2020年数学新高考一轮复习(理)命题及其关系、充分条件与必要条件

••>必过数材美
1. 命题
概念 使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句
特点 (1)能判断真假；(2)陈述句
分类
真命题、假命题
2. 四种命题及其相互关系
⑴四种命题间的相互关系:
(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题一原命题的否命题等价于逆 命题.在四种形式的命题中真命题的个数只能是
0,2,4.
3.充要条件
若p ? q ,则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件
p 成立的对象的集合为 A , q 成立 的对象的集合为B
p 是q 的充分不必要条件 p ? q 且 q ? /p A 是B 的真子集 集合与 充要条
件
p 是q 的必要不充分条件
p ? / q 且 q ? p
B 是A 的真子集
p 是q 的充要条件
p ? q A = B p 是q 的既不充分也不必要条件
p ? / q 且 q ? /p
A ,
B 互不包含
［小题体验］
1 .下列命题是真命题的是
( )
A .若Iog 2a > 0,则函数f(x)= log a x(a > 0, a 丰1)在其定义域上是减函数 B. 命题“若xy = 0,则x = 0”的否命题
C .“ m = 3”是“直线（m + 3）x + my — 2= 0与 mx — 6y + 5= 0垂直”的充要条件
D .命题“若 cosx = cosy ,贝U x = y ”的逆否命题
充分条件与必要条件
第
答案：B
2. （2019温州高考适应性测试）已知a,氏R,则“ a> 8'是“ COS a> COS B”的（）
A .充要条件B.充分不必要条件
C •必要不充分条件
D •既不充分也不必要条件
解析：选D a> 8 ? / COS a> COS 8 如a= f, 8= £ £>£ 而COS hk CO*；COS a> COS
3 6 3 6 3 6
n _ n n n —n n (»x (
t
8 ? / a> 8 女口a= ^，8= 3, COS 6> COS3,而6< 3.故选D.
3. 设a, b是向量，则命题“若____________________ a=—b,则|a|= | b|”的逆否命题为：,
答案：若|a|z |b|，贝U a z—b
必过易措美
1•易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.
2.易忽视A是B的充分不必要条件（A? B且B? /A）与A的充分不必要条件是B（B? A 且A? /B）两者的不同.
［小题纠偏］
1. （2019 杭州模拟）“ x< 0”是“ ln（x+ 1）< 0”的（）
A •充分不必要条件B.必要不充分条件
C •充要条件
D •既不充分也不必要条件
答案：B
2. ________________________________________________________________________ “
在厶ABC中，若/ C = 90°则/ A, Z B都是锐角”的否命题为：_____________________________ ,解析：原命题的条件：
在厶ABC 中，Z C= 90°
结论：Z A,Z B都是锐角.
否命题是否定条件和结论.
即“在△ ABC中，若Z C工90° 则Z A,Z B不都是锐角”.
答案：在厶ABC中，若Z C M 90°则Z A,Z B不都是锐角
考点一四种命题及其相互关系基础送分型考点一一自主练透
［题组练透］
1.命题“若a2> b2,贝V a> b”的否命题是（）
A.若a2> b2，贝V a w b
B.若a2< b2,贝V a< b
C .若a w b,贝U a2> b2
D .若a w b,贝U a2< b2
解析：选B 根据命题的四种形式可知，命题“若p,则q”的否命题是“若綈p,则
綈q”.该题中，p为a2> b2, q为a> b,故綈p为a2< b2,綈q为a< b.所以原命题的否命题为：若a2< b2，贝U a< b.
2. 命题“若x2—3x—4= 0,则x= 4”的逆否命题及其真假性为()
A. “若x= 4，则x2—3x— 4 = 0”为真命题
B. “若x工4,则x2—3x—4丰0”为真命题
C .“若X M 4，则x2—3x—4丰0”为假命题
D .“若x= 4，则x2—3x— 4 = 0”为假命题
解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A, D，因为x2—3x —4= 0,所以x= 4或
—1,故原命题为假命题，即逆否命题为假命题.
3. 给出以下四个命题：
①“若x+ y= 0,贝U x, y互为相反数”的逆命题；
②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q w—1,则x2+ x+ q= 0有实根”的逆否命题；
④若ab是正整数，则a, b都是正整数.
