天津市新华中学2018学年高二下学期第三次月考数学试卷

2018-2018学年天津市新华中学高二（下）第三次月考数学试卷
（文科）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）
A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2
2．已知函数f（x）=cosx，则f′（）=（）
A．﹣B．C．D．﹣
3．函数f（x）=lnx﹣x2的极值情况为（）
A．无极值B．有极小值，无极大值
C．有极大值，无极小值D．不确定
4．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：
①﹣2是函数y=f（x）的极值点；
②1是函数y=f（x）的最小值点；
③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；
④y=f（x）=在区间（﹣2，2）上单调递增．
则正确命题的序号是（）
A．①④B．②④C．③④D．②③
5．已知函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解
集为（）
A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|x＜﹣1}C．{x|x＜﹣1或x＞1}D．{x|x＞1}
6．若a＞2，则函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间（0，2）上恰好有（）
A．0个零点B．1个零点C．2个零点D．3个零点
7．过点A（﹣1，2）作曲线f（x）=x3﹣3x的切线，做多有（）
A．3条B．2条C．1条D．0条
8．若函数y=ae x+3x（a∈R，x∈R）有大于零的极值点，则实数a的取值范围是（）
A．﹣3＜a＜0 B．a＞﹣3 C．a＜﹣3 D．
二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
9．已知函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1存在极值，则实数m的取值范围为．10．已知函数f（x）=﹣x3+ax在区间（﹣1，1）上是增函数，则实数a的取值范围是．
11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的距离最小时点P的坐标为．
12．已知函数f（x）=x2﹣3x．若对于区间[﹣3，2]上任意的x1、x2．都有|f（x1）﹣f（x2）|≤m，则实数m的最小值是．
13．函数y=xlnx的单调递减区间是．
14．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极小值，则实数a的取值范围是．
三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知函数（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处
的切线方程为x+y﹣3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）求函数f（x）在区间[﹣2，5]上的最大值．
16．设函数．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数，求m的取值范围．
17．设函数（a≠0）．
（1）已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2﹣3a，求实数a的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）在（1）的条件下，求证：任意x＞0，都有f（x）≥3﹣x．
18．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣4．
（1）若f（x）在处取得极值，求实数a的值；
（2）在（Ⅰ）的条件下，若关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
（3）若存在x0∈（0，+∞），使得不等式f（x0）＞0成立，求实数a的取值范围．
2018-2018学年天津市新华中学高二（下）第三次月考数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）
A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵y=，
∴y′=，
=2，得切线的斜率为2，所以k=2；
所以k=y′|x=
﹣1
所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：
y+1=2×（x+1），即y=2x+1．
故选A．
2．已知函数f（x）=cosx，则f′（）=（）
A．﹣B．C．D．﹣
【考点】导数的运算．
【分析】根据导数的运算法则，先求导，再求值．
【解答】解：∵f′（x）=cosx﹣sinx，
∴f′（）=﹣×0﹣×1=．
故选：A．
3．函数f（x）=lnx﹣x2的极值情况为（）
A．无极值B．有极小值，无极大值
C．有极大值，无极小值D．不确定
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求出函数定义域，在定义域内解方程y′=0，再判断方程根左右两侧导数的符号，据极值定义可作出判断．
【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），
y′=﹣2x=，
令y′=0，得x=，
当0＜x＜时，y′＞0，当x＞时，y′＜0，
所以当x=时函数取得极大值，没有极小值，
故选：C．
4．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：
①﹣2是函数y=f（x）的极值点；
②1是函数y=f（x）的最小值点；
③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；
④y=f（x）=在区间（﹣2，2）上单调递增．
则正确命题的序号是（）
A．①④B．②④C．③④D．②③
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由条件利用导函数的图象特征，利用导数研究函数的单调性和极值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：根据导函数y=f′（x）的图象可得，y=f′（x）在（﹣∞，﹣2）上大于零，在（﹣2，2）、（2，+∞）上大于零，
