高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质第一课时抛物线的简单几何性质a21

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又 y1y2＝k2x1－p2x2－p2 ＝k2x1x2－p2x1＋x2＋p42 ＝k2p42－k2p22＋k22p2＋p42 ＝－p2.
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(4)∵|A1F|＋|B1F|＝x1＋1 p2＋x2＋1 p2
＝x1x2＋x1p2＋xx1＋2＋xp2＋p42，
∴设 AB 的方程为 y＝tan θx－p2，
由y＝tan θx－p2， y2＝2px，
得 tan2θx－p22＝2px，
即 tan2θx2－(ptan2θ＋2p)x＋p2ta4n2θ＝0，①
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由题意得，方程①有两根 x1，x2， 由韦达定理，得 x1＋x2＝p2t＋ant2aθn2θ. 又|AB|＝x1＋x2＋p＝p2t＋ant2aθn2θ＋p＝p2＋tan22taθn2θ ＝2psins2iθn＋2θcos2θ＝si2np2θ. 当 θ＝90°时，显然|AB|＝2p＝sin22p90°，符合上式． 综上，|AB|＝si2np2θ.
因此，所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16 或(x－11)2＋(y
＋6)2＝144.
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Байду номын сангаас
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课堂(kètáng)基础达标
即学即练 稳操胜券(wén cāo shèng quàn)
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1．已知抛物线 y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛
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重点难点突破(tūpò)
解剖(jiěpōu)难点 探究提高
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抛物线只有一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点、 一个焦点、一条准线，且焦点与准线分别在顶点的两侧，它们 到顶点的距离相等，都为p2.根据抛物线的定义，抛物线上的点到 焦点的距离和该点到准线的距离之比为 1.因此，抛物线的离心 率为 1.
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目标导学
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质． 2．会用抛物线的简单性质解决与抛物线相关的问题．
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‖知识梳理‖
抛物线的简单几何性质
标准
y2＝2px(p＞ y2＝－2px(p
x2＝－2py(p x2＝2py(p＞0)
方程
0)
＞0)
两点，|MF|＋|NF|＝6，则 MN 的中点到准线的距离为( )
3 A.2
B．2
C．3
D．4
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解析：设点 M，N 的横坐标分别为 x1，x2，则有(x1＋1)＋(x2 ＋1)＝6，∴x1＋x2＝4，∴x1＋2 x2＝2，即线段 MN 的中点到 y 轴 的距离是 2，∴线段 MN 的中点到准线 x＝－1 的距离为 3.
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(2)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线 y2＝2px(p>0)的准线分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若双 曲线的离心率为 2，△AOB 的面积为 3，求抛物线的标准方程．
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解：由已知，得ac＝2，所以a2＋a2b2＝4，解得ba＝ 3， 即渐近线方程为 y＝± 3x. 而抛物线准线方程为 x＝－p2， 于是 A－p2，－ 23p，B－p2， 23p， 从而△AOB 的面积为12· 3p·p2＝ 3，可得 p＝2.所以其标准 方程为 y2＝4x.
解析：由题意，得p2＝6，∴p＝12.又对称轴是 x 轴， ∴抛物线方程为 y2＝24x 或 y2＝－24x. 答案：y2＝24x 或 y2＝－24x
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5．已知点 F 为抛物线 y2＝－8x 的焦点，O 为原点，点 P 是抛物线准线上一动点，点 A 在抛物线上，且|AF|＝4，求|PA| ＋|PO|的最小值．
y2 7＋p
＝
1
的半焦距
c＝
5＋p＋7＋p＝
12＋2p . 由 题 意 得 p2 ＝
12＋2p，∴p42＝12＋2p，即 p2－8p－48＝0，解得 p＝12 或 p
＝－4(舍去)．
答案：D
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4．顶点在原点，对称轴是 x 轴，并且顶点与焦点的距离等 于 6 的抛物线方程为______________________．
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(3)当 AB 的斜率不存在时，Ap2，p，Bp2，－p.此时 x1x2＝p42， y1y2＝－p2.
当 AB 的斜率存在时，设斜率为 k，则 AB：y＝kx－p2，
由y＝kx－p2， y2＝2px，
得 k2x2－(k2p＋2p)x＋p24k2＝0，
由韦达定理，得 x1x2＝p42，x1＋x2＝k2pk＋2 2p.
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课堂(kètáng)互动探究
归纳(guīnà)透析 触类旁通
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题型一 抛物线几何性质的应用
设抛物线 y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物 线上一点，PA⊥l，A 为垂足，如果直线 AF 的斜率为－ 3，那 么|PF|＝( )
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【证明】 (1)∵AB 过 y2＝2px 的焦点， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|，根据抛物线的定义可知 |AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.
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(2)∵直线 AB 过焦点 F，倾斜角为 θ，当 θ≠90°时，
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设 l 交 x 轴于 B，在 Rt△ABF 中，
cos 60°＝||BAFF||＝|A4F|，
∴|AF|＝41＝8. 2
又|PF|＝|AF|，∴|PF|＝8. 【答案】 B
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[名 师 点 拨] 掌握抛物线的定义及性质特点是解决此类问题的关键.
