云南省曲靖市中考数学试卷包括答案解析版

2021 年云南省曲靖市中考数学试卷
一、选择题〔共8 题，每题 4 分〕
1．〔4 分〕〔2021 曲靖〕﹣ 2 的绝对值是〔〕
A．2B．﹣ 2 C．D．
2．〔4 分〕〔2021 曲靖〕如下图的支架〔一种小零件〕的两个台阶的高度和宽
度相等，那么它的左视图为〔〕
A．B．C．D．
3．〔4 分〕〔2021 曲靖〕以下计算正确的选项是〔〕
A．a2a=a2B．a6÷ a2=a3
C．a2b﹣2ba2=﹣ a2b D．〔﹣〕3=﹣
4．〔4 分〕〔2021 曲靖〕截止 2021 年 5 月末，中国人民银行公布的数据显示，
我国外汇的储藏规模约为×104亿元美元，那么× 104亿表示的原数为〔〕A．2311000 亿B．31100 亿C． 3110 亿 D． 311 亿
5．〔4 分〕〔2021 曲靖〕假设一个正多边形的内角和为720°，那么这个正多边形的每一个内角是〔〕
A．60°B．90°C．108°D．120°
6．〔4 分〕〔2021 曲靖〕以下二次根式中能与 2合并的是〔〕A．B．C．D．
7．〔4 分〕〔2021 曲靖〕如图，在平面直角坐标系中，将△OAB〔顶点为网格线
交点〕绕原点 O 顺时针旋转 90°，得到△ OA′B，′假设反比例函数 y= 的图象经过点
A 的对应点 A′，那么 k 的值为〔〕
A．6B．﹣ 3 C．3D．6
8．〔4 分〕〔2021 曲靖〕如图，在正方形 ABCD中，连接 AC，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，交AB、AC 于点M，N，分别以M，N 为圆心，大于MN 长的一半为半径画弧，两弧交于点 H，连结 AH 并延长交 BC于点 E，再分别以 A、E为圆心，以大于 AE 长的一半为半径画弧，两弧交于点 P， Q，作直线 PQ，分别
交CD， AC， AB 于点 F，G，L，交 CB 的延长线于点 K，连接 GE，以下结论：①∠ LKB=°，②GE∥ AB，③tan∠CGF= ，④S△CGE：S△CAB=1：4．其中正确的选项是〔〕
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
二、填空题〔共 6 题，每题 3 分〕
9．〔3分〕〔2021曲靖〕如果水位升高2m时，水位的变化记为+2m，那么水位
下降3m 时，水位的变化情况是．
10．〔3 分〕〔2021曲靖〕如图：四边形ABCD内接于⊙ O，E 为 BC延长线上一点，假设∠ A=n°，那么∠
°．
DCE=
11．〔 3 分〕〔2021 曲靖〕如：在△ ABC 中， AB=13，BC=12，点 D， E 分是
AB，BC的中点，接 DE， CD，如果 DE=，那么△ ACD的周是．
12．〔 3 分〕〔2021 曲靖〕关于 x 的方程 ax2+4x 2=0〔a≠0〕有数根，那么
整数 a=〔一个即可〕．
13．〔 3 分〕〔2021 曲靖〕一个包的价115 元，按 8 折出售仍可利15%，包的价元．
14．〔 3 分〕〔2021 曲靖〕如：象①②③均是以P0心， 1 个位度
半径的扇形，将形①②③分沿北，正南，西北方向同平移，每次移一
个位度，第一次移后形①②③的心依次P1P2P3，第二次移后形
①②③的心依次 P4 5 6⋯，依次律，0 2021个位度．
P P P P =
三、解答
+〔〕﹣1
15．〔 5 分〕〔2021 曲靖〕算〔 2〕+〔π 〕 +
16．〔 2021 曲靖〕先化，在求〔〕÷，其中a，b 足a+b =0．
17．〔 2021 曲靖〕如图：在平行四边形 ABCD的边 AB， CD上截取 AF，CE，使
得AF=CE，连接 EF，点 M， N 是线段上两点，且 EM=FN，连接 AN， CM．
（1〕求证：△ AFN≌△ CEM；
（2〕假设∠ CMF=107°，∠ CEM=72°，求∠ NAF 的度数．
18．〔 2021 曲靖〕甲乙两人做某种机械零件，甲每小时比乙多做 4 个，甲做120 个所用的时间与乙做100 个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零
件
19．〔 2021 曲靖〕某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机
调查了该校局部学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图．
依据以上信息解答一下问题：
（1〕求样本容量；
（2〕直接写出样本容量的平均数，众数和中位数；
（3〕假设该校一共有 1800 名学生，估计该校年龄在 15 岁及以上的学生人数．20．〔 2021 曲靖〕某公司方案购置A，B 两种型号的电脑，购置一台 A 型电
脑需万元，购置一台 B 型电脑需万元，该公司准备投入资金y 万元，全部用于购进 35 台这两种型号的电脑，设购进 A 型电脑 x 台．
（1〕求 y 关于 x 的函数解析式；
