广州市XX中学九年级上期末数学模拟试卷含答案解析 (265)
2023-2024学年广东省广州市花都区九年级(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年广东省广州市花都区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是()A. B. C. D.2.下列图形是中心对称图形的是()A. B.C. D.3.某班第一小组7名同学的毕业升学体育测试成绩满分30分依次为：25，23，25，23，27，30，25，这组数据的中位数和众数分别是()A.23，25B.23，23C.25，23D.25，254.如图所示是一个单心圆曲隧道的截面，若隧道单心圆的半径OA的长是5m，净高CD为8m，则此路面AB宽为()A.7B.8C.9D.105.如图，D，E分别是的边AB，AC上的点，且，BE交DC于点：：3，则的值为()A.B.D.以上答案都不对6.若关于x一元二次方程的根为，，则下面成立的是()A. B. C. D.7.如图，正比例函数和反比例函数的图象交于、两点，若，则x的取值范围是为()A.或B.或C.或D.或8.如图，的直径CD过弦EF的中点G，，则等于()A.B.C.D.9.如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积接缝忽略不计是()A.B.C.D.10.如图，抛物线与直线交于A、B两点点A在点B的左侧，动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为()B.C.D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.抛物线的顶点坐标为______.12.如图，在中，，AD：：2，，则BC的长是______.13.小梦在研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率，于是她便用同一枚图钉做实验进行研究，得到如下的数据：掷图钉的次数101003005008001000针尖朝上的频率请利用以上数据估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是______.14.若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是______.15.某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是______.16.如图，AB是的直径，弦CD平分圆周角，则下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；正确的有______.三、解答题：本题共9小题，共72分。
2019年广州市XX中学届九年级上期末数学模拟试卷含答案解析
2016-2017学年广东省广州市XX中学九年级（上）期末数学模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C． D．2．点（2，﹣4）在反比例函数y=的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（）A．（2，4） B．（﹣1，﹣8）C．（﹣2，﹣4）D．（4，﹣2）3．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣54．某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（）A．B．C．D．5．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+36．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（）A．20°B．40°C．50°D．70°7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞58．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．9．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为（）A．10cm B．10cm C．10cm D．8cm二、填空题（共6题，每题3分，共18分.）11．方程x2﹣3=0的根是．12．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD=度．13．抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是．14．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是．15．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB=12，OP=6，则劣弧AB的长为．16．已知2是关于x的方程：x2﹣2mx+3m=0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长是．三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（1）解方程2y2=3y（2）用配方法解方程：x2+6x+5=0．18．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．（1）画出△A1B1C，直接写出点A1、B1的坐标；（2）求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积．19．如图，⊙O的直径AB=10CM，弦长AC=6CM，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求BC的长；（2）求△ABD的面积．20．某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m3的生活垃圾运走．（1）假如每天能运xm3，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式；（2）若每辆拖拉机一天能运12m3，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？（3）在（2）的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？21．从甲地到乙地有A1、A2两条路线，从乙地到丙地有B1、B2、B3三条路线，从丙地到丁地有C1、C2两条路线．某同学随机挑选了一条从甲地到丁地的路线，试用树状图求他选到经过B2路线的概率．22．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，=，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．23．如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G（如图②所示）．