09-矩阵微分方程

09-矩阵微分方程D
又22
tA 1(I tA t A )A e A 2!
=++
+=
2. 矩阵积分定义：若矩阵A(t)(a (t))m n ij =⨯的每个元素ij a (t)都是区间
01[t ,t ]上的可积函数，则称A(t)在区间01[t ,t ]上可积，并定义A(t)在01[t ,t ]
上的积分为
1
100ij t t A(t)dt a (t)dt t t m n ⎛⎫
=⎰⎰ ⎪⎝⎭⨯
3. 矩阵积分性质
（1）1
1
1
000
t t t t t t [A(t)B(t)]dt A(t)dt B(t)dt ±=±⎰⎰⎰
（2）1
1110000t t t t t t t t [A(t)B]dt A(t)dt B,[AB(t)]dt A B(t)dt ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰⎰⎰⎰
（3）t b
a
a
d
A(t )dt A(t),A (t)dt A(b)A(a)dt '''==-⎰⎰
二、 一阶线性齐次常系数常微分方程组 设有一阶线性其次常系数常微分方程组
1
1111221n n 22112222n n n n11n22nn n dx a x (t)a x (t)a x (t)dt dx a x (t)a x (t)a x (t)dt
dx a x (t)a x (t)a x (t)
dt
⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪
⎨⎪⎪
⎪=+++⎪⎩ 式中t 是自变量，i i x x (t)=是t 的一元函数(i 1,2,
,n),=
ij a (i,j 1,2,,n)=是常系数。

令
T 12n x(t)[x (t),x (t),
,x (t)]=，11121n 21
222n n1
n2
nn a a a a
a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
则原方程组变成如下矩阵方程
dx
Ax(t)dt
= 其解为
tA tA x(t)e x(0)e c == −−−−
→更一般的
0(t t )A 0x(t)e x(t )-= 对该解求导，可以验证
tA dx(t)
Ae c Ax(t)dt
== 且t ＝0时，0A x(t)e c Ic c x(0)==== 表明x (t )确为方程的解，积分常数亦正确
例：求解微分方程组1
2
21
dx x dt
dx x
dt
⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 初始条件为1122x (0)r x (0)r ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 解：01A 10⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
，tA f(A)e = → t f()e λλ= o
1求出A 的特征多项式，1
2()(1)(j)(j)1λ-ϕλ==λ+=λ-λ+λ
，
j 1=- 1122j,m 1;j,m 1λ==λ=-= o 2定义待定系数的多项式 g()c c 01λ=+λ
o
3解方程
101201
jt
g()f()e
cost jsin t c jc 1jt
g()f()e
cost jsin t c jc 2λ=λ==+=+-λ=λ==-=-
01c cost c sint
=⎧⎨=⎩
o 4
01cost
00sin t cost sin t g(A)c I c A 0cost sin t 0sin t cost tA
f(A)e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
==
11212212r r cost r sint x (t)cost sint tA x(t)e x(0)sint cost r r cost r sint x (t)+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 三、 一阶线性非齐次常系数常微分方程组
1
1111221n n 122112222n n 2n n11n22nn n n dx a x (t)a x (t)a x (t)b (t)dt dx a x (t)a x (t)a x (t)b (t)dt
dx a x (t)a x (t)a x (t)b (t)
dt
⎧=++++⎪⎪⎪=++++⎪
⎨⎪⎪
⎪=++++⎪⎩ 令
方程组化为矩阵方程
dx
Ax b dt
=+ 12n 12n 11121n 21
222n n1
n2
nn T
x(t)[x (t),x (t),,x (t)]T b(t)[b (t),b (t),,b (t)]a a a a a a A a a a ==⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
采用常数变易法求解之；齐次方程的解为tA e c ，可设非齐次方程的解为
tA e c(t)， 代入方程，得：
tA tA tA dx d dc dc (e )c(t)e Ax(t)e Ax(t)b(t)dt dt dt dt =+=+=+→tA dc e b(t)dt
-= ∴ t
st c(t)e b(s)ds -=⎰ ← 由积分性质(3)可验证c (t )是解。

加上初始条件，有
t
tA
sA 0
x(t)e [x(0)e b(s)ds]-=+⎰
说明:高阶常微分方程常常可以化为一阶常微分方程组来处理，
如： 22d y dy a b cy f dt dt ++=
令12dy
x y,x dt
==
，则可得 1
2
21212
dx x dt
dx 1c b f
(f cx bx )x x dt a
a a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--=--+⎪⎩
一般地，n 阶常微分方程可以化为n 个一阶常微分方程组成的方程组。

作业：p170-171 5、9
p177 3、4。