土默特右旗高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

土默特右旗高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a 为无理数，则在过点P （a ，﹣）的所有直线中（ ）
A ．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
B ．恰有n （n ≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点
C ．有且仅有一条直线至少过两个有理点
D ．每条直线至多过一个有理点
2． 三个数60.5，0.56，log 0.56的大小顺序为（ ）
A ．log 0.56＜0.56＜60.5
B ．log 0.56＜60.5＜0.56
C ．0.56＜60.5＜log 0.56
D ．0.56＜log 0.56＜60.5
3． 偶函数f （x ）的定义域为R ，若f （x+2）为奇函数，且f （1）=1，则f （89）+f （90）为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1
4． 抛物线y=x 2的焦点坐标为（ ）
A ．（0，）
B ．（，0）
C ．（0，4）
D ．（0，2）
5． 数列﹣1，4，﹣7，10，…，（﹣1）n （3n ﹣2）的前n 项和为S n ，则S 11+S 20=（ ）
A ．﹣16
B ．14
C ．28
D ．30
6． 如图所示，在三棱锥的六条棱所在的直线中，异面直线共有（ ）111]
P ABC A ．2对 B ．3对 C ．4对
D ．6对
7． 执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k 的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
8． 函数在区间上的最大值为5，最小值为1，则的取值范围是（
）
2()45f x x x =-+[]0,m m A ． B ． C ．
D ．[2,)+∞[]2,4(,2]-∞[]0,29． 设f （x ）与g （x ）是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若函数y=f （x ）﹣g （x ）在x ∈[a ，b]上有两个不同的零点，则称f （x ）和g （x ）在[a ，b]上是“关联函数”，区间[a ，b]称为“关联区间”．若f （x ）=x 2﹣3x+4与g （x ）=2x+m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为（
）
A ．（﹣，﹣2]
B ．[﹣1，0]
C ．（﹣∞，﹣2]
D ．（﹣，+∞）
10．如图是七位评委为甲，乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图（其中m ，n 为数字0～9中的一个），则甲歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为a 和b ，则一定有（ ）
A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．a=b
D ．a ，b 的大小与m ，n 的值有关
11．已知向量，，若，则实数（ ）(,1)a t = (2,1)b t =+ ||||a b a b +=- t =A. B. C. D. 2-1
-12【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力．12．sin （﹣510°）=（
）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．﹣
二、填空题
13．曲线y=x+e x 在点A （0，1）处的切线方程是 ．
14．双曲线x 2﹣my 2=1（m ＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m 的值为 ．
15．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝k 1＋k 2·2n （k 1，k 2为常数），且a 2，a 3，a 4－2成等差数列，则a n ＝________．
16．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数有两个极值点，则实数的()()ln f x x x ax =-a 取值范围是．
17．给出下列四个命题：
①函数y=|x|与函数表示同一个函数；
②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；
③函数y=3x 2+1的图象可由y=3x 2的图象向上平移1个单位得到；
④若函数f （x ）的定义域为[0，2]，则函数f （2x ）的定义域为[0，4]；
⑤设函数f （x ）是在区间[a ，b]上图象连续的函数，且f （a ）•f （b ）＜0，则方程f （x ）=0在区间[a ，b]上至少有一实根；其中正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号）
18．若双曲线的方程为4x 2﹣9y 2=36，则其实轴长为 ．
三、解答题
19．等差数列{a n }的前n 项和为S n ．a 3=2，S 8=22．
（1）求{a n }的通项公式；
（2）设b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．
20．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数，()()3231312
f x x k x kx =-
+++其中.
k R ∈（1）当时，求函数在上的值域；
3k =()f x []0,5
（2）若函数在上的最小值为3，求实数的取值范围.
