上海市黄浦区高三数学上学期期末调研测试试题 理

黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷（理科） 2016年1月
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直 接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式|1|1x -<的解集用区间表示为 ．(0,2) 2．函数22cos sin y x x =-的最小正周期是 ． π
3．直线
321
x y
=的一个方向向量可以是 ．(2,1) 4．若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为 ．32 5．若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 ．12
6．若函数sin y a x =+在区间[,2]ππ上有且只有一个零点，则a = ．1
7．若函数22()1f x x a x =-+-为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为 ．(1,)+∞ 8．若对任意不等于1的正数a ，函数2()x f x a +=的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是 ．(1,2)-
9．在()n a b +的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为 （结果用数字作答）．70
10．在△ABC 中，若cos(2)sin()2A C B B C A +-++-=，且2AB =，则BC = ．2211．为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2
天恰好为连续2天的概率是 （结果用最简分数表示）．
25
12．已知k ∈Z ，若曲线222
x y k +=与曲线xy k =无交点，则k = ．1±
13．已知点(,0)M m （0m >）和抛物线C ：24y x =，过C 的焦点F 的直线与C 交于A 、B 两点，
若2AF FB =u u u r u u u r ，且||||MF MA =u u u u r u u u r ，则m = ．11
2
14．若非零向量a r ，b r ，c r 满足230a b c ++=r r r r ，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅r r r r r r ，则b r 与c r 的夹角为 ．4
3π
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的
相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知复数z ，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的 [答] ( B )．
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件 16．已知x ∈R ，下列不等式中正确的是 [答] ( C )．
A ．11
23x x
>
B ．
2211
11x x x x >
-+++ C ．
2211
12x x >
++ D ．2
112||1
x x >+ 17．已知P 为直线y kx b =+上一动点，若点P 与原点均在直线20x y -+=的同侧，则k 、b 满足
的条件分别为 [答] ( A )．
A ．1k =，2b <
B ．1k =，2b >
C ．1k ≠，2b <
D ．1k ≠，2b >
18．已知1a ，2a ，3a ，4a 是各项均为正数的等差数列，其公差d 大于零．若线段1l ，2l ，3l ，4l 的
长分别为1a ，2a ，3a ，4a ，则 [答] ( C )． A ．对任意的d ，均存在以1l ，2l ，3l 为三边的三角形 B ．对任意的d ，均不存在以1l ，2l ，3l 为三边的三角形 C ．对任意的d ，均存在以2l ，3l ，4l 为三边的三角形 D ．对任意的d ，均不存在以2l ，3l ，4l 为三边的三角形
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域
内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
已知三棱柱ABC A B C '''-的底面为直角三角形，两条直角边AC 和BC 的长分别为4和3，侧棱
AA '的长为10．
（1）若侧棱AA '垂直于底面，求该三棱柱的表面积． （2）若侧棱AA '与底面所成的角为60︒，求该三棱柱的体积．
[解]（1）因为侧棱AA '⊥底面ABC ，所以三棱柱的高h 等于侧棱AA '的长，
而底面三角形ABC 的面积1
62
S AC BC =
⋅=，（2分） 周长43512c =++=，（4分）
于是三棱柱的表面积2132ABC S ch S ∆=+=全．（6分）
（2）如图，过A '作平面ABC 的垂线，垂足为H ，A H '为三棱柱的高．（8分）
因为侧棱AA '与底面所成的角为60︒，所以60A AH '∠=︒，可计算得sin 6053A H AA ''=⋅︒=9分）
又底面三角形ABC 的面积6S =，故三棱柱的体积653303V S A H '=⋅=⨯=12分）
