[初中数学]探索三角形相似的条件教学设计 北师大版

《探索三角形相似的条件》教学设计
温州八中贾哲三
【教材分析】
“探索三角形相似的条件”选自北师大版数学教材八年级下册第四章。

它是在学习了相似三角形的基本概念和基本性质等知识后，对三角形相似的判定的进一步探索。

它既是前面知识的延伸和全等三角形的拓展，又是今后证明线段成比例，求几何图形和研究相似多边形性质的重要工具，尤其是，对于图形相似方法的判定，本套教材是以三角形的相似判定为根基的，因此是本章的重点之一。

本课又是判定三角形相似的起始课，在本课中，学生学习的主要内容是三角形相似的判定定理1及其初步应用，这就为下节课学习相似三角形的判定条件（二）（三）打下基础。

通过本节课的学习，还可培养学生猜想、实验、证明、探索等能力，对掌握观察、比较、类比、转化等思想有重要作用。

因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位。

【学情分析】
学生在本章前几节，已学过相似三角形的基本概念和基本性质等知识，在七年级下册已经接触过对三角形全等条件的探索，已具备一定的合作与自主探索能力，本节课是在此基础上的延伸和提高。

因此在教学中采取开放式的教学形式，让学生动手感知，合作交流，养成积极探索与实践的良好习惯。

【教学目标】
1．知识目标：经历“直观感觉――动手感知――理性思维――应用拓展”的活动过程，探索两个三角形相似的条件，并会用相似三角形的判定方法（一）来判断及计算。

2．能力目标：通过运用三角形相似的条件解决简单问题，进一步发展合情推理能力和初步的逻辑推理能力。

3．情感目标：能极积参与数学学习活动，体验数学活动充满着探索与创造，并且在活动中，开发、培养学生的发散性思维，进一步发展学生的探究、合作交流意识，以及动手、动脑和谐一致的习惯。

【教学重难点】
1．教学重点：三角形相似的判定定理1探索与应用。

2．教学难点：三角形相似的判定定理1的运用。

【教学准备】
多媒体课件；投影仪；8个形状各异的三角形。

【教学过程】
一、温故知新，谈话揭题
1：什么叫相似三角形?
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。

判定两个三角形相似如果要同时满足六个元素，感觉有点繁。

2、什么叫全等三角形?
三角对应相等，三边也对应相等的两个三角形全等。

3、也是六个元素，三角形全等有没有用此方法判定呢？（没有）。

有哪些方法呢？
ASA，AAS，SAS，SSS，（HL）
4、满足这些条件即可确定三角形的形状和大小。

那么只要确定三角形的形状，不必考虑其大小，需要哪些条件呢？今天我们就一起来“探索三角形相似的条件”。

（引出课题）
〖开门见山提出本课要研究的问题，明确学习目标。

引出学习的模板，激发学生的学习欲望，顺利实行旧知到新知的迁移〗
二、合作交流，探索结论
活动一：找找、比比，直观感觉
我不小心把许多形状各异的三角形搞乱了，请同学们帮个忙，从这八个三角形中找出相似的三角形。

并直观展示一下你是怎样判定两个三角形相似。

〖
从感觉本能出发启发一些理性思考，为活动二奠定基础。

培养直觉思维能力。

〗
活动二：说说、画画，动手感知
你能用最少的条件、最简捷的方法画一个三角形与
我手中的三角形相似吗？（从上题中选取含60°，45°，75°的三角形）
1、说说
要求：小组讨论画图思路，推选代表口述方法，全班交流。

在全等三角形判定的探索方法启发下，学生可能会出现的方案：
方案一：两角对应相等
60°
45°
75
°
C
B A
方案二：两边对应成比例，夹角相等
方案三：三边对应成比例。

教师进一步抓住“最少的条件”这一要求，若学生在探求中说出“一角相等”或“两边对应成比例”条件下三角形相似的问题，就可顺势利导展开讨论；若学生没有出现这一问题，教师可以反问学生这两种“最少的条件”是否可行，（这两种条件下问题的研究教师可以用多媒体演示或让学生讨论演示解决），从而真正理解“最少的条件”确定三角形形状。

