2021-2022学年冀教版八年级数学下册第二十一章一次函数单元测试试卷

八年级数学下册第二十一章一次函数单元测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，王明跑步从甲地往乙地，陈启浩骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，陈启浩先到达目的地，两人之间的距离s（km）与运动时间t（h）的函数关系大致如图所示,下列说法中错误的是（）
A．两人出发1小时后相遇
B．王明跑步的速度为8km/h
C．陈启浩到达目的地时两人相距10km
D．陈启浩比王明提前1.5h到目的地
2、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河集，所挖河架的长度y（m）与挖掘时同x（h）之间的关系如图所示，根据图像所提供的信息，下列说法正确的是（）
A ．甲队的挖掘速度大于乙队的挖掘速度
B ．开挖2h 时，甲、乙两队所挖的河渠的长度相差8m
C ．乙队在06x ≤≤的时段，y 与x 之间的关系式为520y x =+
D ．开挖4h 时，甲、乙两队所挖的河渠的长度相等
3、AB 两地相距20km ，甲从A 地出发向B 地前进，乙从B 地出发向A 地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以8km/h 的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲乙两人离A 地的距离s （km ）与时间t （h ）的关系如图所示，则甲出发（ ）小时后与乙相遇．
A ．1.5
B ．2
C ．2.5
D ．3
4、下列不能表示y 是x 的函数的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．21y x =+
5、如图，点A 的坐标为()0,1，点B 是x 轴正半轴上的动点，以AB 为腰作等腰直角ABC ，使90BAC ∠=︒，设点B 的横坐标为x ，设点C 的纵坐标为y ，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6、下列各点中，不在一次函数2y x =-的图象上的是（ ）
A ．()2,0
B ．()1,1
C ．()2,4--
D ．31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 7、点()11,A x y 和()22,B x y 都在直线y x m =-+上，且12x x ≥，则1y 与2y 的关系是（ ）
A ．12y y ≤
B ．12y y ≥
C ．12y y <
D ．12y y >
8、如图，甲乙两人沿同一直线同时出发去往B 地，甲到达B 地后立即以原速沿原路返回，乙到达B 地后停止运动，已知运动过程中两人到B 地的距离y （km ）与出发时间t （h ）的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A ．甲的速度是16km/h
B ．出发时乙在甲前方20km
C ．甲乙两人在出发后2小时第一次相遇
D ．甲到达B 地时两人相距50km
9、如图，点()1,1A ，()2,3B -，若点P 为x 轴上一点，当PA PB -最大时，点P 的坐标为（ ）
A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．()1,0
10、已知点()14,y -，()22,y 都在直线21y x =-+上，则1y 、2y 大小关系是（ ）
A ．12y y <
B ．12y y =
C ．12y y >
D ．不能计较
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，直线1y x =+与y mx n =+相交于点()1,2P ，则关于x ，y 的二元一次方程组1y x y mx n =+⎧⎨=+⎩
的解为______．
2、如图，直线l 是一次函数y ＝kx ＋b 的图象，填空：
（1）b ＝______，k ＝______；
（2）当x ＝30时，y ＝______；
（3）当y ＝30时，x ＝______．
3、一般地，形如y ＝kx ＋b （k ≠0，k 、b 为常数）的函数，叫做______函数．注意：k 是常数，k ≠0，k 可以是正数、也可以是负数；b 可以取______ ．
4、关于正比例函数y ＝2x ，有下列结论：①函数图象都经过点（2，1）；②函数图象经过第二、第四象限；③y 随x 的增大而增大；④不论x 取何值，总有y ＞0，其中，错误的结论是______．
