高等数学讲义答案第一章

第一章 极限与连续
第一节 函 数
【例1】研究函数)1ln()(2x x x f ++=的奇偶性，并求其反函数. 【分析】()f x 定义域为R ，
()ln(ln(()f x x x f x -=-==-+=-
故()f x 为奇函数.
由)1ln()(2
x x x f ++=
得，y e x =
y
e
x -=-+两式相减得.2
y y
e e x --=
【例2】设0,0()1,0x f x x <⎧=⎨≥⎩, 2
2,
1()||2,
1
x x g x x x ⎧-<⎪=⎨
-≥⎪⎩， 试求[()],[()]f g x g f x .
【分析】0,12
[()]1,12
x f g x x x ⎧≤<⎪=⎨<≥⎪⎩或，2,0[()]=1,0x g f x x <⎧⎨-≥⎩.
【例3】设函数2
||sin(2)
()(1)(2)x x f x x x x -=
--在下列哪个区间内有界( ).
()()A 1,0- ()()B 0,1 ()()C 1,2 ()()D 2,3
【分析】()1,0x ∈-，2
||sin(2)11
()(1)(2)144
x x f x x x x -=
≤=--⨯，故有界，选（A ） 21
1
1||sin(2)sin(2)lim ()lim lim (1)(2)(1)x x x x x x f x x x x x --
-
→→→--===+∞--- 1
1
1sin(2)sin(2)
lim ()lim lim (1)(1)
x x x x x f x x x ++
+→→→--===-∞-- 2
22
2
22sin(2)(2)1lim ()lim lim lim (2)(2)2x x x x x x f x x x x ++
++→→→→--====+∞--- 故BCD 均不正确.
第二节 极 限
【例1】讨论110
12lim
12
x x x
→-+.
【分析】11110
01212lim 1,lim 112
12
x x x x x
x
+
-
→→--=-=++,故此极限不存在.
【例2】讨论1
12
1
lim ()x
x x x e e
+→-. 【分析】111
11
1
2
2
1
1
2
2
lim ()lim ,lim ()lim
t
t
t
t
t t x
x x
x t t x x e e e e
x e e x e e t t +
-
++++→+∞→-∞→→---==+∞-==
故此极限不存在.
【例3】1
10|sin |lim 21x x x x e x e →⎛
⎫
⎪- ⎪ ⎪+⎝
⎭
. 【分析】1
1
1
1000|sin |sin lim 2lim 2lim 121
11x x
x x x x x x e x e x x e e +++
→→→⎛
⎫ ⎪-=-=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭
1
1
1
1000|sin |sin lim 2lim 2lim 10111x x
x x x x x x e x e x x e e --+
→→→⎛
⎫- ⎪-=-=--=- ⎪ ⎪++⎝
⎭
,
故1
10|sin |lim 2 1.1x x x x e x e →⎛
⎫
⎪-=- ⎪ ⎪+⎝⎭
【例1】)
0,0,0()(lim 1>>>++∞
→c b a c b a n
n
n
n n
【分析】不妨设0a b c ≥≥>，由3n n n n
n
a a
b
c a ≤++≤得11()3n n
n n n
a a
b
c a ≤++≤ 又因为1lim lim3n
n n a a a →∞→∞
==，由三明治定理得1lim().n
n
n n
n a b c a →∞
++=
故()1lim()max ,,.n
n
n n
n a b c a b c →∞
++=
【例2】)2211(
lim 222n n n
n n n +++++∞
→
【分析】由2221i i i n n n i n ≤≤+++得222
1111
n n n i i i i i i
n n n i n ===≤≤+++∑∑∑
又因为22111lim lim 12n
n n n i i i i n n n →∞→∞====++∑∑，由三明治定理得211
lim .2n
n i i n i
→∞==+∑
题型一 极限概念与性质
【例1】设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞
=, 则下面断言正确的是 ( ).
