矩形波的幅度频谱sintsin3...

第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱
本章重点13-1 非正弦周期信号
非正弦周期函数分解为傅里叶级数13-213-3
有效值、平均值和平均功率
非正弦周期电流电路的计算13-4
*13-5 对称三相电路中的高次谐波
傅里叶级数的指数形式
*13-6
傅里叶积分简介
*13-7
首页? 重点
1. 周期函数分解为傅里叶级数
2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率
3. 非正弦周期电流电路的计算
返回13-1 非正弦周期信号生产实际中,经常会遇到非正弦周期电流电
路。

在电子技术、自动控制、计算机和无线电技
术等方面,电压和电流往往都是周期性的非正弦
波形。

非正弦周期交流信号的特点
1 不是正弦波
2 按周期规律变化
f tf tnT
返回上页下页例1-1
半波整流电路的输出信号。

示波器内的水平扫描电压。

例1-2
周期性锯齿波
返回上页下页脉冲电路中的脉冲信号。

例1-3
t
T
返回上页下页例1-4
交、直流共存电路。

+V Es
返回上页下页13-2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数若周期函数满足狄里赫利条件:
①周期函数极值点的数目为有限个。

②间断点的数目为有限个。

③在一个周期内绝对可积,即
T
f t dt∞0可展开成收敛的傅里叶级数
注意一般电工里遇到的周期函数都能满足
狄里赫利条件。

返回上页下页周期函数展开成傅里叶级数:
直流分量
基波(和原
f tAA cost? 0 1m 1 1 函数同频)
二次谐波
A cos2t? ?
2m 1 2
(2倍频)
A cosnt? n m 1 n
高次谐波?
f tAA coskt? 0 km 1 k
k ?1
返回上页下页也可表示成
A cosk?t? a cosk ?tb sink ?t
km 1 k k 1 k 1f ?ta[a cosk ?t ?b sink ?t]0 k 1 k 1 k ?1
系数之间的关系为
Aa
0 0
2 2
Aab
km k k
aA cosb? A sink km k k km k b
k? arctan
k
a
k
返回上页下页系数的计算: T
1
Aaf ?td ?t
0 00
T
2π
1
af tcosktd? t
k 1 10
π
2π
1
bf ?tsinktd?t
k 1 10
求出A 、a 、b 便可得到原函数 ft 的展开式。

0 k k
返回上页下页注意
利用函数的对称性可使系数的确定简化
f t
①偶函数
f tf ?t b0
O
k
-T/2 T/2
t
f t
②奇函数
T/2
f t? f t a0 O
-T/2
k t
③奇谐波函数
f t
T
f t? f t ab0
O
2k 2k
T
T/2
2
返回上页下页周期函数的频谱图:
幅度频谱 Ak的图形
km 1
A
km
O
k ω 35 71
1 1 1 1
相位频谱k的图形
k 1
返回上页下页周期性方波信号的分解。

例2-1
TI 0ti
mS2
i tIS
m
T0 t ?T
t? 2
O
T/2 T
解
图示矩形波电流在一个周期内的表达式为T T / 2
1 1 I
m
直流分量:
Ii t dtI dt0 S m?
0 0
T T 2
2 π
1
谐波分量: bi ?t sin k ?td ?t
k S0
π
0k为偶数
I 1π
m[coskt ]? 2 I
m
π kk为奇数
kπ返回上页下页2 π2
ai ?t cos k ?td ?t
k S0
π
2 I 1
m π? sin k ?t0
π k
2I
2 2
m
Ababk k k k
(k为奇数)
kπ
的展开式为
i
S
I 2I 1 1
m m
i? [sin ?tsin3 ?tsin5 ?t?]
S
2 π
3 5
返回上页下页周期性方波波形分解直流分量
基波
t
t
三次谐波
七次谐波
五次谐波
t
返回上页下页直流分量+基波
直流分量
基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
返回上页下页等效电源
i
S
i
I
i
i
S1
S0
S3
S5
I
m
t
O
T/2 T
I 2I 1 1
m m
i? [sin ?tsin3 ?tsin5 ?t?] S
2 π
3 5
i
I
i i S5
S0
S1 S3
返回上页下页A
km
i
S 矩形波的
幅度频谱
I
m
t
O
T/2 T
k1
O 3 571 1 1 1
I 2I 1 1
m m
i? [sin ?tsin3 ?tsin5 ?t?] S
2 π
3 5k 3571 1 1 1
O
k ω
1
矩形波的
相位频谱
- π/2
返回上页下页13-3 有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
①正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。

