江苏省菁华学校2011高三数学培优补差辅导专题讲座-集合函数与导数单元易错题分析与练习

【错解】误将半圆 y 1 4 x2 认为是圆 .
【分析】利用“数形结合”易于找到正确的解题思路
.
5
3
【正解】可得正确答案为：
k
12
4
二、函数部分
1、忽略函数具有奇偶性的必要条件是：定义域关于原点对称
.
1x
例题 1、函数 f ( x) (1 x)
的奇偶性为
1x
【错解】偶函数 .
【分析】判断函数的奇偶性不考虑函数的定义域是否关于原点对称而导致错误
[ 问题 ] ： 已知函数 f x 2 x 3 ,函数 y g x 的 图象与 y f 1 x 1 的图象关于直线 y x对称，求 g 11 的值 .
x1 10、如何正确表示分数指数幂？指数、对数的运算性质是什么？
11、你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗
?
[ 问题 ] ： 已知函数 f x log a x在 x 3, 上，恒有 f x 1 ，则实数 a的 取值范围是：
）
（ A） a
2或 0
a
1 （ B） a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2或 a
1
1
（ C）
a
1或1
a
1 2 （D）
a
2
2
2
2
2
【错解】只想到 a 1 一种情况，选 D
【分析】指、对数函数的底数是字母而没分类讨论
.
【正解】正确答案为： C
4、不理解函数的定义：
例 4、函数 y=f ( x) 的图象与一条直线 x=a 有交点个数是……………………………（
[ 问题 ] ： 请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别
.
什么是映射、什么是一一映射？
[ 问题 ] ：已知： A={1 ， 2， 3} ， B={1， 2， 3} ，那么可以作
个 A 到 B 上的映射，那么可以作
到 B 上的一一映射 .
9．函数的表示方法有哪一些？如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性？单调性、周期性、奇偶性在函数的图象上
f ( x) 、 x g (x)
f (x) 的区别 .
例 题 2 、 已 知 函 数 y f x ， x a, b ， 那 么 集 合 x, y y f x , x a, b x, y x 2 中 元 素 的 个 数
为…………………………………………………………………………（
）
（ A） 1
（ B）0
【正解】正确答案为 C.
8、不能正确地理解有关概念，导致推理错误：
例 题 8 、 已 知 直 线 m、 n 和 平 面 、 ， 其 中 m
、n
， 则 ∥ 的 一个充 分不必 要条件
是：……………………………………………………………………………………（
）
（ A） ⊥ , ⊥
（ B） m∥ , n∥
（ C） ∥ , ∥
.
【错解】 x<－ a 或 x >5 a 【分析】把解集写成了不等式的形式；没搞清 【正解】 { x| x<5 a 或 x > － a }
5 a 和－ a 的大小 .
6、不能严谨地掌握充要条件的概念：
例题 6、题甲“ a， b， c 成等比数列” ，命题乙“ b ac ”，那么甲是乙的………………（
（C） 1 或 0
【错解】：不知题意，无从下手 , 蒙出答案 D.
【分析】 ：集合的代表元，决定集合的意义，这是集合语言的特征
（ D） 1 或 2
. 事实上， x y f ( x) 、 y y f (x) 、
（x, y) y f (x) 、 x g( x) f ( x) 分别表示函数 y f ( x) 定义域，值域，图象上的点的坐标，和不等
如何反应？什么样的函数有反函数？如何求反函数？互为反函数的图象间有什么关系？求一个函数的解析式或一
个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗？
个A
[ 问题 ] ： 已知函数 f x log 3 x 2, x 1,9 , 求函数 y f x 2 f x 2 的单调递增区间 . （你处理函数问题是是否
将定义域放在首位）
（ D） 内不共线的三点到 的距离相等
【错解】错选 A. 【分析】注意：寻找的是一个充分不必要
学生往往错误地认为： ∥
条件 . 某条件，且某条件不能推出
∥.
而实际上，应该是：某条件
∥ ，且 ∥ 不能推出某条件 .