其中真命题是_________ .(写出所有真命题的序号)
解析：①命题“若x + y= 0，则x, y互为相反数”的逆命题为“若x, y互为相反数，则x+ y= 0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③ 原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a, b不一
定都是正整数，例如 a =—1, b=—3,故④为假命题.
答案：①③
［谨记通法］
1. 写一个命题的其他三种命题时的2个注意点
(1) 对于不是“若p,则q”形式的命题，需先改写；
(2) 若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.
2. 命题真假的2种判断方法
(1) 联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.
(2) 利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断.
考点二充分必要条件的判定重点保分型考点一一师生共研
［典例引领］
1
2
1. (2019 杭州高三四校联考)“a>—1” 是“ x + ax+ 4>0(x € R)”的()
1
解析：选 A 若 x 2+ ax + ->0(x € R )，贝U a 2— 1v 0，即一1 v a v 1,
所以
“a >— 1” 是
4
2 1
“x + ax + 4> 0(x € R )”的必要不充分条件.故选 A.
2. (2019杭州高三质检)设数列｛a n ｝的通项公式为a n = kn + 2(n € N *),则“ k > 2”是“数 列｛a n ｝为单调递增数列”的(
)
A .充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：选A 法一：因为a n = kn + 2(n € N ),所以当k >2时，a n +1 — a “= k > 2,则数列 ｛a n ｝为单调递增数列.若数列 ｛a n ｝为单调递增数列，则 a n +1— a n = k > 0即可，所以“ k > 2 ” 是“数列｛a n ｝为单调递增数列”的充分不必要条件，故选 A.
法二：根据一次函数 y = kx + b 的单调性知，“数列｛a n ｝为单调递增数列”的充要条件 是“ k > 0”，所以“ k > 2”是“数列｛a n ｝为单调递增数列”的充分不必要条件，故选
A.
［由题悟法］
充要条件的3种判断方法
(1) 定义法：根据p ? q ， q ? p 进行判断；
(2) 集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；
⑶等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命 题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题， 女口“ xy z 1 ”是“ x 工1或y z 1”的
某种条件，即可转化为判断“
x = 1且y = 1 ”是“ xy = 1 ”的某种条件.
［即时应用］
1. 设 a > 0， b >0，则“ a 2+ b 2> 1 ”是“ a + b >ab + 1 ” 成立的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
解析：选B 因为a > 0，b >0，所以a + b > 0，ab + 1 >0，故不等式a + b > ab + 1成立 的充要条件是(ab + 1)2w (a + b)2，即卩 a 2+ b 2> a 2b 2+ 1.
显然，若a 2 + b 2》a 2『+ 1，则必有a 2+ b 2》1，反之则不成立，所以 a 2+ b 2》1是a 2 +
b 2>a 2b 2+ 1成立的必要不充分条件，即
a 2+
b 2》1是a + b 》ab + 1成立的必要不充分条件.
2.
(2019浙
江期初联考)若a ，b € R ，使|a|+ |b|>4成立的一个充分不必要条件是
( )
A .必要不充分条件
C .充要条件
B .充分不必要条件 D .既不充分也不必要条件
A. |a+ b|》4
B. |a|》4
C. |a|》2 且|b|》2
D. b v—4
解析：选D 对选项A，若a= b= 2，则|a汁|b|= 2 + 2》4,不能推出|a|+ |b| > 4;对选项B,若a = 4> 4, b= 0,此时不能推出|a|+ |b|> 4;对选项C,若a= 2> 2, b= 2 > 2,此时不能推出|a|+ |b|>4;对选项D，由b v—4可得|a|+ |b|>4,但由|a|+ |b|>4得不到b v —
4. 故选D.