2 π 2 π
sin k ?td ?t0cos k ?td ?t0?
0 0
2 2
k整数
② sin 、cos 在一个周期内的积分为?。

2 π 2 π
2 2
sin k ?td ?tπ cos k ?td ?tπ?
0 0
返回上页下页③三角函数的正交性。

2 π
cos k ?t ?sin p ?td ?t00
2 π
cos k ?tcos p ?td ?t0?
2 π
sin k ?t ?sin p ?td ?t0
kp返回上页下页2. 非正弦周期函数的有效值若 itII cosk ?t? 0 km k
k ?1
则有效值:
T
1
2
Ii?t ?dt0
T
2T
1 II cos ?k ?t dt0 km k0?
Tk ?1返回上页下页2T
1III cos k ?t? dt0 km k0?
Tk ?1T
1
2 2
I dtI0 00
T
T
1
2 2 2
I cos kt? dtI
km 1 k k0
T
T
1
2I cos k ?t? dt0
0 k0
T
T
1
2I cos k ?t? I cos q ?t? dt0
km k qm q0
T
kq返回上页下页2I
2
km
II0
2
k ?1
2 2 2IIII
0 1 2
结论周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。

返回上页下页3. 非正弦周期函数的平均值若
itII cosk ?t? 0 km k
k ?1
T
1
Ii t d tI
其直流值为0
T
T
1
其平均值为
Ii t d t
av0
T
正弦量的平均值为
T
1
II cos ?t dt0.898 I
av m0
T
返回上页下页4.非正弦周期交流电路的平均功率u tUU
cos k ?t? 0 km uk
k ?1itII cos k ?t? 0 km ik
k ?1
T
1
Puidt0
T
利用三角函数的正交性,得PU IU I cos ? 0 0 k k k k uk ik k ?1PPP?
0 1 2
返回上页下页P ?U I ?UI cos?U I cos
0 0 1 1 1 2 2 2
结论
平均功率=直流分量的功率+各次谐波的平均功率
返回上页下页 13-4 非正弦周期电流电路的计算
1. 计算步骤
①利用傅里叶级数,将非正弦周期函数展开成若
干种频率的谐波信号。