（2〕假设购进 B 型电脑的数量不超过 A 型电脑数量的 2 倍，那么该公司至少需要
投入资金多少万元
21．〔 2021 曲靖〕数学课上，李老师准备了四张反面看上去无差异的卡片A，B，C，D，每张卡片的正面标有字母a，b，c 表示三条线段〔如图〕，把四张卡片背
面朝上放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机
抽取一张．
（1〕用树状图或者列表表示所有可能出现的结果；
（2〕求抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．
22．〔 2021 曲靖〕如图， AB 为⊙ O 的直径，点 C 为⊙ O 上一点，将弧 BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D 恰好与圆心O 重合，连接OC，CD，BD，过点C 的切线与线段 BA 的延长线交于点 P，连接 AD，在 PB的另一侧作∠ MPB=∠ ADC．（1〕判断 PM 与⊙ O 的位置关系，并说明理由；
（2〕假设 PC= ，求四边形 OCDB的面积．
23．〔 2021 曲靖〕如图：在平面直角坐标系中，直线l：y= x﹣与x 轴交于点A，经过点 A 的抛物线y=ax2﹣3x+c 的对称轴是x=．
（1〕求抛物线的解析式；
（2〕平移直线 l 经过原点 O，得到直线 m，点 P 是直线 m 上任意一点， PB⊥x
轴于点 B，PC⊥y 轴于点 C，假设点 E 在线段 OB 上，点 F 在线段 OC的廷长线，连接PE， PF，且 PE=3PF．求证： PE⊥ PF；
（3〕假设〔 2〕中的点 P 坐标为〔 6，2〕，点 E 是 x 轴上的点，点 F 是 y 轴上的点，当 PE⊥ PF时，抛物线上是否存在点 Q，使四边形 PEQF是矩形如果存在，请求出点 Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．
2021 年云南省曲靖市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔共8 题，每题 4 分〕
1．〔4 分〕〔2021 曲靖〕﹣ 2 的绝对值是〔〕
A．2B．﹣ 2 C．D．
【考点】 15：绝对值．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣ 2 的绝对值是 2，
即| ﹣ 2|=2．
应选： A．
【点评】此题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0．
2．〔4 分〕〔2021 曲靖〕如下图的支架〔一种小零件〕的两个台阶的高度和宽度相等，那么它的左视图为〔〕
A．B．C．D．
【考点】 U2：简单组合体的三视图．
【专题】 55：几何图形．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
【解答】解：从左面看去，是两个有公共边的矩形，如下图：
应选： D．
【点评】此题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
3．〔4 分〕〔2021 曲靖〕以下计算正确的选项是
〕
〔
A．a2a=a2B．a6÷ a2=a3
C．a2b﹣2ba2=﹣ a2b D．〔﹣〕3=﹣
【考点】 35：合并同类项； 46：同底数幂的乘法；48：同底数幂的除法；6A：分式的乘除法．
【专题】 11：计算题； 513：分式．
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解： A、原式 =a3，不符合题意；
B、原式 =a4，不符合题意；
C、原式 =﹣a2b，符合题意；
D、原式 =﹣，不符合题意，
应选： C．
【点评】此题考查了分式的乘除法，合并同类项，以及同底数幂的乘除法，熟练
掌握运算法那么是解此题的关键．
4．〔4分〕〔2021曲靖〕截止2021 年 5 月末，中国人民银行公布的数据显示，
104亿表示的原数为〔〕
我国外汇的储藏规模约为×104亿元美元，那么
×
A．2311000 亿B．31100 亿C． 3110 亿D． 311 亿
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数；1K：科学记数法—原数．
【专题】17：推理填空题．
【分析】科学记数法 a×10n表示的数，“复原〞成通常表示的数，就是把 a 的小
数点向右移动 n 位所得到的数，据此求解即可．【解答】解：× 104亿 =31100 亿
应选： B．
【点评】此题主要考查了科学计数法﹣原数，要熟练掌握，解答此题的关键是要
明确：科学记数法a×10n表示的数，“复原〞成通常表示的数，就是把a 的小
数点向右移动n 位所得到的数．假设科学记数法表示较小的数a×10﹣n，复原为原
来的数，需要把 a 的小数点向左移动 n 位得到原数．
5．〔4 分〕〔2021 曲靖〕假设一个正多边形的内角和为720°，那么这个正多边形的每一个内角是〔〕
