2018中考数学解直角三角形(在实际问题中的运用-含答案)

D
A
B
C
E
F
解直角三角形在实际问题中的运用
要点一:锐角三角函数的基本概念
1。

(·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m,OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE = 12
13
． （1）求半径OD ；
(2）根据需要，水面要以每小时0。

5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？
2。

(綦江中考）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ．
（1)求证：ABE △DFA ≌△；
（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．
3、（宁夏中考)如图，在△ABC 中,∠C =90°，sin A =
5
4
，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．
O
E
C
D
4、（肇庆中考）在Rt △ABC 中，∠C = 90°,a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值。

5、（·芜湖中考)如图，在△ABC 中,AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠，
(1） 求证：AC=BD ; (2)若12
sin 13
C =
,BC =12，求AD 的长．
要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题 1.（·钦州中考)sin30°的值为（ )
A 3
B 2
C ．
12
D 3 2.(长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，
452AOC OC ∠==°，B 的坐标为（ ）
A ．(21)，
B ．2)，
C ．211)，
D ．(121)，
3。

（定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶,梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°,否则就有危险，那么梯子的长至少为( ） A ．8米 B ．3 C 83米 D 43
米 4.宿迁中考）已知α为锐角，且2
3
)10sin(=
︒-α，则α等于（ ) Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒80 5。

（毕节中考） A （cos60°，－tan30°)关于原点对称的点A 1的坐标是( )
A ．1323⎛- ⎝⎭，
B ．3323⎛- ⎝⎭，
C ．1323⎛-- ⎝
⎭， D ．1322⎛- ⎝⎭， 6.（襄樊中考）计算:2
cos 45tan 60cos30+等于( )
(A)1 （B 2 (C ）2 (D 3
三、解答题
11.（·黄石中考）计算：3－
1+（2π－1）0－
3
3
tan30°－tan45°
12.（崇左中考)计算：0
200912sin 603tan 30(1)3⎛⎫
-++- ⎪⎝⎭
°°．
13.33602cos 458-+
要点三、解直角三角形在实际问题中的运用
1.（庆阳中考）如图(1），一扇窗户打开后用窗钩AB 可将其固定．如图(2）是如图（1）中窗子开到一定位置时的平面图,若∠AOB =45°， ∠OAB =30°，OA =60cm ，求点B 到OA 边的距离．3 1.7，结果精确到整数）
2.(郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为1.5米，测
得仰角α为30,点B到电灯杆底端N的距离BN为10米,求路灯的高度MN是多少米？（取2=1。

414,3=1.732，结果保留两位小数)
3、（眉山中考）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶,在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小
时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离。

4、（常德中考)如图，某人在D处测得山顶C的仰角为30o,向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度
≈，结果保留整数)．
为i=1∶0。

5，求山的高度（不计测角仪的高度，3 1.73
5、（广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．
（1)改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）
(2)若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全,原滑滑板的前方有6米长的空地,像这样改造是否可
===)
行？说明理由. （参考数据：2 1.414,3 1.732,6 2.449
6.(广东中考）17．如图,小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路。

现
P
A
B
Q
24.5
49°
41°
北
东
南 西
新修一条路AC 到公路l 。

小明测量出∠ACD =30º，∠ABD =45º,BC =50m 。

请你帮小明计算他家到公路l 的距离AD 的长度（精确到0。

1m;参考数据：414.12≈，732.13≈）.
7。

(安徽中考）19。

如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度。

已知在离地面1500m ，高度C 处的飞机,测量人员测得正前方A 、B 两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB 的长。

8.（连云港市中考）24．（本题满分10分）如图,自来水厂A 和村庄B 在小河l 的两侧，现要在A ，B 间铺设一
知输水管道．为了搞好工程预算,需测算出A ，B 间的距离．一小船在点P 处测得A 在正北方向,B 位于南偏东24。

