2020年济宁市九年级数学上期中试题附答案

2020年济宁市九年级数学上期中试题附答案
一、选择题
1．若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为（ ）．
A ．10x =，24x =
B ．11x =，25x =
C ．11x =，25x =-
D ．11x =-，25x =
2．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC
上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果40DOE ∠=︒，那么A ∠的度数为（ ）
A ．35°
B ．40°
C ．60°
D ．70°
3．如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )
A ．68°
B ．20°
C ．28°
D ．22°
4．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的一点，过点C 作⊙O 的切线，交直径AB 的延长线于点D ，若∠A =25°，则∠D 的度数是（ ）
A ．25°
B ．40°
C ．50°
D ．65°
5．如图在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…若点A （32
，0），B （0，2），则点B 2018的坐标为（ ）
A ．（6048，0）
B ．（6054，0）
C ．（6048，2）
D ．（6054，2） 6．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（ ）
A ．310
B ．925
C ．425
D ．110
7．设a b ，是方程220190x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2017
B ．2018
C ．2019
D ．2020 8．如图，△ABC 绕点A 旋转一定角度后得到△ADE，若BC=4，AC=3，则下列说法正确的是
（ ）
A ．DE=3
B ．AE=4
C ．∠ACB 是旋转角
D ．∠CA
E 是旋转角
9．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），
对称轴为直线x=1，与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：
①当x ＞3时，y ＜0；
②3a+b ＜0；
③213
a -≤≤-； ④248ac
b a ->；
其中正确的结论是（ ）
A ．①③④
B ．①②③
C ．①②④
D ．①②③④ 11．长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ，面积为2ycm 则长方形中y 与x 的关系
式为（ ）
A ．2y x =
B ．2(12)y x =-
C ．(12)y x x =-
D ．2(12)y x =-
12．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( )
A ．()249x +=-
B ．()247x +=-
C ．()2425x +=
D ．()2
47x += 二、填空题
13．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2+2（m +1）x +m 2﹣1=0的两实数根，且满足（x 1﹣x 2）2=16﹣x 1x 2，实数m 的值为________．
14．已知关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．
15．如图，在扇形CAB 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为__．
16．如图，矩形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，边AB=6，AD=8，四边形OCED 为菱形，若将菱形OCED 绕点O 旋转一周，旋转过程中OE 与矩形ABCD 的边的交点始终为M ，则线段ME 的长度可取的整数值为___________________．
17．有4根细木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．
18．如图，把正方形铁片OABC 置于平面直角坐标系中，顶点A 的坐标为（3，0），点P （1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点
P的坐标为____________________．
19．女生小琳所在班级共有40名学生，其中女生占60%.现学校组织部分女生去市三女中参观，需要从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是．
20．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为_____．
三、解答题
21．已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：AC·AD=AB·AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．22．2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．
(1)李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？
(2)用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．
23．如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O．点D在⊙O 上，BD平分∠ABC交AC 于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F．
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）若BD=8，sin∠DBF=3
5
，求DE的长．
24．已知：如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为10，OE、OF分别交AB于点E、F，OF 的延长线交⊙O于点D，且AE=BF，∠EOF=60°．
（1）求证：△OEF是等边三角形；
（2）当AE=OE时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
25．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图1,2）．请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，王老师一共调查了名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【详解】
∵二次函数y=x 2+bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
则−2b a =−2
b =2， 解得：b=−4， ∴x 2+bx=5即为x 2−4x−5=0，
则(x−5)(x+1)=0，
解得：x 1=5，x 2=−1.
故选D.
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：把二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为关于x 的一元二次方程的问题.
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
连接CD ，由圆周角定理得出∠BDC ＝90°，求出∠DCE ＝20°，再由直角三角形两锐角互余求解即可，
【详解】
解：连接CD ，如图，
∵BC 是半圆O 的直径，
∴∠BDC ＝90°，
∴∠ADC ＝90°，
∵∠DOE ＝40°，
∴∠DCE ＝20°，
∴∠A ＝90°−∠DCE ＝70°，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
3．D
解析：D
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，
∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，
∵∠2=∠1=112°，
而∠ABD=∠D′=90°，
∴∠3=180°-∠2=68°，
∴∠BAB′=90°-68°=22°，
即∠α=22°．
故选D．
4．B
解析：B
【解析】
连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，
∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC=25°，∴∠COD=∠ACO+∠BAC=50°，
∴∠D=90°-∠COD=40°，
故选B.