3. （2019宁波模拟）已知四边形ABCD为梯形，AB // CD , l为空间一直线，则“ I垂直于两腰AD , BC”是“ I垂直于两底AB, DC”的（）
A •充分不必要条件B.必要不充分条件
C •充要条件
D •既不充分也不必要条件
解析：选A 因为四边形ABCD是梯形，且AB // CD，所以腰AD , BC是交线，由直线与平面垂直的判定定理可知，当I垂直于两腰AD , BC时，I垂直于ABCD所在平面，所
以I垂直于两底AB , CD，所以是充分条件；当I垂直于两底AB, CD，由于AB // CD，所以I不一定垂直于ABCD所在平面，所以I不一定垂直于两腰AD ,BC,所以不是必要条件.所以是充分不必要条件.
考点三充分必要条件的应用重点保分型考点一一师生共研
［典例引领］
若不等式X―罗1v 0成立的一个充分不必要条件是X V1则实数m的取值范围是
x—2m 3 2
解析：令A= ix X —1v 0 , B= , 1v x v 11
i x—2m k3 2,
因为不等式x —m+ 1 v 0成立的充分不必要条件是1v x v1所以B? A.
x—2m 3 2
①当m— 1 v 2m,即m>— 1 时，A= {x|m— 1 v x v 2m}.
f1
m—1T，
由B? A得仁 1 解得m W4;
2 m , 4 3
2
m>—1,
②当m— 1 = 2m,即m =—1时，A= ?，不满足B? A;
③当m— 1 > 2m,即m v—1 时，A= {x|2m v x v m—1}.
1
f
2m W3，
由B? A得此时m无解.
m—1》2，
m v—1,
综上，m的取值范围为4 3 .
［由题悟法］
根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点
(1) 先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最 值问题等，得到关于参数的方程或不等式 (组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或
取值范围.
(2) 求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间
的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易 出现漏解或增解的现象.
［即时应用］
1. (2019杭州名校大联考)已知条件p ： |x + 1|> 2,条件q ： x >a ，且綈p 是綈q 的充 分不必要条
件，则实数
a 的取值范围是(
)
A . [1 , + I
解析：选A 由|x + 1|> 2,可得x > 1或x v — 3,所以綈p ：— 3< x < 1;又綈q ： x < a. 因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以
a > 1.
2.已知“命题 p ： (x — m)2>3(x — m)”是"命题q ： x 2 + 3x — 4v 0”成立的必要不充分 条件，则实数 m 的取值范围为 ________________________ .
解析：命题p ： x > m + 3或x v m , 命题 q ：— 4v x v 1.
因为p 是q 成立的必要不充分条件， 所以 m + 3< — 4 或 m > 1, 故 m < — 7 或 m > 1.
答案：( — s,— 7］ U ［1 ,+s )
1.“(2x — 1)x = 0” 是“ x = 0” 的(
D .既不充分也不必要条件
解析：选B 若(2x — 1)x = 0，贝U x = 2或x = 0,即不一定是 x = 0;若x = 0,则一定能 推出(2x — 1)x = 0.故“(2x — 1)x = 0”是“x = 0”的必要不充分条件.
答案: A 4
4，3 B . (—s, 1]
C . [ — 3 , + s)
D . (— s,— 3]
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C •充要条件
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
2.设a, b€ R,则“ a3> b3且ab v 0” 是“ 1>十的()
a b
解析：选A 由a 3> b 3,知a > b ,由ab v 0,知a > 0> b ,所以此时有->故充分性 a b
成立；
当1>1时，若a , b 同号，则a v b ,若a , b 异号，则a >b ,所以必要性不成立.故选 a b A.
3. 设 能R,则“片0”是“ f(x)= cosX + 0)(x € R )为偶函数”的( )
A •充分不必要条件
B .必要不充分条件
C •充要条件
D •既不充分也不必要条件
解析：选A 若0=0,则f(x)= cosx 为偶函数；若f(x)= cos(x + $)(x € R )为偶函数，则 0= k n k € Z ).故“©= 0”是“ f(x)= cosx + 0)(x € R )为偶函数”的充分不必要条件.
4.
命题p ：
“若x 2v 1，则x v 1 ”的逆命题为q ,则p 与q 的真假性为(
)
A . p 真q 真
B . p 真q 假
C . p 假q 真
D . p 假q 假
解析：选B q ：若x v 1，则x 2v 1. ■/ p ： x 2v 1,则一1 v x v 1. A p 真，
当x v 1时，x 2v 1不一定成立，A q 假，故选 B.
