朝阳高三一模数学文科20题

（20）（本小题满分13分）
解：函数()f x 定义域为{0}x x ≠，322()e x x x ax a f x x
++-'=. （Ⅰ）共计3分
当0a =时，()e x f x x =⋅，()f x '=(1)e x
x +…………………......1分
所以(1)e,(1)2e f f '==………………………………………………………1分
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是e 2e(1)y x -=-，
即2e e =0x y --. ………… 1分
（Ⅱ） 共计4分 当1a =-时，()f x '=322
1e x x x x x +-+………………………………1分 设()g x =321x x x +-+，则2
()321(31)(1)g x x x x x '=+-=-+. 令()(31)(1)0g x x x '=-+>得，13x >
或1x <-，注意到0x >，所以13
x >. 令()(31)(1)0g x x x '=-+<得，注意到0x >，得103
x <<. 所以函数()g x 在1(0,)3上是减函数，在1(,)3
+∞上是增函数………………1分 所以函数()g x 在13x =时取得最小值，且122()0327
g =>…………………1分 所以()g x 在(0,)+∞上恒大于零. 于是，当(0,)x ∈+∞，()f x '=322
1e 0x x x x x +-+>恒成立. 所以当1a =-时，函数()f x 在()0,+∞上为增函数. …………………1分
（Ⅱ）问另一方法提示：当1a =-时，()f x '=322
1e x x x x x +-+. 由于32
10x x x +-+>在()0,+∞上成立，即可证明函数()f x 在()0,+∞上为增函数.
（Ⅲ）共计6分 由（Ⅱ）得322()e ()x
x x ax a f x x ++-'=. 设()h x =32x x ax a ++-，2()32h x x x a '=++…..............1分 (1) 当0a >时，()0h x '>在(0,)+∞上恒成立，即函数()h x 在(0,)+∞上恒为增函数.
而(0)0h a =-<，(1)20h =>，则函数()h x 在区间()0,1上有且只有一个零点0x ，使'0()0f x =,且在0(0,)
x
上，()0f x ¢<，在()0,1x 上，()0f x ¢>，故0x 为函数()f x 在区间()0,1上唯一的极小值点;…...2分
（2）当0a =时，当x Î()0,1时，
2()320h x x x '=+>成立，函数()h x 在区间()0,1上为增函数，又此时(0)0h =，所以函数()0h x >在区间()0,1恒成立，即()0f x ¢
>， 故函数()f x 在区间()0,1恒为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值；……...........................2分
（3）当0a <时，()h x =3232
(1)x x ax a x x a x ++-=++-.当()0,1x ∈时，总有()0h x >成立，即()0f x '>成立，故函数()f x 在区间()0,1上为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值..…….1分 综上所述0a >.
（Ⅲ）(解法二)因为()f x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点，所以322()e x x x ax a f x x
++-'=在区间(0,1)上有且只有一个零点.即320x x ax a ++-=在区间(0,1)上有且只有一个实根.
因为(0,1)x ∈，所以32
1x x a x
+=-在区间(0,1)上有且只有一个零点..................1分 令32
()1x x h x x
+=-，(0,1)x ∈，则32222222[(1)1]()0(1)(1)x x x x x x h x x x -++---'==>--................1分 所以32
()1x x h x x
+=-在区间(0,1)上单调递增.所以()(0,)h x ∈+∞.................1分 当(0,)a ∈+∞时，方程321x x a x
+=-在区间(0,1)上有且只有一个根，记为1x .当1(0,)x x ∈时，1()()h x h x a <=，即3232111
11x x x x a x x ++<=--，所以320x x ax a ++-<，所以()0f x '<； 同理，当1(,1)x x ∈时，1()()h x h x a >=，()0f x '> .
所以函数()f x 在1(0,)x 上单调递减，在1(,1)x 上单调递增，所以()f x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点.
故(0,)a ∈+∞. ................3分。