A．60°B．90°C．108°D．120°
【考点】 L3：多边形内角与外角．
【专题】 11：计算题．
【分析】根据正多边形的内角和定义〔 n﹣2〕× 180°，先求出边数，再用内角和
除以边数即可求出这个正多边形的每一个内角．【解答】解：〔n﹣2〕×
180°=720°，
∴n﹣ 2=4，
∴n=6．
那么这个正多边形的每一个内角为720°÷ 6=120°．
应选： D．
【点评】考查了多边形内角与外角．解题的关键是掌握好多边形内角和公式：〔n
﹣2〕× 180°．
6．〔4 分〕〔2021 曲靖〕以下二次根式中能与 2合并的是〔〕A．B．C．D．
【考点】 77：同类二次根式．
【专题】 11：计算题．
3 的二次根式即可．
【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数
为【解答】解： A、，不能与 2 合并，错误；
B、能与2合并，正确；
C、不能与2合并，错误；
D、不能与2合并，错误；
应选： B．
【点评】此题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
7．〔4 分〕〔2021 曲靖〕如图，在平面直角坐标系中，将△OAB〔顶点为网格线
交点〕绕原点 O 顺时针旋转 90°，得到△ OA′B，′假设反比例函数 y= 的图象经过点
A 的对应点 A′，那么 k 的值为〔〕
A．6B．﹣ 3 C．3D．6
【考点】 G6：反比例函数图象上点的坐标特征；R7：坐标与图形变化﹣旋转．【专题】 1：常规题型．
【分析】直接利用旋转的性质得出A′点坐标，再利用反比例函数的性质得出答案．【解答】解：如下图：∵将△ OAB〔顶点为网格线交点〕绕原点 O 顺时针旋转90°，得到△ OA′ B，′反比例函数 y= 的图象经过点 A 的对应点 A′，
∴A′〔3，1〕，
那么把 A′代入 y= ，
解得： k=3．
应选： C．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出 A′点坐标是
解题关键．
8．〔4 分〕〔2021 曲靖〕如图，在正方形ABCD中，连接 AC，以点 A 为圆心，适
当长为半径画弧，交AB、AC 于点M，N，分别以M，N 为圆心，大于MN 长的一
半为半径画弧，两弧交于点 H，连结 AH 并延长交 BC于点 E，再分别以 A、E为圆
心，以大于 AE 长的一半为半径画弧，两弧交于点 P， Q，作直线 PQ，分别
交CD， AC， AB 于点 F，G，L，交 CB 的延长线于点 K，连接 GE，以下结论：①
∠ LKB=°，②GE∥ AB，③tan∠CGF= ，④S△CGE：S△CAB=1：4．其中正确的选项是〔〕
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【考点】 LE：正方形的性质； N2：作图—根本作图； S9：相似三角形的判定与性
质； T7：解直角三角形．
【专题】 55：几何图形．
【分析】①在△ AOL 和△ BLK中，根据三角形内角和定理，如图两个角对应相等，
那么第三个角∠ LKB=∠BAC=°；
②根据线段中垂线定理证明∠AEG=∠ EAG=°=∠ BAE，可得 EG∥AB；
③根据等量代换可得：∠CGF=∠BLK，可作判断；
④连接 EL，证明四边形 ALEG是菱形，根据 EL＞BL，及相似三角形的性质可作判断．
【解答】解：①∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠ BAC= ∠ BAD=45°，
由作图可知： AE平分∠ BAC，
∴∠ BAE=∠CAE=°，
∵PQ 是AE 的中垂线，
∴ AE⊥PQ，
∴∠ AOL=90°，
∵∠ AOL=∠LBK=90°，∠
ALO=∠KLB，∴∠ LKB=∠ BAE=°；
故①正确；
②∵ OG是 AE的中垂线，
∴AG=EG，
∴∠ AEG=∠EAG=°=∠BAE，
∴EG∥AB，
故②正确；
③∵∠ LAO=∠GAO，∠ AOL=∠
AOG=90°，∴∠ ALO=∠AGO，
∵∠ CGF=∠AGO，∠ BLK=∠ALO，
∴∠ CGF=∠BLK，
在Rt△BKL中， tan∠CGF=tan∠BLK= ，
故③正确；
④连接 EL，
∵AL=AG=EG， EG∥AB，
∴四边形ALEG是菱形，
∴ AL=EL=EG＞BL，
∴，
∵EG∥AB，
∴△ CEG∽△ CBA，
∴=，
故④不正确；
此题正确的选项是：①②③，
应选： A．
【点评】此题考查了根本作图：角平分线和线段的垂直平分线，三角形相似的性质和判定，菱形的性质和判定，三角函数，正方形的性质，熟练掌握根本作图是
关键，在正方形中由于性质比拟多，要熟记各个性质并能运用；是中考常考的选择题的压轴题．
二、填空题〔共 6 题，每题 3 分〕
9．〔3 分〕〔2021 曲靖〕如果水位升高 2m 时，水位的变化记为 +2m，那么水位下降 3m 时，水位的变化情况是﹣3m ．