若⊙O的半径为，AD=2，求线段CE和GE的长．24．已知抛物线y=ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=kx与抛物线交于A，B两点．（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．25．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB大值．2016-2017学年广东省广州市XX中学九年级（上）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C． D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；B、是中心对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．故选：B．2．点（2，﹣4）在反比例函数y=的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（）A．（2，4） B．（﹣1，﹣8）C．（﹣2，﹣4）D．（4，﹣2）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】由点（2，﹣4）在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，再去验证四个选项中横纵坐标之积是否为k值，由此即可得出结论．【解答】解：∵点（2，﹣4）在反比例函数y=的图象上，∴k=2×（﹣4）=﹣8．∵A中2×4=8；B中﹣1×（﹣8）=8；C中﹣2×（﹣4）=8；D中4×（﹣2）=﹣8，∴点（4，﹣2）在反比例函数y=的图象上．故选D．3．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5【考点】根与系数的关系．【分析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【解答】解：∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，设另一个根为m，∴﹣2+m=，解得，m=﹣1，故选B．4．某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】最后一个数字可能是0～9中任一个，总共有十种情况，其中开锁只有一种情况，利用概率公式进行计算即可．【解答】解：∵共有10个数字，∴一共有10种等可能的选择，∵一次能打开密码的只有1种情况，∴一次能打开该密码的概率为．故选A．5．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+2﹣1，即y=x2+1．故选C．6．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（）A．20°B．40°C．50°D．70°【考点】圆周角定理．【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠ACB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠D=40°，∴∠B=∠D=40°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣40°=50°．故选C．7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，∴，即，解得：k＜5且k≠1．故选B．8．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．【考点】正多边形和圆．【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．【解答】解：如图1，∵OC=1，∴OD=1×sin30°=；如图2，∵OB=1，∴OE=1×sin45°=；如图3，∵OA=1，∴OD=1×cos30°=，则该三角形的三边分别为：、、，∵（）2+（）2=（）2，∴该三角形是以、为直角边，为斜边的直角三角形，∴该三角形的面积是××=，故选：D．9．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．【分析】根据二次函数图象与系数的关系确定a＞0，b＜0，c＜0，根据一次函数和反比例函数的性质确定答案．【解答】解：由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=的图象在第二、四象限，故选：B．10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为（）A．10cm B．10cm C．10cm D．8cm【考点】垂径定理的应用．【分析】首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM 是16﹣x，MF=8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=16﹣x，MF=8，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，即：（16﹣x）2+82=x2，解得：x=10．故选：B．二、填空题（共6题，每题3分，共18分.）11．方程x2﹣3=0的根是x=±．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】方程变形后，利用平方根定义开方即可求出x的值．【解答】解：方程整理得：x2=3，开方得：x=±，故答案为：x=±12．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD=70度．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】根据圆内接四边形的对角互补求∠BAD的度数即可．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）；又∵∠BCD=110°，∴∠BAD=70°．故答案为：70．13．抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是（﹣1，2）．【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．【解答】解：∵y=x2+2x+3=x2+2x+1﹣1+3=（x+1）2+2，∴抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．14．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x+6）2+4．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．【解答】解：由题意可得出：y=a（x+6）2+4，将（﹣12，0）代入得出，0=a（﹣12+6）2+4，解得：a=﹣，∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y=﹣（x+6）2+4．