶函数，函数f （x）=，故|f（x）|=，
在同一个坐标系中画出函数y=和y=的图象，如图所示：
由图象可知，这两个函数①y=和②y=的图象有两个不同的交点，
故方程的实根个数是2，
故选B．
二、填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={2，4，6}，求∁U A={1，3，5} ．【考点】补集及其运算．
【分析】根据补集的定义写出答案即可．
【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，
A={2，4，6}，
所以∁U A={1，3，5}．
故答案为：{1，3，5}．
14．函数y=的定义域为[2，+∞）．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．
【解答】解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2．
∴函数y=的定义域为[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．
15．比较的大小20.5＞20.2＞．
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵1＜20.2＜20.5，＜log33=1．
∴20.5＞20.2＞．
故答案为：20.5＞20.2＞．
16．函数y=log（x2﹣3x）的单调递减区间是（3，+∞）．
【考点】复合函数的单调性．
【分析】令x2﹣3x＞0 求得函数的定义域．本题即求函数t=x2﹣3x在定义域上的增区间．根据二次函数的性质可得函数t=x2﹣3x在所求定义域上的增区间，从而得到答案．
【解答】解：令x2﹣3x＞0 求得x＞3，或x＜0，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（3，+∞）．根据复合函数的单调性规律，本题即求函数t=x2﹣3x在（﹣∞，0）∪（3，+∞）上的增区间．
根据二次函数的性质可得函数t=x2﹣3x在（﹣∞，0）∪（3，+∞）上的增区间为（3，+∞），故答案为（3，+∞）．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．计算下列各式
（1）；
（2）．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
【分析】（1）利用指数幂的运算法则即可得出；
（2）利用对数的运算法则和换底公式即可得出．
【解答】解：（1）原式=﹣1﹣+
=．
（2）原式=+lg（25×4）+2+1==．
18．集合A={x|﹣5＜x＜1}，B={x|﹣2＜x＜8}，C={x|x＜a}，全集为实数集R
（1）求A∪B，（∁R A）∩B；
（2）若A∩B⊆C，求实数a的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】（1）利用A={x|﹣5＜x＜1}，B={x|﹣2＜x＜8}，由此能求出A∪B和（∁R A）∩B．（2）求出A∩B，利用A∩B⊆C，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵A={x|﹣5＜x＜1}，B={x|﹣2＜x＜8}，
∴A∪B={x|﹣5＜x＜8}，
（∁R A）∩B={x|x≤﹣5或x≥1}∩{x|﹣2＜x＜8}={x|1≤x＜8}．
（2）∵A={x|﹣5＜x＜1}，B={x|﹣2＜x＜8}，
∴A∩B={x|﹣2＜x＜1}，
∵A∩B⊆C，C={x|x＜a}，
∴a≥1．
19．若函数f（x）=x2﹣2ax+3为定义在[﹣2，2]上的函数．
（1）当a=1时，求f（x）的最大值与最小值；
（2）若f（x）的最大值为M，最小值为m，函数g（a）=M﹣m，求g（a）的解析式，并求其最小值．
【考点】二次函数的性质．
【分析】（1）根据二次函数的性质即可求出函数的最值，
（2）需要分类讨论，根据对称轴和函数的单调性即可求出最值，即可求出g（a）的解析式，再分别求出最小值，即可得到答案．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣2x+3的对称轴为x=1，
∴f（x）在[﹣2，1]上单调递减，在（1，2]上单调递增，
∴f（x）max=f（﹣2）=4+4+3=11，f（x）min=f（1）=1﹣2+3=2，
（2）∵f（x）=x2﹣2ax+3的对称轴为x=a，
当a≤﹣2时，f（x）在[﹣2，2]上单调递增，
∴f（x）min=f（﹣2）=4+4a+3=4a+7，f（x）max=f（2）=﹣4a+7，
∴g（a）=M﹣m=﹣4a+7﹣4a﹣7=﹣8a，
当a≥2时，f（x）在[﹣2，2]上单调递减，
∴f（x）max=f（﹣2）=4a+7，f（x）min=f（2）=﹣4a+7，
∴g（a）=M﹣m=4a+7﹣4a﹣7=8a，
当﹣2≤a＜0时，f（x）在[﹣2，a）上单调递减，在（a，2]上单调递增，
∴f（x）max=f（2）=﹣4a+7，f（x）min=f（a）=﹣a2+3，
∴g（a）=M﹣m=﹣4a+a2+3，
当0≤a＜2时，f（x）在[﹣2，a）上单调递减，在（a，2]上单调递增，