【考点】 11：正数和负数．
【专题】 511：实数．
【分析】首先审清题意，明确“正〞和“负〞所表示的意义；再根据题意作答．【解答】解：∵水位升高 2m 时水位变化记作 +2m，
∴水位下降 3m 时水位变化记作﹣ 3m．
故答案是：﹣ 3m．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正〞和“负〞的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一
个为正，那么另一个就用负表示．
10．〔3 分〕〔2021 曲靖〕如图：四边形 ABCD内接于⊙ O，E 为 BC延长线上一点，假设∠ A=n°，那么∠ DCE= n°．
【考点】 M6：圆内接四边形的性质．
【专题】 1：常规题型．
【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．
【解答】解：∵四边形 ABCD是⊙ O 的内接四边形，
∴∠ A+∠ DCB=180°，
又∵∠ DCE+∠DCB=180°
∴∠ DCE=∠A=n°
故答案为： n
【点评】此题考查了圆内接四边形的性质．解决此题的关键是掌握：圆内接四边形的对角互补．
11．〔 3 分〕〔2021 曲靖〕如图：在△ ABC 中， AB=13，BC=12，点 D， E 分别是AB，BC的中点，连接 DE， CD，如果 DE=，那么△ ACD的周长是 18 ．
【考点】 KX：三角形中位线定理．
【专题】 17：推理填空题．
【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵ D， E 分别是 AB， BC的中点，
∴AC=2DE=5，AC∥ DE，
AC2+BC2=52+122 =169，
AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ ACB=90°，∵
AC∥DE，
∴∠DEB=90°，又∵E 是BC的中点，
∴直线 DE是线段 BC的垂直平分线，
∴DC=BD，
∴△ ACD的周长 =AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，
故答案为： 18．
【点评】此题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
12．〔 3 分〕〔2021 曲靖〕关于 x 的方程 ax2+4x﹣2=0〔a≠0〕有实数根，那么负整数 a=﹣2〔一个即可〕．
【考点】 AA：根的判别式．
【专题】 1：常规题型．
【分析】先根据判别式的意义得到△=42+8a≥0，解得 a≥﹣ 2，然后在解集中找出负整数即可．
【解答】解：∵关于 x 的方程 ax2+4x﹣2=0〔 a≠ 0〕有实数根，
∴△ =42+8a≥0，
解得 a≥﹣ 2，
∴负整数 a=﹣1 或﹣ 2．
故答案为﹣ 2．
【点评】此题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0〔 a≠ 0， a， b， c 为常数〕根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜ 0，方程没有实数根．
13．〔 3 分〕〔2021 曲靖〕一个包的价115 元，按 8 折出售仍可利15%，包的价80 元．
【考点】 8A：一元一次方程的用．
【】 34：方程思想； 521：一次方程〔〕及用．
【分析】包的价x 元，根据售收入本钱=利，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出．
【解答】解：包的价x 元，
根据意得： 115× x=15%x，
解得： x=80．
答：包的价80 元．
故答案： 80．
【点】本考了一元一次方程的用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解的关．
14．〔 3分〕〔2021曲靖〕如：象①②③均是以P0心，1个位度
半径的扇形，将形①②③分沿北，正南，西北方向同平移，每次移一
个位度，第一次移后形①②③的心依次P1P2P3，第二次移后形
①②③的心依次P4 P5P6⋯，依次律， P0P2021= 673个位度．
【考点】 38：律型：形的化；Q3：坐与形化平移．
【】 2A：律型．
【分析】根据 P0 P1=1，P0P2=1，P0 P3=1；P0 P4=2，P0P5=2，P0P6=2；P0P7=3，P0P8=3，
P0P9=3；可知每移一次，心离中心的距离增加 1 个位，依据 2021=3× 672+2，即可得到点 P2021在正南方向上， P0P2021=672+1=673．
【解答】解：由图可得， P0P1 =1， P0P2=1，P0P3=1；
P0P4=2，P0P5=2，P0P6=2；
P0P7=3，P0P8=3，P0P9=3；
∵2021=3×672+2，
