甘肃省天水一中2016-2017学年高一上学期第一次段考数学试卷 Word版含解析

2016-2017学年甘肃省天水一中高一（上）第一次段考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合A={x∈R|0＜x＜1}，B={x∈R|（2x﹣1）（x+1）≤0}，则（∁R A）∩B（）
A．[0，]B．[﹣1，0] C．[，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）
2．设集合A={x∈R|＜1}，B={x∈R|2x＜1}，则（）
A．A⊇B B．A=B C．A⊆B D．A∩B=∅
3．下面有四个有关数集的命题：
（1）集合N中最小的数是1；
（2）若﹣a不属于N，则a属于N；
（3）若集合A={1，2，3}，B={3，2，1}则A=B；
（4）x2+1=2x的解可表示为{1，1}；
其中正确命题的个数为（）
A．3个B．0个C．2个D．1个
4．下列关系中正确的个数为（）
①0∈0；②∅⊈{0}；③{0，1}⊆{0，1}；④{a，b}={b，a}．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．下列各项表示同一函数的是（）
A．B．
C．D．
6．函数y=的定义域为（）
A．[﹣4，1] B．[﹣4，0）C．（0，1]D．[﹣4，0）∪（0，1]
7．已知集合A={x|x2﹣3x≥0}，B={x|1＜x≤3}，则如图所示阴影部分表示的集合为（）
A．[0，1）B．（0，3]C．（1，3）D．[1，3]
8．已知y=f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=x+，且x∈[﹣3，﹣1]时n≤f（x）≤m 恒成立，则m﹣n的最小值是（）
A．B．C．1 D．
9．已知定义在区间[0，2]上的函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（2﹣x）的图象为（）
A．B．C．
D．
10．已知函数f（x）=满足对任意的实数x1≠x2都有
＜0成立，则实数a的取值范围为（）
A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[，2）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．函数y=3的值域是．
12．[]=．
13．现有含三个元素的集合，既可以表示为，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2013+b2013=．
14．设f（x）=，若f（x）=3，则x=．
三、解答题（共44分）
15．设实数集R为全集，A={x|0≤2x﹣1≤5}，B={x|x2+a＜0}．
（1）当a=﹣4时，求A∩B及A∪B；
（2）若B∩（∁R A）=B，求实数a的取值范围．
16．已知增函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，其中b∈R，a为正整数，
且满足f（2）＜．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求满足f（t2﹣2t）+f（t）＜0的t的范围．
17．已知函数f（x）=+a（a∈R）为奇函数
（1）求a的值；
（2）当0≤x≤1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，求实数t的取值范围．
18．已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），满足条件：①f（2）=1，②f（xy）=f（x）+f（y），③当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求证：函数f（x）是偶函数；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）求不等式f（x）+f（x+3）≤2的解集．
2016-2017学年甘肃省天水一中高一（上）第一次段考数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合A={x∈R|0＜x＜1}，B={x∈R|（2x﹣1）（x+1）≤0}，则（∁R A）∩B（）
A．[0，]B．[﹣1，0] C．[，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先求出集合B与∁R A，再求（∁R A）∩B．
【解答】解：B={x∈R|（2x﹣1）（x+1）≤0}={x|﹣1≤x≤}，
∁R A={x|x≤0或x≥1}，
则（∁R A）∩B={x|﹣1≤x≤0}．
故选B．
2．设集合A={x∈R|＜1}，B={x∈R|2x＜1}，则（）
A．A⊇B B．A=B C．A⊆B D．A∩B=∅
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】分别化简集合A，B，即可得出结论．
【解答】解：∵，∴A={x|x＞1或x＜0}，
∵2x＜1，∴B={x|x＜0}，
∴B⊆A．
故选：A．
3．下面有四个有关数集的命题：
（1）集合N中最小的数是1；
（2）若﹣a不属于N，则a属于N；
（3）若集合A={1，2，3}，B={3，2，1}则A=B；
（4）x2+1=2x的解可表示为{1，1}；
其中正确命题的个数为（）
A．3个B．0个C．2个D．1个
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】利用集合N是自然数集，其中最小的自然数是0，判断出（1）是错的；通过举反例判断出（2）错；据集合中元素满足的三要素，判断出（3）、（4）错．
【解答】解：对于（1），因为N中最小的数是0，所以（1）错
对于（2）例如﹣0.2∉N，但0.2∉N，故（2）错
对于（3）两个集合A={1，2，3}，B={3，2，1}中的元素完全一样，只是次序不同而已，故（3）对；
