宁夏青铜峡市高级中学高二数学下学期第一次月考试题 理

宁夏青铜峡市高级中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试
题 理
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1.设a ，b ，c R ，且a ＞b ，则( ) A.ac ＞bc B.
a 1＜b
1
C.a 2＞b 2
D.a 3＞b 3 2.方程⎩⎨
⎧-=+=t
y t x 211 (t 为参数)表示( )
A.一条直线
B.一条射线
C.抛物线
D.椭圆 3.直角坐标为(3－3，3＋3)的点的极坐标可能是（ ）
A.(26，－
125π) B.(26，125π) C.(－26，127π) D.(26，12
7π
)
4.已知x ，y 均为正数，且满足3x ＋4
y
=1，则xy 的最大值为( )
A.23
B.3
C.12
D.3 5.将曲线F(x ，y)=0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的3
1
，得到的曲线方程为( )
A.F(
2x ，3y)=0 B.F(2x ，3
y )=0
C.F(3x ，2
y
)=0 D.F(3x ，2y)=0
6.已知a 为函数f(x)= x 3
-12x 的极小值点,则a=( ) A.－4 B.－2 C.4 D.2
7.下列求导运算正确的是( )
A.(x －
x 1)=1－21x B.(cos 2
x)= 2cosx C.(x x sin )=2
sin cos x x x x - D.(2sin2x)=2cos2x
8.若x ＞0，则4x ＋29
x
的最小值为( )
A.9
B.3336
C.12
D.13
9.若x=－2是
(x)=(x 2＋ax －1)e 1-x 的极值点，则
(x)的极小值为( ).
A.－1
B.－2e 3-
C.5e 3-
D.1 10.函数
(x)=x －sinx 是( ).
A.奇函数且单调递增
B.奇函数且单调递减
C.偶函数且单调递增
D.偶函数且单调递减
11.直线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+-=+=t y t x 2333211(t 为参数)和圆x 2＋y 2=16交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标为( )
A.( 3，－3)
B.(－3，3)
C.(3，－3)
D.(3，－3)
12.设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当x ＞0时，'()()xf x f x -＜0，则使得(x)＞0成立的x 的取值范围是( )
A.()(),10,1-∞-⋃
B.()()1,01,-⋃+∞
C.()(),11,0-∞-⋃-
D.()()0,11,⋃+∞
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知(x)=13－8x ＋2x 2
，且
(x 0)=4，则x 0= .
14.曲线y=x 2
在点(1，1)处的切线方程为 .
15.在极坐标系中，点A(2，
47π)到直线ρsin(＋4
π
)=22的距离为 .
16.直线l 过点M(1，5)，倾斜角是
3
π
.且与直线x －y －23=0交于点N ，则|MN|= . 三、解答题：本大题6小题，共70分． 17. (本小题共10分) 已知函数(x)=|x+1|-|2x-3|.
⑴画出y=(x)的图像； ⑵求不等式(x)＞1的解集.
18.(本小题共12分)
设函数(x)=ax 3＋bx 2＋c ，其中a ＋b=0，a 、b 、c 均为常数，曲线y=(x)在(1，(1))处的切线方程为x ＋y －1=0. ⑴求a 、b 、c 的值； ⑵求函数(x)的单调区间. 19.(本小题共12分 )
过点P(1,1)作直线AB ，分别与x 轴，y 轴的正半轴交于点A 、B ，当直线AB 在什么位置时，AOB 的面积最小？最小面积是多少？ 20.(本小题共12分 )
已知直线l ：x ＋y －1=0与抛物线y=x 2
交于A 、B 两点，求： ⑴线段AB 的长；
⑵点M(－1，2)到A ，B 两点的距离之积；
⑶O 为坐标原点，在抛物线y=x 2
的曲线A0B 上求一点P ，使ABP 的面积最大.
21.(本小题共12分)
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t α
α
=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α＜π，
在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：θρsin 2=，C 3：θρcos 32=. ⑴求C 2与C 3交点的直角坐标；
⑵若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值.
22.(本小题共12分 )
在极坐标系中，圆C 的圆心C(6，6
π
)，半径r=6.
⑴求圆C 的极坐标方程；
⑵若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且OQ ：QP=3：2，求动点P 的轨迹方程.
参考答案：
1.D
2.B
3.B
4.B
5.A
6.D
7.C
8.B
9.A 10.A 11.D 12.A 13.32 14.2－y －1=0 15.
2
2
16.10＋63 17.【解析】(1)
(x)=x 4,x 1,3
3x 2,1
x ,2
34x,x ,2
⎧
⎪-≤-⎪⎪
--<<⎨⎪⎪
-≥⎪⎩
如图所示
:
(2)由图知，1＜x ＜3. 18.【解析】(1)∵(x)=3ax 2
＋2bx.
∴
(1)=3a ＋2b=－1.又a ＋b=0解得a=－1，b=1.
∴(1)=a ＋b ＋c=c.由点(1，c)在直线x ＋y=1上，得c=0. ∴a=－1，b=1，c=0. (2)由(1)令
(x)=－3x 2
＋2x=0解得x 1=0,x 2=
3
2, 当x (－∞，0)时，(x)＜0； 当x (0，3
2
)时，(x)＞0； 当x (
3
2
，＋∞)时，(x)＜0；
所以(x)的增区间为(0，
32)，减区间为(－∞，0)和(3
2
，＋∞). 19.【解析】设当点A(a ，0)的坐标为时，AOB 的面积最小.因为直线AB 过点A(a ，0)， P(1,1)，所以直线AB 的方程为y=
a
-11
(x －a). 当x=0时，y=
1-a a ，即点B 的坐标是(0，1
-a a ).
因此，AOB 的面积S AOB ∆=S(a)=)
1(22
-a a .
令S (a)=0，即S (a)=2
2)
1(22--a a
a =0. 当a=0或a=2时，S (a)=0. a=0不合题意舍去。

由于
S
(a) 20.【解析】(1)⑵因为直线l 过点M(－1，2)，且倾斜角为
4
3π
，所以它的参数方程是⎪⎩
⎪⎨⎧
+=+-=43sin
243cos 1ππt y t x (t 为参数) 即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=--=t y t
x 2
2222
1(t 为参数) 把它代入y=x 2
，得t 2
＋2t －2=0， 由参数t 的几何意义得AB
=t 1－t 2
=10，
MA ·MB =
t 1t 2
=2.
⑶设与直线l ：x ＋y －1=0平行的直线方程为l 1：x ＋y ＋c=0，代入y=x 2
，得x 2
＋x ＋c=0，令=0，解得c=
41.将c=41代入x 2
＋x ＋c=0得x=－21.此时y=4
1. 两条平行线x ＋y －1=0与x
＋y ＋
4
1
=0的距离为825.
即P(－
21，4
1
)时，ABP 的面积最大为855.
21.【解析】
(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2
＋y
2
－23x=0,联立x y y x y 2222⎧+-2=0
⎪⎨+-=0⎪⎩，解得x y =0⎧⎨=0⎩，或x y ⎧
=⎪⎪⎨3⎪=⎪⎩
2
.
C 2与C 3交点的直角坐标为(,)00和).32
(2)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(23cos α,α). 所以|AB|=|2sin α-23cos α|=4|sin(α-
3
π
)|.
当α=
6
5π时,|AB|取得最大值,最大值为4.
22.略。