∴点 P2021在正南方向上，
∴P0P2021=672+1=673，
故答案为： 673．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化，应找出图形哪些局部发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各局部的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
三、解答题
+〔﹣〕﹣1
15．〔 5 分〕〔2021 曲靖〕计算﹣〔﹣ 2〕+〔π﹣〕 +
【考点】 2C：实数的运算； 6E：零指数幂； 6F：负整数指数幂．
【专题】 1：常规题型．
【分析】直接利用立方根的性质以及零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别
化简得出答案．
【解答】解：原式 =2+1+3﹣3
=3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16．〔 2021 曲靖〕先化简，在求值〔﹣〕÷，其中a，b满足a+b﹣ =0．
【考点】 6D：分式的化简求值．
【专题】 11：计算题； 513：分式．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法那么计算，同时利用除法法那么变形，约分得到最简结果，把等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：原式 ==，
由a+b﹣ =0，得到 a+b= ，
那么原式 =2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
17．〔 2021 曲靖〕如图：在平行四边形 ABCD的边 AB， CD上截取 AF，CE，使得AF=CE，连接 EF，点 M， N 是线段上两点，且 EM=FN，连接 AN， CM．（1〕求证：△ AFN≌△ CEM；
（2〕假设∠ CMF=107°，∠ CEM=72°，求∠ NAF 的度数．
【考点】 KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．
【专题】 555：多边形与平行四边形．
【分析】〔1〕利用平行线的性质，根据SAS即可证明；
（2〕利用全等三角形的性质可知∠NAF=∠ECM，求出∠ECM即可；
【解答】〔1〕证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ CD∥AB，
∴∠ AFN=∠CEM，
∵FN=EM， AF=CE，
∴△ AFN≌△ CEM〔 SAS〕．
（2〕解：∵△ AFN≌△ CEM，
∴∠ NAF=∠ECM，
∵∠ CMF=∠CEM+∠ ECM，
∴ 107°=72°+∠ECM，
∴∠ ECM=35°，
∴∠ NAF=35°．
【点评】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握根本知识，属于中考常考题型．
18．〔 2021 曲靖〕甲乙两人做某种机械零件，甲每小时比乙多做 4 个，甲做120 个所用的时间与乙做100 个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零
件
【考点】 B7：分式方程的应用．
【专题】 34：方程思想； 522：分式方程及应用．
【分析】设甲每小时做x 个零件，那么乙每小时做〔 x﹣ 4〕个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲做120 个所用的时间与乙做100 个所用的时间相等，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设甲每小时做x 个零件，那么乙每小时做〔x﹣4〕个零件，
根据题意得： = ，
解得： x=24，
经检验， x=24是分式方程的解，
∴x﹣4=20．
答：甲每小时做24 个零件，乙每小时做20 个零件．
【点评】此题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19．〔 2021 曲靖〕某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校局部学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图．
依据以上信息解答一下问题：
〔 1〕求样本容量；
（2〕直接写出样本容量的平均数，众数和中位数；
（3〕假设该校一共有 1800 名学生，估计该校年龄在 15 岁及以上的学生人数．
【考点】 V3：总体、个体、样本、样本容量； V5：用样本估计总体； W2：加权平均数； W4：中位数； W5：众数．
【专题】 1：常规题型； 542：统计的应用．
【分析】〔1〕由 12 岁的人数及其所占百分比可得样本容量；