∴f（x）max=f（﹣2）=4a+7，f（x）min=f（a）=﹣a2+3，
∴g（a）=M﹣m=4a+a2+3，
∴g（a）=
当a≥2，g（a）min=16，
当0≤a＜2时，g（a）min=g（0）=3，
当﹣2＜a＜0时，g（a）min=g（0）=3，
当a≤﹣2时，g（a）min=16，
综上所述g（a）min=3
20．已知函数
（1）当a=2时，求f（x）在x∈[0，1]的最大值；
（2）当0＜a＜1，f（x）在x∈[0，1]上的最大值和最小值之和为a，求a的值．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】（1）由a=2，根据增函数加增函数为增函数，可得f（1）取得最大值；
（2）由0＜a＜1，根据减函数加减函数为减函数，可得f（x）的单调性，f（1）取得最小值，f（0）取得最大值，解方程可得a的值．
【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=2x+log2（x+1），
可得y=2x，y=log2（x+1）在[0，1]递增，
则f（x）在[0，1]递增，
可得f（1）取得最大值，且为2+log2（1+1）=3；
（2）当0＜a＜1，可得y=a x，y=log a（x+1）在[0，1]递减，
则f（x）在[0，1]递减，
可得f（1）取得最小值，且为a+log a2；
f（0）取得最大值，且为1+log a1=1．
由题意可得1+a+log a2=a，
解得a=．
即a的值为．
21．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，并且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2x．
（1）求f（log2）的值；
（2）求f（x）的解析式．
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．
【分析】（1）利用函数的奇偶性及已知表达式可得f（log2）=f（﹣log23）=﹣f（log23）=
﹣，再由对数运算性质可得结果；
（2）设任意的x∈（﹣∞，0），则﹣x∈（0，+∞），由已知表达式可求f（﹣x），再由奇偶性可得f（x）；由奇偶性易求f（0）；
【解答】解：（1）∵f（x）为奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2x，
∴f（log2）=f（﹣log23）=﹣f（log23）=﹣=﹣3．
（2）设任意的x∈（﹣∞，0），则﹣x∈（0，+∞），
∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=2x，∴f（﹣x）=2﹣x，
又f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2﹣x，即当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=﹣2﹣x；
又f（0）=﹣f（0），f（0）=0，
综上可知，f（x）=．
22．若定义在R上的函数f（x）满足：
①对任意x，y∈R，都有：f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1；
②当x＜0时，f（x）＞1．
（Ⅰ）试判断函数f（x）﹣1的奇偶性；
（Ⅱ）试判断函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若不等式f（a2﹣2a﹣7）+＞0的解集为{a|﹣2＜a＜4}，求f（5）的值．
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】（Ⅰ）令y=﹣x，f（0）=f（x）+f（﹣x）﹣1x=y=0得f（0）=1，再由函数奇偶性的定义验证f（﹣x）﹣1与﹣[f（x）﹣1]的关系，即可；
（Ⅱ）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，求f（x2）﹣f（x1）的差的符号，有定义法判断出单调性；
（Ⅲ）由题设，将，再由单调性得出不等式，求出参数，再求
函数值．
【解答】解：（Ⅰ）令y=﹣x，f（0）=f（x）+f（﹣x）﹣1x=y=0得f（0）=1
即f（﹣x）﹣1=﹣[f（x）﹣1]，
∴f（x）﹣1是奇函数．…
（Ⅱ）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=f[（x2﹣x1）+x1]﹣f（x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1﹣f（x1）=f（x2﹣x1）﹣1
又x1﹣x2＜0．则f（x1﹣x2）＞1，
∴f（x1﹣x2）﹣1＞0，
∴f（x2）﹣f（x1）＜0
即：f（x2）＜f（x1）．
∴f（x）在（﹣∞，∞）上单调递减．…
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：a2﹣2a﹣7＜m的解集为（﹣2，4），
∴m=1．即：．
∴f（2）=﹣2f（4）=﹣5…
2018年12月19日。