(A)若{}n x 发散，则{}n y 必发散 (B)若{}n x 无界，则{}n y 必有界 (C)若{}n x 有界， 则{}n y 必为无穷小 (D)若1
{
}n
x 为无穷小，则{}n y 必为无穷小 【分析】令,0n n x n y ==，(A)不正确；令0,n n x y n ==，(C)不正确；令
,1,3,50,1,3,5,0,2,4,6,2,4,6n n n n n x y n n n ==⎧⎧==⎨⎨
==⎩⎩
(B)不正确；选(D). 事实上，lim lim
01n
n n n n n
y x y x →∞
→∞
==，分母趋于0，分子趋于0，(D)正确. 【例2】{},{},{}n n n a b c 均为非负数列, 且lim 0n n a →∞
=,lim 1n n b →∞
=，lim n n c →∞
=∞, 则 ( ). (A),n n a b n <∀ (B),n n b c n <∀ (C)lim n n n a c →∞
不存在 (D)lim n n n b c →∞
不存在
【分析】对n ∀，(A) (B)肯定不正确，lim n n n a c →∞
可能存在可能不存在，选(D).
【例3】设函数()f x 在(),-∞+∞内单调有界, {}n x 为数列, 下面命题正确的是 ( ). (A)若{}n x 收敛，则{()}n f x 必收敛 (B)若{}n x 单调，则{()}n f x 必收敛 (C)若{()}n f x 收敛， 则{}n x 收敛 (D)若{()}n f x 单调， 则{}n x 收敛
【分析】{}n x 单调，由于()f x 单调，则{()}n f x 单调，又因为其有界，故由单调有界定理，(B)正确.
题型二 不定式求极限
【例1】
(1) 0x
0011233lim .3
x x x
x o x o x x (2) )cos 1(sin 1tan 1lim
x x x
x x -+-+→
()30
002
tan 1cos 1tan sin 1lim lim .1222
x x x x x x x
x x x →→→--===⨯
(3) lim
x
lim
lim
lim
1.x x x ===
(4) 3
01
2cos lim 13x x x x
32200012cos 12cos 1cos 11lim 1lim ln lim .3336x x x x x x x x
x x
(5) sin 30lim
x x
x e e x →-
()sin sin 3330001sin 1lim lim lim .6x x x x x x x x e e e e x x x x x -→→→---===-
(6) 211
lim (arctan arctan )
1x x x x →∞-+
()222220011arctan arctan 11111lim (arctan arctan )lim lim 12x t t t t t t t t x x x t t →∞→→--++++-==+
()
()2
220
11lim
1.2t t t t t
→++-+==
(7) ()()4
sin sin sin sin lim
x x x x x →-
()()()34330001sin sin sin sin sin sin sin sin 16lim lim lim .6
x x x x x x x x x x x x →→→--=== (8)()()()
40
1cos ln 1tan lim
sin x x x x x
→--+
()()()
()()42220
001cos ln 1tan ln 1tan tan ln 1tan 11tan lim
lim lim sin 22x x x x x x x x x x x x x
x x x →→→--+-+-+⎛⎫
-==+ ⎪⎝⎭
2201
tan 112lim .24x x
x →==
【例2】 (1) 222
11lim sin cos x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭
()()2222222224000cos sin cos sin 11cos sin lim lim lim sin cos cos sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→+--⎛⎫
-== ⎪⎝⎭
30cos sin 2
2lim
.