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B2018的坐标．
【详解】
∵A（3
2
，0），B（0，2），
∴OA＝3
2
，OB＝2，
∴Rt △AOB 中，AB ＝22352()22+=
， ∴OA +AB 1+B 1C 2＝32+2+52
＝6， ∴B 2的横坐标为：6，且B 2C 2＝2，即B 2（6，2），
∴B 4的横坐标为：2×
6＝12， ∴点B 2018的横坐标为：2018÷
2×6＝6054，点B 2018的纵坐标为：2， 即B 2018的坐标是（6054，2）．
故选D ．
【点睛】
此题考查了点的坐标规律变换以及勾股定理的运用，通过图形旋转，找到所有B 点之间的关系是解决本题的关键．
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
画树状图（用A 、B 、C 表示三本小说，a 、b 表示两本散文）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
画树状图为：（用A 、B 、C 表示三本小说，a 、b 表示两本散文）
共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6，
∴从中随机抽取2本都是小说的概率＝
620＝310
． 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查等可能事件的概率，掌握画树状图以及概率公式，是解题的关键． 7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题意，把x a =代入方程，得22019a a +=，再由根与系数的关系，得到1a b +=-，即可得到答案．
【详解】
解：∵设a b ，是方程220190x x +-=的两个实数根，
∴把x a =代入方程，得：22019a a +=，
由根与系数的关系，得：1a b +=-，
∴22
2()201912018a a b a a a b ++=+++=-=；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，以及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，正确求出代数式的值． 8．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据旋转的定义和三角形的性质即可求解．
【详解】
∵△ABC 绕点A 旋转一定角度得到△ADE ，BC=4，AC=3.
∴DE=BC=4；AE=AC=3；∠CAE 是旋转角.
故答案选D.
【点睛】
本题考查的知识点是旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质.
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B 、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选B ．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当x ＞3时，y ＜0，故①正确；
②抛物线开口向下，故a ＜0，∵12b x a
=-
=，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a ＜0，故②正确； ③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--，令x=0得：y=﹣
3a ．∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴233a ≤-≤．解得：
213
a -≤≤-，故③正确； ④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由248ac
b a ->得：
2
48ac a b ->，∵a ＜0，∴2
24b c a -<，∴c ﹣2＜0，∴c ＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误． 【详解】
解:①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0）， 当x ＞3时，y ＜0，
故①正确；
②抛物线开口向下，故a ＜0， ∵12b x a
=-
=， ∴2a+b=0． ∴3a+b=0+a=a ＜0，
故②正确；
③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--，
令x=0得：y=﹣3a ．
∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，
∴233a ≤-≤． 解得：213
a -≤≤-
， 故③正确；
④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，
∴2≤c≤3，
由248ac b a ->得：248ac a b ->，
∵a ＜0， ∴2
24b c a
-<， ∴c ﹣2＜0，
∴c ＜2，与2≤c≤3矛盾，
故④错误．
故选B ．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系,结合图像,数形结合的思想的运用是本题的解题关
键.．
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据周长关系求出另一边的长，再用面积公式即可表示y 与x 的函数. 【详解】
∵长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ， ∴另一边为12-x ，
故面积2
ycm 则长方形中y 与x 的关系式为(12)y x x =-
故选C 【点睛】
此题主要考查函数的表示，解题的关键是熟知长方形的周长与面积公式.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可. 【详解】
2890x x ++=， 289x x +=-， 2228494x x ++=-+，
所以()2
47x +=， 故选D. 【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
二、填空题
13．1【解析】【分析】【详解】解：由题意有△=2（m+1）2﹣4（m2﹣1）≥0整理得8m+8≥0解得m≥﹣1由两根关系得x1+x2=﹣2（m+1）x1x2=m2﹣1（x1﹣x2）2=16﹣x1x2（x
解析：1 【解析】 【分析】 【详解】
解：由题意有△=[2（m +1）]2﹣4（m 2﹣1）≥0，整理得8m +8≥0，解得m ≥﹣1， 由两根关系，得x 1+x 2=﹣2（m +1），x 1x 2=m 2﹣1，（x 1﹣x 2）2=16﹣x 1x 2
（x1+x2）2﹣3x1x2﹣16=0，∴[﹣2（m+1）]2﹣3（m2﹣1）﹣16=0，
∴m2+8m﹣9=0，解得m=﹣9或m=1．∵m≥﹣1，∴m=1
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．
14．2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程通过解关于m的方程求得m的值即可【详解】∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0∴m2﹣2m=
解析：2
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，
∴m2﹣2m=0且m≠0，
解得，m=2，
故答案是：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．
15．135°【解析】分析：如图连接EC首先证明∠AEC=135°再证明
△EAC≌△EAB即可解决问题详解：如图连接EC∵E是△ADC的内心
∴∠AEC=90°+∠ADC=135°在△AEC和△AEB中∴△
解析：135°．
【解析】
分析：如图，连接EC．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC≌△EAB即可解决问题.
