开普勒三定律的数学证明

开普勒三定律的数学证明
摘 要：本文依次对开普勒第二，第三和第一定律进行详细的数学证明，并用物理学中角动量守恒的方法对开普勒第二定律进行证明。

关键字：开普勒定律；角动量守恒
Mathematical Proofs of Kepler ’s Law
Du Yonghao
(Civil Engineering Department of Southeast University, Nanjing 211189, China)
Abstract: My paper particularly derives Kepler ’s Second Law, Third Law and First Law in mathematical methods in order. Law of Conservation of Angular Momentum is also applied to derive Kepler ’s Second Law.
Key words: Kepler ’s Law; Law of Conservation of Angular Momentum
1 前言
开普勒第一定律，也称椭圆定律、轨道定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。

开普勒第二定律，也称面积定律：在相等的时间内，太阳和运动中的行星的连线（向量半径）所扫过的面积都是相等的。

这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。

开普勒第三定律，也称调和定律、周期定律：各个行星绕太阳的椭圆轨道的半长轴的立方和它们公转周期的平方成正比[1]。

2 开普勒第二定律证明
2.1 数学方法
令()t r 为行星在t 时刻的位失，令()t t r ∆+为行星在()t t ∆+时刻的位失。

面积A ∆为在
t 时刻与()t t ∆+时刻间行星位失扫过的面积，即()t r 与
()()t r t t r r -∆+=∆所围成的三角形面积，如图1，得：
()r t r A ∆⨯≈
∆2
1
所以：
()t
r
t r t A ∆∆⨯≈∆∆21 令0→∆t ，得：
()()t r t r dt dA '⨯=2
1
()1 图1[2]
行星与太阳之间的万有引力是作用在行星上的唯一的力，引力大小为
)
2
t GMm ，其中m 为行
星的质量。

根据牛顿第二定律()ma F =得：
)
()()()t r m t a m t r t GMm ''==-
3
两边同时除以m 得：
()
)
()t t GM t r 3
-
='' ()2
所以：
()()()
()()()()(
))()
)()()0033
=⨯⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯='⨯'+''⨯='⨯t r t r t GM t t GM t t r t r t r t r t r t r dt
d
()3 可知向量()()t r t r '⨯是一个常数，
)()t r t '⨯也是一个常数。

所以
dt
dA
为一常数。

2.2 物理方法
行星在太阳的引力作用下绕日运动，所以行星受到的引力对太阳的力矩为零，即行星对太阳的角动量L
守恒（为常矢量）。

根据角动量守恒，L 的大小为：
θsin mrv r m L ==== 为常数（其中θ为r 与v 的夹角）
设在足够小的时间dt 内，太阳到行星的位矢r 扫过的的角度很小，于是在dt 时间内位矢r 扫过的三角形面积为：
dt
rv dS dt
θsin 2
1
2
1
d =⨯=
所以位矢r 扫过的面积的速度为：
θsin 2
1
rv dt dS u ==
所以得：
mu L 2=
根据角动量守恒定律L 为常量，所以m
L
u 2=为常量。

所以行星运动单位时间内扫过的面积为定值。

3 开普勒第三定律证明
将太阳置为原点（太阳在行星椭圆轨道的一个焦点上），椭圆长轴在x 轴上，如图2。

根据椭圆的性质可知a CF C F 2=+'，又因为CF C F ='，所以a CF C F =='且
a BF B F 2=+'。

根据勾股定理：
222c b a +=，()
()2
22
2c h B F +=' 如图3
因为h a BF a B F -=-='22，所以：
()()
()222
2
2
24422h ah a h a B F c h +-=-='=+
化简得：
ah a c -=22
又因为2
2
2
c b a +=，所以：
ah
b ah a
c b a =-==-2
2222 ()4
FB 与x 轴夹角为2/π，根据开普勒第一定律得：
()()()2
0212/cos 112/⎪⎭
⎫ ⎝⎛=++==dt dA GM e e r r h ππ
因为ah b =2
，2
21⎪⎭
⎫
⎝⎛=dt dA GM h
所以：
()()()322
2
322222
2
4/2///a GM GM dt dA dt dA a ah dt dA a dt dA ab T ππππ===⎪⎭
⎫ ⎝⎛= ()5 所以开普勒第三定律指出周期的立方和行星与太阳间距的平方成正比。

4 开普勒第一定律证明
图2[2]
图3[2]
令()t r 为t 时刻行星的位失，
()()t r t r =为行星和太阳的距离，所以()()()t t r θ,为t 时刻行星的极坐标。

令()()j i r r u θθsin cos /1+==
()()j i u θθcos sin 1+-=，得： 21u u θ'=' 12u u θ'-='
所以：
()
()()()()2
11
sin cos cos sin u r u r j
r i r j r i r dt
u r d dt r d v θθθθθθθ'+'='+'+'+'-===
()()
()212
2u r r u r r dt
v d a θθθ''+''+'-''==
()6 因为行星受万有引力方向与其位置方向相反。

所以：
()0
222
=''+''-=
'-''θθθr r r GM
r r ()7
令'
⨯=r r D ，得： k r D θ'=2
将0=t 代入k v r D 00=,当()00r r =时，且()00v v =成立，可证：
t 为任意值时都有 002v r r ='θ ()8
令r q '=，根据()7()8：
()()232
0202
32
422
r
GM r v r dr dq q r GM
r r r GM r r -=-'=-+'=''θθ 两边同时对r 进行积分得：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22
02002
1112r r v r r GM q ()9
令r p /1=，代入()9得：
图4[2]
()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛'202200222
02012p p v p p GM dt dp v r θ 2
2.02
02
202
002
2.02
02
202
002
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-±=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v GM
p p v GM p p d dp v GM p p v GM p p d dp θ
θ ()10
对()10分离变量并积分得：
θ=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---2
0200
2
201//cos v GM p p v GM p p 2
0202
020
2
002
2
2
2
0020
201111//cos v GM r v GM r r v GM r r v GM r r v GM p p v GM p p --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=
θ 11cos 1
cos cos 2002
2
02
02
002
2
02002
0+⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=GM v r GM
v r v GM v GM r r r v GM
v GM r r r θθθ
最后，我们得到r 关于θ的函数：
()θ
cos 110e e r r ++=
所以12
00-=GM
v
r e 为行星绕太阳椭圆轨道的离心率。

参考文献
[1] 李敏君, 邱荒逸. 用矢量法证明开普勒三定律[ J]. 高师理科学刊, 2000, 20 (4 ): 49- 52.
[2] [美]Dale Varberg, Edwin J. Purcell, Steven E. Rigdon. 微积分[ M]. 北京: 机械工业出版社, 2009.585- 588.。