3x x x x x →-==-
(2)(
)
1
2lim x x x x e →+∞
⎛- ⎝ (
)()()
121
2
220
11lim lim 1.t
x
x t t e t x x e t +→+∞→--+⎛-==- ⎝
【例3】
(1) 3
1
0sin 1tan 1lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→
()3330
00tan 1cos 11tan 1tan sin 1lim
ln lim lim .1sin 1sin 2
x x x x x x x x x x x x x →→→-+-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
++⎝⎭⎝⎭ 3
1
1
201tan lim .1sin x x x e x →+⎛⎫= ⎪+⎝⎭
(2) 2
1cos
lim x x x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞
→ 2
22211111lim ln cos lim cos 1lim .22x x x x x x x x x →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2
121lim cos .x x e x -→∞⎛
⎫= ⎪⎝
⎭ (3) ()1
1
0ln 1lim x
e x x x -→+⎛⎫ ⎪⎝⎭
()()()2000ln 1ln 1ln 1111lim ln lim 1lim .12x x x x x x x x e x x x x →→→+++-⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
()1
1
1
2
0ln 1lim .x
e x x e x --
→+⎛⎫= ⎪⎝⎭
(4)()()2
lim x
x x
x a x b →∞⎡
⎤⎢
⎥-+⎣⎦
()()()()()()22
lim ln lim .x x x x a x b x x x a b x a x b x a x b →∞→∞⎡⎤--+==-⎢⎥-+-+⎣⎦
()()2lim .x
a b x x e x a x b -→∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦
(5) 11
ln lim 1x
x
x x →+∞
⎛⎫- ⎪
⎝⎭
()1112111ln 1ln 1ln 11ln lim ln 1lim lim lim 1.ln 111x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e →+∞→+∞→+∞→+∞-⎛⎫ ⎪⎛⎫--⎝⎭-=⋅===- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭--- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 11
ln 1lim 1.
x
x
x x e -→+∞
⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
(6) lim n
n →∞
⎣⎦
()02ln ln 1
lim ln lim 1lim ln 22222t t x x t a b a b x x ab t +→+∞→+∞→⎤+-+=-===⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦
lim lim n x
n x →∞→+∞==⎣⎦⎣⎦
【例4】 (1) 若30sin 6()lim
0x x xf x x →+=, 求206()
lim .x f x x →+
2333
00006()sin 6()6sin 6sin 6()6sin 6lim
lim lim lim 36.
x x x x f x x xf x x x x xf x x x
x x x x →→→→+++-+-==+=(2)设0ln(1()sin 5)
lim 121x x f x x →+=-, 求0lim ().x f x →
000ln(1()sin 5)()sin 55()lim lim lim 1.21ln 2ln 2x x x x f x x f x x f x x →→→+===-
0ln 2
lim ().5x f x →= 题型三 连加或连乘求极限
【例1】
(1) ()11lim ()n
n i l N i i l +
→∞=∈+∑(2)
231lim n
n i i n →∞=∑ (3) n n x x x 2cos 4cos 2cos lim ∞→ 1111111111
1,11,lim 1.
()22311()n
n
n i i l i i l n n n i i l →∞====-+-++-=-=++++∑∑
1
111111111112,11,()232422212n
i l i i l n n n n =⎛⎫⎛⎫
==-+-++-=+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭∑
1
111lim 1.()22n
n i i i l →∞
=⎛⎫
=+ ⎪+⎝⎭∑
同理，得()1
1111lim
1.()2n
n i l N i i l l l +
→∞=⎛⎫∈=+++ ⎪+⎝⎭∑ (2)
2
3
1lim n
n i i n →∞
=∑ ()()2331111
lim lim 121.63n
n n i i n n n n
n →∞→∞==⨯++=∑ (3) n n x
x x 2cos 4cos 2cos
lim ∞
→
cos cos cos 2sin sin sin 2422lim cos cos cos lim
lim .2422sin 2sin 22
n n n
n n n n n n n n
x x x x
x x x x x x x x →∞→∞→∞⋅===
【例2】 (1))21
2654321(lim n
n n -⋅⋅
∞
→
()()()
()()22222212+11352113355711()=24622462+12+12n n n n n n n --⨯⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅≤ 因为1
lim
=02+1n n →∞，由三明治定理得213521lim()=02462n n n →∞-⋅⋅
， 故13521
lim()=0.2462n n n
→∞
-⋅
⋅ (2)⎰∞→x
x dt t x 0
sin 1lim
(
)
()()10
sin sin 11,
sin 1n n x
t dt
t dt n x n t dt n x n ππ
ππππ
+≤<+≤≤
+⎰⎰
⎰
即
()()0
2121sin 1x
n n t dt n x n ππ+≤≤
+⎰ ()()2122lim lim 1x x n n n n πππ→∞→∞+==+，由三明治定理得012lim sin .