5°方向，前行1200m ，到达点Q 处,测得A 位于北偏东49°方向，B 位于南偏西41°方向． （1）线段BQ 与PQ 是否相等？请说明理由； (2）求A ，B 间的距离．（参考数据cos41°＝0.75)
9.(苏州市中考）25．(本题满分5分）如图，小明在大楼30米高（即PH ＝30米）的窗口P 处进行观测,测得山坡上A 处的俯角为15°,山脚B 处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i （即tan ∠ABC ）为1：3，点P 、H 、B 、C 、A 在同一个平面上．点H 、B 、C 在同一条直线上，且PH ⊥HC ． (1）山坡坡角(即∠ABC ）的度数等于 ▲ 度；
（2)求A 、B 两点间的距离(结果精确到0。

1米,参考数据:3≈1.732）．
第6题图
B
C l
D
东北600
A
B
C
10.（宿迁市中考）23．（本题满分10分）如图,为了测量某建筑物CD 的高度,先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m ，此时自B 处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m ，请你计算出该建筑物的高度．（取3＝1.732，结果精确到1m)
11。

（成都市中考）16．(本小题满分6分）
如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B 处时,发现灯塔A 在我军舰的正北方向500米处;当该军舰从B 处向正西方向行驶至达C 处时,发现灯塔A 在我军舰的北偏东60°的方向.求该军舰行驶的路程．(计算过程和结果均不取近似值）
12。

（金华市中考)19.(本题6分)
生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°时（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬. 现在有一长为6米的梯子AB ， 试求能够使人安全攀爬时,梯子的顶端能达到的最大高度AC . （结果保留两个有效数字，sin70°≈0。

94，sin50°≈0。

77， cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
13、(盐城市中考）24．（本题满分10分)如图,放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为40cm ，灯罩BC 长为30cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与底座构成的∠BAD =60°。

使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少cm ？
（结果精确到0。

1cm ，参考数据:错误!≈1。

732）
（第23
E D C
B
A
1.5
45︒
30︒100
第19题图
A
B
α 梯子
C
E
60°
30°
A
B
C
D
参考答案
1、【解析】（1)∵OE ⊥CD 于点E ，CD =24（m ）, ∴ED =1
2
CD =12（m ）．
在Rt △DOE 中,∵sin ∠DOE =ED OD =12
13
， ∴OD =13（m ）．
（2）OE 5（m ） ∴将水排干需：5÷0。

5=10（小时）． 2、【解析】(1）在矩形ABCD 中，
90BC AD AD BC B =∠=，∥，°
DAF AEB ∴∠=∠ DF AE AE BC ⊥=， 90AFD B ∴∠=∠°=
AE AD =
ABE DFA ∴△≌△．
（2）由（1）知ABE DFA △≌△
6AB DF ∴==
在直角ADF △中,
8AF ===
2EF AE AF AD AF ∴=-=-=
在直角DFE △中，
DE ===
sin
EF EDF DE ∴∠=
==
3、【解析】在Rt △ABC 中， ∠C =90°, AB =15
A sin =
AB BC =5
4
， ∴ 12=BC 912152222=-=-=BC AB AC
∴周长为36，BC 124
tan A .AC 93
=
==
4、【解析】在Rt △ABC 中，c =5，a =3． ∴ 22a c b -=
2235-=4=
∴ 53
sin ==
c a A 4
3
tan ==b a A ．
5、【解析】(1)∵AD 是BC 上的高,∴AD ⊥BC ． ∴∠ADB =90°，∠ADC =90°． 在Rt △ABD 和Rt △ADC 中， ∵tan B =
AD BD ,cos DAC ∠=AD
AC
又已知tan cos B DAC =∠
∴
AD BD =AD AC
．∴AC=BD ． (2)在Rt △ADC 中， 12
sin 13
C =,故可设A
D =12k ，AC =13k ．
DC 5k
AD AD BD 13k
tan B cos DAC BC 13k 5k 12
2
k ,AD 8.
3
∴=====∠∴=+=∴==
要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题
1、答案:C
2、答案：C
3、答案：C
4、答案：Ｃ
5、答案：A
6、答案：C 三、解答题
11、【解析】3－
1+（2π－1）0－
3
3
tan30°－tan45° 11
11330
=
+--= 12、【解析】原式
=2311--=0． 13、
3602cos458
-+
=222
-+ =2.5 要点三、解直角三角形在实际问题中的运用
1、【解析】如图，过点B 作BC ⊥OA 于点C
∵ ∠AOB =45°，∴∠CBO =45°，BC =OC ． 设BC =OC =x ，∵∠OAB =30°， ∴ AC =BC ×tan60°=3x ．
∵ OC +CA =OA ，∴x +3x =60， ∴ x =3160+≈22（cm ）．
即点B 到OA 边的距离是22 cm ．
2、【解析】在直角三角形MPA 中，30α∠=°,10AP 米
MP=10·tan300 =10×3
3
≈5。