②对各次谐波分别应用相量法计算。

(注意:交流
各谐波的 X 、X 不同,对直流 C 相当于开路、
L C
L 相于短路。

)
③将以上计算结果转换为瞬时值叠加。

返回上页下页2. 计算举例
例4-1 方波信号激励的电路,求u, 已知: +
R20、L ?1mH 、 C ?1000pF
i
R
S
I ?157μA 、 T6.28μs
m
C
u
L
解 1 方波信号的展开式为
-
i
S
I 2I 1
m m
i? [sin ?tsin3 ?tS
I
2 π 3
m
t
1 sin5 ?t?]
O
T/2 T
5I ?157μA, T6.28μs
代入已知数据:
m
返回上页下页I 157 m
直流分量:
I? μA78.5μA
2 2
2I 2 ?1.57
m
I? μA100 μA
基波最大值:
1m3.14
1
II33.3μA
三次谐波最大值:
3 m 1m
3
1
五次谐波最大值:
II20μA
5 m 1m
5
2π 23.14
6 rad/s10 rad/s
角频率:
6
T 6.28 ?10
返回上页下页电流源各频率的谐波分量为6
I78.5μA
i100sin10 t μA
S0
S1
100
100
6
6
isin5 ?10 t μA
isin3 ?10 t μA
S5
S3
5
3
(2) 对各次谐波分量单独计算: +
I
S0
(a 直流分量 I 作用
S0
u
R
I78.5μA
S0
-
电容断路,电感短路
6
URI20 ?78.5 ?10 V ?1.57mV 0 S0
返回上页下页6
(b基波作用 i ?100sin10 t μA S1
+
1 ?1? Ω?1kΩ i
R
S
6 ?12C 10 ?1000 ?10
1
C
u
6 ?3
LL ?10 ?10 Ω ?1kΩ
1
-
X R
L
RjX jX X X L
L C L C
Z ? 50 kΩ
1
Rj XX R RC
L C
100 ?10 5000
3UI ?Z?50 ?10 0 V 0 mV
1 s1 1
2 2
返回上页下页100 6
isin3 ?10 t μA
c三次谐波作用
S3
3
1 1
+Ω0.33kΩ
6 ?12
i
R
3C 3 ?10 ?1000 ?10 S 1
C
u
6 ?3
3L3 ?10 ?10 Ω3kΩ
L
-
RjXL3 ?jXC 3Z3? 374.589.19 Ω1
RjXL3XC 3
6
10
UIZ333.3?374.5 ?89.19 V
3 s3 1
2
12.47? 89.2 mV
2
返回上页下页100
6
d五次谐波作用
isin5 ?10 t μA
S5
5
1 1 +Ω0.2kΩ
i
R
6 ?12
S
5C 5 ?10 ?1000 ?10
1
C
u
6 ?3
5L5 ?10 ?10 Ω5kΩ
L
1
-
RjXL5jXC 5Z 5? 208.389.53 Ω
1
Rj5XL5XC 5
610
UIZ520? 208.389.53 V
5 s5 1
2
4.166? 89.53 mV
2
返回上页下页 3各谐波分量计算结果瞬时值叠加12 .47?
U ?1.57 mV
U89 .2 mV
3
2
5000?
4.166
U 0 mV1U89.53 mV
2
5
2
uUuuu
0 1 3 5[1.575000 sin ?t 12.47 sin 3 ?t89.2 4.166 sin 5 ?t89.53 ] mV
返回上页下页求电路中各表读数有效值,
例4-2
π
3 3
已知 :u[30 ?120cos10 t60cos2 ?10 t ]V 。

4
V
2
40mH 1
L
2
A
3 3010mH C
A
1
1
c
d
A
2
C
2
25 ?F 25?F V
V
1
_
+ u
a
b
返回上页下页L 40mH
1 L L L
10mH
解
1 2 2
3030i
I
L2L20
I
i
C10
C1
c
c dd
C
2
1
25 ?F 25 ?F
I C C
i
0 1 2
__
U
u
aa ++ bb
1U 30V作用于电路,L 、L 短路,C 、C 开路。

0 1 2 1 2
I I U /R 30/30A1A,
0 L20 0
I 0,
C10
U U U 30V
ad0 cb0 0
返回上页下页2 u 120cos1 000t V作用1
3 ?3 3 ?3
L 1040 10 Ω40ΩL ?10 ?10 ?10 Ω ?10Ω1 2
1 1 1? Ω40Ω
3 ?6
C C 1025 10
1 2
j10
j40I
L21? 30?
U ?120 0 V
1I
C11
c d
I
II0 ?j40?
1 L21 1
j40
_
+?
U
U0 a
cb1 1
b
UU ?120 0 V
并联谐振
ad1 1120 0
Ij ?CUA3 90 A
C11 1 1j40
返回上页下页3 u 60cos2 000t+/4V作用
2
3 3
2 ?L2000 ?40 ?10 Ω ?80Ω, 2 ?L2000 ?10 ?10 Ω20Ω1 2
1 1 1? Ω20Ω
6
2 ?C 2 ?C 2000 ?25 ?10
1 2
j20
j80I
L22?
30?
U60 45 V
2I
C12
d
c?
II0
2 C12I
j20
2
j20
_+ U0ad2
a U
2 UU60 45 V
cb2 2?
U 60 45
并联谐振
1?
I? A345 A
L22
j2 ?L j20
2
返回上页下页所求电压、电流的瞬时值为iI + i + i 1A
0 1 2i I +i +i 3cos1000t+90 A
C1 C10 C11 C12i I +i +i [1+3cos2000t 45 ] A
L2 L20 L21 L22
u U + u + u [30+120cos1000t] V
ad ad0 ad1 ad2u U + u + u [30+60cos2000t+45 ]V cb cb0 cb1 cb2
表A 的读数:
3/ 22.12A
表A 的读数: 2
I ?1 A
1
2 2
表A 的读数:
13/ 22.35A
3
2 2
表V 的读数:
1
30120/ 290V
表V 的读数:
2 2
2
3060/ 252.0V
返回上页下页。