x x t dt x π→∞=⎰
(3))0,0i n p a >>
设()12max ,,p M a a a =
M ≤≤
lim n n M M →∞
==，
由三明治定理得()1max ,,.p n M a a == 【例3】
(1)1
lim
n n i →∞
=
1
10
11lim
ln
ln 11
12
lim lim .n
n i i
n n
xdx
n n n n i n e e e n n n →∞=-→∞
→∞=∑
⎛⎫⎰=⋅⋅⋅=== ⎪⎝
⎭
(2)lim n
11013lim 112lim .
n n i i xdx
n n n e e e →∞=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑⎰===
【例4】
(1) 1
lim
n i →∞=
111
n
n
n
i i i ===≤≤
1
1
lim lim 1.
n
n
n n i i →∞
→∞
====
由三明治定理，得1
lim 1.
n
n i →∞
==
(2)1
lim
n
n i →∞
=
(
(1
1
1
11lim lim ln ln 1.
n
n
n n i i x n →∞
→∞======+⎰
(3)
1
lim
n
n i →∞=
)
101
11lim lim 2
1.
n
n n n i i n →∞
→∞======⎰
(4)21
lim
n
n i →∞=
222111
n
n n
i i i ===≤≤
22
1
1
1lim lim .
3n n n n i i →∞
→∞
====
故2
11lim
.3
n
n i →∞
==
(5)
11lim
n
n i n i →∞=+∑
()1100111111lim lim ln 1ln 2.11n
n n n i i dx x i n i n x n
→∞→∞=====+=+++
∑∑⎰
(6)
2
1
lim
n i n
n i →∞=++∑
222
1111n
n n
i i i i i i
n n n n n i n n ===≤≤++++++∑∑∑ 22111
lim lim .1
2n
n
n n i i i i n n n n n →∞→∞====++++∑∑ 故211
lim
.2n
n i i n n i →∞==++∑ (7) 221
lim
n
n i n n i →∞=+∑ 1
10
2
222
011
111
lim lim arctan .14
1n
n
n n i i n dx x n i n x i n π
→∞→∞======
++⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
∑∑⎰
(8) 221lim
1n
n i n n i →∞
=++∑
()
2
2222
2
11111n
n
n
i i i n
n n
n i n i n
i ===≤≤+++++∑∑∑
()
12
222201
1
1lim lim .141n
n
n n i i n
n dx n i x n i π
→∞
→∞
=====++++∑
∑
⎰
【例5】
(1)2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛
⎫ ⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝
⎭
222sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111112n n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n n n πππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪+++≤+++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪++++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
1022sin sin sin sin sin sin 2lim lim sin .111n n n n n n n n n n xdx n n n n n n ππππππππ→∞→∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++=+++== ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰
2sin sin sin 2lim .1112n n n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫
⎪+++=
⎪+ ⎪++⎝
⎭
(2)21tan
lim n
n i i n n n i →∞=+∑
222111tan
n tan tan 1n n n
i i i i i i
n n n n n n n n i n ===≤≤
+++∑∑∑
110
0222
111tan
tan tan
lim lim lim tan ln cos lncos1.1n n n n n n i i i i i i
n n n n n n xdx x n n n n →∞→∞→∞=======-=-++∑∑∑⎰【例6】
(1)1lim 1n
n i →∞=⎫⎪⎪⎭
∑
111
lim 1lim .4n
n n n i i →∞→∞==⎫==⎪⎪⎭
∑ (2)()
1
22241
1
lim n n n i n i n →∞=+∏
()
()()12222
4210
11limln 2ln 12
242arctan 241
1lim
25.n n n i n i n
n n
x dx n i n
i
e
e e n →∞
=⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦→∞=∏⎰+===∏
题型四 数列极限的存在性
【例1】
(1)
设111,0n a a +=+=，证明数列{}n a 收敛，并求lim n n a →∞
.
121,0
a a ==
设1k k a a +≤
，则≤21k k a a ++≤
由数学归纳法得{}n a 递减
下面证明n a ≥
显然112a ≥-
设12k a +≥-
则12
+≥-
，即112k a +≥-
由数学归纳法得n a ≥
由单调有界必收敛得{}n a 收敛.