且f′（﹣2）=0，
故函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，+∞）、（2，+∞）上为增函数．
故﹣2是函数y=f（x）的极小值点，故①正确；
故1不是函数y=f（x）的最小值点，故②不正确；
根据函数（﹣2，+∞）上为增函数，故y=f（x）在x=0处切线的斜率大于零，故③正确；根据y=f（x）=在区间（﹣2，2）上的导数大于或等于零，故f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增，故④正确，
故选：A．
5．已知函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解
集为（）
A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|x＜﹣1}C．{x|x＜﹣1或x＞1}D．{x|x＞1}
【考点】函数单调性的性质；导数的运算；其他不等式的解法．
【分析】先把不等式移项并设φ（x）=f（x）﹣﹣，然后求出导函数φ′
（x）又因为函数，所以φ′（x）＜0即φ（x）是减函数由f（1）=1求出φ（1）
=0，根据函数是减函数得到的解集即可．
【解答】解：，则，
∴φ（x）在R上是减函数．
，
∴的解集为{x|x＞1}．
故选D．
6．若a＞2，则函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间（0，2）上恰好有（）
A．0个零点B．1个零点C．2个零点D．3个零点
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】先根据导数判断出函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，再由f（0）f（2）＜0可知有唯一零点．
【解答】解：由已知得：f′（x）=x（x﹣2a），由于a＞2，
故当0＜x＜2时f′（x）＜0，
即函数为区间（0，2）上的单调递减函数，
又当a＞2时
f（0）f（2）=﹣4a＜0，
故据二分法及单调性可知函数在区间（0，2）上有且只有一个零点．
故选B
7．过点A（﹣1，2）作曲线f（x）=x3﹣3x的切线，做多有（）
A．3条B．2条C．1条D．0条
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设出切点，求出切点处的导数，写出切线方程把A的坐标代入后得到关于切点横坐标的方程，再利用其导函数判断极值点，根据极值得到切点横坐标的个数，从而答案可求．【解答】解：设切点为P（x0，x18﹣3x0），f′（x0）=3x18﹣3，
则切线方程y﹣x18+3x0=（3x18﹣3）（x﹣x0），
代入A（﹣1，2）得，2x18+3x18﹣1=0．
令y=2x18+3x18﹣1=0，则由y′=0，得x0=0或x0=﹣1，
且当x0=0时，y=﹣1＜0，x0=﹣1时，y=0．
所以方程2x18+3x18﹣1=0有2个解，
则过点A（﹣1，2）作曲线f（x）=x3﹣3x的切线的条数是2条．
故选：B．
8．若函数y=ae x+3x（a∈R，x∈R）有大于零的极值点，则实数a的取值范围是（）
A．﹣3＜a＜0 B．a＞﹣3 C．a＜﹣3 D．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求导函数，利用函数在x∈R上有大于零的极值点，可得导函数为0的方程有正根，从而可求参数a的范围．
【解答】解：求导函数，可得y′=ae x+3，
若函数在x∈R上有大于零的极值点，即y′=ae x+3=0有正根．
显然有a＜0，即e x=﹣，
此时x=ln（﹣）．
由x＞0，得﹣＞1，
则﹣3＜a＜0．
故选：A．
二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
9．已知函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1存在极值，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）．
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【分析】求出函数f（x）的导函数，根据已知条件，导函数必有两个不相等的实数根，只须令导函数的判别式大于0，求出m的范围即可．
【解答】解：∵函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1存在极值，
∴f′（x）=3x2+2mx+m+6=0，它有两个不相等的实根，
∴△=4m2﹣12（m+6）＞0
解得m＜﹣3或m＞6．
故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）．
10．已知函数f（x）=﹣x3+ax在区间（﹣1，1）上是增函数，则实数a的取值范围是a ≥3．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】根据函数f（x）=﹣x3+ax在区间（﹣1，1）上是增函数，转化成f′（x）=﹣3x2+a ≥0，在区间（﹣1，1）上恒成立，然后利用参数分离法将a分离得a≥3x2，使x∈（﹣1，1）恒成立即可求出a的范围．
【解答】解：由题意应有f′（x）=﹣3x2+a≥0，在区间（﹣1，1）上恒成立，
则a≥3x2，x∈（﹣1，1）恒成立，
故a≥3．
故答案为：a≥3．
11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的距离最小时点P的坐标为（1，1）．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x﹣2的距离即为最小值．
【解答】解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，
当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，
点P到直线y=x﹣2的距离最小．
直线y=x﹣2的斜率等于1，
令y=x2﹣lnx的导数y′=2x﹣
令y′=1，解得x=1或x=﹣（舍去），
故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标P（1，1），
点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于=，
