2022年教学教材《2021江苏高中数学一轮学案 等差数列及其前n项和》优秀教案

第二节等差数列及其前n项和
[最新考纲]项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数的关系．
1．等差数列
1定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示－a n＝dn∈N*，d为常数．
为a n
＋1
2等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝错误!，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式
1通项公式：a n＝a1＋n－1d
2前n项和公式：S n＝na1＋错误!d＝错误!
3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
1当d≠0时，等差数列{a n}的通项公式a n＝dn＋a1－d是关于d的一次函数．
2当d≠0时，等差数列{a n}的前n项和S n＝错误!n2＋错误!n是关于n的二次函数．
4．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{a n}中，a1>0，d0，那么S n存在最小值．
错误!
等差数列的常用性质
1通项公式的推广：a n＝a m＋n－mdn，m∈N*．
2假设{a n}为等差数列，且m＋n＝＋a n＝a，n，，a＋2m，…，m∈N*是公差为md的等差数列．4数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…m∈N*也是等差数列，公差为m2d
5假设{a n}，{b n}均为等差数列且其前n项和为S n，T n，那么错误!＝错误!
6假设{a n}是等差数列，那么错误!也是等差数列，其首项与{a n}的首项相同，公差是{a n}的公差的错误!
7假设等差数列{a n}的项数为偶数2n，那么
①S2n＝na1＋a2n＝…＝na n＋a n＋1；
②S
偶－S
奇
＝nd，错误!＝错误!
8假设等差数列{a n}的项数为奇数2n＋1，那么
①S2n
＋1
＝2n＋1a n＋1；②错误!＝错误!
一、思考辨析正确的打“√〞，错误的打“×〞
1假设一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，那么这个数列是等差数列．2等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的
3数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2
4等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．
[答案]1×2√3√4×
二、教材改编
1．等差数列{a n}中，a4＋a8＝10，a10＝6，那么公差d等于
C．2D．－错误!
A[∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5，
又a10＝6，∴公差d＝错误!＝错误!＝错误!应选A]
2．设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，假设a6＝2且S5＝30，那么S8等于
A．31 B．32
C．33 D．34
B[设数列{a n}的公差为d，
法一：由S5＝5a3＝30得a3＝6，
又a6＝2，
∴S8＝错误!＝错误!
＝错误!＝32
法二：由错误!
得错误!
∴S8＝8a1＋错误!d＝8×错误!－28×错误!＝32]
3．等差数列－8，－3,2,7，…，那么该数列的第100项为．
487[依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487]
4．某剧场有2021位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，那么剧场总共的座位数为．
82021设第n排的座位数为a n n∈N*，数列{a n}为等差数列，其公差d＝2，那么a n＝a1＋n－1d＝a1＋2n－1．由a20210，得60＝a1＋2×2021，解得a1＝22，那么剧场总共的座位数为错误!＝错误!＝
82021
考点1等差数列根本量的运算
解决等差数列运算问题的思想方法
1方程思想：等差数列的根本量为首项a1和公差d，通常利用条件及通项公式或前n项和公式列方程组求解，等差数列中包含a1，d，n，a n，S n五个量，可“知三求二〞．2整体思想：当所给条件只有一个时，可将和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
3利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
12021·全国卷Ⅰ记S n为等差数列{a n}的前n项和．S4＝0，a5＝5，那么
A．a n＝2n－5B．a n＝3n－10
C．S n＝2n2－8n D．S n＝错误!n2－2n
A[由题知，错误!
解得错误!∴a n＝2n－5，S n＝n2－4n，应选A]
2．2021·全国卷Ⅰ记S n为等差数列{a n}的前n项和．假设3S3＝S2＋S4，a1＝2，那么a5等于A．－12 B．－10
C．10 D．12
B[设等差数列{a n}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，
得3错误!＝2a1＋错误!×d＋4a1＋错误!×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，
故a5＝a1＋5－1d＝2＋4×－3＝－]
3．2021·黄山三模?算法统宗?是古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌〞就是其中一首：一个公公九个儿，假设问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为a n，那么a1＝
A．23 B．32
C．35 D．38
C[由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为－3，那么9a1＋错误!×－3＝2021解得a1＝35，应选C]
确定等差数列的关键是求出两个最根本的量，即首项a1和公差d
考点2等差数列的判定与证明
等差数列的4个判定方法
1定义法：证明对任意正整数n都有a n＋1－a n等于同一个常数．
2等差中项法：证明对任意正整数n都有2a n＋1＝a n＋a n＋2
3通项公式法：得出a n＝＋n＝，n，＋a n＝a＞1，且a m
－1＋a m
＋1
－a错误!－1＝0，S2m
－1
＝39，
那么m等于
A．39 B．2021．19 D．10
B[数列{a n}为等差数列，那么a m－1＋a m＋1＝2a m，那么a m－1＋a m＋1－a错误!－1＝0可化为2a m －a错误!－1＝0，解得a m＝－1＝2m－1a m＝39，
那么m＝]
2．设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，假设对任意的n∈N*，都有错误!＝错误!，那么错误!＋错误!的值为
C[由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，
∴错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!应选C]
考点4等差数列前n项和的最值问题
求等差数列前n项和S n最值的2种方法
1函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式S n＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
2邻项变号法：
①当a1>0，d0时，满足错误!的项数m使得S n取得最小值为S m
[一题多解]等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝13，S3＝S11，当S n最大时，n的值是A．5 B．6
C．7 D．8
C[法一：邻项变号法由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0根据首项等于13可推知这个数列为递减数列，从而得到a7>0，a80，当n≥14时，a n<0所以当n＝12或n＝13时，S n取得最大值．
法二：S n＝2021错误!·错误!
＝－错误!n2＋错误!n
＝－错误!错误!错误!错误!
因为n∈N*，所以当n＝12或n＝13时，S n有最大值．
法三：由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0
所以5a13＝0，即a13＝0
所以当n＝12或n＝13时，S n有最大值．
此题用了三种不同的方法，其中方法一是从项的角度分析函数最值的变化；方法二、三是借助二次函数的图象及性质给与解得，三种方法各有优点，灵活运用是解题的关键．1设数列{a n}是公差d＜0的等差数列，S n为其前n项和，假设S6＝5a1＋10d，那么S n取最大值时，n的值为
A．5 B．6
C．5或6 D．11
C[由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，化简得a1＝－5d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，S n 最大．]
2．2021·北京高考设{a n}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．1求{a n}的通项公式；
2记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．
[解]1∵{a n}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．
∴a3＋82＝a2＋10a4＋6，
∴－2＋2d2＝d－4＋3d，解得d＝2，
∴a n＝a1＋n－1d＝－10＋2n－2＝2n－12
2法一：函数法由a1＝－10，d＝2，
得S n＝－10n＋错误!×2＝n2－11n＝错误!错误!－错误!，
∴n＝5或n＝6时，S n取最小值－30
法二：邻项变号法由1知，a n＝2n－12
所以，当n≥7时，a n＞0；当n≤6时，a n≤0所以S n的最小值为S6＝－30。