离散数学第三章课件ppt

以|P(A)|＝Cn0＋Cn1＋…＋Cnn＝2n。
定理3.6 设A和B是两个集合，则： (1)B∈P(A)BA。 (2)ABP(A)P(B)。 (3)P(A)＝P(B)A＝B。 (4)P(A)∈P(B)A∈B。 (5)P(A)∩P(B)＝P(A∩B)。 (6)P(A)∪P(B)P(A∪B)。
A∪B＝B。
反之，若A∪B＝B，因AA∪B，所以AB。 同理可证ABA∩B＝A。
定义3.7
设A和B为两个集合，所有属于A而不
属于B的元素组成的集合称为B对于A的补集
(Complement) ， 或 相 对 补 。 记 作 A － B ＝
{x|x∈A∧xB} 。 A － B 也 称 为 A 和 B 的 差 集
A的真子集，但A不是A的真子集。 注：∈与表示元素和集合的关系，而、与＝
表示集合和集合的关系。 例如，若A＝{0，1}，B＝{0，1，{0，1}}，则 AB且AB。
定理3.3 设A、B和C是三个集合，则
(1)(AA)。 (2)AB(BA)。 (3)AB∧BCAC。
证 仅证(2)和(3) 明 (2)AB x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)
例如，若A＝{0，{0}}，则P(A)A＝(P(A)－A)∪(A－ P(A))＝{，0，{{0}}，{0，{0}}}。
定理3.9 设A、B和C为三个集合，则： (1)AB＝BA。 (2)(AB)C＝A(BC)。 (3)A∩(BC)＝(A∩B)(A∩C)。
例1 设A和B为两个集合，且AB，则A∩CB∩C。
证 对任意的 x∈A∩C ，则有 x∈A 且 x∈C 。而 AB ， 明 由 x∈A 得 x∈B ，则 x∈B 且 x∈C ，从而 x∈B∩C 。所
以，A∩CB∩C。 例2 设A和B为两个集合，则ABA∪B＝BA∩B＝A。
证 对任意的 x∈A∪B ，则 x∈A 或 x∈B 。又 AB ， 明 所以 x∈B ，于是 A∪BB 。又显然有 BA∪B ，故
定义3.2 设A和B是两个集合，若AB且B中
至少有一个元素b使得bA，则称A是B的真子集，
也称A真包含于B或B真包含A，记作AB。否则， 记作AB。B真包含A的符号化表示：
ABx(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)。
若两个集合A和B没有公共元素，我们说A
和B是不相交的。
例如，若A＝{a，b，c，d}，B＝{b，c}，则B是
接引入的最基本的原始概念（一给出定义就要引入悖
论（ Paradox ））。而集合论中的其他概念，则都是
从它出发给予了严格的定义。
集合元素的特征：确定性、互异性、无序 性和抽象性。
确定性：一旦给定了集合 A ，对于任意元素 a ， 可准确地判定a是否在A中，这是明确的。 互异性：集合中的元素之间是彼此不同的。即集 合{a，b，b，c}与集合{a，b，c}是一样的。 无序性：集合中的元素之间没有次序关系。即集 合{a，b，c}与集合{c，b，a}是一样的。 抽象性：集合中的元素是抽象的，甚至可以是集 合。如 A＝ {1 ， 2， {1 ， 2}}，其中 {1， 2}是集合 A的元 素。
Zm：表示模m同余关系所有剩余类组成的集合。
3.1.2 集合的表示法
1.列举法
列举法就是将集合的元素全部写在花括号
内，元素之间用逗号分开。 例如：A＝{a，b，c}，B＝{0，1，2，…}。
列举法一般用于有限集合和有规律的无限
集合。
2.谓词表示法
谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的 属性。通常用{x|p(x)}来表示具有性质p的一些 对象组成的集合。
例5 证明(A∪B)c＝Ac∩Bc。
证 因为x∈(A∪B)c xA∪B 明
xA∧xB x∈Ac∧x∈Bc x∈Ac∩Bc 所以(A∪B)c＝Ac∩Bc。
3.2.2 集合的对称差 定义3.9 集合A和B的对称差(Symmetric Difference)定义为AB＝(A－B)∪(B－A)。
3.1集合的概念与表示法
3.1.1 集合的概念 3.1.2 集合的表示法 3.1.3 集合的包含与相等 3.1.4 空集、集族、幂集和全集 3.1.5 有限幂集元素的编码表示
3.1.1 集合的概念
