中考数学压轴题---《工程、生产类问题》例题讲解

中考数学压轴题---《工程、生产类问题》例题讲解
例1、（2022•聊城）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．
（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；
（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？【解答】解：（1）设原计划每天改造管网x米，则实际施工时每天改造管网（1+20%）x米，
由题意得：﹣＝10，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．
此时，60×（1+20%）＝72（米）．
答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米；
（2）设以后每天改造管网还要增加m米，
由题意得：（40﹣20）（72+m）≥3600﹣72×20，
解得：m≥36．
答：以后每天改造管网至少还要增加36米．
【变式1-1】（2022•四会市一模）为全面推进“三供一业”分离移交工作，甲、乙两个工程队承揽了某社区2400米的电路管道铺设工程．已知甲队每天铺设管道
的长度是乙队每天铺设管道长度的1.5倍，若两队各自独立完成1200米的铺设任务，则甲队比乙队少用10天．
（1）求甲、乙两工程队每天分别铺设电路管道多少米；
（2）若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？
【解答】解：（1）设乙队每天铺设电路管道x米，则甲队每天铺设电路管道1.5x 米，
依题意，得：．
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×40＝60．
答：甲队每天铺设电路管道60米，乙队每天铺设电路管道40米．
（2）设乙队施工m天正好完成该项工程，
依题意，得：≤20，
解得：m≥30．
答：若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天，则乙队至少施工30天才能完成该项工程．
【变式1-2】（2022•永州）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地A、B、C、D四个位置安装四个自动喷洒装置（如图1所示），A、B、C、D四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，
爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）．
方案一：如图2所示，沿正方形ABCD的三边铺设水管；
方案二：如图3所示，沿正方形ABCD的两条对角线铺设水管．
（1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；
（2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂巢原理”重新设计了一个方案（如图4所示）．
满足∠AEB＝∠CFD＝120°，AE＝BE＝CF＝DF，EF∥AD．请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）
【解答】解：（1）方案一：铺设水管的总长度为50×3＝150（米），
方案二：铺设水管的总长度为2＝100≈140（米），
∵140＜150，
∴方案二铺设水管的总长度更短；
（2）小明的方案中铺设水管的总长度最短，理由如下：
如图：
∵AE＝BE，GE⊥AB，
∴AG＝BG＝AB＝25米，∠AEG＝∠BEG＝∠AEB＝60°，
同理DH＝CH＝25米，∠DFH＝∠CFH＝60°，
在Rt△AEG中，
GE＝＝（米），AE＝＝（米），
同理FH＝米，BE＝CF＝DF＝AE＝米
∴EF＝GH﹣GE﹣FH＝（50﹣）米，
∴方案中铺设水管的总长度为×4+50﹣＝50+50≈135（米），∵135＜140＜150，
∴小明的方案中铺设水管的总长度最短．
【变式1-3】（2022•呼和浩特）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．
（1）问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
（2）该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，
若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元，由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设去年每吨土豆的平均价格是x元，则今年第一次采购每吨土豆的平均价格为（x+200）元，第二次采购每吨土豆的平均价格为（x﹣200）元，由题意得：×2＝，
解得：x＝2200，
经检验，x＝2200是原分式方程的解，且符合题意，
答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；
（2）由（1）得：今年采购的土豆数为：×3＝375（吨），
设应将m吨土豆加工成薯片，则应将（375﹣m）吨加工成淀粉，
由题意得：，
解得：150≤m≤175，
设总利润为y元，
则y＝700m+400（375﹣m）＝300m+150000，
∵300＞0，
∴y随m的增大而增大，
∴当m＝175时，y的值最大＝300×175+150000＝202500，
答：为获得最大利润，应将175吨土豆加工成薯片，最大利润是202500元．【变式1-4】（2022•随州）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m 个（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（1≤x≤15，且x 为正整数）的供应量y1（单位：个）和需求量y2（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量y2与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）
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（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个）
（3）在第（2）问m取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．
【解答】解：（1）根据题意得：y1＝150+（x﹣1）m＝mx+150﹣m，
设y2＝ax2+bx+c，将（1，220），（2，229），（6，245）代入得：
，
解得，
∴y2＝﹣x2+12x+209；
（2）前9天的总供应量为150+（150+m）+（150+2m）+......+（150+8m）＝（1350+36m）个，
前10天的供应量为1350+36m+（150+9m）＝（1500+45m）个，
在y2＝﹣x2+12x+209中，令x＝10得y＝﹣102+12×10+209＝229，
∵前9天的总需求量为2136个，
∴前10天的总需求量为2136+229＝2365（个），
∵前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量，∴，
解得19≤m＜21，
∵m为正整数，
∴m的值为20或21；
（3）由（2）知，m最小值为20，
∴第4天的销售量即供应量为y1＝4×20+150﹣20＝210，
∴第4天的销售额为210×100＝21000（元），
而第12天的销售量即需求量为y2＝﹣122+12×12+209＝209，∴第12天的销售额为209×100＝20900（元），
答：第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元．。