5、在运用一次函数解决实际问题时，首先判断问题中的两个变量之间是不是____关系，当确定是一次函数关系时，可求出函数解析式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所需要的结果．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知一次函数图象与直线2y x =平行且过点(1,4)．
(1)求一次函数解析式；
(2)若（1）中一次函数图象，分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，求A 、B 两点坐标；
(3)若点P 在x 轴上，且ΔΔ2ABP AOB S S =，求点P 坐标．
2、我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过8吨时，水价为每吨1.5元，超过8吨时，超过的部分按每吨2.2元收费．该市某户居民10月份用水x 吨，应交水费y 元．
(1)若08x <≤，请写出y 与x 的函数关系式．
(2)若8x >，请写出y 与x 的函数关系式．
(3)如果该户居民这个月交水费23元，那么这个月该户用了多少吨水？
3、平面直角坐标系内有一平行四边形点()00O ，
，()40A ，，()52B ，，()12C ，，有一次函数y kx b =+的图象过点()61
P ，
(1)若此一次函数图象经过平行四边形OA 边的中点，求k 的值
(2)若此一次函数图象与平行四边形OABC 始终有两个交点，求出k 的取值范围
4、如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （1，1）、B （4，2）（3，4）．
(1)若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，请在网格中画出△A1B1C1，并写出△A1B1C1三顶点坐标：
A1，B1，C1；
(2)计算△ABC的面积；
(3)若点P为x轴上一点，当PA+PB最小时，写出此时P点坐标．
5、在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一条直角边，且满足AC>AB的直角三角形，则称点C为线段AB的“关联点”，已知点A的坐标为（0，1）．
(1)若B（2，1），则点D（3，1），E（2，0），F（0，-3），G（-1，-2）中，是AB关联点的有
_______；
(2)若点B（-1，0），点P在直线y=2x-3上，且点P为线段AB的关联点，求点P的坐标；
(3)若点B（b，0）为x轴上一动点，在直线y=2x+2上存在两个AB的关联点，求b的取值范围．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
根据函数图象中的数据，可以分别计算出两人的速度，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从
而可以解答本题．
【详解】
解：由图象可知，
两人出发1小时后相遇，故选项A正确；
王明跑步的速度为24÷3=8（km/h），故选项B正确；
陈启浩的速度为：24÷1-8=16（km/h），
陈启浩从开始到到达目的地用的时间为：24÷16=1.5（h），
故陈启浩到达目的地时两人相距8×1.5=12（km），故选项C错误；
陈启浩比王提前3-1.5=1.5h到目的地，故选项D正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2、D
【解析】
【分析】
根据图象依次分析判断．
【详解】
解：甲队的挖掘速度在2小时前小于乙队的挖掘速度，2小时后大于乙队的速度，故选项A不符合题意；
开挖2h时，乙队所挖的河渠的长度为30m，
甲队每小时挖60
6
=10m，故2h时，甲队所挖的河渠的长度为20m，
开挖2h时，甲、乙两队所挖的河渠的长度相差30-20=10m，故选项B不符合题意；
由图象可知，乙队2小时前后的挖掘速度发生了改变，故选项C不符合题意；甲队开挖4h时，所挖河渠的长度为10440m
⨯=，
乙队开挖2小时后的函数解析式为
5030
30(2)520
62
y x x
-
=+-=+
-
，当开挖4h时，共挖40m，故选项D
符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题考查了一次函数的图象，利用图象得到所需信息，能读懂函数图象并结合所得信息进行计算是解题的关键．
3、B
【解析】
【分析】
根据题意结合图象分别求出甲减速后的速度已经乙的速度，再列方程解答即可．
【详解】
解：甲减速后的速度为：（20﹣8）÷（4﹣1）＝4（km/h），乙的速度为：20÷5＝4（km/h），
设甲出发x小时后与乙相遇，
