2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)(解析版)

2
根据勾股定理可得： AB AD DB 2 2
△ADB 是边长为 2 2 的等边三角形
根据三角形面积公式可得：
S△ ADB
1 2
AB
AD sin 60
1 2
(2
2)2
3 2 2
3
该几何体的表面积是： 3 2 2 3 6 2 3 .
故选：C. 【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，
x 1,
【答案】7
【解析】
【分析】
作出可行域，利用截距的几何意义解决.
【详解】不等式组所表示的可行域如图
因为 z 3x 2 y ，所以 y 3x z ，易知截距 z 越大，则 z 越大，
22
2
平移直线 y 3x ，当 y 3x z 经过 A 点时截距最大，此时 z 最大，
2
22
y 2x x 1
由
x 1
，得
y
2
，
A(1,
2)
，
所以 zmax 3 1 2 2 7 .
故答案为：7.
【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，
是一道容易题.
14.设双曲线
C：
x2 a2
y2 b2
1
(a>0，b>0)的一条渐近线为 y=
根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.
【详解】因为数据 axi b，(i 1, 2,L ,n) 的方差是数据 xi，(i 1, 2,L , n) 的方差的 a2 倍，
所以所求数据方差为102 0.01=1
故选：C
【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.
4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎
2ac
9
9
9
故选：C 【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
1
12.已知函数 f(x)=sinx+
，则（ ）
sin x
A. f(x)的最小值为 2
C. f(x)的图像关于直线 x 对称
【答案】D 【解析】
B. f(x)的图像关于 y 轴对称 D. f(x)的图像关于直线 x 对称
A. 6+4 2
B. 4+4 2
C. 6+2 3
D. 4+2 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积. 【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形
根据立体图形可得： S△ABC
S△ ADC
S△CDB
122 2
故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
5.已知
sin
sin
π 3
=1
，则
sin
π 6
=
（
）
A. 1 2
B. 3 3
2
C.
3
D. 2 2
【答案】B
【解析】 【分析】 将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】由题意可得： sin 1 sin 3 cos 1，
3.
故答案为： 3
【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所
在位置，属于基础题.
15.设函数 f (x) ex ．若 f (1) e ，则 a=_________．
xa
4
【答案】1
【解析】
【分析】
由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数 a 的方程，解方程即可确定实数 a 的值
累计确诊病例数 I(t)(t
的单位：天)的
Logistic
模型：
I
(t)=
1
e
K
0.23(t53)
，其中
K
为最大确诊病例数．当
I( t* )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t* 约为（ ）（ln19≈3）
A. 60 【答案】C 【解析】 【分析】
B. 63
C. 66
D. 69
将 t t 代入函数 I
【答案】C 【解析】
【分析】
先根据余弦定理求 c ，再根据余弦定理求 cos B ，最后根据同角三角函数关系求 tan B.
【详解】设 AB c, BC a,CA b
c2 a2 b2 2ab cos C 9 16 2 3 4 2 9c 3 3
cos B a2 c2 b2 1 sin B 1 ( 1) 2 4 5 tan B 4 5
23
1 3
log3
9
2 3
c
，
b
1 3
log5
33
1 3
log5
25
2 3
c
，
所以 a c b .
故选：A
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与回归的思想，是一道中档题.
2
11.在△ABC 中，cosC= ，AC=4，BC=3，则 tanB=（ ）
3
A. 5
B. 2 5
C. 4 5
D. 8 5
故选：B 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
2.若 z 1 i 1 i ，则 z=（ ）
A. 1–i
B. 1+i
C. –i
D. i
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用除法运算求得 z ，再利用共轭复数的概念得到 z 即可.
【详解】因为
z
1i 1i
(1 i)2 (1 i)(1
2
2
则： 3 sin 3 cos 1 ， 3 sin 1 cos 3 ，
2
2
2
2
3
从而有： sin cos cos sin 3 ，
6
63
即
sin
6
3. 3
故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
6.在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若 AC BC=1 ，则点 C 的轨迹为（ ）
2020 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷 III)
文科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上 无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
2 x，则 C 的离心率为_________．
【答案】 3
【解析】
【分析】
根据已知可得 b 2 ，结合双曲线中 a, b, c 的关系，即可求解. a
【详解】由双曲线方程 x2 a2
y2 b2
1 可得其焦点在 x 轴上，
因为其一条渐近线为 y 2x ，
所以 b a
2，e c a
1
b2 a2
i)
2i 2
i
，所以
z=Leabharlann i.故选：D 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.