一般我们把一些确定的互不相同的对象的 全体称为集合，集合中的对象称为集合的元素。
通常用大写字母(如A、B等)表示集合，用小写字 母 (如 a、 b)表示集合中的元素。给定一个集合 A和一 个元素a，可以判定a是否在集合A中。如果a在A中，
题），3（偶数小题）
3.2 集合的运算与性质
3.2.1 集合的交、并、补 3.2.2 集合的对称差 3.2.3 广义并、广义交运算 3.2.4 集合的文氏图
3.2.1集合的交、并、补
定义3.6 设A和B为两个集合，A和B的交集A∩B
（Intersection） 、并集A∪B （Union）分别定义如下：
＝(A∪B)∩Ac ＝U∩Ac ＝Ac
例4 证明A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)。
证 因为x∈A∩(B∪C) x∈A∧x∈(B∪C) 明
x∈A∧(x∈B∨x∈C) (x∈A∧x∈B)∨(x∈A∧x∈C) x∈(A∩B)∨x∈(A∩C) x∈(A∩B)∪(A∩C) 所以A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)。
欲证集合A＝B，只需证明x∈Ax∈B。
定理3.8 任意集合A和B，B＝Ac A∪B＝U 且A∩B＝。 证 如B＝Ac， 则A∪B＝A∪Ac＝U，A∩B＝A∩Ac＝。 明 反之，若A∪B＝U且A∩B＝，
则B＝B∩U ＝B∩(A∪Ac) ＝(B∩A)∪(B∩Ac) ＝∪(B∩Ac) ＝(A∩Ac)∪(B∩Ac)
定义3.5 所要讨论的集合都是某个集合的 子集，称这个集合为全集（Universal set），记作 U或E。
全集是一个相对的概念。由于所研究的问题不同，
所取的全集也不同。例如，在研究整数间的问题时，
可把整数集Z取作全集。在研究平面几何的问题时， 可把整个坐标平面取作全集。
Assignments（作业） 第74页: 1（偶数小题），2（偶数小
(Difference)。
例如，若A＝{1，2，3}，B＝{1，4}，则A－B＝{2，3}， B－A＝{4}。
定义3.8
设U为全集，集合A关于U的补集U－A
Ac ＝{x|x∈U且xA}。
称为集合A的绝对补或余集，记为Ac。即:
例3 设A和B为两个集合，则A－B＝A∩Bc 。
证 因为x∈A－B x∈A∧xB c x ∈ A ∧ x ∈ B 明
例如：{x|1≤x≤6∧x为整数}为由1、2、3、 4、5、6组成的集合。
3.1.3 集合的包含与相等
外延性原理：两个集合A和B是相等的， 当且仅当它们有相同的元素。记为A＝B。
例如，若 A ＝ {2 ， 3} ， B ＝ { 小于 4 的素数 } ， 则A＝B。 定义3.1 设A和B为两个集合，若对于任意 的a∈A必有a∈B，则称A是B的子集，也称A 包含于B或B包含A，记作AB。如果B不包含 B。B包含A的符号化表示为： A，记作A ABx(x∈A→x∈B)。
abcabacabcabac10双重否定律a定理38任意集合a和bba32239symmetricdifference324在文氏图中用矩形表示全集u矩形内部的点均为全集中的元素用圆或椭圆表示u的子集其内部的点表示不同集合的元素并将运算结果得到的集合用阴影部分表示
3.1 集合的概念与表示法 3.2 集合的运算与性质 3.3 集合的划分与覆盖 3.4 排列与组合 3.5 归纳原理 3.6 容斥原理和抽屉原理 3.7 递推关系 3.8 集合论在命题逻辑中的应用
反之，若AB且BA，假设A≠B，则A与B元素不完 全相同。不妨设有某个元素x∈A但xB，这与AB矛盾， 所以A＝B。
定理3.2 设A、B和C是三个集合，则： (1)AA。 (2)AB∧BCAC。
证 (1)由定义显然成立。 明 (2)AB∧BC
x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B→x∈C) x((x∈A→x∈B)∧(x∈B→x∈C)) x(x∈A→x∈C) AC。
我们称a属于A，记为a∈A。否则，称a不属于A，记
为aA。 例如，某大学计算机系的全体学生、所有自然 数等都是集合。
说明：一个集合是作为整体识别的、确定的、互相 区别的一些事物的全体。严格地讲，这只是一种描述， 不能算是集合的定义。类似于几何中的点、线、面等 概念，在朴素集合论中，集合也是一种不加定义而直