【正解】正确答案为 C. 9、逻辑推理混乱：
例题 9、使不等式 (1 | x |)(1 x) 0 成立的充分而不必要的条件是…………………（
集合与函数、导数部分易错题分析
1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解
.
2．你会用补集的思想解决有关问题吗？
3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？
[ 问题 ]: x | y x 2 1 、 y | y x2 1 、 (x, y) | y x2 1 的区别是什么？
利用均值不等式求函数的最值的联系是什么？
[ 问题 ] ： 证明“函数 f (x) 的图象关于直线 x a 对称”与证明“函数 f ( x) 与函数 g( x) 的图象关于直线 x a 对称”
有什么不同吗？
例题讲解 1、忽略 的存在：
例题 1、已知 A={x| m 1 x 2m 1 } ， B={x| 2 x 5 } ，若 A B，求实数 m的取值范围．
1m 2
【错解】因为 B A，所以：
1 m 10
m 9.
【分析】两个不等式中是否有等号，常常搞不清楚
.
1m 2
【正解】因为 B A，所以：
m 9.
1 m 10
4、不理解有关逻辑语言：
例题 4、“非空集合 M的元素都是集合 P 的元素”是假命题，则以下四个命题：⑴ M的元素都不是 P 的元素；⑵ M中
元素不都是 P 的元素”（ M的元素有的是、有的不是集合 P的元素，或 M的元素都不是 P的元素）是正确的 .
【正解】正确答案是 B（ 2、4 两个命题正确） .
5、解集错误地写成不等式或不注意用字母表示的两个数的大小：
例题 5、若 a<0, 则关于 x 的不等式 x 2 4ax 5a 2 0 的解集是
（2）“某条件” 不等式 (1 | x |)(1 x) 0 成立；
【正解】正确答案为： B 10、不会用“等价命题”推理：
例题 10、设命题 p：|4 x－ 3| ≤1，命题 q： x2 (2 a 1)x a(a 1) 0 ，若 p 是 q 的必要而不充分条件，则实
数 a 的取值范围是
.
【错解】常见错误解答是：
）
（ A） 充分不必要条件（ B）必要不充分条件（ C）充要条件（ D）既不充分又非必要条件 【错解】选 C
【分析】若 a， b， c 成等比数列，则 b
ac ；若 b ac ，则有可能 b 0, a或 c 0 .
【正解】正确答案为： D
7、考虑充要条件时，忽略了前提条件：
例题 7、△ ABC中，“A=B”是“ sinA =sinB ”的…………………………………（
）
（ A） 原点对称
（ B） x 轴对称
（C） y 轴对称
（D） 直线 y=x 对称
【错解】没有思路 .
【分析】要知道 f (x) 2x , g( x)
x
1 两函数的图象关于 y 轴对称 . 2
【正解】 f (x) 2 x 1 的图象由的图象向左平移
x1
1 个单位而得到， g( x) 21 x ＝ 1
）
（ A） { x | x 1或 x 1}
（ B） { x | 1 x 1}
（ C） { x | x 1且 x 1}
（ D） { x | x 1且 x 1}
【错解】搞不清所要求的条件和不等式 (1 | x |)(1 x) 0 的关系 .
【分析】所要求的“某条件”满足： （ 1）“某条件”
不等式 (1 | x |)(1 x) 0 成立；
4．绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？ 5．解一元一次不等式（组）的基本步骤是什么？
[ 问题 ]: 如何解不等式： a2 1 x2 b 0 ？
6． 三个二次（哪三个二次？）的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？注意到对二次项系数及对称轴进
行讨论了吗？
7． 简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是什么？如何判断充分与必要条件？
）
（ A）至少有一个 （B） 至多有一个 （ C）必有一个 （ D） 有一个或两个
【错解】选是 A、 C或 D
【分析】不理解函数的定义（函数是从非空数集
A 到非空数集 B 的映射，故定义域内的一个 x 值只能对应一个 y
值） .
【正解】正确答案为： B
变式、 在同一坐标系内，函数 f ( x) 2 x 1, g (x) 21 x 的图象关于…………………（
.