根据题意得8＋4（x﹣1）＋4x＝20，
解得x＝2．
即甲出发2小时后与乙相遇．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活应用速度、路程、时间之间的关系解决问题．
4、B
【解析】
【分析】
根据函数的定义（如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数）及利用待定系数法确定一次函数解析式依次进行判断即可得．
【详解】
解：A 、根据图表进行分析为一次函数，设函数解析式为：(0)y kx b k =+≠，
将0x =，3y =，5x =， 3.5y =
分别代入解析式为：
33.55b k b =⎧⎨=+⎩
， 解得：0.1k =，3b =，
所以函数解析式为：0.13y x =+，
∴y 是x 的函数；
B 、从图象上看，一个x 值，对应两个y 值，不符合函数定义，y 不是x 的函数；
C 、
D 选项从图象及解析式看可得y 是x 的函数．
故选：B ．
【点睛】
题目主要考查函数的定义及利用待定系数法确定一次函数解析式，深刻理解函数定义是解题关键．
5、A
【解析】
【分析】
根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC 和△AOB 的关系，即可建立y 与x 的函数关系，从而
可以得到哪个选项是正确的．
【详解】
解：作AD ∥x 轴，作CD ⊥AD 于点D ，如图所示，
由已知可得，OB =x ，OA =1，∠AOB =90°，∠BAC =90°，AB =AC ，点C 的纵坐标是y ，
∵AD ∥x 轴，
∴∠DAO +∠AOB =180°，
∴∠DAO =90°，
∴∠OAB +∠BAD =∠BAD +∠DAC =90°，
∴∠OAB =∠DAC ，
在△OAB 和△DAC 中
AOB ADC OAB DAC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△OAB ≌△DAC （AAS ），
∴OB =CD ，
∴CD =x ，
∵点C 到x 轴的距离为y ，点D 到x 轴的距离等于点A 到x 的距离1，
∴y =x +1（x ＞0）．
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的定义．解题的关键是明确题意，建立相应的函数关系式，根据函数关系式判断出正确的函数图象．
6、B
【解析】
【分析】
根据一次函数解析变形可得2x y -=，进而判断即可．
【详解】
解：∵2y x =-
∴2x y -=
A. ()2,0，202-=，则()2,0在一次函数2y x =-的图象上 ，不符合题意；
B. ()1,1，110-=，则()1,1不在一次函数2y x =-的图象上，符合题意；
C. ()2,4--，()242---=，则()2,4--在一次函数2y x =-的图象上 ，不符合题意；
D. 31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，31222⎛⎫--= ⎪⎝⎭，，则31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
在一次函数2y x =-的图象上 ，不符合题意； 故选B
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，满足一次函数解析式的点都在一次函数图象上，掌握一次函数的性质是解题的关键．
7、A
【解析】
根据一次函数图象的增减性，结合横坐标的大小关系，即可得到答案．
【详解】
解：∵直线y=-x+m的图象y随着x的增大而减小，
又∵x1≥x2，点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在直线y=-x+m上，
∴y1≤y2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数图象的增减性是解题的关键．
8、D
【解析】
【分析】
由图可知甲10小时所走路程是160km，即得甲的速度是16km/h，可判定A；根据出发时甲距B地80千米，乙距B地60千米，可判断B；由图得乙的速度是6km/h，即可得甲2小时比乙多走20km，可判断C；甲5小时达到B地可求此时乙所走路程为30km，即得甲到达B地时两人相距30km，可判断D．
【详解】
解：由图可知：甲10小时所走路程是80×2=160（km），
∴甲的速度是16km/h，故A正确，不符合题意；
∵出发时甲距B地80千米，乙距B地60千米，
∴发时乙在甲前方20km，故B正确，不符合题意；
由图可得乙的速度是60÷10=6（km/h），
∴出发2小时，乙所走路程是6×2=12（km），甲所走路程为16×2=32（km），