详解：如图，连接EC．
∵E是△ADC的内心，
∴∠AEC=90°+1
2
∠ADC=135°，
在△AEC和△AEB中，
AE AE EAC EAB AC AB =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△EAC ≌△EAB ， ∴∠AEB=∠AEC=135°， 故答案为135°．
点睛：本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．345【解析】【分析】连接OE 交CD 与点M 根据矩形与菱形的性质由勾股定理求出OE 的长在旋转过程中求出OM 的取值范围进而得出ME 的取值范围进而求解【详解】如图连接OE 交CD 与点M∵矩形ABCD 对角线A
解析：3，4，5 【解析】 【分析】
连接OE 交CD 与点M ，根据矩形与菱形的性质，由勾股定理求出OE 的长，在旋转过程中，求出OM 的取值范围，进而得出ME 的取值范围，进而求解． 【详解】
如图，连接OE 交CD 与点M ，
∵矩形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，边AB=6，AD=8， ∴90BAD ︒∠=，OA OB OC OD ===， ∴由勾股定理知，10BD =， ∴5OA OB OC OD ====， ∵四边形OCED 为菱形， ∴OE CD ⊥，
1
32
DM CD =
=， ∴由勾股定理知，4OM =，即8OE =，
∵菱形OCED 绕点O 旋转一周，旋转过程中OE 与矩形ABCD 的边的交点始终为M ， ∴当OE AD ⊥或OE BC ⊥时，OM 取得最小值3， 当OE 与OA 或OB 或OC 或OD 重合时，OM 取得最大值5， ∴35OM ≤≤， ∵8OE =， ∴35ME ≤≤，
∴线段ME 的长度可取的整数值为3，4，5， 故答案为：3，4，5．
【点睛】
本题考查矩形与菱形的性质，勾股定理，旋转的性质，将求ME的取值范围转化为求OM 的取值范围是解题的关键．
17．【解析】【分析】根据题意使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目根据概率的计算方法计算可得答案【详解】根据题意从有4根细木棒中任取3根有234；345；23
解析：3 4
【解析】
【分析】
根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．
【详解】
根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4
种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P=3 4 .
故其概率为：3
4
．
【点睛】
本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18．（60532）【解析】【分析】根据前四次的坐标变化总结规律从而得解【详解】第一次P1（52）第二次P2（81）第三次P3（101）第四次P4（131）第五次P5（172）…发现点P的位置4次一个循环
解析：（6053，2）．
【解析】
【分析】
根据前四次的坐标变化总结规律，从而得解.
【详解】
第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，1），第五次P5（17，2），…
发现点P的位置4次一个循环，
∵2017÷4=504余1，
P2017的纵坐标与P1相同为2，横坐标为5+3×2016=6053，
∴P2017（6053，2），
故答案为（6053，2）．
考点：坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．
19．；【解析】【分析】先求出小琳所在班级的女生人数再根据概率公式计算
可得【详解】∵小琳所在班级的女生共有40×60=24人∴从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加小琳被抽到的概率是故答案为
解析：1 24
；
【解析】
【分析】
先求出小琳所在班级的女生人数，再根据概率公式计算可得．【详解】
∵小琳所在班级的女生共有40×60%=24人，
∴从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，小琳被抽到的概率是1 24
．
故答案为1 24
．
20．【解析】【分析】连接OAOB根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得∠AOB＝90°又OA＝OBAB＝4根据勾股定理得圆的半径是2【详解】解：连接OAOB∵∠C＝45°∴∠AOB＝90°又∵
解析：22．
【解析】
【分析】
连接OA，OB，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠AOB＝90°，又OA＝OB，AB＝4，根据勾股定理，得圆的半径是22．
【详解】
解：连接OA，OB
∵∠C＝45°
∴∠AOB＝90°
又∵OA＝OB，AB＝4
∴2224
OA OB
+=
∴OA＝22．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理根据圆周角定理得出∠AOB＝90°是解题的关键.