故答案为：y=﹣（x+6）2+4．15．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB=12，OP=6，则劣弧AB的长为8π．【考点】切线的性质；弧长的计算．【分析】连接OA、OB，由切线的性质和垂径定理易得AP=BP=，由锐角三角函数的定义可得∠AOP=60°，利用弧长的公式可得结果．【解答】解：连接OA、OB，∵AB为小⊙O的切线，∴OP⊥AB，∴AP=BP=，∵=，∴∠AOP=60°，∴∠AOB=120°，∠OAP=30°，∴OA=2OP=12，∴劣弧AB的长为：==8π．故答案为：8π．16．已知2是关于x的方程：x2﹣2mx+3m=0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长是14．【考点】一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】先根据一元二次方程的解的定义把x=2代入方程求出m得到原方程为x2﹣8x+12=0，再解此方程得到得x1=2，x2=6，然后根据三角形三边的关系得到△ABC的腰为6，底边为2，再计算三角形的周长．【解答】解：把x=2代入方程得4﹣4m+3m=0，解得m=4，则原方程为x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，所以△ABC的腰为6，底边为2，则△ABC的周长为6+6+2=14．故答案为14．三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（1）解方程2y2=3y（2）用配方法解方程：x2+6x+5=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）先移项得到2y2﹣3y=0，然后利用因式分解法解方程；（2）利用配方法得到（x+3）2=4，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）2y2﹣3y=0，y（2y﹣3）=0，y=0或2y﹣3=0，所以y1=0，y2=；（2）x2+6x+9=4，（x+3）2=4，x+3=±2，所以x1=﹣1，x2=﹣5．18．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．（1）画出△A1B1C，直接写出点A1、B1的坐标；（2）求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积．【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算．【分析】（1）根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可，根据A、B的坐标建立坐标系，据此写出点A1、B1的坐标；（2）利用勾股定理求出AC的长，根据△ABC扫过的面积等于扇形CAA1的面积与△ABC的面积和，然后列式进行计算即可．【解答】解：（1）所求作△A1B1C如图所示：由A（4，3）、B（4，1）可建立如图所示坐标系，则点A1的坐标为（﹣1，4），点B1的坐标为（1，4）；（2）∵AC===，∠ACA1=90°∴在旋转过程中，△ABC所扫过的面积为：S扇形CAA1+S△ABC=+×3×2=+3．19．如图，⊙O的直径AB=10CM，弦长AC=6CM，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求BC的长；（2）求△ABD的面积．【考点】圆周角定理．【分析】（1）先根据直径所对的角是90°，判断出△ABC和△ABD是直角三角形，根据圆周角∠ACB 的平分线交⊙O于D，判断出△ADB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值．（2）求得AD和BD的长后利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）∵AB是直径∴∠ACB=∠ADB=90°在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=10cm，AC=6cm∴BC2=AB2﹣AC2=102﹣62=64∴BC==8（cm）；（2）∵CD平分∠ACB，∴=，∴AD=BD，又∵在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2∴AD2+BD2=102∴AD=BD==5（cm）．∴△ABD的面积=×（5）2=25．20．某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m3的生活垃圾运走．（1）假如每天能运xm3，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式；（2）若每辆拖拉机一天能运12m3，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？（3）在（2）的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？【考点】反比例函数的应用．【分析】（1）根据每天能运xm3，所需时间为y天的积就是1200m3，即可写出函数关系式；（2）把x=12×5=60代入，即可求得天数；（3）首先算出8天以后剩余的数量，然后计算出6天运完所需的拖拉机数，即可求解．【解答】解：（1）y=；（2）x=12×5=60，代入函数解析式得；y==20（天）答：20天运完；（3）运了8天后剩余的垃圾是1200﹣8×60=720m3．剩下的任务要在不超过6天的时间完成则每天至少运720÷6=120m3，则需要的拖拉机数是：120÷12=10（辆），则至少需要增加10﹣5=5辆这样的拖拉机才能按时完成任务．21．从甲地到乙地有A1、A2两条路线，从乙地到丙地有B1、B2、B3三条路线，从丙地到丁地有C1、C2两条路线．某同学随机挑选了一条从甲地到丁地的路线，试用树状图求他选到经过B2路线的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】直接利用已知结合树状图列举出所有的可能，进而求出答案．【解答】解：如图所示：从甲地到丁地的路线，一共有12种可能，选到经过B2路线的有4种情况，故选到经过B2路线的概率为：．22．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，=，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．【考点】三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；圆心角、弧、弦的关系．【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，得出∠B=∠ACB，再根据全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD=CE；（2）连接AO并延长，交边BC于点H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出AH⊥BC，再由垂径定理得BH=CH，得出CG与AE平行且相等．