即甲2小时比乙多走20km ，
∴甲乙两人在出发后2小时第一次相遇，故C 正确，不符合题意；
∵甲5小时达到B 地，此时乙所走路程为5×6=30（km ），
∴甲到达B 地时两人相距60-30=30（km ），故D 不正确，符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解题的关键是理解图象中特殊点的意义．
9、A
【解析】
【分析】
作点A 关于x 轴的对称点A '，连接BA '并延长交x 轴于P ，根据三角形任意两边之差小于第三边可知，此时的PA PB -最大，利用待定系数法求出直线BA '的函数表达式并求出与x 轴的交点坐标即可．
【详解】
解：如图，作点A 关于x 轴的对称点A '，则PA =PA '， ∴PA PB -≤BA '（当P 、A '、B 共线时取等号），
连接BA '并延长交x 轴于P ，此时的PA PB -最大，且点A '的坐标为（1，－1），
设直线BA '的函数表达式为y=kx+b ，
将A '（1，－1）、B （2，－3）代入，得：
132k b k b -=+⎧⎨-=+⎩，解得：21k b =-⎧⎨=⎩
， ∴y =－2x +1，
当y =0时，由0=－2x +1得：x =1
2，
∴点P 坐标为（12，0），
故选：A
【点睛】本题考查坐标与图形变换=轴对称、三角形的三边关系、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与x 轴的交点问题，熟练掌握用三角形三边关系解决最值问题是解答的关键．
10、C
【解析】
【分析】
根据一次函数的增减性解答．
【详解】
解：∵直线21y x =-+，k =-2<0，
∴y 随着x 的增大而减小，
∵点()14,y -，()22,y 都在直线21y x =-+上，-4<2，
∴12y y >，
故选：C ．
【点睛】
此题考查了一次函数的增减性：当k >0时，y 随x 的增大而增大；当k <0时，y 随x 的增大而减小，熟记性质是解题的关键．
二、填空题
1、12
x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
根据两条直线相交与二元一次方程组的关系即可求得二元一次方程组的解．
【详解】
∵直线1y x =+与y mx n =+相交于点()1,2P
∴()1,2P 的坐标既满足1y x =+，也满足y mx n =+
∴12x y =⎧⎨=⎩是方程组1y x y mx n =+⎧⎨=+⎩
的解 故答案为：12
x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】
本题考查了两条直线相交与二元一次方程组的关系，理解这个关系是关键．
2、 2 23
- 18 -42
【解析】
略
3、 一次 任意实数
【解析】
略
4、①②④
【解析】
略
5、一次函数
【解析】
略
三、解答题
1、 (1)22y x =+
(2)(1,0)A -，(0,2)B
(3)(1,0)P 或(3,0)-
【解析】
【分析】
（1）由一次函数图象平移的性质得到k =2，再将点(1,4)代入求出解析式；
（2）分别求出y =0及x =0时的对应值，即可得到A 、B 两点坐标；
（3）由2ABP AOB S
S =结合三角形的面积公式得到AP =2AO ，即可得到点P 坐标．
(1)
解：设一次函数的解析式为y kx b =+，
一次函数图象与直线2y x =平行，
2k ∴=， 过点(1,4)，
∴421b =⨯+，
2b ∴=，
∴一次函数解析式为22y x =+；
(2)
解：把0y =代入22y x =+得，022x =+，
1x ∴=-，
(1,0)A ∴-，
把x =0代入22y x =+得，2y =，
(0,2)B ∴；
(3)
解：∵2ABP AOB S S =，(1,0)A -，
∴AP =2AO =2，
-1-2=-3，-1+2=1，
(1,0)P ∴或(3,0)-．
【点睛】
此题考查了一次函数平移的性质，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，一次函数与图形面积问题，正确掌握一次函数的综合知识是解题的关键．
2、 (1) 1.5y x =
(2) 2.2 5.6y x =-
(3)13吨
【解析】
【分析】
（1）当0＜x ≤8时，根据水费=用水量×1.5，即可求出y 与x 的函数关系式；
（2）当x ＞8时，根据“每户每月的用水不超过8吨时，水价为每吨1.5元，超过8吨时，超过的部分按每吨2.2元收费”，得出水费=8×1.5+（用水量-8）×2.2，即可求出y 与x 的函数关系式；
（3）当0＜x ≤8时，y ≤12，由此可知这个月该户用水量超过8吨，将y =23代入（2）中所求的关系式，求出x 的值即可．