故点P到直线y=x﹣2的最小距离为．
故答案为：（1，1）．
12．已知函数f（x）=x2﹣3x．若对于区间[﹣3，2]上任意的x1、x2．都有|f（x1）﹣f（x2）
|≤m，则实数m的最小值是．
【考点】二次函数的性质．
【分析】对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤m，利用二次函数的图象和性质，求最值，即可得出结论．
【解答】解：对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤m，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤m，
∵f（x）=x2﹣3x，
∴函数在[﹣3，]上单调递减，在[，2]上单调递增，
∴f（x）max=f（﹣3）=18，f（x）min=f（）=﹣，
∴f（x）max﹣f（x）min=，
∴m≥，
∴实数m的最小值是，
故答案为：
13．函数y=xlnx的单调递减区间是（0，e﹣1）．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于0求出x的范围，写出区间形式即得到函数y=xlnx的单调递减区间．
【解答】解：函数的定义域为x＞0
∵y′=lnx+1
令lnx+1＜0得
0＜x＜e﹣1
∴函数y=xlnx的单调递减区间是（0，e﹣1）
故答案为（0，e﹣1）
14．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极小值，则实数a的取值范围是a＜﹣1或a＞0．
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【分析】根据函数导数的定义和性质即可得到结论．
【解答】解：由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）=0，
解得a=0或x=﹣1或x=a，
若a=0，则f′（x）=0，此时函数f（x）为常数，没有极值，故a≠0．
若a=﹣1，则f′（x）=﹣（x+1）2≤0，此时函数f（x）单调递减，没有极值，故a≠﹣1．若a＜﹣1，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＞0得a＜x＜﹣1此时函数单调递增，
由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＜0得x＜a或x＞﹣1此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极小值，满足条件．
若﹣1＜a＜0，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＞0得﹣1＜x＜a此时函数单调递增，
由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＜0得x＜﹣1或x＞a，此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极大值，不满足条件．
若a＞0，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＞0得x＜﹣1或x＞a此时函数单调递增，
由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＜0得﹣1＜x＜a，此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极小值，满足条件．
综上：a＜﹣1或a＞0，
故答案为：a＜﹣1或a＞0
三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知函数（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处
的切线方程为x+y﹣3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）求函数f（x）在区间[﹣2，5]上的最大值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义，结合函数解析式，即可求a，b的值；（2）求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）将函数的极大值与端点函数值，比较，即可求函数f（x）在区间[﹣2，5]上的最大值．【解答】解：（1）由题意，f′（x）=x2﹣2ax+a2﹣1．…又∵函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0，
所以切线的斜率为﹣1，即f′（1）=﹣1，∴a2﹣2a+1=0，解得a=1．…又∵点（1，f（1））在直线x+y﹣3=0上，∴f（1）=2，…
同时点（1，f（1））即点（1，2）在y=f（x）上，∴，…
即，解得．…
（2）由（1）有，∴f′（x）=x2﹣2x，…
由f′（x）=0可知x=0，或x=2，
x f x f x
由上表可知，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；…
∴函数f（x）的极大值是，极小值是．…
（3）由（2），函数f（x）在区间[﹣2，5]上的极大值是．…
又，…
∴函数f（x）在区间[﹣2，5]上的最大值为．…
16．设函数．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数，求m的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）f′（x）=﹣x2+2x+（m2﹣1），△=4m2，对m与0的大小关系分类讨论，即可得出单调性．
（2）利用（1）的结论及其已知函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数，即可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）f′（x）=﹣x2+2x+（m2﹣1），
△=4+4（m2﹣1）=4m2≥0，
∴①m=0时，f′（x）=﹣x2+2x﹣1=﹣（x﹣1）2≤0，
∴函数f（x）在R上单调递减．
②m≠0时，由f′（x）=﹣x2+2x+（m2﹣1）=﹣[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]，