对于（4）因为集合中元素是互异的，故（4）错
故选D．
4．下列关系中正确的个数为（）
①0∈0；②∅⊈{0}；③{0，1}⊆{0，1}；④{a，b}={b，a}．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】元素与集合关系的判断．
【分析】对于①，考虑符号“∈”适用范围，对于②，空集是任何非空集合的子集，对于③，任何一个集合都是它本身的子集，对于④，考虑到集合中元素的无序性即可．
【解答】解：对于①，“∈”只适用于元素与集合间的关系，故错；
对于②，空集是任何非空集合的子集，应该是∅⊆{0}，故错；
对于③，任何一个集合都是它本身的子集，故对；
对于④，考虑到集合中元素的无序性，它们是同样的集合，故正确．
故选B．
5．下列各项表示同一函数的是（）
A．B．
C．D．
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【分析】逐一分析四个答案中所给两个函数的定义域和解析式是否均一致，进而可由两个函数表示同一函数的定义得到答案．
【解答】解：A中，=x+1（x≠1），与g（x）=x+1两个函数的定义域不同，
故不表示同一函数；
B中，=|x|﹣1，与g（x）=x﹣1两个函数的解析式不同，故不表示同一函数；
C中，定义域与解析式均相同，故表示同一函数
D中，f（x）=1与=1（x≠0），两个函数的定义域不同，故不表示同一函数；
故选C
6．函数y=的定义域为（）
A．[﹣4，1] B．[﹣4，0）C．（0，1]D．[﹣4，0）∪（0，1]
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】为使得式子有意义，则偶次方根的被开方数一定非负且分母不为0．
【解答】解：由
得﹣4≤x＜0或0＜x≤1，
故选D．
7．已知集合A={x|x2﹣3x≥0}，B={x|1＜x≤3}，则如图所示阴影部分表示的集合为（）
A．[0，1）B．（0，3]C．（1，3）D．[1，3]
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】根据Venn图得到阴影部分对应的集合为B∩（∁U A）．根据集合的基本运算关系进行求解．
【解答】解：A={x|x2﹣3x≥0}={x|x≥3或x≤0}，
图中阴影部分所表示的集合为B∩（∁U A）．
则∁U A={x|0＜x＜3}，
则B∩（∁U A）={x|1＜x＜3}=（1，3），
故选：C．
8．已知y=f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=x+，且x∈[﹣3，﹣1]时n≤f（x）≤m 恒成立，则m﹣n的最小值是（）
A．B．C．1 D．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】根据函数是偶函数，转化为对称区间[1，3]，研究函数的值域问题，从而可解．【解答】解：由题意，∵y=f（x）是偶函数，x∈[﹣3，﹣1]，
所以考虑对称区间[1，3]，
f（x）=x+，f（x）=4，当且仅当x=2时，取得最小值4，
而f（1）=5，f（3）=．
所以f（x）在[1，3]上的值域为[4，5]，
由于x∈[﹣3，﹣1]时n≤f（x）≤m恒成立，则n≤4，且m≥5，
所以最小值为m﹣n=5﹣4=1，
故选C．
9．已知定义在区间[0，2]上的函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（2﹣x）的图象为（）
A．B．C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】由（0，2）上的函数y=f（x）的图象可求f（x），进而可求y=f（2﹣x），根据一次函数的性质，结合选项可可判断
【解答】解：由（0，2）上的函数y=f（x）的图象可知f（x）=
当0＜2﹣x＜1即1＜x＜2时，f（2﹣x）=2﹣x
当1≤2﹣x＜2即0＜x≤1时，f（2﹣x）=1
∴y=f（2﹣x）=，根据一次函数的性质，结合选项可知，选项A正确
故选A．
10．已知函数f（x）=满足对任意的实数x1≠x2都有
＜0成立，则实数a的取值范围为（）
A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[，2）
【考点】分段函数的应用．
【分析】由已知可得函数f（x）在R上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数a的取值范围．
【解答】解：若对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，
则函数f（x）在R上为减函数，
∵函数f（x）=，
故，
解得：a∈（﹣∞，]，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．函数y=3的值域是（0，1] ．
【考点】函数的值域．
【分析】由题设可知函数y是一个复合函数，根据复合函数的性质求解即可．
【解答】解：由题设可知函数y=3是一个复合函数，设y=3u，是增函数．则u=﹣x2，
开口向下，有最大值．其函数u的值域是函数u的定义域．
∵u=﹣x2的值域为（﹣∞，0]，即u≤0．
∴y=3u在u≤0的值域为（0，1]
故答案为（0，1]．
12．[]=．
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
【分析】利用指数性质及运算法则求解．
【解答】解：[]===．
故答案为：．
13．现有含三个元素的集合，既可以表示为，也可表示为{a2，a+b，0}，则
a2013+b2013=﹣1．
【考点】集合的相等．
【分析】由题意得：={a2，a+b，0}，由a为分母可得：a≠0，进而=0，即b=0，a2=1≠a，解得a，b值后，代入可得答案．
【解答】解：由题意得：={a2，a+b，0}，
∵a≠0，
∴=0，故b=0，
∴a2=1≠a，
解得：a=﹣1，
故a2013+b2013=﹣1，
故答案为：﹣1．
14．设f（x）=，若f（x）=3，则x=．
【考点】函数的值．