【解答】证明：（1）在⊙O中，∵=，∴AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∴∠B=∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴AD=CE；（2）连接AO并延长，交边BC于点H，∵=，OA为半径，∴AH⊥BC，∴BH=CH，∵AD=AG，∴DH=HG，∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，∵BD=AE，∴CG=AE，∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．23．如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G（如图②所示）．若⊙O的半径为，AD=2，求线段CE和GE的长．【考点】切线的判定与性质．【分析】（1）连接OE，OC，即可证明△OEC≌△OEC，根据DE与⊙O相切于点E得到OEC=90°，从而证得∠OBC=90°，则BC是圆的切线．（2）先求线段BC的长，过D作DF⊥BG于F，则四边形ABFD是矩形，有DF=AB=2，在Rt△DCF 中，由切线长定理知AD=DE、CE=BC，那么CD=CE+2，CF=CE﹣2，利用勾股定理可求得CE的长；△ADE中，由于AD=DE，可得到∠DAE=∠AED=∠CEG，而AD∥BG，根据平行线的内错角相等得到∠G=∠EAD=∠CEG，由此可证得CE=CG=CB，即可求得BG的长；在Rt△ABG中，利用勾股定理可求得AG 的值，易证△ADE∽△GCE，根据相似三角形的相似比，可求得AE、EG的比例关系，联立AG的长，即可得到EG的值．【解答】（1）证明：如图1，连接OE，OC；∵CB=CE，OB=OE，OC=OC∴△OEC≌△OBC（SSS）∴∠OBC=∠OEC又∵DE与⊙O相切于点E∴∠OEC=90°∴∠OBC=90°∴BC为⊙O的切线．（2）解：如图2，过点D作DF⊥BC于点F，∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B∴DA=DE，CE=CB，设BC为x，则CF=x﹣2，DC=x+2，在Rt△DFC中，（x+2）2﹣（x﹣2）2=（2）2，解得：x=，∴CE=BC=；∵AD∥BG，∴∠DAE=∠EGC，∵DA=DE，∴∠DAE=∠AED；∵AD∥BG，∵∠AED=∠CEG，∴∠EGC=∠CEG，∴CG=CE=CB=，∴BG=5，∴AG==3，=AB•BG=AG•BE，连接BE，S△ABG∴BE=，在Rt△BEG中，EG==．24．已知抛物线y=ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=kx与抛物线交于A，B两点．（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出C点的坐标，有点（﹣1，0）、（3，0）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）将正比例函数解析式代入抛物线解析式中，找出关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系即可得出“x A+x B=2+k，x A•x B=﹣3”，结合点O为线段AB的中点即可得出x A+x B=2+k=0，由此得出k的值，将k的值代入一元二次方程中求出x A、x B，在代入一次函数解析式中即可得出点A、B的坐标；（3）假设存在，利用三角形的面积公式以及（2）中得到的“x A+x B=2+k，x A•x B=﹣3”，即可得出关于k 的一元二次方程，结合方程无解即可得出假设不成了，从而得出不存在满足题意的k值．【解答】解：（1）令抛物线y=ax2+bx﹣3中x=0，则y=﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）．∵抛物线y=ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，∴有，解得：，∴此抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）将y=kx代入y=x2﹣2x﹣3中得：kx=x2﹣2x﹣3，整理得：x2﹣（2+k）x﹣3=0，∴x A+x B=2+k，x A•x B=﹣3．∵原点O为线段AB的中点，∴x A+x B=2+k=0，解得：k=﹣2．当k=﹣2时，x2﹣（2+k）x﹣3=x2﹣3=0，解得：x A=﹣，x B=．∴y A=﹣2x A=2，y B=﹣2x B=﹣2．故当原点O为线段AB的中点时，k的值为﹣2，点A的坐标为（﹣，2），点B的坐标为（，﹣2）．（3）假设存在．由（2）可知：x A+x B=2+k，x A•x B=﹣3，S△ABC=OC•|x A﹣x B|=×3×=，∴（2+k）2﹣4×（﹣3）=10，即（2+k）2+2=0．∵（2+k）2非负，无解．故假设不成立．所以不存在实数k使得△ABC的面积为．25．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）在平移变换过程中，设y=S，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最△OPB大值．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据平移的性质，可得PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；（2）根据正方形的性质，平移的性质，可得PQ与AB的关系，根据等腰直角三角形的判定与性质，可得∠PQOPQO，根据全等三角形的判定与性质，可得AO与OP的数量关系，根据余角的性质，可得AO与OP的位置关系；（3）根据等腰直角三角形的性质，可得OE的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得到答案．【解答】（1）四边形APQD为平行四边形；（2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，∵OQ⊥BD，∴∠PQO=45°，∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，∴OB=OQ，在△AOB和△OPQ中，∴△AOB≌△POQ（SAS），∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，∴∠AOP=∠BOQ=90°，∴OA⊥OP；（3）如图，过O作OE⊥BC于E．①如图1，当P点在B点右侧时，则BQ=x+2，OE=，∴y=וx，即y=（x+1）2﹣，又∵0≤x≤2，∴当x=2时，y有最大值为2；②如图2，当P点在B点左侧时，则BQ=2﹣x，OE=，∴y=וx，即y=﹣（x﹣1）2+，又∵0≤x≤2，∴当x=1时，y有最大值为；综上所述，∴当x=2时，y有最大值为2；2017年1月19日。