5. 若x > 5是x > a 的充分条件，则实数 a 的取值范围为( )
A.
(5,+s ) B . [5,+s )
C . ( — a, 5)
D . ( — a, 5]
解析：选D 由x > 5是x > a 的充分条件知，{x|x > 5}? {x|x > a}, A a < 5,故选D. 二保咼考，全练题型做到咼考达标 1.
命题“若一个数是负数，则
它的平方是正数”的逆命题是
( )
A .“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B. “若一个数的平方是正数，则它是负数” C.
“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D .“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 解析：选B 依题意得，原命题的逆命题是 “若一个数的平方是正数，则它是负数
”
2.
命题“对任意实数 x € [1,2],关于x 的不等式x 2— a < 0恒成立”为真命题的
A .充分不必要条件 C •充要条件
B .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件
一个必要不充分条件是()
A. a>4
B. a< 4
C. a> 3
D. a < 3
解析：选C 即由“对任意实数x € [1,2]，关于x的不等式x2—a w 0恒成立”可推出
“k w 1 ”的(
)
既不充分也不必要条件 ，0V k < 1 ；
反之，当k 三1时，。

三艮評亍—故
v
是“ k w 1 ”的充分不必要条件，故选 A.
4
5.命题“对任意 x € [1,2), x 2 — a w 0”为真命题的一个充分不必要条件可以是 (
A . a > 4 C . a > 1
D . a > 1
解析：选B 要使“对任意x € [1,2), x 2— a w 0”为真命题，只需要a >4, • a >4是命 题为真的充分不必要条件.
6.命题“若a >b ,则ac 2>bc 2(a , b € R)”，否命题的真假性为 ______________ . 解析：命题的否命题为 “若a w b ,贝U ac 2w be 2”. 若c = 0,结论成立.
选项，但由选项推不出
“对任意实数x € [1,2]，关于x 的不等式x 2— a w 0恒成立”.因为
x € [1,2]，所以x 2€ [1,4] , x 2— a w 0恒成立，即x 2w a ,因此a >4;反之亦然.故选 C.
3.有下列命题:
①“若x + y > 0,贝U x > 0且y > 0”的否命题; ②“矩形的对角线相等”的否命题;
③“若m > 1,贝U mx 2— 2(m + 1)x + m + 3>0的解集是 R'的逆命题; ④“若a + 7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题. 其中正确的是 A .①②③ B .②③④ C .①③④ D .①④
解析：选C
①的逆命题为“若x >0且y > 0,贝U x + y >0”为真，故否命题为真;
②的否命题为 ③的逆命题为, “不是矩形的图形对角线不相等 ”，为假命题； 若 mx 2— 2(m + 1)x + m + 3> 0 的解集为
R,贝U m > 1. •••当m = 0时，解集不是R,
m > 0,
•••应有’ 即m > 1.
Av 0, ③是真命题;
④原命题为真，逆否命题也为真. 4. (2019浙江名校联考信息卷)已知直线l
的斜率为k ,倾斜角为则“ 0v
4'
A .充分不必要条件 B
. 必要不
充分条
C •充要条件
“0
B . a >4
若C M 0,不等式ac 2w be 2也成立. 故否命题为真命题. 答案：真 7. 下列命题：
① “ a > b”是“ a 2> b 2”的必要条件；②“ |a| > |b|”是“ a 2> b 2”的充要条件；③“ a > b ”是“ a + e > b + e ”的充要条件.
其中是真命题的是 _________ (填序号).
解析：①a >b ? / a 2>b 2，且a 2>b 2? / a >b ,故①不正确； ② a 2> b 2? |a|> |b|,故②正确；
③ a > b ? a + e > b + e ,且 a + e > b + e ? a > b ,故③正确. 答案：②③
1 1
8. _________________________________________________________________ 已知 a, (0, n )贝U“ sin a+ sin 3< 3” 是“ sin(a+ 3 < j 的 __________________________________________________________________________ 条件.
1
解析： 因为 sin(a+ 3 = sin 久cos 3+ eos osin 3< sin a+ sin 3,所以若 sin a+ sin 3<--, 3
1
则有sin(a+ 3< 3 ,故充分性成立；当
1
+ 3< 3”的充分不必要条件.