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）AC=4.
【解析】
（1）连接DE，由题意可得∠ADE=90°，∠ABC=90°，又∠A是公共角，从而可得△ADE ∽△ABC，由相似比即可得；
（2）连接OB，由BD是切线，得OD⊥BD，有E为OB中点，则可得OE=BE=OD，从而可得∠OBD=∠BAC=30°，所以AC=2BC=4；
【详解】
（1）连接DE，∵AE是直径，∴∠ADE=90o，∴∠ADE=∠ABC，在Rt△ADE和Rt△ABC 中，∠A是公共角，∴△ADE∽△ABC，∴，即AC·AD=AB·AE
（2）连接OD，∵BD是圆O的切线，则OD⊥BD，在Rt△OBD中，OE=BE=OD
∴OB=2OD，∴∠OBD=30°，同理∠BAC=30°，在Rt△ABC中，AC=2BC=2×2=4.
考点：1.圆周角定理；2.相似三角形的判定与性质；3.切线的性质；4.30°的直角三角形的性质.
22．(1) 1
4
；(2)
1
4
【解析】
【分析】
(1)由概率公式即可得出结果；
(2)画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．
【详解】
解：(1)在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，
∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是1
4
；
(2)画树状图分析如下：
共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，
∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为
41 164
．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（1）详见解析；（2）9 2
【解析】
【分析】
(1)连接OD，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠DBF，由等腰三角形的性质得到
∠ABD=∠ODB，等量代换得到∠DBF=∠ODB，推出∠ODF=90°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADE=90°，根据角平分线的定义得到
∠DBF=∠ABD，解直角三角形得到AD=6，在Rt△ADE中，解直角三角形得到DE=9
2
．
【详解】
（1）连接OD，
∵BD平分∠ABC交AC于点E，∴∠ABD=∠DBF，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
∴∠DBF=∠ODB，
∵∠DBF+∠BDF=90°，
∴∠ODB+∠BDF=90°，
∴∠ODF=90°，
∴FD是⊙O的切线；
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∵BD平分∠ABC交AC于点E，∴∠DBF=∠ABD，
在Rt△ABD中，BD=8，
∵sin∠ABD=sin∠DBF=3
5
，
∴AB=10，AD=6，∵∠DAC=∠DBC，
∴sin∠DAE=sin∠DBC=3
5
，
在Rt△ADE中，sin∠DAC=3
5
，
设DE=3x，则AE=5x，∴AD=4x，
∴tan∠DAE=
3
4 DE x AD x
=
∴DE=9
2
．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）
503 25
3
π-．
【解析】
【分析】
（1）作OC⊥AB于点C，由OC⊥AB可知AC=BC，再根据AE=BF可知EC=FC，因为OC⊥EF，所以OE=OF，再由∠EOF=60°即可得出结论．
（2）在等边△OEF中，因为∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，所以∠A=∠AOE=30°，故∠AOF=90°，再由AO=10可求出OF的长，根据S阴影=S扇形AOD﹣S△AOF即可得出结论．【详解】
解：（1）证明：作OC⊥AB于点C，
∵OC⊥AB，∴AC=BC．
∵AE=BF，∴EC=FC．
∵OC⊥EF，∴OE=OF．
∵∠EOF=60°，∴△OEF是等边三角形．；
（2）∵在等边△OEF中，∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，
∴∠A=∠AOE=30°．∴∠AOF=90°．
∵AO=10，∴OF=
3103 tan10
AO AOE
⋅∠==．
∴
1103503
10
233
ACF
S=⨯⨯=
V
,
2
9010
25
360
AOD
S
π
π
⋅⋅
==
扇形
．
∴
503
25
ACF
AOD
S S Sπ
∆
=-=-
阴影扇形
．
25．（1）20；（2）作图见试题解析；（3）1
2
．
【解析】
【分析】
（1）由A类的学生数以及所占的百分比即可求得答案；
（2）先求出C类的女生数、D类的男生数，继而可补全条形统计图；
（3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案．
【详解】
（1）根据题意得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%=20（名）；
故答案为20；
（2）∵C类女生：20×25%﹣2=3（名）；
D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1=1（名）；
如图：
（3）列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2，
男A1男A2女A
男D男A1男D男A2男D女A男D
女D男A1女D男A2女D女A女D
一位女生的概率为：31 62 =．。