选择第一种方案作为本课的研究对象，后两种方法将作后续学习。

2、画画
学生按照方案一画△A ′B ′C ′，使∠A ′=∠A=60°，∠B ′=∠B=45°
要求：把作图时用到的数据标在三角形对应位置上。

①同桌先比较所作三角形，进行形状直观判定；
②在实物投影仪上把学生画的三角形与老师手中的三角形进行比较形状是否相同。

③得出猜测：如果两个角对应相等，能判定两个三角形相似。

〖在此过程中，给学生充分的时间观察、交流、画图、比较，从自己动手操作、实验得出判定条件，能让学生产生自豪感及满足感，培养学生的自信心。

〗
活动三：合情推理，验证猜想
你会用数学知识说明所作三角形为什么相似吗？
①教师出示已知三角形的六个数据。

②比较∠C 和∠C ′是否相等，测量三边长度，探求C B BC C A AC '
'''''、、B A AB 是否相等。

（为说明比值误差可以忽略，教师可以通过几何画板来验证比值相等。

）
③引出判定条件1：两角对应相等，两三角形相似。

学生文字叙述，教师结合图形写出几何语言。

〖动手实验，直观判断，更需理性思考，猜测需要合情的逻辑推理给于保障〗
三、应用拓展，达成目标
1．做一做，初步应用
判断题：①有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似。

（ ）
②所有的直角三角形都相似。

（ ） ③有一个角相等的两个等腰三角形相似。

（ ） ④顶角相等的两个等腰三角形相似。

（ ）
⑤所有的等边三角形都相似。

（ ）
2.学一学，达成目标
例：如图，D 、E 分别是△ABC 这AB 、AC 上的点，DE ∥BC
⑴图中有哪些相等的角？
⑵找出图中的相似三角形，并说明理由。

⑶写出三组成比例的线段。

解：⑴ DE//BC
∠ADE 与∠ABC 是同位角 ∠ADE =∠ABC ，∠AED = ∠ACB
∠AED 与∠ACB 是同位角
⑵△ADE ∽△ABC 理由是：
∠ADE =∠ABC △ADE ∽△ABC
∠AED = ∠ACB
⑶△ADE ∽△ABC AB AD =BC DE =AC AE 〖本例通过系列问题的设置和解决，降低难度，使难点予以突破，同时使学生在获得新知的情况下，体验成功，从而增加对数学的兴趣。

〗
3．想一想，发散探究
⑴在上面的例题的条件下，AD AB =AE AC 吗？AD BD =AE
CE 吗？（学生画图，交流，老师用多媒体演示出来。

）
解：由DE//BC 得，AB AD =AC
AE 根据比例基本性质得：
AD AB =AE
AC 即AD DB AD +=AE CE AE + 两边同时减去1，得
AD DB AD +—1=AE CE AE +—1 即AD BD =AE
CE ⑵若DE 与BC 不平行，△ADE 与△ABC 还可能相似吗？说明理由。

〖例题及想一想1意在渗透平行与相似的内在联系，同时，有意识地渗透了简单逻辑推理的思想。

想一想2又开启新的探索，为下面的变式训练作铺垫，承前启后。

〗
⑶活动四：同伴互助，变式训练
变式一：如图，直线a 、直线b 相交于点A ，点B 、C 分别在直线a 、直线b 上，在直线a 、直线b 上分别找两点D 、E ，使△BAC 与△DAE 相似，请尽量多地画出点D 、E 的位置。

A B C
D E
学生发挥自己的想象力，按照自己的思考来设计。

交流时，教师可以用几何画板演示。

〖变式一旨在用几何图形运动变化的观点揭示常见相似三角形的“基本图形”，较好地提高了学生识图、作图能力〗
〖这里安排四人小组合作学习，共同分析，交流多样化的答案，使课堂气氛达到高潮。

既进一步强化了学生对判定定理1的认识，又可以训练学生的发散思维，培养灵活运用知识的能力，增强学生的创新意识和创新能力。

〗
变式二：如图，G 是ABCD 的CD 延长线上一点，连结BC 交对角线AC 于E ，交AD 于F ，则： (1)图中与△AEF 相似的三角形有_______．
(2)图中与△ABC 相似的三角形有_______．
(3)图中与△GFD 相似的三角形有________．
解后反思：运用条件一判定两个三角形相似时，如何
照准两对
相等的角？ 要注意图形中的公共角、对顶角、直角、两直线平行时的同位角、内错角或等角的余角、补角等等．
〖变式二紧承变式一，将刚刚得到的几种相似三角形的 “基本图形”和谐统一起来。