（2〕先求出 14、 16 岁的人数，再根据平均数、众数和中位数的定义求解可得；
（3〕用总人数乘以样本中 15、16 岁的人数所占比例可得．
【解答】解：〔1〕样本容量为 6÷ 12%=50；
（2〕 14 岁的人数为 50× 28%=14、16 岁的人数为 50﹣〔 6+10+14+18〕 =2，
那么这组数据的平均数为=14〔岁〕，
中位数为=14〔岁〕，众数为 15 岁；
〔 3〕估计该校年龄在15 岁及以上的学生人数为1800×=720 人．
【点评】此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据；扇形统计图直接反映局部占总体的百分比大小．
20．〔2021 曲靖〕某公司方案购置A，B 两种型号的电脑，购置一台A 型电脑需万元，购置一台B 型电脑需万元，该公司准备投入资金y 万元，全部用于购进35 台这两种型号的电脑，设购进 A 型电脑 x 台．
（1〕求 y 关于 x 的函数解析式；
（2〕假设购进 B 型电脑的数量不超过 A 型电脑数量的 2 倍，那么该公司至少需要投入资金多少万元
【考点】 C9：一元一次不等式的应用； FH：一次函数的应
用．【专题】 11：计算题．
【分析】〔1〕根据题意列出关于 x、y 的方程，整理得到 y 关于 x 的函数解析式；
（2〕解不等式求出 x 的范围，根据一次函数的性质计算即
可．【解答】解：〔1〕由题意得， +×〔 35﹣x〕=y，
整理得， y=+14〔0＜x＜35〕；
（2〕由题意得， 35﹣ x≤ 2x，
解得， x≥，
则x 的最小整数为 12，
∵ k=＞0，
∴y 随 x 的增大而增大，∴当
x=12 时， y 有最小值，
答：该公司至少需要投入资金万元．
【点评】此题考查的是一次函数的应用、一元一次不等式的应用，掌握一次函数
的性质是解题的关键．
21．〔2021 曲靖〕数学课上，李老师准备了四张反面看上去无差异的卡片A，B，C，D，每张卡片的正面标有字母 a，b，c 表示三条线段〔如图〕，把四张卡片反面朝上
放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张．
（1〕用树状图或者列表表示所有可能出现的结果；
（2〕求抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概
率．【考点】 K6：三角形三边关系； X6：列表法与树状图法．
【专题】 1：常规题型； 543：概率及其应用．
【分析】〔1〕依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果；
（2〕由四张卡片中只有 C、 D 两张卡片能构成三角形，据此利用概率公式求解
可得．
【解答】解：〔1〕由题意可得，
共有 12 种等可能的结果；
（2〕∵共有 12 种等可能结果，其中抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段
都能组成三角形有 2 种结果，
∴抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率为= ．
【点评】此题考查树状图的运用，注意作图列表时按一定的顺序，做到不重
不漏．用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比．
22．〔 2021 曲靖〕如图， AB 为⊙ O 的直径，点 C 为⊙ O 上一点，将弧 BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D 恰好与圆心O 重合，连接OC，CD，BD，过点C 的切线与线段 BA 的延长线交于点 P，连接 AD，在 PB的另一侧作∠ MPB=∠ ADC．（1〕判断 PM 与⊙ O 的位置关系，并说明理由；
（2〕假设 PC= ，求四边形 OCDB的面积．
【考点】 M5 ：圆周角定理； MB：直线与圆的位置关系；MC：切线的性质； PB：翻折变换〔折叠问题〕．
【专题】 11：计算题．
【分析】〔 1〕连接 DO 并延长交 PM 于 E，如图，利用折叠的性质得 OC=DC，BO=BD，
那么可判断四边形 OBDC为菱形，所以 OD⊥BC，△ OCD和△ OBD 都是等边三角形，
从而计算出∠ COP=∠EOP=60°，接着证明 PM∥BC得到 OE⊥PM，所以 OE= OP，
根据切线的性质得到 OC⊥PC，那么 OC= OP，从而可判定 PM 是⊙ O 的切线；〔 2〕先在 Rt△ OPC中计算出 OC=1，然后根据等边三角形的面积公式计算四边
形OCDB的面积．
【解答】解：〔1〕PM 与⊙ O 相切．
理由如下：
连接 DO 并延长交 PM 于 E，如图，
∵弧 BC沿直线 BC 翻折，使弧 BC的中点 D 恰好与圆心 O 重合，
∴OC=DC， BO=BD，
∴OC=DC=BO=BD，
∴四边形 OBDC为菱形，
∴OD⊥ BC，
∴△ OCD和△ OBD 都是等边三角形，