(1)
根据题意可知：
当08x <时， 1.5y x =；
(2)
根据题意可知：
当8x >时， 1.58 2.2(8) 2.2 5.6y x x =⨯+⨯-=-； (3)
当08x <时， 1.5y x =，
y 的最大值为1.5812⨯=（元)，1223<，
∴该户当月用水超过8吨．
令 2.2 5.6y x =-中23y =，则23 2.2 5.6x =-，
解得：13x =．
答：这个月该户用了13吨水．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，根据数量关系找出函数关系式是解题关键．
3、 (1)k ＝14
； (2)−1＜k ＜12，且k ≠0．
【解析】
【分析】
（1）设OA的中点为M，根据M、P两点的坐标，运用待定系数法求得k的值；
（2）当一次函数y=kx+b的图象过B、P两点时，求得k的值；当一次函数y=kx+b的图象过A、P两点时，求得k的值，最后判断k的取值范围．
(1)
解：设OA的中点为M，
∵O（0，0），A（4，0），
∴OA=4，
∴OM=2，
∴M（2，0），
∵一次函数y=kx+b的图象过M（2，0），P(6，1)两点，
∴
61 20
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：k＝1
4
；
(2)
如图，由一次函数y=kx+b的图象过定点P，作直线BP，AP与平行四边形只有一个交点，由于直线与平行四边形有两个交点，所以直线应在直线BP，AP之间，
当一次函数y=kx+b的图象过B、P两点时，
代入表达式y=kx+b得到：
61 52
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：k=-1，
当一次函数y=kx+b的图象过A、P两点时，
代入表达式y =kx +b 得到：6140
k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：k ＝12，
所以−1＜k ＜1
2，
由于要满足一次函数的存在性，
所以−1＜k ＜12，且k ≠0．
【点睛】
本题考查了运用待定系数法求一次函数解析式，解题时注意：求正比例函数y =kx ，只要一对x ，y 的值；而求一次函数y =kx +b ，则需要两组x ，y 的值．
4、 (1)()()()1,1,,4,2,3,4---
(2)3.5
(3)()2,0
【解析】
【分析】
（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到△A 1B 1C 1，进而得出△A 1B 1C 1三顶点坐标；
（2）依据割补法进行计算，即可得到△ABC 的面积；
（3）作点A 关于x 轴的对称点Q ，连接Q B ，交x 轴于点P ，依据一次函数的图象可得点P 的坐标．
(1)
如图，△A 1B 1C 1即为所求；
其中A 1，B 1，C 1的坐标分别为：()()()1111,1,4,2,3,4A B C ---
故答案为：()()()1,1,,4,2,3,4---
(2)
△ABC 的面积为：3×3-12×3×1-12×1×2-1
2×2×3=3.5． (3)
如图，作点A关于x轴的对称点Q，连接Q B，则Q B与x轴的交点即是点P的位置．设Q B的解析式为y=kx+b（k≠0），
把(1,1)
Q-和B（4，2）代入可得：
{−1=k+k
2=4k+k ，解得
1
2
k
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴y=x-2，
令y=0，则x=2，
∴P点坐标为()
2,0，
故答案为：()
2,0．
【点睛】
本题考查了作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
5、 (1)点E，点F；
(2)（41
33
-，）或（
25
33
-，）；
(3)b 的取值范围1＜b ＜2或2＜b ＜3．
【解析】
【分析】
（1）根据以点B 为直角顶点，点B 与点E 横坐标相同，点E 在过点B 与AB 垂直的直线上，△ABE 为直角三角形，且AE 大于AB ；以点A 为直角顶点，点A 与点F 横坐标相同，△AFB 为直角三角形，BF 大于AB 即可；
（2）根据点A （0，1）点B （-1，0），OA =OB ，∠AOB =90°，得出△AOB 为等腰直角三角形，可得∠ABO =∠BAO =45°，以点A 为直角顶点，过点A ，与AB 垂直的直线交x 轴于S ，利用待定系数法求出AS 解析式为1y x =-+，联立方程组123y x y x =-+⎧⎨=-⎩