()f x []1,2k 21．已知双曲线C ：与点P （1，2）．
（1）求过点P （1，2）且与曲线C 只有一个交点的直线方程；
（2）是否存在过点P 的弦AB ，使AB 的中点为P ，若存在，求出弦AB 所在的直线方程，若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）椭圆C ：＋＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，A ，B x
2a 2y 2
b 2
是C 的长轴上的两个顶点，已知|PF |＝1，k PA ·k PB ＝－.12（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的中心O 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，求三角形PMN 面积的最大值，并求此时l 的方程．23．如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，为与的交点，平
P ABCD -ABCD E AC BD PA ⊥面，为中点，为中点．
ABCD M PA N BC
（1）证明：直线平面；
//MN ABCD
（2）若点为中点，，，，求三棱锥的体积．
Q PC 120BAD ∠=︒PA =1AB =A QCD -
24．已知，且．
（1）求sin α，cos α的值；
（2）若，求sin β的值．
土默特右旗高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：设一条直线上存在两个有理点A（x1，y1），B（x2，y2），
由于也在此直线上，
所以，当x1=x2时，有x1=x2=a为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；
当x1≠x2时，直线的斜率存在，且有，
又x2﹣a为无理数，而为有理数，
所以只能是，且y2﹣y1=0，
即；
所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是；
所以，正确的选项为C．
故选：C．
【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目．
2．【答案】A
【解析】解：∵60.5＞60=1，
0＜0.56＜0.50=1，
log0.56＜log0.51=0．
∴log0.56＜0.56＜60.5．
故选：A
【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了指数函数和对数函数的性质，对于此类大小比较问题，有时借助于0和1为媒介，能起到事半功倍的效果，是基础题．
3．【答案】D
【解析】解：∵f（x+2）为奇函数，
∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2），
∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2）=f（x﹣2），
即﹣f（x+4）=f（x），
则f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=﹣f（x+4）=f（x），
即函数f（x）是周期为8的周期函数，
则f（89）=f（88+1）=f（1）=1，
f（90）=f（88+2）=f（2），
由﹣f（x+4）=f（x），
得当x=﹣2时，﹣f（2）=f（﹣2）=f（2），
则f（2）=0，
故f（89）+f（90）=0+1=1，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．
4．【答案】D
【解析】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y，
∴焦点坐标为（0，2）．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．
5．【答案】B
【解析】解：∵a n=（﹣1）n（3n﹣2），
∴S11=（）+（a2+a4+a6+a8+a10）
=﹣（1+7+13+19+25+31）+（4+10+16+22+28）
=﹣16，
S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）
=﹣（1+7+...+55）+（4+10+ (58)
=﹣+
=30，
∴S11+S20=﹣16+30=14．
故选：B．
【点评】本题考查数列求和，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用．
6． 【答案】B
【解析】
试题分析：三棱锥中，则与、与、与都是异面直线，所以共有三对，故选
P ABC -PA BC PC AB PB AC B ．
考点：异面直线的判定．
7． 【答案】A
解析：模拟执行程序框图，可得
S=0，n=0
满足条，0≤k ，S=3，n=1
满足条件1≤k ，S=7，n=2
满足条件2≤k ，S=13，n=3
满足条件3≤k ，S=23，n=4
满足条件4≤k ，S=41，n=5
满足条件5≤k ，S=75，n=6
…
若使输出的结果S 不大于50，则输入的整数k 不满足条件5≤k ，即k ＜5，
则输入的整数k 的最大值为4．
故选：
8． 【答案】B
【解析】
试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知需从开始，要取得最大值为，由图可知m m 的右端点为，故的取值范围是.
m []2,4
考点：二次函数图象与性质．
9． 【答案】A
【解析】解：∵f （x ）=x 2﹣3x+4与g （x ）=2x+m 在[0，3]上是“关联函数”，
故函数y=h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣5x+4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即
，解得﹣＜m ≤﹣2，故选A ．【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．
10．【答案】C
【解析】解：根据茎叶图中的数据，得；
甲得分的众数为a=85，
乙得分的中位数是b=85；
所以a=b ．
故选：C ．
11．【答案】B 【解析】由知，，∴，解得，故选B.
||||a b a b +=- a b ⊥ (2)110a b t t ⋅=++⨯= 1t =-
12．【答案】C
【解析】解：sin（﹣510°）=sin（﹣150°）=﹣sin150°=﹣sin30°=﹣，
故选：C．
二、填空题
13．【答案】　2x﹣y+1=0　．
【解析】解：由题意得，y′=（x+e x）′=1+e x，
∴点A（0，1）处的切线斜率k=1+e0=2，
则点A（0，1）处的切线方程是y﹣1=2x，即2x﹣y+1=0，
故答案为：2x﹣y+1=0．
【点评】本题考查导数的几何意义，以及利用点斜式方程求切线方程，注意最后要用一般式方程来表示，属于基础题．
14．【答案】　4　．
【解析】解：双曲线x2﹣my2=1化为x2﹣=1，
∴a2=1，b2=，
∵实轴长是虚轴长的2倍，
∴2a=2×2b，化为a2=4b2，即1=，
解得m=4．
故答案为：4．
【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．
15．【答案】
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝k1＋2k2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（k1＋k2·2n）－（k1＋k2·2n－1）＝k2·2n－1，∴k1＋2k2＝k2·20，即k1＋k2＝0，①
又a2，a3，a4－2成等差数列．
∴2a3＝a2＋a4－2，
即8k2＝2k2＋8k2－2.②
由①②联立得k1＝－1，k2＝1，
∴a n ＝2n －1.答案：2n －116．【答案】
.