答案：充分不必要
2 2
9.已知p ：实数m 满足m 2 + 12a 2< 7am(a > 0) , q ：方程 x + — = 1表示焦点在y
m — 1 2— m 轴上的椭圆.若 p 是q 的充分不必要条件，则
a 的取值范围是 ________ .
2
解析：由 a >0 , m 2— 7am + 12a 2< 0,得 3a < m < 4a ,即 p ： 3a < m < 4a , a >0.由方程 一
m — 1 + — = 1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得 2— m > m — 1 > 0，解得1 < m <3,即q ： 1 < m 2 — m 2 [3a > 1 , < 3.因为p 是q 的充分不必要条件，所以
3
2
4a
T a 的取值范围是
答案:
a= 3= 时寸, 有 sin(a+ 1
3= sin n= 0<3, 而 sin a+
3
1 sin 3= 1+ 1 = 2,不满足sin a+ sin 3< 3,故必要性不成立.
所以 1
“sin a+ sin 3<1 ” 是 “sin( a 解得卜a <
8,所以实数
x € B ”的充分条件，求实数 m 的取值范围.
10.已知集合
B = {x|x + m 2> 1}.若“ x € A ” 是
d
2
3
4 A = y y = x —
+1 ,
3
解：y= x2—?x+ 1 =
■/ x€
••• A=哥
由x + m2> 1，得x> 1 —m2,
/• B= {x|x > 1—m2}.
x€ A”是“x€ B”的充分条件,
••• A? B,「. 1—m2< —,
' 16
3 3
解得m>-或m W —-,
4 4
故实数m的取值范围是(一g ,— 4 lu --,+ m i.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
3
1. ----------------------------------- 已知p：x> k, q：v 1，如果p是q 的充分不必要条件，则实数------ k的取值范围
x+ 1
是()
A. [2,+g )
B. (2,+^ )
C . [1 , + g)
D . (— g,—1]
3 3 2 一x
解析：选 B 由 ----- v 1 得，----- —1 = ------ v 0,即(x—2)(x+ 1) >0,解得x v—1 或x
x+ 1 x + 1 x + 1
>2,由p是q的充分不必要条件知，k>2,故选B.
2•在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k] = {4n +
k|n € Z} , k= 0,1,2,3,则下列结论正确的为_________ (填序号).
①2 018 € [2];②—1€ [3];③Z= [0] U [1] U [2] U [3];④命题“整数a, b 满足a€ [1],
b€ [2],则a+ b€ [3] ”的原命题与逆命题都正确；⑤“整数a, b属于同一类”的充要条件
是“ a—b€ [0]
解析：由“类”的定义[k] = {4n+ k|n € Z}, k = 0,1,2,3,可知，只要整数m= 4n+ k, n
€ Z, k = 0,1,2,3，贝U m€ [k]，对于①中，2 018 = 4X 504 + 2,所以2 018 € [2]，所以符合题意；对于②中，—1 = 4X (—1) + 3，所以符合题意；对于③中，所有的整数按被4除所得的
余数分为四类，即余数分别为0,1,2,3的整数，即四“类” [0] , [1] , [2] , [3]，所以Z= [0]
U [1] U [2] U [3]，所以符合题意；对于④中，原命题成立，但逆命题不成立，因为若 a + b € [3]，不妨设a= 0, b= 3,则此时a?[1]且b?[2]，所以逆命题不成立，所以不符合题意；
对于⑤中，因为"整数a , b 属于同一类"，不妨设a = 4m + k , b = 4n + k , m , n € Z ,且k =0,1,2,3，贝U a — b = 4(m — n) + 0,所以 a — b € [0]；反之，不妨设 a = 4m + k i , b = 4n + k 2, m , n € Z , k i = 0,1,2,3, k ?= 0,1,2,3，贝V a — b = 4(m — n)+ (k i — k ?),若 a — b € [0]，贝U k i — k ? =0,即k i = k 2,所以整数a , b 属于同一类，故 “整数a , b 属于同一类”的充要条件是 “a
—b € [0] ”，所以符合题意.
