六年级数学质数与合数试题答案及解析

六年级数学质数与合数试题答案及解析
1.某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元?
【答案】3
【解析】
这个学校最少有35+14×30＝455名师生，最多有35+14×45＝665名师生，并且有师生总数整除1995．
1995＝3×5×133，在455～665之间的约数只有5×133＝665，所以师生总数为665人，则平均每人捐款1995÷665＝3元．
2.在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?
【答案】1755或1800
【解析】
1872＝2×2×2×2×3×3×13＝□□×□□，其中某个□为8，
有1872＝48×39，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48，所以正确的乘积应该是45×39＝1755．
有1872＝78×24，小马虎错把5看成8，也就是错把75看成78，所以正确的乘积应该是75×24＝1800．
验证没有其他满足条件的情况．
所以原来的积为1755或1800．
3.在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?
【答案】374
【解析】
如下图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和为ac+ab＝
209．
ac+ab＝a×(c+b)＝209，而209＝11×19．
当a＝11时，c+b＝19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则c+b＝
2+17；
当a＝19时，c+b＝11，则c+b＝2+9，不满足．
所以它们的乘积为11×2×17＝374．
4.如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少?
【答案】39、25
【解析】
4875＝3×5×5×5×13，
有a×b为4875的约数，且这两个数的和为64．发现39＝3×13、25＝5×5这两个数的和为64，所以39、25为满足题意的两个数．
那么它们的差为39－25＝14．
评注：由上题可推知，当两个数的和一定时，这两个数越接近，积越大，所以两个和为64的数的乘积最大为32×32＝1024，而积最小为1×64＝64．
而4875在64～1024之间的约数有65，195，325，375，975等．
我们再对65，195，325，375，975等一一验证．
严格的需这般计算，才不会漏掉满足题意的其他的解．而在本题中满足题意的只有39、25这两个数．
5.下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：
美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；
杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；
九天九霄志凌云，九七共庆手相握；
聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．
请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．
【答案】少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山
【解析】按要求编号排序，并画出质数号码：
美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
九天九霄志凌云，九七共庆手相握；
29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．
43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56
将质数对应的汉字依次写出就是：
少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山．
6.炎黄骄子菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组．例如，时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而，，是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．【答案】
第一个质数第二个质数第三个质数满足要求打√
【解析】最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12，所以2不能在所要求的数组中．而且由于个位是5的质数只有一个5，所以个位是3的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：
7.两个质数之和为，求这两个质数的乘积是多少.
【答案】74
【解析】因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是，另一个是，乘积为.我们要善于抓住此类题的突破口。

8.用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有多少种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来．
【答案】{2，3，5，7，41，89}，{2，3，5，7，61，89}，{2，3，5，7，89，401}，{2，3，5，7，89，461}，{2，3，5，7，61，409}，{2，3，5，47，61，89}，{2，3，5，41，67，89}，{2，3，5，67，89，401}，{2，5，7，43，61，89}，{2，5，7，61，83，409}
【解析】除了2以外，质数都是奇数，因为0～9中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，
则其中一定有2．又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个
数．另4个质数分别以1，3，7，9为个位数，从而列举如下：
{2，3，5，7，41，89}，{2，3，5，7，61，89}，{2，3，5，7，89，401}，{2，3，5，7，89，461}，{2，3，5，7，61，409}，{2，3，5，47，61，89}，{2，3，5，41，67，89}，{2，3，5，67，89，401}，{2，5，7，43，61，89}，{2，5，7，61，83，409}．
即共有10种不同的方法．
9. 7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么d是多少？
【答案】7
【解析】因为7个质数的和是偶数，所以这7个质数不可能都是奇数.我们知道是偶数的质数只有2，因此这7个质数中必有一个是2.又因为2是最小的质数，并且这7个连续质数是从大到小排
列的，所以.其他6个数从大到小依次是17、13、11、7、5、3.这样.
10.把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。

【答案】第一组应有40，99，65，63．
第二组应有44，78，45，105.
【解析】，，，，，，，，要使每组四个数的乘积相等，需要每组含有相同的质因数，看质因数2，第一组含有40，第二组
含有44，78，再看，第一组应有40，99，65，再看5第二组应有44，78，45，105，最后
看7，第一组应有40，99，65，63．
11. 4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，
最大的一个是多少？
【答案】8533
【解析】将360分解质因数得，它是6个质因数的乘积.因为题述的四个数中只
有一个是合数，所有该合数必至少为个质因数的积，又只有3个2相乘才能是一位数，所
以这4个乘数分别为3，3，5，8，所组成的最大四位数是8533.
12.将1～9九个自然数分成三组，每组三个数.第一组三个数的乘积是48，第二组三个数的乘积
是45，第三组三个数字之和最大是多少？
【答案】18
【解析】分解质因数，，可知45只能是1，5，9的乘积，而48可能是2，4，6或2，3，8或1，6，8(舍去)，则第三组的三个数可能是3，7，8或4，6，7，其中和
最大的是.
13.已知是质数，也是质数，求是多少？
【答案】2029
【解析】是质数，必定是合数，而且大于1．又由于是质数，大于1，一定是奇
质数，则一定是偶数．所以必定是偶质数，即．
.
14.已知P,Q都是质数，并且，则=
【答案】398
【解析】本题充分考察质数与数字奇偶性知识点的结合。

通过观察发现题目中有2个未知数，但
是都是质数，从结果上看2003是一个奇数，那么前面2个乘积必须为1个奇数1个偶数，那么
P和Q中必须有一个是2才可以。

由大小关系可以发现只能Q是2，解出P=199,P×Q=398。

15.将1到9这9个数字在算式的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数?
【答案】
【解析】本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2，3，5，7.将原始代入字母分
析有，即有，那么很容易发现只有3×5-2×7=1。

符合原式的填法为。

16.写出10个连续自然数，它们个个都是合数．
【答案】114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126．
【解析】在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96．我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了．用筛选法
可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126．同学们可以在这里随意截取10个即为答案．可
见本题的答案不唯一．
17.自然数是一个两位数，它是一个质数，而且的个位数字与十位数
字都是质数，这样的自然数有多少个？
【答案】23,37,53,73
【解析】这样的自然数有4个：23，37，53，73．
18. A，B，C为3个小于20的质数，，求这三个质数.
【答案】2,11,17
【解析】因为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只能是，另两个
奇质数之和为，又因为这三个数都要小于，所以只能为和，所以这三个质数分别是，，.
19.三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．
【答案】3,5,7
【解析】设这三个质数分别是、、，满足，则可知、、中必有一个为7，
不妨记为，那么，整理得，又，对应的2、9(舍去)或
3、5，所以这三个质数可能是3，5，7
20.证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。

【答案】略
【解析】由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除．现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．。