【解析】由题意,y ′=ln x +1−2mx
令f ′（x ）=ln x −2mx +1=0得ln x =2mx −1，
函数有两个极值点,等价于f ′（x ）=ln x −2mx +1有两个零点，()()ln f x x x mx =-等价于函数y =ln x 与y =2mx −1的图象有两个交点，
，
当m =
时，直线y =2mx −1与y =ln x 的图象相切，1
2
由图可知,当0<m <时，y =ln x 与y =2mx −1的图象有两个交点，
1
2
则实数m 的取值范围是（0,），
1
2
故答案为：（0,）.
1
2
17．【答案】　③⑤　
【解析】解：①函数y=|x|，（x ∈R ）与函数，（x ≥0）的定义域不同，它们不表示同一个函数；
错；
②奇函数y=，它的图象不通过直角坐标系的原点；故②错；
③函数y=3（x ﹣1）2的图象可由y=3x 2的图象向右平移1个单位得到；正确；④若函数f （x ）的定义域为[0，2]，则函数f （2x ）的定义域由0≤2x ≤2，⇒0≤x ≤1，它的定义域为：[0，1]；故错；
⑤设函数f （x ）是在区间[a ．b]上图象连续的函数，且f （a ）f （b ）＜0，则方程f （x ）=0在区间[a ，b]上至少有一实根．故正确；故答案为：③⑤　
18．【答案】　6　．
【解析】解：双曲线的方程为4x 2﹣9y 2=36，即为：
﹣
=1，
可得a=3，
则双曲线的实轴长为2a=6．故答案为：6．
【点评】本题考查双曲线的实轴长，注意将双曲线方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=2，S 8=22．
∴
，
解得，
∴{a n }的通项公式为a n =1+（n ﹣1）=．
（2）∵b n ==
=﹣，
∴T n =2+…+
=2=
．
20．【答案】（1）;（2）.[]1,212k ≥【解析】试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得，再
()'f x =()()31x x k --分和两种情况进行讨论；
1k ≤1k >
试题解析：（1）解： 时，3k =()3
2
691
f x x x x =-++ 则()()()
2
3129313f x x x x x =-+=--'
令得列表
()0f x '=121,3x x ==x 0
()
0,11
()
1,33()
3,53
()f x '+
0 -0
+()
f x 1
单调递增5
单调递减
1
单调递增
21
由上表知函数的值域为()f x []
1,21
（2）方法一：()()()()
2
331331f x x k x k x x k =-++=--'①当时，，函数在区间单调递增1k ≤[]()1,2,'0x f x ∀∈≥()f x []1,2所以()()()min 3
1113132
f x f k k ==-+++= 即（舍） 5
3
k =
②当时，，函数在区间单调递减
2k ≥[]()1,2,'0x f x ∀∈≤()f x []1,2 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意
③当时,
12k <<当时，区间在单调递减
[)1,x k ∈()'0f x <()f x [)1,k 当时，区间在单调递增(],2x k ∈()'0f x >()f x (],2k 所以()()()322min 3
13132
f x f k k k k k ==-+++=化简得：32340k k -+=即()()2
120
k k +-=所以或（舍）
1k =-2k =注：也可令()3
2
34
g k k k =-+则()()2
3632g k k k k k =='--对()()1,2,0
k g k ∀∈'≤在单调递减
()3234g k k k =-+()1,2k ∈所以不符合题意
()02g k <<
综上所述：实数取值范围为k 2
k ≥方法二：()()()()
2
331331f x x k x k x x k =-++=--'①当时，，函数在区间单调递减2k ≥[]()1,2,'0x f x ∀∈≤()f x []1,2 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意 …………8分
②当时，，函数在区间单调递增
1k ≤[]()1,2,'0x f x ∀∈≥()f x []1,2所以不符合题意()()min 23f x f <=
③当时,
12k <<当时，区间在单调递减[)1,x k ∈()'0f x <()f x [)1,k 当时，区间在单调递增
(],2x k ∈()'0f x >()f x (],2k 所以不符合题意()()()min 23f x f k f =<=综上所述：实数取值范围为k 2k ≥21．【答案】