答案：①②③⑤
命题p ： x € A ,命题q ： x € B.
(1) 当a = I2时，若p 真q 假，求x 的取值范围； (2) 若q 是p 的必要条件，求实数 a 的取值范围.
解：⑴当 a = I2 时，A = {x|2v x v 37}, B = {x|i2v x v I46}，因为 p 真 q 假. 所以(?U B) n A = {x|2v x w i2},
所以x 的取值范围为(2,i2].
⑵若q 是p 的必要条件，即 p ? q ,可知A ? B. 因为 a 2+ 2 > a ,所以 B = {x|a v x v a 2+ 2}.
i
当 3a + i >2，即 a >3时，A = {x|2v x v 3a + i},
3
当3a + i = 2，即a = i 时，A = ?，不符合题意； 当 3a + i v 2，即 a v i 时,A = {x|3a + i v x v 2},
综上所述，实数a 的取值范围为
板块命题点专练(—)集合与常用逻辑用语
离考真趙隼申研究—— 命题规律.验自身能力
命题点一集合及其运算
i . (20I8 浙江高考)已知全集 U = {i,2,3,4,5} , A = {i,3}，则?u A =( )
A . ?
B . {i,3} C. {2,4,5}
D . {i,2,3,4,5}
解析：选 C ••• U = {i,2,3,4,5} , A = {i,3},
3.已知全集 U = R ,非空集合 A x — 2
v 0
x — 3a + i
,B = {x|(x — a)(x — a 2— 2)v 0,
应满足条件
解得J v a <专;
应满足条件
a w 3a + i , a 2 + 2 > 2
i i
解得-a v
i ;
学习至此阶徑验妝能力知何，真题用古.
二？u A= {2,4,5}.
2.
(2018 天津高考)设全集为R,集合A= {x|0v x v 2},B = {x|x> 1}，则A n (?R B)=( )
A. {x|0v x< 1}
B. {x|0v x v 1}
C. {x|1< x v 2}
D. {x|0v x v 2}
解析：选B •••全集为R, B= {x|x> 1},
/• ?R B= {x|x v 1}.
•••集合A= {x|0v x v 2},
••• A n (?R B)= {x|0v x v 1}.
3. (2017 浙江高考)已知集合P= {x|—1v x v 1}, Q= {x|0v x v 2}，那么P U Q=( )
A．(－1,2) B．(0,1)
C．(—1,0) D．(1,2)
解析：选 A 根据集合的并集的定义,得P U Q= (—1,2)．
4. (2018 全国卷川)已知集合A= {x|x— 1 > 0}, B= {0,1,2}，贝U An B=( ) A．{0} B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
解析：选 C •/ A= {x|x—1> 0} = {x|x> 1}, B= {0,1,2} ,• A n B = {1,2}.
5. (2018全国卷n )已知集合A= {(x, y)|x2+ 卜 3, x€ Z, y€ Z},则A中元素的个数为(
)
A. 9
B. 8
C. 5
D. 4
解析：选A 将满足x2+ y2< 3的整数x, y全部列举出来，即(一1,—1), (—1,0),(—
1,1), (0,—1), (0,0), (0,1), (1,—1), (1,0), (1,1),共有9 个.故选A.
6. ___ (2017江苏高考)已知集合A = {1,2}, B= {a, a2+ 3}•若A n B= {1}，则实数a的值为__________
解析：因为a2+ 3>3,所以由A n B = {1}得a= 1,即实数a的值为1.
答案：1
命题点二充要条件
1. (2016浙江高考)已知函数f(x)= x2+ bx,则“ b v 0”是"f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2 2
£|2— b，当X=—舟时,f(x)min= —，又f(f(x)) =(f(x))2
2 2
% 当f(x)=—》寸,f(f(x))min=—暑，当一—
b
2
最小值—b，即b2—2b> 0,解得b< 0或b> 2,故“ b v 0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最4
小值相等”的充分不必要条件•选 A.
2. (2017浙江高考)已知等差数列｛a n｝的公差为d,前n项和为S n,则“ d> 0”是“ S4
+ S6> 2S5” 的()
A .充分不必要条件
B.必要不充分条件
C .充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：选 C 因为｛a n｝为等差数列，所以S4+ S6= 4a i + 6d+ 6a i + 15d= 10a i + 21 d,2S5
=10內 + 20d, S4+ S6 —2S5= d,所以d>0? S4+ S6>2S5.
