2017_2018学年高中数学课时跟踪训练九双曲线的标准方程新人教B版选修1_1
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课时跟踪训练(九) 双曲线的标准方程
1.双曲线方程为x2－2y2＝1，那么它的右核心坐标为( )
A. B.
C. D．( ，0)
2．已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1，F2距离之差为6，那么曲线方程为( )
A. － ＝1
B. － ＝1(y＞0)
C. － ＝1或 － ＝1
D. － ＝1(x＞0)
3．已知方程(1＋k曲线，那么k的取值范围为( )
A．(－1,1)B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
4．椭圆 ＋ ＝1与双曲线y2－ ＝1有公共点P，那么P与双曲线两核心连线组成三角形面积为( )
A．48B．24
C．24 D．12
(1)求线段AB的长度；
(2)求极点C的轨迹方程．
答 案
1．选C 将双曲线方程化为标准方程为：
x2－ ＝1，∴a2＝1，b2＝ ，
∴c2＝a2＋b2＝ ，∴c＝ ，
故右核心坐标为 .
2．选D 由双曲线的概念知，点P的轨迹是以F1，F2为核心，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为 － ＝1(x＞0)．
3．选A 由题意得 解得 即－1<k<1.
其中判定正确的选项是________(只填正确命题的序号)．
7．已知双曲线的一个核心为F1(－ ，0)，点P位于双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，求双曲线的标准方程．
8．已知△ABC的两个极点A，B别离为椭圆x2＋5y2＝5的左核心和右核心，且三个内角A，B，C知足关系式sinB－sinA＝ sinC.
因为c＝ ，c2＝a2＋b2，
因此b2＝5－a2，a2＜5.
因此 － ＝1.
由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，
则P点坐标为( ，4)，
代入双曲线方程得 － ＝1，
解得a2＝1(a2＝25舍去)．
故双曲线的标准方程为x2－ ＝1.
8．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为 ＋y2＝1.
∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，
则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4.
(2)∵sinB－sinA＝ sinC，
∴由正弦定理得
|CA|－|CB|＝ |AB|＝2<|AB|＝4，
即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．
∴动点C的轨迹是双曲线的右支，而且c＝2，a＝1，
∴所求的点C的轨迹方程为
x2－ ＝1(x>1)．
5．设m是常数，假设点F(0,5)是双曲线 － ＝1的一个核心，那么m＝________.
6．已知方程 ＋ ＝1表示的曲线为C.给出以下四个判定：
①当1<t<4时，曲线C表示椭圆；
②当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线；
③假设曲线C表示核心在x轴上的椭圆，那么1<t< ；
④假设曲线C表示核心在y轴上的双曲线，那么t>4.
4．选B 由已知得椭圆与双曲线具有一起的核心F1(0,5)和F2(0，－5)，又由椭圆与双曲线的概念可得
因此 或
又|F1F2|＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°.
因此△PF1F2的面积S＝ |PF1||PF2|＝ ×6×8＝24.
5．解析：由点F(0,5)可知该双曲线 － ＝1的核心落在y轴上，因此m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16.
答案：16
6．解析：①错误，当t＝ 时，曲线C表示圆；②正确，假设C为双曲线，那么(4－t)(t－1)<0，∴t<1或t>4；③正确，假设C为核心在x轴上的椭圆，那么4－t>t－1>0.∴1<t< ；④正确，假设曲线C为核心在y轴上的双曲线，那么
∴t>4.
答案：②③④
7．解：设双曲线方程为 － ＝1(a＞0，b＞0)．
1.双曲线方程为x2－2y2＝1，那么它的右核心坐标为( )
A. B.
C. D．( ，0)
2．已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1，F2距离之差为6，那么曲线方程为( )
A. － ＝1
B. － ＝1(y＞0)
C. － ＝1或 － ＝1
D. － ＝1(x＞0)
3．已知方程(1＋k曲线，那么k的取值范围为( )
A．(－1,1)B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
4．椭圆 ＋ ＝1与双曲线y2－ ＝1有公共点P，那么P与双曲线两核心连线组成三角形面积为( )
A．48B．24
C．24 D．12
(1)求线段AB的长度；
(2)求极点C的轨迹方程．
答 案
1．选C 将双曲线方程化为标准方程为：
x2－ ＝1，∴a2＝1，b2＝ ，
∴c2＝a2＋b2＝ ，∴c＝ ，
故右核心坐标为 .
2．选D 由双曲线的概念知，点P的轨迹是以F1，F2为核心，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为 － ＝1(x＞0)．
3．选A 由题意得 解得 即－1<k<1.
其中判定正确的选项是________(只填正确命题的序号)．
7．已知双曲线的一个核心为F1(－ ，0)，点P位于双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，求双曲线的标准方程．
8．已知△ABC的两个极点A，B别离为椭圆x2＋5y2＝5的左核心和右核心，且三个内角A，B，C知足关系式sinB－sinA＝ sinC.
因为c＝ ，c2＝a2＋b2，
因此b2＝5－a2，a2＜5.
因此 － ＝1.
由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，
则P点坐标为( ，4)，
代入双曲线方程得 － ＝1，
解得a2＝1(a2＝25舍去)．
故双曲线的标准方程为x2－ ＝1.
8．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为 ＋y2＝1.
∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，
则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4.
(2)∵sinB－sinA＝ sinC，
∴由正弦定理得
|CA|－|CB|＝ |AB|＝2<|AB|＝4，
即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．
∴动点C的轨迹是双曲线的右支，而且c＝2，a＝1，
∴所求的点C的轨迹方程为
x2－ ＝1(x>1)．
5．设m是常数，假设点F(0,5)是双曲线 － ＝1的一个核心，那么m＝________.
6．已知方程 ＋ ＝1表示的曲线为C.给出以下四个判定：
①当1<t<4时，曲线C表示椭圆；
②当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线；
③假设曲线C表示核心在x轴上的椭圆，那么1<t< ；
④假设曲线C表示核心在y轴上的双曲线，那么t>4.
4．选B 由已知得椭圆与双曲线具有一起的核心F1(0,5)和F2(0，－5)，又由椭圆与双曲线的概念可得
因此 或
又|F1F2|＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°.
因此△PF1F2的面积S＝ |PF1||PF2|＝ ×6×8＝24.
5．解析：由点F(0,5)可知该双曲线 － ＝1的核心落在y轴上，因此m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16.
答案：16
6．解析：①错误，当t＝ 时，曲线C表示圆；②正确，假设C为双曲线，那么(4－t)(t－1)<0，∴t<1或t>4；③正确，假设C为核心在x轴上的椭圆，那么4－t>t－1>0.∴1<t< ；④正确，假设曲线C为核心在y轴上的双曲线，那么
∴t>4.
答案：②③④
7．解：设双曲线方程为 － ＝1(a＞0，b＞0)．