2020-2021学年最新广州市九年级上期末数学模拟试卷及答案解析
九年级（上）期末数学模拟试卷一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1.下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.B．C．D．2.将抛物线y＝x2﹣6x+21 向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣8）2+5 B．y＝（x﹣4）2+5C．y＝（x﹣8）2+3 D．y＝（x﹣4）2+3 3．下列事件中必然发生的事件是（）A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式C．200 件产品中有 5 件次品，从中任意抽取 6 件，至少有一件是正品D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数4.已知x＝3 是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0 的根，则该方程的另一个根是（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣15.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4，BC 的中点为D．将△ ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF 的中点为 G，连接 DG．在旋转过程中，DG 的最大值是（）A．4 B．6 C．2+2 D．86.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5cm，6cm 和 9cm，另一个三角形的最短边长为 2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm 7．下列关于抛物线y＝3（x﹣1）2+1 的说法，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x＝﹣1C．顶点坐标是（﹣1，1）D．有最小值y＝18．关于 x 的一元二次方程 kx2+2x﹣1＝0 有两个不相等实数根，则 k 的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＞﹣1 且k≠0 9．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A'B'C'D'及其内部的点，其中点A、B的对应点分别为A'，B'．已知正方形 ABCD 内部的一个点 F 经过上述操作后得到的对应点 F'与点F 重合，则点 F 的坐标是（）A．（1，4）B．（1，5）C．（﹣1，4）D．（4，1）10．已知正六边形的边长为4，则它的内切圆的半径为（）A.1 B．C．2 D．2二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）11.若一平行四边形的3个顶点坐标分别为（0，0），（4，0），（2，4），则第4个顶点坐标是．12.在一个不透明的口袋中装有 5 个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.25 附近，则估计口袋中白球大约有个．13.抛物线y＝2（x+1）2﹣3 的顶点坐标为．14.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径C A＝6，圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥高O C 的长度是．15.若矩形 ABCD 的两邻边长分别为一元二次方程 x2﹣6x+4＝0 的两个实数根，则矩形 ABCD的周长为．16.若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC 与△A′B′C′的面积之比为1：3，则相似比为．三．解答题（共 9 小题，满分 102 分）17．解方程：x（x+4）＝﹣3（x+4）．18.在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）（1）画出△ABC 关于原点对称的△A'B'C'；（2）将△A'B'C'绕点 C'顺时针旋转 90°，画出旋转后得到的△A″B″C″，并直接写出此过程中线段C'A'扫过图形的面积．（结果保留π）19.如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字 1，2，3．(1)小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为；(2)小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．20.如图，AC 是▱ABCD 的对角线，在 AD 边上取一点 F，连接 BF 交 AC 于点 E，并延长BF 交 CD 的延长线于点 G．（1）若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EF•EG；（2）若DG＝DC，BE＝6，求 EF 的长．21.某公司今年 1 月份的生产成本是 400 万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是 361 万元．假设该公司 2、3、4 月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测 4 月份该公司的生产成本．22.如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°．（1）作出经过点 B，圆心 O 在斜边 AB 上且与边 AC 相切于点 E 的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的⊙O 与边 AB 交于异于点 B 的另外一点 D，若⊙O 的直径为 5，BC＝4；求D E的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）23.抛物线y＝ax2+2ax+c（a＞0，c＜0），与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，A点坐标为（﹣3，0），抛物线顶点为D，△ACD的面积为3．（1）求二次函数解析式；（2）点P（m，n）是抛物线第三象限内一点，P 关于原点的对称点 Q 在第一象限内，当QB2取最小值时，求 m 的值．24.如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为 D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接 DC、BC、DB，求证：△BCD 是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．25.