天津南开区外国语中学2019-2020学年高三数学文联考试卷含解析

天津南开区外国语中学2019-2020学年高三数学文联考
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知,若恒成立, 则的取值范围是A．B．C．D．
参考答案：
C
要使不等式成立,则有,即,设,则.作出不等式组对应的平面区域如图,平移直线,由图象可知当直线经过点B
时,直线的截距最小,此时最大,由,解得,代入得
,所以要使恒成立,则的取值范围是,即,选C．
2. 集合,,若,则的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.4
参考答案：
D
略
3. 函数的部分图象大致是（）
参考答案：
C
略
4. 设实数，满足，则取得最小值时的最优解的个数是（）A．1 B．2 C.3 D．无数个
参考答案：
B
5. 已知，则=
A. B.
C. D.
参考答案：
C
略
6. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，设函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意x ＞0都有2f（x）+xf'（x）＞0成立，则（）
A．4f（﹣2）＜9f（3）B．4f（﹣2）＞9f（3）C．2f（3）＞3f（﹣2）D．3f（﹣3）＜2f（﹣2）参考答案：
【分析】根据题意，令g（x）=x2f（x），求其求导分析可得当x＞0时，有g′（x）=x[2f （x）+xf'（x）]＞0成立，即函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，结合题意分析函数g （x）为偶函数，进而有g（﹣2）＜g（3），转化为f（x）分析可得答案．
【解答】解：根据题意，令g（x）=x2f（x），其导数g′（x）=2xf（x）+x2f′（x），
又由对任意x＞0都有2f（x）+xf'（x）＞0成立，
则当x＞0时，有g′（x）=x[2f（x）+xf'（x）]＞0成立，即函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，
又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），
则有g（﹣x）=（﹣x）2f（﹣x）=x2f（x）=g（x），即函数g（x）为偶函数，
则有g（﹣2）=g（2），且g（2）＜g（3），
则有g（﹣2）＜g（3），
即有4f（﹣2）＜9f（3）；
故选：A．
【点评】本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数的奇偶性、单调性的综合应用，关键是构造函数g（x），并分析函数的单调性．
7. 一动圆过点A（0，1），圆心在抛物线y=x2上，且恒与定直线相切，则直线l的方程为（）
A．x=1 B．x=C．y=﹣D．y=﹣1
参考答案：
D
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】要使圆过点A（0，1）且与定直线l相切，需圆心到定点的距离与定直线的距离相等，根据抛物线的定义可知，定直线正是抛物线的准线．
【解答】解：根据抛物线方程可知抛物线焦点为（0，1），
∴定点A为抛物线的焦点，
要使圆过点A（0，1）且与定直线l相切，需圆心到定点的距离与定直线的距离相等，
根据抛物线的定义可知，定直线正是抛物线的准线，准线方程为y=﹣1
故答案为：y=﹣1．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查抛物线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
8. 对于平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是（）
A．如果m?α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
B．如果m?α，n与α相交，那么m、n是异面直线
C．如果m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n∥α
D．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α
参考答案：
A
【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；2K：命题的真假判断与应用．
【分析】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，如果m?α，n∥α，则m∥n或m与n异面，又由m、n共面，那么m∥n；如果m?α，n与α相交，那么m、n相交或m、n是异面直线；如果m?α，n?α，当m、n是异面直线时，则n与α可能平行，也可能相交；如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α或n?α．分析后即可得到正确的答案．【解答】解：A答案中：如果m?α，n∥α，则m∥n或m与n异面，
又由m、n共面，那么m∥n，
故A正确；
B答案中：如果m?α，n与α相交，
那么m、n相交或m、n是异面直线，
故B答案错误；
C答案中：如果m?α，n?α，当m、n是异面直线时，
则n与α可能平行，也可能相交，
故C答案错误；
D答案中：如果m⊥α，n⊥m，
那么n∥α或n?α
故D答案错误；
故选A
【点评】要判断空间中直线与平面的位置关系，有良好的空间想像能力，熟练掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定定理及性质定理，并能利用教室、三棱锥、长方体等实例举出满足条件的例子或反例是解决问题的重要条件．
9. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（）
参考答案：
C
10. 过点作抛物线的两条切线HA，HB，切点为A，B，则的面积为（）
A．B． C. D．
参考答案：
B
设抛物线过点的切线方程为，即，将点代入可得，同理都满足方程，即为直线的方程为，与抛物线联立，可得
，点到直线的距离，则的
面积为，故选B.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，且，则的最小值为
参考答案：
3
12. 已知函数的图像与直线有且只有两个交点，且交点的
横坐标分别为，那么=_____________.
参考答案：
略
13. 将3个男同学和3个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法种数为．（用具体的数字作答）
参考答案：
288
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、3个男同学均不相邻，用插空法分析可得此时的排法数目，②、另外两个男同学相邻，将这两个男同学看成一个整体，用捆绑法分析可得此时的排法数目，进而由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、3个男同学均不相邻，
将三名女同学全排列，有A33=6种排法，排好后有4个空位，
在4个空位中，任选3个，安排3个男同学，有A43=24种安排方法，
此时共有6×24=144种不同的排法；
②、另外两个男同学相邻，将这两个男同学看成一个整体，考虑2人的顺序，有A22=2种情况，
将三名女同学全排列，有A33=6种排法，排好后有4个空位，
在4个空位中，任选2个，安排甲和这2个男同学，有A42=12种安排方法，
此时共有2×6×12=144种不同的排法；
则共有144+144=288种不同的排法；
故答案为：288．
14. 已知，函数在区间单调递减，则的最大值为 .
参考答案：
-16
15. 若平面向量满足：；则的最小值是
参考答案：
试题分析：因为，所以，，－8，所以
，即的最小值是。