3.设一组样本数据 x1，x2，…，xn 的方差为 0.01，则数据 10x1，10x2，…，10xn 的方差为（ ）
A. 0.01
B. 0.1
C. 1
D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
8.点(0，﹣1)到直线 y k x 1 距离的最大值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据直线方程判断出直线过定点 P(1, 0) ，设 A(0, 1) ，当直线 y k(x 1) 与 AP 垂直时，点 A 到直
线 y k(x 1) 距离最大，即可求得结果.
结合题意可得： x a x a y 2 1，
整理可得： x2 y2 a2 1 ，
即点 C 的轨迹是以 AB 中点为圆心， a2 1 为半径的圆.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能
力和计算求解能力. 7.设 O 为坐标原点，直线 x=2 与抛物线 C：y2=2px(p>0)交于 D，E 两点，若 OD⊥OE，则 C 的焦点坐标为
3 【解析】 【分析】 将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中 BC 2, AB AC 3 ，且点 M 为 BC 边上的中点，
设内切圆的圆心为 O ，
由于 AM
（）
1
A. （ ，0）
4
【答案】B
B. （ 1 ，0） 2
C. （1，0）
D. （2，0）
【解析】
【分析】
根据题中所给的条件 OD OE ，结合抛物线的对称性，可知 COx COx ，从而可以确定出点 D 4
的坐标，代入方程求得 p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
【详解】因为直线 x 2 与抛物线 y2 2 px( p 0) 交于 C, D 两点，且 OD OE ，
考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.
2
10.设 a=log32，b=log53，c= ，则（ ）
3
A. a<c<b
B. a<b<c
【答案】A
【解析】
C. b<c<a
D. c<a<b
【分析】
分别将
a,b
改写为
a
1 3
log3
23
，
b
1 3
log5
33
，再利用单调性比较即可.
【详解】因为
a
1 3
log3
2
【分析】
根据基本不等式使用条件可判断 A;根据奇偶性可判断 B;根据对称性判断 C,D.
【详解】sin x 可以为负，所以 A 错；
Q sin x 0 x k (k Z ) Q f (x) sin x 1 f (x) f (x) 关于原点对称； sin x
Q f (2 x) sin x 1 f (x), f ( x) sin x 1 f (x), 故 B 错；
根据抛物线的对称性可以确定 DOx COx ，所以 C(2, 2) ， 4
代入抛物线方程 4 4 p ，求得 p 1，所以其焦点坐标为 (1 , 0) ， 2
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，
点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.
sin x
sin x
f (x) 关于直线 x 对称，故 C 错，D 对
2
故选：D
【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
x y 0, 13.若 x，y 满足约束条件 2x y 0，，则 z=3x+2y 的最大值为_________．
1.已知集合 A 1，2，3，5，7，11 ， B x | 3 x 15 ，则 A∩B 中元素的个数为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
采用列举法列举出 A B 中元素的即可.
【详解】由题意， A B {5,7,11} ，故 A B 中元素的个数为 3.
t
1
K e0.23t
53
结合 I
t
0.95K 求得 t 即可得解.
【详解】 I
t
K 1 e0.23t53
，所以 I
t
1
K e 0.23 t
53
0.95K
e ，则 0.23 t 53
19 ，
所以， 0.23 t 53 ln19 3 ，解得 t 3 53 66 . 0.23
A. 圆
B. 椭圆
C. 抛物线
D. 直线
【答案】A
【解析】
【分析】
首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.
【详解】设 AB 2a a 0 ，以 AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：
A
a,
0
,
B
a,
0
，设
C
x,
y
，可得：
AC
x
a,
y
,
BC
x
a,
y
，
从而： AC BC x a x a y2 ，
【详解】由 y k(x 1) 可知直线过定点 P(1, 0) ，设 A(0, 1) ，
当直线 y k(x 1) 与 AP 垂直时，点 A 到直线 y k(x 1) 距离最大， 即为 | AP | 2 .
故选：B. 【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解 题的关键，属于基础题. 9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
【详解】由函数的解析式可得：
f x
ex x aex x a2
ex x a 1 x a 2 ，
则：
f 1
e1
1 a 1 a2
1
ae
a 12
ae
，据此可得： a 12
e 4
，
整理可得： a2 2a 1 0 ，解得： a 1 . 故答案为：1.
【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题. 16.已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 【答案】 2