MM定理的严格推导

MM 定理的严格推导
一基本模型
1. 未确定现金流的资本化率
假设公司只进行股权融资。

假设1：公司拥有的实物资产会带来一系列现金流（即收益），现金流是随机变量，不同个体对各现金流的预期期望值相同。

假设21：某一公司的股票收益与同一类别（这应该就是类别的定义吧）的另一公司的股票收益的比值为常数。

也就是说，对同一类别的公司，
股票收益
股价
有完全相同的分布（不是独
立同分布，而是同一个分布）。

在上述假设下，每一类别的公司股票收益与其股价的比值的期望为常数。

即，
(1)j
j k
X P ρ=
或
(2)j
k j
X P ρ=
其中，j P 是第k 类公司中、公司j 的股价，j
X
是其股票收益的期望，k ρ为常数。

k ρ具有三个含义：
a) 式(2)表示k ρ是1单位股份的期望收益。

b) 式(1)中，令1j
X
=，则1
j k
P ρ=
，表示
1
k
ρ是为获得1单位收益所支付的成本。

c) 从终身年金的角度考虑，式(1)表示k ρ是未确定现金流的贴现率，即未确定现金流
的资本化率。

1
该假设过于严格，它保证了任何情况下MM 定理的成立。

该假设可放宽，比如，如果人们的投资决策只与
投资收益的分布有关，则只要假设同一类别公司的股票收益分布相同即可，不需要完全相关。

2. 债务融资和其对股价的影响
可发债情况下，债务比例越高，公司的破产风险越大，股价波动也越大。

公司有不同的“杠杠”，因此同一类别的公司的股票不是完全替代了，高杠杆公司的股票应该要求更高的收益率。

假设1：所有债券在单位时间内有确定的现金流。

假设2：债券市场完全竞争。

即所有债券的收益与价格的比值相同，且是确定的。

命题I ：在类别k 中，设公司j 的息前收益的期望为j
X
，公司债务的市场价值为j D ，公司
普通股的市场价值为j S ，公司价值为j j j V D S =+，则
表述1 对在类别k 下的任一公司j ，有
j
j j j k
X V D S ρ=+=
即：同一类别下的各公司价值与资本结构无关，仅取决于公司的期望收益和无杠杠公司的资本化率。

同一类别所有公司的价值都是其期望收益的常数倍。

表述2 对在类别k 下的任一公司j ，有
j j
k j j j
X X S D V ρ=+
即：同一类别下各公司的平均资本成本与资本结构无关，且等于无杠杆公司的资本化率。

证明：考虑同一类别下的两个公司。

公司1全部用股权融资，公司2有杠杠。

设两家公司的息前收益为12,X X ，根据前面的假设，
1
2
X a X =为常数。

考虑如下两种资产组合：
组合1：用1元钱买公司2的股票。

组合2：用1元钱+借入的121V aS ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
买公司1的股票。

组合1的收益为22
1
2
X rD Y S -=
，组合2的收益为 11
111212122222211111X V V X V X V Y r r r V aS aS aS aS S aS ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
+---=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

组合1-组合2构成的新组合的成本为0，收益为12122
210V D Y Y r aS S ⎛⎫
-=--=
⎪⎝⎭，得
121222
1V D
V aV aS S =+⇔=
又1122X X a X X ≡
=，11k X V ρ=，代入上式得2212
11211k
k V V X X X X V a X X ρρ====。

证毕。

命题I I ：记j i 为第k 类别公司j 的普通股收益率，k ρ为相应的资本化率，则
()
j j k k j
D i r S ρρ=+-
即：股票的期望收益率等于相应的资本化率+杠杠化的风险溢价
证明：该命题是命题I 的推论。

由命题I ，j
j j j j j j k
k
S i D r
X V S D ρρ+=+==
，即j j j j j k
S i D r
S D ρ++=
，化简即得。

证
毕。

可以发现k ρ是加权平均资本成本，即
j j j j j j
j j
S D i r S D S D ρ+
=++。

j i 还是每股份额的期望收益率，即j j
j
j
X rD i S -=。

证明该式只需将j
j j k
X S D ρ+=
代
入命题I I 。

3. 一些评论和MM 定理的数学解释
可以发现在推导命题1和2时，资本化率扮演了一个非常重要的角色，公司的价值由其期望收益和资本化率完全决定，与其资本结构无关。

事实上，资本化率是风险中性测度下的贴现率，它将具有不同风险的现金流贴现到现期，从而得到公司价值。

有税情况下的MM 定理本质与无税情况相同，这里不再讨论。

MM 定理是无套利定价方法的一个特例。

我们可以将不同资本结构的公司股权看成金融资产。

由于MM 定理只考虑了同一类别下不同资本结构公司的市场价值，这其实是假设了现实中其他金融资产与公司股权不相关，没有作为无套利定价的参考变量。

那么，在这问题中所有的金融资产即为：不同资本结构的公司股票和无风险债券。

仅利用这些金融工具，我们要考虑的问题就是：公司的股票价值要满足什么条件，才能保证无套利？
这相当于给金融衍生品定价，标的资产就是公司的收益。

而衍生品定价的无套利方法非常直观明白易懂。

这个问题比MM 定理更简单明了，而且解决起来很简单，也更容易推广。

下面具体来解决问题。

下面讨论的所有公司都处于同一类别。

设公司j 发行一份合约j C ，该合约给持有人的收益为公司的净利润，即资本收益-债券利息，则该合约是一份衍生品（MM 定理貌似没有考虑破产风险，这个合约不是看涨期权，即在资本收益小于债券利息的情况下持有人要蒙受损失），标的资产为公司的资本收益，其
价格为公司股权价值j S ，设债权价值为j D ，无风险收益率为r ，公司的资本收益为j X 。

如何给该合约定价是我们要考虑的问题。

由于公司的资本收益具有完全相关性，这里只需要两个不同的公司即可构造无风险组合。

对任意公司,i j ，每期末合约的收益为i
i i Y X rD =-，j j j Y X rD =-。

设
i
j
X a X =，消去波动性，购买1份公司i 的合约，卖出a 份公司j 的合约，则每期末收益为
i j j i Y aY arD rD -=-
其成本为
i j S aS -
这是一个无风险组合，具有无风险收益率，则
()j i
i
j
arD rD S aS r
--=
，即成本=收益的现值。

2（3）
若i 公司为无杠杠公司，则
,0i
i i i X S V D ρ
==
=
又
i
j
X a X =
代入（3）式即得
j
j j j X V S D ρ
=+=
实际上，由（3）式可直接得出公司价值与资本结构无关。

化简（3）式得
i
i j
j V X a V X ==
即公司价值只与资本收益的均值相关，与资本结构无关。

4. 对ρ的进一步解释
既然公司的价值只与资本收益有关，则ρ不只是表示了无杠杠公司的资本报酬率，实际上它是对公司价值和资本收益的关系的一种测度。

对于任意公司，以该公司的资本收益除
以公司价值，该值就是ρ，然后可以用ρ去计算同一类别的其他公司的价值。

实际上ρ是该类别的特征价格。

2
MM 定理构造了每期的无套利组合，这里构造了整个时期的无套利组合。

经过上面的讨论，有如下结论：
(1)公司的价值只取决于两个因素：a. 资本收益的均值；b. 公司类别的特征价格。

公司价值为两者之商。

(2)公司类别的特征价格就是该类别中无杠杠公司的股权资本报酬率，也等于所有公司的加权平均资本率。

也就是说，同一类别所有公司的加权平均资本率都相同，等于其特征价格。