考点：不本题主要考查平面向量模的计算，数量积。

点评：简单题，涉及平面向量模的计算问题，往往要“化模为方”。

16. 过点A(2，3)且垂直于直线2x+y–5=0的直线方程为___________________
参考答案：
试题分析：直线2x+y–5=0的斜率为，所以所求直线斜率为，直线方程为
，整理得 1
考点：直线方程
17. （文）已知公差为等差数列满足,且是的等比中项。

记
,则对任意的正整数均有,则公差的取值范围
是
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18.
如图，在各棱长都为2的正三棱柱AB C—A1B1C1中，的重心.
（1）求证：DG//平面ABC；
（2）求二面角B—AG—C的大小；
（3）求点B1到平面AGC的距离.
参考答案：
解析：（1）证明：以A为原点，建立如图所示空间直角坐标
则
点的坐标为
（2）由题
由同理可求得平面ACG的一个法向量为
结合图形，可知所求二面角B—AG—C的大小为
（3）点B1到平面AGC的距离即为向量在平面AGC的法向量
上的射影的模长，
所以，所求距离为
19. （本题满分12分）
设的内角的对边分别为，且. （1）求角的大小；
（2）若，求的值.
参考答案：
（1），由正弦定理得--3分即得，.---------------------------------------------------6分（2），由正弦定理得，-------------------------8分
由余弦定理，，---------10分解得，.-----------------------------------------12分
20. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，φ∈[0，
]），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C
的极坐标为（2，），半径为2，直线l与圆C相交于M，N两点．
（I）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）求当φ变化时，弦长|MN|的取值范围．
参考答案：
【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】（I）由圆C的圆心C的极坐标为（2，），即，半径为2，可得圆
的标准方程为： =4，展开利用互化公式即可化为极坐标方程．（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程可得：t2+2tcosφ﹣3=0，利用根与系数的关系
可得：|MN|=|t1﹣t2|=，再利用三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：（I）由圆C的圆心C的极坐标为（2，），即，半径为2，可得圆的标准方程为： =4，
展开可得：x2+y2﹣2x﹣2y=0，化为极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，即
ρ=2cosθ+2sinθ=4cos．
（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程可得：t2+2tcosφ﹣3=0，
∴t1+t2=﹣2cosφ，t1t2=﹣3．
∴|MN|=|t1﹣t2|==2，
∵φ∈[0，]，∴cosφ∈，cos2φ∈．
∴|MN|∈．
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21. 某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性．禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．
（1）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；
（2）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数．
参考答案：
【考点】B8：频率分布直方图；B3：分层抽样方法．
【分析】（1）由频率分布直方图求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率，由此能求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数．
（2）由频率分布直方图得不小于40岁的人的频数是25人，由此能求出在[50，60）年龄段抽取的人数．
【解答】解：（1）由频率分布直方图知，随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率为：
1﹣10×（0.020+0.025+0.015+0.010）=0.3，
即随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数为100×0.3=30人；
（2）由（1）知，年龄段在[40，50），[50，60）的人数分别为100×0.15=15人，
100×0.1=10人，
即不小于40岁的人的频数是25人，
∴在[50，60）年龄段抽取的人数为10×=2人．
22. （本大题满分13分）已知等比数列的首项，数列
前n项和记为，前n项积记为
（1）证明：
（2）判断的大小，并求n为何值时，取得最大值；
（3）证明中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为证明：数列为等比数列。

（参考数据）
参考答案：
（1）证：，当n = 1时，等号成立
，当n = 2时，等号成立
∴S2≤S n≤S1． 4分
（2）解：
∵，∴当n≤10时，|T n + 1| > |T n|，当n≥11时，|T n + 1| < |T n|
故|T n| max = |T11|
又T10 < 0，，T11 < 0，T9 > 0，T12 > 0，∴T n的最大值是T9和T12中的较大者
∵，∴T12 > T9
因此当n = 12时，T n最大． 8分
（3）证：∵，∴| a n | 随n增大而减小，a n奇数项均正，偶数项均负
①当k是奇数时，设{a n}中的任意相邻三项按从小到大排列为，则
，，
∴，因此成等差数列，
公差 10分
②当k是偶数时，设{a n}中的任意相邻三项按从小到大排列为，则
，，
∴，因此成等差数列，
公差 12分
综上可知，中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，且∵，∴数列{d n}为等比数列． 13分。