【正解】实际上，此函数的定义域为 [ － 1， 1），正确答案为：非奇非偶函数
2、缺乏利用函数的图象和性质解题的意识：
例题 2、 f (x) x sin x ，若 x1, x2 [ , ] 时， f ( x1) f ( x2 ) ，则 x1、x2 满足的条件是
；
22
【错解】不知如何下手，不会利用函数图象及单调性、奇偶性等性质去解题
。
12． 你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗？（定义法、导数法） 13． 如何应用函数的单调性与奇偶性解题 ?①比较函数值的大小；②解抽象函数不等式；③求参数的范围（恒成立问
题） . 这几种基本应用你掌握了吗？
[ 问题 ] ：写出函数 f ( x) x m (m 0) 的图象及单调区间 . x [c, d ] 时 , 求函数的最值 . 这种求函数的最值的方法与 x
）条件
（ A）充分不必要
（ B）必要不充分
（ C）充要
（ D） 非充分非必要
【错解】错选 A
【分析】 实际上， 由“ A=B”能推出 “ sinA =sinB ”；在△ ABC中 ，由正弦定理 a 2Rsin A,b 2Rsin B 及“ sinA =sinB ”，
可知 a b ，从而有“ A=B”成立 .
的图象由 y
2
x
1 的图象向 2
右平移一个单位而得到 . 故选 C. 基础练习题
1、已知函数 y f x ， x a,b ，那么集合 x, y y f x , x a, b
x, y x 2 中元素的个数为（ C ）
A. 1
B. 0
C. 1
或0
D. 1
或2
2、已知函数 f x 的定义域为 [0 ， 1] ，值域为 [1 ， 2] ，则函数 f x 2 的定义域和值域分别是（ C ）
【错解】 A B
2 m1 ，解得： －3 m 3
2m 1 5
【分析】忽略 A= 的情况 .
【正解】（ 1） A≠ 时， A B
2 m1 ，解得： －3 m 3 ；
2m 1 5
（2） A= 时， m 1 2m 1，得 m 2 .
综上所述， m的取值范围是（
, 3]
2、分不清四种集合： x y f ( x) 、 y y f ( x) 、 （x, y) y
.
【分析】可以判断出 f ( x) 是偶函数，且在 [0, ] 上是增函数 . 2
【正解】由 f ( x) 在 [ , ] 上的图象可知答案为
| x1 |
22
2
| x2 | .
3、指、对数函数的底数为字母时，缺乏分类讨论的意识：
例 3、函数 y log a x(a 0且 a 1), 当 x 2, 时， y 1, 则 a 的取值范围是…（
式 g( x) f (x) 的解集 .
【正解】：本题中集合的含义是两个图象的交点的个数
. 从函数值的唯一性可知，两个集合的交中至多有一个交点
.
即本题选 C.
3、搞不清楚是否能取得边界值：
例题 3、A={ x| x<－ 2 或 x>10} ， B={ x| x<1－ m或 x>1＋ m} 且 B A，求 m的范围 .
有不属于 P 元素；⑶M 中有 P 的元 素；⑷M 的元素 不都是 P 的元素 ，其中真命题的个数
有……………………………………………………………（
）
（ A） 1 个
（ B） 2 个
（ C）3 个
（ D） 4 个
【错解】常见错误是认为第（４）个命题不对 .
【分析】实际上，由“非空集合 M的元素都是集合 P 的元素”是假命题知非空集合 M不是集合 P 的子集，故“ M的
1 0, .
2
【分析】解答此题比较好的思路是：由
p 是 q 的必要而不充分条件得知
两个不等式，求 a 的取值范围 .
p 是 q 的充分而不必要条件，然后再解
【正解】正确答案是
1 0, .
2
11、不注意数形结合，导致解题错误 .
例题 11、曲线 y 1 4 x 2 与直线 y k( x 2) 4 有两个不同交点的充要条件是
A. [0 ， 1] ， [1 ，2] B. [2 ， 3] ， [3 ， 4] C. [-2 ， -1] ， [1 ， 2] D. [-1 ， 2] ， [3 ， 4]
3、已知 0＜ a ＜ 1， b ＜ -1 ，则函数 y a x b 的图象必定不经过（ A ）