【解析】解：（1）当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1，与曲线C 有一个交点．…当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ﹣2=k （x ﹣1），代入C 的方程，并整理得（2﹣k 2）x 2+2（k 2﹣2k ）x ﹣k 2+4k ﹣6=0 （*）（ⅰ）当2﹣k 2=0，即k=±时，方程（*）有一个根，l 与C 有一个交点
所以l 的方程为…
（ⅱ）当2﹣k 2≠0，即k ≠±
时
△=[2（k 2﹣2k ）]2﹣4（2﹣k 2）（﹣k 2+4k ﹣6）=16（3﹣2k ），
①当△=0，即3﹣2k=0，k=时，方程（*）有一个实根，l 与C 有一个交点．所以l 的方程为3x ﹣2y+1=0…综上知：l 的方程为x=1或或3x ﹣2y+1=0…
（2）假设以P 为中点的弦存在，设为AB ，且A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
则2x 12﹣y 12=2，2x 22﹣y 22=2，
两式相减得2（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）=（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）…
又∵x 1+x 2=2，y 1+y 2=4，∴2（x 1﹣x 2）=4（y 1﹣y 2）即k AB =
=，…
∴直线AB 的方程为y ﹣2=（x ﹣1），…
代入双曲线方程2x 2﹣y 2=2，可得，15y 2﹣48y+34=0，由于判别式为482﹣4×15×34＞0，则该直线AB 存在．
…
【点评】本题考查了直线和曲线的交点问题，考查直线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．　
22．【答案】【解析】
解：
（1）可设P 的坐标为（c ，m ），
则＋＝1，c 2a 2m 2b 2
∴m ＝±，
b 2
a
∵|PF |＝1 ，
即|m |＝1，∴b 2＝a ，①
又A ，B 的坐标分别为（－a ，0），（a ，0），由k PA ·k PB ＝－得
12
·＝－，即b 2＝a 2，②b 2a c ＋a b 2
a c －a 1212
由①②解得a ＝2，b ＝，
2∴椭圆C 的方程为＋＝1.
x 24y 2
2
（2）当l 与y 轴重合时（即斜率不存在），由（1）知点P 的坐标为P （，1），此时S △PMN ＝×2×＝
212
222.
当l 不与y 轴重合时，设其方程为y ＝kx ，代入C 的方程得＋＝1，即x ＝±，x 24k 2x 2221＋2k 2
∴y ＝±
，2k 1＋2k 2
即M （，），N （，），
21＋2k 22k 1
＋2k 2－21＋2k 2－2k 1＋2k 2∴|MN |＝
(
41＋2k 2)2 ＋(4k 1＋2k 2)
2
＝4，
1＋k 2
1
＋2k 2点P （，1）到l ：kx －y ＝0的距离d ＝，∴S △PMN ＝|MN |d
＝·
2|2k －1|
k 2＋11212
4·
1＋k 21＋2k 2|2k －1|k 2＋1＝2·＝2
|2k －1|1＋2k 2
2k 2＋1－22k 1＋2k 2＝2 ，
1－22k
1＋2k
2当k ＞0时，≤＝1，22k 1＋2k 222k 22k
此时S ≥0显然成立，
当k ＝0时，S ＝2.
当k ＜0时，≤＝1，
－22k 1＋2k 21＋2k 2
1＋2k 2
当且仅当2k 2＝1，即k ＝－时，取等号．
22
此时S ≤2，综上所述0≤S ≤2.
22即当k ＝－时，△PMN 的面积的最大值为2
，此时l 的方程为y ＝－
x .
22
222
23．【答案】（1）证明见解析；（2）.
1
8
【解析】
试题解析：（1）证明：取中点，连结，，PD R MR RC ∵，，，//MR AD //NC AD 1
2
MR NC AD ==
∴，，//MR NC MR AC =∴四边形为平行四边形，
MNCR ∴，又∵平面，平面，//MN RC RC ⊂PCD MN ⊄PCD ∴平面．
//MN PCD
（2）由已知条件得，所以1AC AD CD ===ACD S ∆=所以．111328
A QCD Q ACD ACD V V S PA --∆==
⨯⨯=
考点：1、直线与平面平行的判定；2、等积变换及棱锥的体积公式.24．【答案】
【解析】解：（1）将sin +cos
=
两边平方得：（sin
+cos
）
2=sin 2
+2sin cos +cos 2=1+sin α=
，∴sin α=，∵α∈（，π），
∴cos α=﹣=﹣
；
（2）∵α∈（，π），β∈（0，），
∴α+β∈（
，
），
∵sin （α+β）=﹣＜0，∴α+β∈（π，），
∴cos （α+β）=﹣
=﹣，
则sinβ=sin=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×（﹣）﹣（﹣）×=+=．
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．。