20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． 如图，已知点A 是单位圆上一点，且位于第一象限，以x 轴的正半轴为始边、OA 为终边的角设为α，将OA 绕坐标原点逆时针旋转
2
π至
A
x
y O
B
1A
B
C A '
'
C '
H
OB ．
（1）用α表示A 、B 两点的坐标；
（2）M 为x 轴上异于O 的点，若MA MB ⊥，求点M 横坐标的取值范围． [解]（1）由题设，A 点坐标为(cos ,sin )αα，（2分）
其中222
k k απ
π<<π+
（k ∈Z ）．（3分） 因为2AOB π∠=，所以B 点坐标为cos ,sin 22αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛
⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，即(sin ,cos )αα-．（5分）
（2）设(,0)M m （0m ≠），于是(cos ,sin )MA m αα=-u u u r ，(sin ,cos )MB m αα=--u u u r
，
因为MA MB ⊥，所以0MA MB ⋅=u u u r u u u r
，即(cos )(sin )sin cos 0m m αααα---+=，（8分）
整理得2(cos sin )0m m αα--=，由0m ≠，得cos sin 2cos 4m αααπ⎛
⎫=-=+ ⎪⎝
⎭，（10分）
此时222k k αππ<<π+
，且24k απ≠π+，于是22444k k αππ3ππ+<+<π+，且242k αππ
+≠π+（k ∈Z ）得22cos 242απ⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，且cos 04απ⎛⎫+≠ ⎪⎝
⎭． 因此，点M 横坐标的取值范围为(1,0)(0,1)-U ．（12分）
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，某地要在矩形区域OABC 内建造三角形池塘OEF ，E 、F 分
别在AB 、BC 边上．5OA =米，4OC =米，4
EOF π
∠=
，设CF x =，AE y =．
（1）试用解析式将y 表示成x 的函数；
（2）求三角形池塘OEF 面积S 的最小值及此时x 的值．
[解]（1）直角三角形AOE 中，tan 5
y
AOE ∠=
，直角三角形COF 中，tan 4x COF ∠=．
正方形OABC 中，由4
EOF π
∠=，得4AOE COF π∠+∠=，于是tan()1AOE COF ∠+∠=，
代入并整理得5(4)
4x y x
-=+．（4分）
因为05x ≤≤，04y ≤≤，所以5(4)044x x -+≤≤，从而4
49
x ≤≤．（6分）
因此，5(4)4x y x -=+ （4
49
x ≤≤）．
（2）()OABC OAE OCF EBF S S S S S ∆∆∆=-++11
54[54(4)(5)](20)22
y x y x xy =⨯-++--=-，（8分）
将5(4)4x y x
-=+代入上式，得25(16)532(4)82(4)24x S x x x +⎡⎤
=
=++-⎢⎥++⎣⎦，（10分） 当4
49
x ≤≤时，324824x x +++≥，当且仅当4(21)x =-时，上式等号成立．（12分）
因此，三角形池塘OEF 面积的最小值为20(21)-平方米，此时4(21)x =-米．（14分）
O
A
B
C
F
E
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满
分8分．
已知椭圆Γ：22
221x y a b
+=（0a b >>），过原点的两条直线1l 和2l 分别与Γ交于点A 、B 和C 、
D ，得到平行四边形ACBD ．
（1）当ACBD 为正方形时，求该正方形的面积S ．
（2）若直线1l 和2l 关于y 轴对称，Γ上任意一点P 到1l 和2l 的距离分别为1d 和2d ，当22
12d d +为
定值时，求此时直线1l 和2l 的斜率及该定值．
（3）当ACBD 为菱形，且圆221x y +=内切于菱形ACBD 时，求a ，b 满足的关系式． [解]（1）因为ACBD 为正方形，所以直线1l 和2l 的方程为y x =和y x =-．（1分）
点A 、B 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组222
2,
1y x x y a
b =⎧⎪
⎨+=⎪⎩的实数解，
将y x =代入椭圆方程，解得2222
1222
a b x x a b ==+．
根据对称性，可得正方形ACBD 的面积222
122
44a S b a b
x =+=．（4分） （2）由题设，不妨设直线1l 的方程为y kx =（0k ≠），于是直线2l 的方程为y kx =-．
设00(,)P x y ，于是有22
00
221x y a b +=，又0012||1kx y d k -=+，0022||1kx y d k +=+，（6分）
22222
2
200000012
222
()()22111kx y kx y k x y d d k k k -+++=+=+++，将2220021x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
代入上式， 得2
222
2
22
2
00
02222
1222
2212211
x b k x b k x b a a d d k k ⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++，（8分） 对于任意0[,]x a a ∈-，上式为定值，必有22