，以点B 为直角顶点，过点B ，与AB 垂直的直线交y 轴于R ，∠OBR =90°-∠ABO =45°，可得△OBR 为等腰直角三角形，OR =OB =1，点R （0，-1），利用平移
的性质可求BR 解析式为1y x =--，联立方程组123y x y x =--⎧⎨=-⎩
，解方程组即可； （3）过点A 与AB 垂直的直线交直线y =2x +2于U ，把△AOB 绕点A 顺时针旋转90°，得△AO′U，AO′=AO =1，O′U =OB =b ，根据点U （-1，b -1）在直线22y x =+上，得出方程()1212b -=⨯-+，求出b 的值，当过点A 的直线与直线22y x =+平行时没有 “关联点”，OB =OW =b =2，得出在1＜b ＜2时，直线22y x =+上存在两个AB 的“关联点”，当b ＞2时，根据旋转性质将△AOB 绕点A 逆时针旋转90°得到△AO′U ，得出AO′=AO =1，O′U =OB =b ，根据点U （1,1+b ）在直线22y x =+上，列方程1212b +=⨯+，得出3b =即可．
(1)
解：点D 与AB 纵坐标相同，在直线AB 上，不能构成直角三角形，
以点B 为直角顶点，点B 与点E 横坐标相同，点E 在过点B 与AB 垂直的直线上，
∴△ABE 为直角三角形，且AE 大于AB ；
以点A为直角顶点，点A与点F横坐标相同，△AFB为直角三角形，AF=4＞AB=2，
∴点E与点F是AB关联点，
点G不在A、B两点垂直的直线上，故不能构成直角三角形，
故答案为点E，点F；
(2)
解：∵点A（0，1）点B（-1，0），OA=OB，∠AOB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，AB
∴∠ABO=∠BAO=45°，
以点A为直角顶点，过点A，与AB垂直的直线交x轴于S，
∴∠OAS=90°-∠BAO=45°，
∴△AOS为等腰直角三角形，
∴OS =OA =1，点S （1,0），
设AS 解析式为y kx b =+代入坐标得：
10b k b =⎧⎨+=⎩
， 解得11b k =⎧⎨=-⎩
， AS 解析式为1y x =-+，
∴123y x y x =-+⎧⎨=-⎩
， 解得4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 点P （4133
-，）， AP
=AP ＞AB 以点B 为直角顶点，过点B ，与AB 垂直的直线交y 轴于R ，
∴∠OBR =90°-∠ABO =45°，
∴△OBR 为等腰直角三角形，
∴OR =OB =1，点R （0，-1），
过点R 与AS 平行的直线为AS 直线向下平移2个单位，
则BR 解析式为1y x =--，
∴123y x y x =--⎧⎨=-⎩
，
解得2353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 点P 1（2533
-，）， AP 1
∴点P 为线段AB 的关联点，点P 的坐标为（4133-，）或（2533
-，）；
(3)
解：过点A 与AB 垂直的直线交直线y =2x +2于U ，
把△AOB 绕点A 顺时针旋转90°，得△AO′U，
∴AO′=AO =1，O′U =OB =b ，
点U （-1，b -1）在直线22y x =+上，
∴()1212b -=⨯-+
∴1b =，
∴当b ＞1时存在两个“关联点”，
当b ＜1时，UA ＜AB ，不满足定义，没有两个“关联点”
当过点A 的直线与直线22y x =+平行时没有 “关联点”
22y x =+与x 轴交点X （-1，0），与y 轴交点W （0，2）
∵OA =OX =1,∠XOW =∠AOB =90°，AB ⊥XW ，
∴△OXW 顺时针旋转90°，得到△OAB ，
∴OB =OW =2，
∴在1＜b ＜2时，直线22y x =+上存在两个AB 的“关联点”，
当b ＞2时，将△AOB 绕点A 逆时针旋转90°得到△AO′U ，
∴AO′=AO =1，O′U =OB =b ，
点U （1,1+b ）在直线22y x =+上，
∴1212b +=⨯+
∴解得3b =
∴当2＜b ＜3时, 直线22y x =+上存在两个AB 的“关联点”，
当b ＞3时，UA ＜AB ，不满足定义，没有两个“关联点”
综合得，b 的取值范围1＜b ＜2或2＜b ＜3．
【点睛】
本题考查新定义线段的意义，直角三角形性质，仔细阅读新定义，由两个条件，（1）组成直角三角形，（2）AC ＞AB ，等腰直角三角形，勾股定理两点距离公式，待定系数法求直线解析式，图形旋转，两函数交点联立方程组，掌握新定义线段的意义，直角三角形性质，仔细阅读新定义，由两个条件，
（1）组成直角三角形，（2）AC ＞AB ，等腰直角三角形，勾股定理两点距离公式，待定系数法求直线解析式，图形旋转，两函数交点联立方程组，是解题关键．。