∴m＞0时，1+m＞1﹣m，∴1﹣m＜x＜1+m时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x＜1﹣m，或1+m＜x时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
m＜0时，1+m＜1﹣m，∴1+m＜x＜1﹣m时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；
x＜1+m，或1﹣m＜x时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
（2）由（1）可得：①m＞0时，1+m＞1﹣m，x＜1﹣m，函数f（x）单调递减，又函数f （x）在区间（﹣∞，0）上是减函数，
∴，解得0＜m≤1．
②m＜0时，1+m＜1﹣m，x＜1+m，函数f（x）单调递减，又函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数，
∴，解得m≤﹣1．
综上可得：m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪（0，1]．
17．设函数（a≠0）．
（1）已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2﹣3a，求实数a的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）在（1）的条件下，求证：任意x＞0，都有f（x）≥3﹣x．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）由f（x）的表达式（a≠0），知f（x）的定义域为{x|x＞0}，求出f′（x），再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2﹣3a，知f′（1）=a﹣2a2=2﹣3a，由此能求出a．
（2）由f′（x）的表达式，利用a的取值范围进行分类讨论，能够得到函数f（x）的单调性．
（3）由（1）知，f（x）=lnx+，设g（x）=f（x）﹣（3﹣x），则g（x）=lnx++x﹣3，求出g′（x），x＞0．列表讨论，能够证明对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3﹣x．【解答】解：（1）∵f（x）=alnx+（a≠0），
∴f（x）的定义域为{x|x＞0}，
f′（x）=﹣，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2﹣3a，
∴f′（1）=a﹣2a2=2﹣3a，
解得a=1．
（2）f′（x）=﹣=，
①当a＜0时，∵x＞0，∴x﹣2a＞0，a（x﹣2a）＜0，
∴f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②当a＞0时，若0＜x＜2a，则a（x﹣2a）＜0，f′（x）＜0，
函数f（x）在（0，2a）上单调递减；
若x＞2a，则a（x﹣2a）＞0，f′（x）＞0，函数在（2a，+∞）上单调递增．
综上所述，当a＜0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，函数f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．
证明：（3）由（1）知，f（x）=lnx+，
设g（x）=f（x）﹣（3﹣x），则g（x）=lnx++x﹣3，
∴g′（x）=﹣+1=，x＞0
x g x g x
从而也是g（x）的最小值点，
∴g（x）≥g（1）=ln1+2+1﹣3=0，
∴g（x）=f（x）﹣（3﹣x）≥0，
∴对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3﹣x．
18．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣4．
（1）若f（x）在处取得极值，求实数a的值；
（2）在（Ⅰ）的条件下，若关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
（3）若存在x0∈（0，+∞），使得不等式f（x0）＞0成立，求实数a的取值范围．
【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）首先利用函数的导数与极值的关系求出a的值，（2）在（Ⅰ）的条件下，若关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，即函数f（x）的图象与直线y=m 有两个交点，利用导数即求函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最值；（3）解法一：存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0即寻找f（x）max＞0是变量a的范围；解法二：存在x0∈（0，+∞），使得不等式f（x0）＞0成立，即即﹣x3+ax2﹣4＞0在（0，+∞）上有解，分离参数，即求a ＞g（x）min，转化为求函数的最小值．
【解答】（1）f'（x）=﹣3x2+2ax，由题意得，解得a=2，经检验满足条件．
（2）由（1）知f（x）=﹣x3+2x2﹣4，f'（x）=﹣3x2+4x，
令f'（x）=0，则x1=0，（舍去）．f'（x），f（x）的变化情况如下表：
=f（0）=﹣4，如图构造f（x）在[﹣1，1]上的图象．
∴f（x）
极小值
又关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，
则﹣4＜m≤﹣3，即m的取值范围是（﹣4，﹣3]．
（3）解法一：因存在x0∈（0，+∞），使得不等式f（x0）＞0成立，
故只需要f（x）的最大值f（x）max＞0即可，
∵f（x）=﹣x3+ax2﹣4，∴．
①若a≤0，则当x＞0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减．
∵f（0）=﹣4＜0，∴当x＞0时，f（x）＜﹣4＜0，
∴当a≤0时，不存在x0∈（0，+∞），使得不等式f（x0）＞0成立．
②当a＞0时f（x），f'（x）随x的变化情况如下表：
∴当x∈（0，+∞）时，，由得a＞3．
综上得a＞3，即a的取值范围是（3，+∞）．
解法二：根据题意，只需要不等式f（x）＞0在（0，+∞）上有解即可，
即﹣x3+ax2﹣4＞0在（0，+∞）上有解．即不等式在（0，+∞）上有解即可．
令，只需要a＞g（x）min
而，当且仅当，即x=2时“=”成立．故a＞3，即a的取值范围是（3，+∞）．
2018年11月10日。