20b k a -=，即b k a
=±，（9分）
因此，直线1l 和2l 的斜率分别为b a 和b a
-，此时2222
122
22a b d d a b +=+．（10分） （3）设AC 与圆221x y +=相切的切点坐标为00(,)x y ，于是切线AC 的方程为001x x y y +=．
点A 、C 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组222
20011x y x x y y a
b ⎧+=+=⎪
⎨⎪⎩的实数解．
① 当00x =或00y =时，ACBD 均为正方形，椭圆均过点(1,1)，于是有2211
1a b
+=．（11分）
② 当00x ≠且00y ≠时，将001(1)y x x y =-代入22
221x y
a b
+=，
整理得2
22
22222
20
00
()2(1)0b y a x x x a x a b y +-+-=，于是222
0122222
00
(1)
a b y x x b y a x -=+，（13分）
同理可得222
0122222
00
(1)
b a x y y b y a x -=+．（15分） 因为ACBD 为菱形，所以AO CO ⊥，得0AO CO ⋅=u u u r u u u r
，即12120x x y y +=，（16分） 于是222222
0022
222222
0000
(1)(1)0a b y b a x b y a x b y a x --+=++，整理得22222200()a b a b x y +=+，由22
001x y +=， 得2222a b a b +=，即22111a b +=．（18分）综上，a ，b
满足的关系式为22
11
1a b +=．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满
分8分．
已知1a ，2a ，…，n a 是由n （*n ∈N ）个整数1，2，…，n 按任意次序排列而成的数列，数列{}n b 满足1k k b n a =+-（1,2,,k n =L ），1c ，2c ，…，n c 是1，2，…，n 按从大到小的顺序排列而成的数列，记122n n S c c nc =+++L ．
（1）证明：当n 为正偶数时，不存在满足k k a b =（1,2,,k n =L ）的数列{}n a ． （2）写出k c （1,2,,k n =L ），并用含n 的式子表示n S ．
（3）利用22212(1)(2)()0n b b n b -+-++-L ≥，
证明：121
2(1)(21)6
n b b nb n n n +++++L ≤及122n n a a na S +++L ≥． （参考：222112(1)(21)6
n n n n +++=++L ．）
[证明]（1）若k k a b =（1,2,,k n =L ），则有1k k a n a =+-，于是1
2
k n a +=．（2分） 当n 为正偶数时，1n +为大于1的正奇数，故
1
2
n +不为正整数， 因为1a ，2a ，…，n a 均为正整数，所以不存在满足k k a b =（1,2,,k n =L ）的数列{}n a 4分 [解]（2）(1)k c n k =--（1,2,,k n =L ）．（6分）
因为(1)k c n k =+-，于是122n n S c c nc =+++L [(1)1]2[(1)2][(1)]n n n n n =+-++-+++-L
222(12)(1)(12)n n n =++++-+++L L 2111
(1)(1)(21)(1)(2)266n n n n n n n n =+-++=++．（10分）
[证明]（3）先证121
(1)(21)6
2n n n b b n b n +++++L ≤．
222222222
121212(1)(2)()(12)2(2)()n n n b b n b n b b nb b b b -+-++-=+++-+++++++L L L L ①， 这里，1k k b n a =+-（1,2,,k n =L ），因为1a ，2a ，…，n a 为从1到n 按任意次序排列而成，所以
1b ，2b ，…，n b 为从1到n 个整数的集合，从而22222212
=12n b b b n ++++++L L ，（12分） 于是由①，得22222212120(1)(2)()2(12)2(2)n n b b n b n b b nb -+-++-=+++-+++L L L ≤， 因此，22212212n b b nb n ++++++L L ≤，即121
(1)(21)6
2n n n b b n b n +++++L ≤．（14分） 再证122n n a a na S +++L ≥．
由1k k b n a =+-，得12122(1)2(1)(1)n n b b nb n a n a n n a +++=+-++-+++-L L
2
1212(1)[1(1)2(1)(1)](2)(2)2
n n n n n n n n a a na a a na +=++++++-+++=-+++L L L 16分
因为121
(1)(21)6
2n n n b b n b n +++++L ≤，
即2
121(1)(2(11))6
)(22n n n a a n n n a n +-+++++L ≤，
所以2121(1)(21)(1)(1)(2)
226
6n n n n n n n a a n n a n ++++++-+=
+L ≥， 即122n n a a na S +++L ≥．（18分）。