设lim ,n n a A →∞
=
两边取极限得0A =
，即A =
(2) 123a a a =
== ，证明数列{}n a 收敛，并求lim n n a →∞
.
lim 2.n n a →∞
=
(3) 设1111,2n n n a a a a a a +⎛⎫=>=
+ ⎪⎝⎭
，证明数列{}n a 收敛，并求lim n n a →∞
. lim n n a →∞
=
(4) 设
1103,n a a +<<=
{}n a 收敛，并求lim n n a →∞
.
3
lim .2
n n a →∞= 【例2】设)(x f 是区间[)0,+∞上单调减少且非负的连续函数，
()()()
1
1
,1,2,n
n
n k a f k f x dx n ==-=∑⎰…
证明数列{}n a 的极限存在.
()()()()1
1
11110n n n n n
n
a a f n f x dx f n f n dx +++-=+-≤+-+=⎰
⎰
，即{}n a 递减.
()()()()()()23
1
1
2
1
12n
n n k a f k f x dx f f x dx f f x dx ==-=-+-+∑⎰⎰⎰
()()()()1
10.n
n f n f x dx f n f n -+--+≥≥⎰
故{}n a 有下界.
由单调有界定理，{}n a 的极限存在.
题型五 含参数的极限
【例1】确定,,a b c 值，使()()3
sin lim
0ln 1x x b
ax x
c c t dt
t
→-=≠+⎰
. 【分析】分式极限不为0，分子趋于0，则分母趋于0，故0.b =
()()()23
30
00
sin cos cos lim
lim
lim 0ln 1ln 1x x x x ax x
a x a x
c c x t x dt
t
x
→→→---===≠++⎰
故1
1,.2
a c ==
【例2】()()
22
ln 1lim
2x x ax bx x →+-+=，求,a b .
【分析】()()()()2222
22001ln 12lim lim 2x x x x o x ax bx x ax bx x x →→-+-++-+==
故5
1,.2
a b ==-
题型六 含变积分限的极限
【例1】设()(),g f x x 连续，且()()()g 0f x x x → ，又lim ()0x a
x ϕ→=，证明：
()()
()()
()0
x x f t dt g t dt x a ϕϕ→⎰
⎰
.
【例2】设)(x f 是[)0,+∞上的连续函数，且满足()
2
lim 1x f x x →+∞=，求()()
220
lim
x
x t x e e f t dt
f x -→+∞⎰.
【分析】()()
()()
()22222
2222lim
lim
lim
x
x
x
x
t
t
t x
x
x x x e
e f t dt
e f t dt
e f t dt x
f x x e f x x e -→+∞
→+∞
→+∞
=⋅
=⎰
⎰⎰
()()()22
222
21lim
lim .222
22x
x
x x f x e f x x x x x x
x e →+∞
→+∞==⋅=++
题型七 函数的连续与间断
【例1】设()()()f x x ϕ-∞+∞和在内有定义，()f x 为连续函数，且()()0,f x x ϕ≠有间断点，则 ( ). (A)()f x ϕ⎡⎤⎣⎦必有间断点
(B)()2
f x ϕ⎡⎤⎣⎦必有间断点
(C)()f x ϕ⎡⎤⎣⎦必有间断点 (D)
()
()
x f x ϕ必有间断点
【分析】(D) 【例2】设函数
n
n x x
x f 211lim
)(++=∞→，讨论函数)(x f 的连续性与间断点.
【分析】0,1
1,11()1,10,1
x x x f x x x ≤-⎧⎪+-<<⎪
=⎨=⎪⎪>⎩
()f x 在1x =处是跳跃间断点，在其他区域均连续.
【例3】求()sin sin sin lim sin x t x
t x t f x x -→⎛⎫
=
⎪⎝⎭
的间断点，并判别其类型.
【分析】()sin sin sin sin lim .
sin x
x t x
x
t x t f x e x -→⎛⎫
== ⎪⎝⎭
其中,,0x k k Z k π=∈≠且为第二类间断点，0x =为可去间断点.。