∴∠ COD=∠BOD=60°，
∴∠ COP=∠EOP=60°，
∵∠ MPB=∠ADC，
而∠ ADC=∠ABC，
∴∠ ABC=∠MPB，
∴PM∥ BC，
∴OE⊥PM，
∴OE= OP，
∵PC为⊙O 的切线，
∴ OC⊥PC，
∴OC= OP，
∴OE=OC，
而 OE⊥ PC，
∴PM 是⊙ O 的切线；
〔 2〕在 Rt△ OPC中， OC= PC= ×=1，
∴四边形 OCDB的面积 =2S△OCD=2××12=．
【点评】此题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．假设出现圆
的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了直线与圆的关系、圆周角定理和折叠的性质．
23．〔 2021 曲靖〕如图：在平面直角坐标系中，直线l：y= x﹣与 x 轴交于点 A，经过点 A 的抛物线 y=ax2﹣3x+c 的对称轴是 x= ．
（1〕求抛物线的解析式；
（2〕平移直线 l 经过原点 O，得到直线 m，点 P 是直线 m 上任意一点， PB⊥x
轴于点 B，PC⊥y 轴于点 C，假设点 E 在线段 OB 上，点 F 在线段 OC的廷长线，连接PE， PF，且 PE=3PF．求证： PE⊥ PF；
（3〕假设〔 2〕中的点 P 坐标为〔 6，2〕，点 E 是 x 轴上的点，点 F 是 y 轴上的点，当 PE⊥ PF时，抛物线上是否存在点 Q，使四边形 PEQF是矩形如果存在，请求出点 Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．
【考点】 HF：二次函数综合题．
【专题】 16：压轴题．
【分析】〔1〕先求得点 A 的坐标，然后依据抛物线过点 A，对称轴是 x= 列出关于a、c 的方程组求解即可；
（2〕设 P〔3a， a〕，那么 PC=3a， PB=a，然后再证明∠ FPC=∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可；
（3〕设 E〔a，0〕，然后用含 a 的式子表示 BE的长，从而可得到可得到点 F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到CF的长，于是=，
=，从而可求得点 Q 的坐标〔用含 a 的式子表示〕，最后，将点 Q 的坐标代入抛物线的解析式求得 a 的值即可．
【解答】解：〔 1〕当 y=0 时， x﹣ =0，解得 x=4，即 A〔 4， 0〕，抛物线过点 A，对称轴是 x= ，得，
解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣ 4；
〔 2〕∵平移直线 l 经过原点 O，得到直线 m，
∴直线 m 的解析式为 y= x．
∵点 P 是直线 1 上任意一点，
∴设 P〔3a，a〕，那么 PC=3a， PB=a．
又∵ PE=3PF，
∴= ．
∴∠ FPC=∠EPB．
∵∠ CPE+∠EPB=90°，
∴∠ FPC+∠CPE=90°，
∴FP⊥PE．
〔 3〕如下图，点 E 在点 B 的左侧时，设 E〔a，0〕，那么 BE=6﹣a．
∵CF=3BE=18﹣3a，
∴ OF=20﹣3a．
∴ F〔 0，20﹣3a〕．
∵PEQF为矩形，
∴=，=，
∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，
∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．
将点 Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣ 3a=〔a﹣6〕2﹣3〔 a﹣ 6〕﹣ 4，解得：a=4 或 a=8〔舍去〕．
∴ Q〔﹣ 2，6〕．
如以下图所示：当点 E 在点 B 的右侧时，设 E〔a，0〕，那么 BE=a﹣6．
∵CF=3BE=3a﹣18，
∴OF=3a﹣20．
∴F〔 0，20﹣
3a〕．∵ PEQF为
矩形，
∴=，=，
∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，
∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．
将点 Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣ 3a=〔a﹣6〕2﹣3〔 a﹣ 6〕﹣ 4，解得：a=8 或 a=4〔舍去〕．
∴ Q〔2，﹣ 6〕．
综上所述，点 Q 的坐标为〔﹣ 2， 6〕或〔 2，﹣ 6〕．
【点评】此题主要考查的是二次函数的综合应用，解答此题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含 a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．。