43 A. 3
B．8
83 C. 3
D．136
【思路探索】 根据抛物线的定义解题．
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【解析】 ∵P 为抛物线上一点，PA⊥l(l 为准线)， ∴|PA|＝|PF|.又 kAF＝－ 3， ∴∠AFO＝60°. 又 AP∥x 轴， ∴∠PAF＝60°， ∴△APF 为等边三角形．
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【思路探索】 (1)是焦点弦公式，可根据抛物线的定义求 解；(2)可设出直线 AB 的方程 y＝tan θx－p2，代入 y2＝2px，利 用韦达定理及焦点弦公式求解；(3)可将直线与抛物线联立，利 用韦达定理求解；(4)可利用(1)中的|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2， 代入化简求解．
答案：C
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3．已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点是双曲线5＋x2 p－7＋y2 p＝1
的一个焦点，则 p 的值为( )
A．4
B．6
C．8
D．12
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解析：抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 Fp2，0，双曲线5＋x2 p－
由(3)，知 x1＋x2＝k2pk＋2 2p，x1x2＝p42， 2k2p＋2p
∴上式＝p42＋p2·k2pkk＋22 2p＋p42＝2pk22＋p＋pk222kp2＝2p.
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[名 师 点 拨] 本例中的 4 个小题均可作为抛物线 y2＝2px 的焦点弦的性 质，其它标准抛物线可类似求得．在解题过程中注意运用.
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解：∵y2＝－8x，∴F(－2,0)，准线方程为 x＝2， 设 A(xA，yA)，则－xA＋2＝4，∴xA＝－2， 代入 y2＝－8x，得 y2＝16， 不妨取 yA＝4，即 A(－2,4)， 设 A 关于准线 x＝2 的对称点为 Q(x′，y′)，可得 Q(6,4)， 故|PA|＋|PO|≥|OQ|＝ 62＋42＝2 13.
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(2)由(1)可得，AB 的中点坐标为 D(3,2)，则直线 AB 的垂直 平分线方程为 y－2＝－(x－3)，即 y＝－x＋5，
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)， y0＝－x0＋5，
则x0＋12＝y0－x20＋12＋16，
解得xy00＝ ＝32， 或xy00＝ ＝－11，6，
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∴直线 l 的方程为 y＝x－1.
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解法二：抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，设直线 AB 的 倾斜角为 θ，由抛物线的弦长公式|AB|＝si2np2θ＝sin42θ＝8，解得 sin2θ＝12，又 k＞0，即倾斜角为锐角，∴θ＝π4，则直线的斜率 k ＝1，∴直线 l 的方程为 y＝x－1.
＞0)
图象
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范围
x≥0， y∈R
x≤0， y∈R
y≥0， x∈R
y≤0， x∈R
对称轴
____x____轴
____y_____轴
性质
顶点 焦点
p2，0
(0,0)
－p2，0
0，p2
0，－p2
准线 x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
离心率
e＝___1______
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(1)设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线为
l，P 为该抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足．若直线 AF 的斜率
为－ 3，则△PAF 的面积为( )
A．2 3
B．4 3
C．8
D．8 3
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解析：设准线与 x 轴交于点 Q，因为直线 AF 的斜率为－ 3， |FQ|＝2，所以∠AFQ＝60°，|FA|＝4.又因为|PA|＝|PF|，所以△ PAF 是边长为 4 的等边三角形，所以△PAF 的面积为 43×|FA|2 ＝ 43×42＝4 3.
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题型二 抛物线的焦点弦的性质及应用 已知 AB 是抛物线 y2＝2px(p＞0)的过焦点 F 的一条
弦，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证： (1)|AB|＝x1＋x2＋p； (2)若 AB 的倾斜角为 θ，则|AB|＝si2np2θ； (3)x1x2＝p42，y1y2＝－p2； (4)|A1F|＋|B1F|为定值2p.
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抛物线的几何性质包括抛物线的焦点、准线、范围、对称 轴、顶点、离心率、开口方向等，在解题时一定要注意抓住 p 的几何意义：p 表示焦点到准线的距离，另外抛物线不是双曲线 的一支，抛物线不存在渐近线，在抛物线中，通过焦点且垂直 于对称轴的弦，即抛物线的通径，其长度为 2p.
第二章 圆锥曲线 与方程 (yuán zhuī qǔ xiàn)
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2．4 抛物线
2．4.2 抛物线的简单(jiǎndān)几何性质 第一课时 抛物线的简单几何性质
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第二页，共四十四页。
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自主学习(xuéxí)导航
梳理(shūlǐ)知识 夯实基础
物线的焦点坐标为( )
A．(－1,0)
B．(1,0)
C．(0，－1)
D．(0,1)
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解析：抛物线 y2＝2px(p>0)的准线方程为 x＝－p2，由题意得 －p2＝－1，∴p2＝1，∴焦点坐标为(1,0)．
答案：B
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2．已知 F 是抛物线 y2＝4x 的焦点，M，N 是该抛物线上的
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设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k>0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|＝8.
(1)求 l 的方程； (2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．
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解：(1)解法一：抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F(1,0)， 设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则由yy2＝＝k4xx－，1， 整理，得 k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，∴x1＋x2 ＝2k2k＋2 2，x1x2＝1， 由|AB|＝x1＋x2＋p＝2k2k＋2 2＋2＝8，解得 k2＝1，又 k＞0， ∴k＝1，