3. (2015浙江高考股a, b是实数，则“ a + b>0”是“ ab>0”的()
A .充分不必要条件
B.必要不充分条件
C .充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：选D 特值法：当a= 10, b=—1 时，a+ b>0, ab v0，故a + b>0? / ab>0; 当a =—2,
b=—1 时，ab> 0，但a + b v 0,
所以ab> 0? / a+ b> 0.
故“a+ b> 0”是“ab> 0”的既不充分也不必要条件.
1 1 3
4. (2018 天津高考股x€ R,则“ x —- v是“ x V 1 ”的()
A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
1 1
解析：选A 由x— 1 v $得0v x v 1,
则0 v x3v 1,即卩“
1
x—2
v2 ?“ 3 “ “ ”
x v 1 ；
由x3v 1，得x v 1 , 当X W 0时，1
x— 2A 2
解析：选 A T f(x) = x2+ bx= x+ + bf(x)=
即“ x3v 1 ” ? / “
1
x—2
v 1”.
所以“ -2v2”是“ & T的充分而不必要条件.
n n 1 5. （2017 天津高考股
R,则"0-12 v 12” 是"sin 0<?” 的（ ）
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件 解析：选A 法一：由0—三 <丄，得0 <0<」， 12 12 6
1
17 n n n n
故 sin 0< .由 sin 0< 2，得—"6"+ 2k n< 0< &+ 2k n, k € Z ,推不出 “ 0— <石”. 1；”是“ sin * 1 ”的充分而不必要条件. n
〉—
12. 0-12 < n 是“ sin 0< 2”的充分而不必要条件.
6. （2018北京高考）设a , b 均为单位向量，则“ |a — 3b|= |3a + b|”是“ a 丄b ”的（
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
解析：选 C 由 |a — 3b|= |3a + b|,得（a — 3b ）2 = （3a + b ）2,
即 a 2+ 9b 2— 6a b = 9a 2 + b 2 + 6a b.
又a , b 均为单位向量，所以 a 2= b 2= 1,
所以a b = 0,能推出a 丄b.
由 a 丄 b ,得 |a — 3b|= 10, |3a + b| = 10,
能推出 |a — 3b|= |3a + b|,
所以“ |a — 3b|= |3a + b|”是“ a 丄b ”的充分必要条件.
命题点三 四种命题及其关系
1. （2015山东高考）设m € R,命题“若 m > 0，则方程x 2 + x — m = 0有实根”的逆否命 题是（ ）
A .若方程x 2+ x — m = 0有实根，则 m > 0
B .若方程x 2+ x — m = 0有实根，则 m W 0
C .若方程x 2+ x — m = 0没有实根，则 m > 0
D .若方程x 2+ x — m = 0没有实根，则 m W 0 解析：选D 根据逆否命题的定义，命题 “若m >0,则方程x 2+ x — m = 0有实根”的 逆否命题是“若方程x 2+ x — m = 0没有实根，则 m W 0”.
法二:
n
0- 1i < —? 0< 0< n ? sin 0< -,而当 sin 0<1时，取 0= — n , 12 6 2 2 6 n n —6 12
12
1 1
2. （2018北京高考）能说明“若a> b,则-<：”为假命题的一组a, b的值依次为
解析：只要保证a为正b为负即可满足要求.
1 1
当a>0> b时，>0> .
a b
答案：1,—1（答案不唯一）
3. （2017北京高考）能够说明"设a, b, c是任意实数.若a> b> c,则a + b> c”是假
命题的一组整数a, b, c的值依次为__________ .
解因为"设a, b, c是任意实数.若a> b> c,贝U a + b> c”是假命题，
则它的否定"设存在实数a, b, c若a> b> c,则a+ b< c”是真命题.
由于a> b> c,所以a+ b> 2c,又a+ b< c,所以c v 0.
因此a, b, c依次可取整数—1,—2,—3，满足a+ b< c.
答—1,—2, —3（答案不唯一）。