并且通过问题串的设置，突破了找相等角的难点。

为学生提供成功机会。

〗
4、试一试，解释生活
故事激趣《拿破仑测莱茵河宽度》
1805年，拿破仑率领大军与德俄联军在莱茵河作战。

当
时德俄联军在北岸步阵，法军在南岸，中间隔着很宽的莱茵河。

法军
要开炮轰击德俄联军，必须知道河的宽度。

拿破仑为此大伤脑筋。

站
在南岸远望德俄阵地。

忽然，他观察到对面岸边的一个标志O ，于是他
想出了一个测量河宽的办法。

他在自己的岸边选点A 、B 、D ，使得AB
⊥AO ，DB ⊥AB ，然后确定DO 和AB 的交点C 。

然后测得AC=120米。

CB=60
米，
BD=250米，你能帮助他算出莱茵河的宽度吗？ “共角”型 A B C D E
“共角共边”型 A
B C D “X”型 A B C D E “蝴蝶”D A E B C “A”型 A C B D E “A”
A E D
B
C ＯＡＢＤＣ
〖与课后练习3属同一数学模型，但引用历史名人的故事更能激发学生的学习兴趣。

〗
四、归纳总结，深化目标
设问：“通过这节课的学习有什么收获？”
同桌对讲，畅谈自己的感受和体会，学生发言，老师总结与归纳。

①判定三角形相似的条件1。

②几种相似三角形的 “基本图形”。

③应用“两角对应相等，两三角形相似”时，要注意图形中的公共角、对顶角、直角、两直线平行时的同位角、内错角或等角的余角、补角等等。

〖让学生自己小结，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力，活跃了课堂气氛。

〗
五、作业布置、检测反馈
必做题：作业本
选做题：A 层：习题4.7第1、2题。

B 层：提高题
1、如图，点B 、D 和C 、E 分别在∠A 的两边上，BE ⊥AC 于E 点，CD ⊥AB 于D 点，BE 和CD 相交于点F ，图中有几对相似三角形，并任你选一对说明理由。

2、如图，已知D 是△ABC 的边AB 上任一点，DF∥AC 交BC 于E ．AF 交BC 于M ，且∠B=∠F，△AMC∽△BDE 吗？请说明理由。

〖让学生巩固所学内容并进行自我检验与评价，既面向全体学生，又因材施教，照顾到学有余力的学生。

体现分层教学的原则。

〗
【教学设计说明】
《数学课程标准》要求：让学生成为行为主体“动手实践、自主探索、合作交流 ”。

以上述思想为出发点，本节课的教学设计体现了活动性、开放性、探究性、合作性、生成性。

⒈ 教学流程：温故知新——直观感觉——实验探究——讨论交流——应用拓展 ⒉ 关于探索
第2题图
A
B C D E F 第1题图
两个三角形相似的条件一的探索，本设计没有按照教科书那样直接指导学生按部就班地画一个角，两个角这样的程序进行。

而是首先在新旧知识的转折处，创设有助于学生自主学习的问题情境——如何画一个三角形与已知三角形相似。

引导学生探索多种方案，而后选择其一，深入研究。

使学生经历“直观感觉――动手感知――理性思维”的活动过程，在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。

真正感受数学创造与探索的乐趣。

⒊关于应用
三角形相似的判定方法1的应用是本节的一个重点，在运用时，如何找准相等的两组对应角是一个难点。

本设计注重了习题的发展性作用，层层深入，逐一突破难点。

同时根据变式分层的思想，设计具有一定跨度的问题串，组织学生进行变式训练，使每个学生都得到充分的发展。

⒋课堂组织
本课采用“自主探索，合作交流”这一教学组织形成鼓励学生在独立思考的基础上，积极参与数学问题的讨论，勇于发表自己的观点，能在倾听别人意见的过程中，逐渐完善自己的想法，感受到与同伴交流中获益的快乐。

⒌评价方式：本章定位于以直观几何为主体、附以一定程度上的说理和简单推理。

本节课关注的是学生能否主动参与小组合作，积极探索。

为此，教师要特别关注学生个性化的学习需求以及对个性化学习的恰当评价在课堂教学中，给学生留有充足的时间，发表自己的观点，教师应及时表扬和鼓励，这有助于学生认识自我，建立自信，发挥评价的教育功能。

2004．12。