773米 因为 1.5AB
米
所以MN=1。

5+5。

77=7。

27米 答：路灯的高度为7.27米
3、【解析】如图，过B 点作BD ⊥AC 于D
∴∠DAB ＝90°－60°＝30°，∠DCB ＝90°－45°＝45° 设BD ＝x ，在Rt △ABD 中，AD ＝x ⋅tan30°3x 在Rt △BDC 中，BD ＝DC ＝x BC 2x
又AC ＝5×2＝10 310+=x x ， 得5(31)x =， ∴231)62)BC =
=（海里）
答:灯塔B 距C 处5(62)海里 4、【解析】设山高BC =x ，则AB =
1
2
x , tan 3012002
BC x BD x =
=
+，得 (231)400x =，
解得400(231)
16211231
x =
=-≈米
5、【解析】(1）在Rt ABC △中，
5
sin 452(m)2
AC AB ==
5
cos 452(m)2
BC AB ==
Rt ADC △中
52(m)sin 30AC
AD =
=
5
6(m)tan 302AC CD ==
2.07(m)AD AB ∴-≈
改善后的滑滑板会加长2。

07m ． （2）这样改造能行．
因为 2.59(m)CD BC -≈，而63 2.59-> 6、 略解：AD=25（3+1)≈68.3m 7。

简答:∵OA 35003
3
150030tan 1500=⨯
=⨯=
， OB=OC=1500, ∴AB=635865150035001500=-≈-(m). 答：隧道AB 的长约为635m. 8、解：（1）相等
由图易知，∠QPB ＝65.5°，∠PQB ＝49°，∠AQP ＝41°,
∴∠PBQ ＝180°－65.5°－49°＝65。

5°．∴∠PBQ ＝∠BPQ ． ∴BQ ＝PQ
（2）由（1）得,BQ ＝PQ ＝1200 m ．
在Rt △APQ 中，AQ ＝错误!＝错误!＝1600(m ）． 又∵∠AQB ＝∠AQP ＋∠PQB ＝90°,
∴Rt △AQB 中，AB ＝错误!＝错误!＝2000（m ）． 答：A ，B 间的距离是2000 m ．
9、
10. 解:设CE ＝x m,则由题意可知BE ＝x m ，AE ＝(x ＋100）m ．
11/11
在Rt △AEC 中，tan ∠CAE ＝
AE CE
，即tan30°＝100
+x x ∴
3
3
100=
+x x ，3x ＝3（x ＋100) 解得x ＝50＋503＝136。

6
∴CD ＝CE ＋ED ＝（136.6＋1.5）＝138.1≈138(m ） 答：该建筑物的高度约为138m ． 11。

由题意得∠A=60°， ∴BC=AB×tan60°=500× =500 m ． 答：该军舰行驶的路程为500 m ．
12、 当α=70°时，梯子顶端达到最大高度， ……1分 ∵sin α=
AB
AC
, ……2分 ∴ AC = sin70°×6=0.94×6=5。

64 ……2分
≈5.6（米）
答：人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约5。

6米．……1分 13、。

解：过点B 作BF ⊥CD 于F ，作BG ⊥AD 于G .
在Rt △BCF 中，∠CBF =30°,∴CF =BC·sin 30°= 30×错误! =15. 在Rt △ABG 中，∠BAG =60°，∴BG =AB·sin 60°= 40×错误! = 20错误!. ∴CE =CF +FD +DE =15+20错误!+2=17+20错误!≈51.64≈51。

6（cm)cm. 答：此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 约是51。

6cm 。

（第10题）
B A
1.5
45︒
30︒100
F
G
D C
B
A
30°
60°。