定义3.3 没有任何元素的集合称为空集，记 作。以集合为元素的集合称为集族。
例如，{x|x≠x}是空集；{x｜x是某大学的学生社 团}是集族。
定理3.4 空集是任何集合的子集。
证
任给集合A，则Ax(x∈→x∈A)。由
有A为真。
明 于x∈是假的，所以x(x∈→x∈A)为真，于是
推论 空集是惟一的。
P({1，{2，3}})。
解 P()＝{}
P({})＝{，{}} P({，{}})＝{，{}，{{}}，{，{}}} P({1，{2，3}})＝{，{1}，{{2，3}}， {1，{2，3}}}。
定理3.5 若|A|＝n，则|P(A)|＝2n。 证明 因为A的m个元素的子集的个数为Cnm，所
例如，若A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2}，C＝{2，
3}，则BA且CA，但C B。
定理3.1 集合A和B相等当且仅当这两个集 合互为子集。即：A＝BAB∧BA。 证 若A＝B，则A和B具有相同的元素，于是 明 x(x∈A→x∈B)、x(x∈B→x∈A)都为真，即AB
且BA。
对于任一集合A，我们称空集和其自身A为A的平 凡子集。
特别要注意与{}的区别，是不含任何元素
的集合，是任意集合的子集，而{}是含有一个元素 的集合。
定义3.4 一个集合A的所有子集组成的集合
称为A的幂集（Power Set） ，记作P(A)或2A。
例1 求幂集P()、P({})、P({，{}})、
集合中元素的个数称为集合的基数，记为|A|。 当|A|有限时，称A为有限集合（Finite set）， ；否则， 称A为无限集合（Infinite set） 。
下面将本书中常用的集合符号列举如下：
N：表示全体自然数组成的集合。
Z：表示全体整数组成的集合。
Q：表示全体有理数组成的集合。
R：表示全体实数组成的集合。
x(xA∨x∈B)∧x(x∈B∧xA)
x(x∈A∧xB)∧x(xB∨x∈A) x(x∈A∧xB)∨x(x∈A∨xB) (x(x∈A∧xB)∧x(x∈A∨xB)) (x(x∈A∧xB)∧x(x∈B→x∈A)) (BA)。
(3)AB∧BC
x∈A∩Bc 所以A－B＝A∩Bc。
定理3.7 对于任意3பைடு நூலகம்集合A、B和C，其交、
并、补满足下面10个定律：
(1)幂等律 A∩A＝A，A∪A＝A
(2)结合律 (A∪B)∪C＝A∪(B∪C)
(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)
(3)交换律 A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A (4)分配律 A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C) (5)同一律 A∪＝A，A∩U＝A (6)零律 A∪U＝U，A∩＝
A∩B＝{x|x∈A∧x∈B} A∪B＝{x|x∈A∨x∈B} 例如，若A＝{1，2，3}，B＝{1，4}，则A∩B＝ {1}，A∪B＝{1，2，3，4}。
集合的交与并可以推广到n个集合的情况，即 A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An}
A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An}
(x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)) ∧(x(x∈B→x∈C)∧x(x∈C∧xB))
x(x∈A→x∈B∧x∈B→x∈C) ∧(x(x∈B∧xA)∧x(x∈C∧xB)) x(x∈A→x∈C)∧(x(x∈C∧xA) AC。
3.1.4 空集、集族、幂集和全集
(7)互补律 A∪Ac ＝U，A∩Ac＝
(8)吸收律 A∪(A∩B)＝A，A∩(A∪B)＝A (9)德· 摩根律 (A ∪B)c ＝Ac ∩Bc (A∩B)c＝Ac∪Bc
A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C)
A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C) (10)双重否定律 (Ac)c ＝A
以上等式的证明主要用到命题演算的等价式，即