【分析】根据已知中分段函数的解析式，我们分x≤﹣1时、﹣1
＜x＜2时、x≥2时三种情况，分别构造方程，解出满足条件的x值，即可得到答案．
【解答】解：当x≤﹣1时，即x+2=3，解得x=1（舍去）
当﹣1＜x＜2时，即x2=3，解得x=，或x=﹣（舍去）
当x≥2时，即2x=3，解得x=（舍去）
故当f（x）=3，则x=
故答案为：
三、解答题（共44分）
15．设实数集R为全集，A={x|0≤2x﹣1≤5}，B={x|x2+a＜0}．
（1）当a=﹣4时，求A∩B及A∪B；
（2）若B∩（∁R A）=B，求实数a的取值范围．
【考点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算．
【分析】（1）当a=﹣4时，根据集合的基本运算即可求A∩B及A∪B；
（2）根据条件B∩（∁R A）=B，得到B⊆C R A，然后建立条件方程即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）已知A={x|≤x≤3}…
当a=﹣4时，B={x|x2﹣4＜0}={x|﹣2＜x＜2}…
∴A∩B={x|≤x＜2}…
A∪B={x|﹣2＜x≤3}…
（2）由（1）可知C R A={x|x＜或x＞3}…
由B∩（C R A）=B，
即B⊆C R A…
当B=∅时，即a≥0时成立…
当B≠∅，即a＜0时，
则B={x|﹣＜x＜}…
则，
解得0＞a≥﹣…
综上a的取值范围是：a≥﹣…
16．已知增函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，其中b∈R，a为正整数，
且满足f（2）＜．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求满足f（t2﹣2t）+f（t）＜0的t的范围．
【考点】其他不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）由f（0）=0，求得b=0；再由f（2）=＜，a 为整数，求得a=1，可得f （x）的解析式．
（2）不等式即f（t2﹣2t）＜f（﹣t），再根据f（x）==在（﹣1，1）上是增函
数，可得﹣1＜t2﹣2t＜t＜1，由此求得t的范围．
【解答】解：（1）由f（0）=0，求得b=0，
∴f（x）=．
再由f（2）=＜，求得a＜2，再根据a 为整数，可得a=1，
故f（x）=，（﹣1＜x＜）．
（2）不等式即f（t2﹣2t）＜﹣f（t）=f（﹣t），再根据f（x）==在（﹣1，1）
上是增函数，
可得﹣1＜t2﹣2t＜t＜1，求得0＜t＜1．
17．已知函数f（x）=+a（a∈R）为奇函数
（1）求a的值；
（2）当0≤x≤1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，求实数t的取值范围．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】（1）根据函数f（x）是奇函数，得到f（0）=0，即可求a的值；
（2）当0≤x≤1时，化简方程f（x）+1=t，即可得到结论．，
【解答】解：（1）∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），
∴若f（x）=+a（a∈R）为奇函数，
则f（0）=0，
即f（0）=+a=1+a=0，
解得a=﹣1；
（2）∵a=﹣1，
∴f（x）=﹣1，
若当0≤x≤1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，
即﹣1+1==t，
即t=，
当0≤x≤1时，1≤3x≤3，
则2≤1+3x≤4，
≤≤，
即≤≤1
即实数t的取值范围是≤t≤1．
18．已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），满足条件：①f（2）=1，②f（xy）=f（x）+f（y），③当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求证：函数f（x）是偶函数；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）求不等式f（x）+f（x+3）≤2的解集．
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】（1）由条件先得到f（1）=0，再得到f（﹣1）=0，根据f（﹣x）=f（﹣1•x）=f（﹣1）+f（x）=f（x），可得f（x）是偶函数．
（2）任意取x2＞x1＞0，可得f（）＞0，由，可
得f（x2）＞f（x1），可得f（x）在（0，+∞）上是增函数，再利用函数为偶函数，得出结论．
（3）原不等式可转化为f（x（x﹣3））≤f（4），可得|x（x﹣3）|≤4，解得x的范围．【解答】解：（1）证明：函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
满足条件：①f（2）=1，②f（xy）=f（x）+f（y），
由f（2）=f（1×2）=f（1）+f（2），得f（1）=0．
由f（1）=f（[﹣1]×[﹣1]）=2f（﹣1）=0，得f（﹣1）=0．
∴f（﹣x）=f（﹣1•x）=f（﹣1）+f（x）=f（x），∴f（x）是偶函数．
（2）根据当x＞1时，f（x）＞0，任意取x2＞x1＞0，则＞1，∴f（）＞0，
∴，∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是
增函数．
又f（x）是偶函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．
（3）由f（x•y）=f（x）+f（y），得f（x）+f（x﹣3）=f（x（x﹣3））．
又f（4）=f（2×2）=2f（2）=2，∴原不等式可转化为f（x（x﹣3））≤f（4）．∵f（x）是偶函数，∴|x（x﹣3）|≤4，解得：﹣1≤x≤4，且x≠0，
∴不等式f（x）+f（x﹣3）≤2的解集是[﹣1，0）∪（0，4]．
2017年1月1日。