已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于H，过 CD 延长线上一点 E 作⊙O 的切线交 AB的延长线于 F，切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K．（1）如图 1，求证：KE＝GE；（2）如图2，连接C ABG，若∠FGB＝∠ACH，求证：CA∥FE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接C G 交A B 于点N，若s inE＝，AK＝，求C N 的长．参考答案一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1.【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．2.【解答】解：＝（x2﹣12x）+21＝[（x﹣6）2﹣36]+21＝（x﹣6）2+3，故y＝（x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y＝（x﹣4）2+3．故选：D．3.【解答】解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；C、200 件产品中有 5 件次品，从中任意抽取 6 件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；故选：C．4.【解答】解：设方程的另一个根为x1，根据题意得：x1+3＝2，解得：x1＝﹣1．故选：D．5．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝AC÷cos30°＝4 ÷＝8，BC＝AC•tan30°＝4 ×＝4，∵BC 的中点为 D，∴CD＝BC＝×4＝2，连接 CG，∵△ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF 的中点为 G，∴CG＝EF＝AB＝×8＝4，由三角形的三边关系得，CD+CG＞DG，∴D、C、G 三点共线时 DG 有最大值，此时 DG＝CD+CG＝2+4＝6．故选：B．6.【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得：＝，解得：x＝4.5，即另一个三角形的最长边长为 4.5cm，故选：C．7.【解答】解：抛物线 y＝3（x﹣1）2+1 中a＝3＞0，开口向上；对称轴为直线 x＝1；顶点坐标为（1，1）；当x＝1时取得最小值y＝1；故选：D．8．【解答】解：根据题意得k≠0且△＝22﹣4k×（﹣1）＞0，所以 k＞﹣1 且k≠0．故选：D．9.【解答】解：由点A到A′，可得方程组；由B到B′，可得方程组，解得，设F点的坐标为（x，y），点F′点F重合得到方程组，解得，即F（1，4）．故选：A．10【解答】解：如图，连接 OA、OB，OG；∵六边形 ABCDEF 是边长为 4 的正六边形，∴△OAB 是等边三角形，∴OA＝AB＝4，∴OG＝OA•sin60°＝4×＝2 ，∴边长为4的正六边形的内切圆的半径为：2．故选：D．二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）11．【解答】解：如图，第4个顶点坐标是（6，4）或（﹣2，4）或（2，﹣4）．故答案为：（6，4）或（﹣2，4）或（2，﹣4）．12【解答】解：设白球个数为：x 个，∵摸到红色球的频率稳定在 0.25 左右，∴口袋中得到红色球的概率为 0.25，∴＝，解得：x＝15，即白球的个数为 15 个，故答案为：15．13【解答】解：顶点坐标是（﹣1，﹣3）．故答案为：（﹣1，﹣3）．14【解答】解：设圆锥底面圆的半径为 r，∵AC＝6，∠ACB＝120°，∴＝＝2πr，∴r＝2，即：OA＝2，在R t△AOC 中，OA＝2，AC＝6，根据勾股定理得，OC＝＝4 ，故答案为：4 ．15【解答】解：∵设矩形 ABCD 的两邻边长分别为α、β是一元二次方程 x2﹣6x+4＝0 的两个实数根，∴α+β＝6，∴矩形 ABCD 的周长为 6×2＝12．故答案为：12．16【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的面积之比为 1：3，∴△ABC 与△A′B′C′的相似比为1：．故答案为：1：．三．解答题（共 9 小题，满分 102 分）17．【解答】解：x（x+4）+3（x+4）＝0，（x+4）（x+3）＝0，x+4＝0 或 x+3＝0，所以 x1＝﹣4，x2＝﹣3．18【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求．（2）如图所示，△A″B″C″即为所求，∵A′C′＝＝3 ，∠A′C′A″＝90°，∴线段C'A'扫过图形的面积＝π．19【解答】解：（1）∵在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为，故答案为：；（2）列表如下：1231（1，1）（2，1）（3，1）2（1，2）（2，2）（3，2）3（1，3）（2，3）（3，3）由表可知，所有等可能的情况数为 9 种，其中这两个数字之和是 3 的倍数的有 3 种，所以这两个数字之和是3的倍数的概率为＝．20【解答】解：（1）∵AB∥CG，∴∠ABF＝∠G，又∵∠ABF＝∠ACF，∴∠ECF＝∠G，又∵∠CEF＝∠CEG，∴△ECF∽△EGC，∴，即C E2＝EF•EG；（2）∵平行四边形 ABCD 中，AB＝CD，又∵DG＝DC，∴AB＝CD＝DG，∴AB：CG＝1：2，∵AB∥CG，∴，即，∴EG＝12，BG＝18，∵AB∥DG，∴，∴BF＝BG＝9，∴EF＝BF﹣BE＝9﹣6＝3．21【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2＝361，解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为 5%．（2）361×（1﹣5%）＝342.95（万元）．答：预测 4 月份该公司的生产成本为 342.95 万元．22【解答】解：（1）⊙O如图所示；（2）作OH⊥BC 于 H．∵AC 是⊙O 的切线，∴OE⊥AC，∴∠C＝∠CEO＝∠OHC＝90°，∴四边形 ECHO 是矩形，∴OE＝CH＝，BH＝BC﹣CH＝，在R t△OBH 中，OH＝＝2，∴EC＝OH＝2，BE＝＝2 ，∵∠EBC＝∠EBD，∠BED＝∠C＝90°，∴△BCE∽△BED，∴＝ ， ∴ ＝ ，∴DE ＝ ．23【解答】解：（1）把 A （﹣3，0）代入 y ＝ax 2+2ax+c 得到 c ＝﹣3a ，∴抛物线的解析式为 y ＝ax 2+2ax ﹣3a ＝a （x+1）2﹣4a ，∴D （﹣1，﹣4a ），C （0，﹣3a ），∵S △ACD ＝S △AOD +S △OCD ﹣S △AOC ，∴ ×3×4a+ ×3a ×1﹣ ×3×3a ＝15， 解得 a ＝1，∴抛物线的解析式为 y ＝x 2+2x ﹣3．（2）由题意 Q （﹣m ，﹣n ），B （1，0），∴QB 2＝（m+1）2+n 2，∵n ＝（m+1）2﹣4，∴（m+1）2＝n+4，∴QB 2＝n+4+n 2＝（n+ ）2+ ，∴n ＝﹣ 时，QB 2 有最小值， 此时﹣＝（m+1）2﹣4，解得 m ＝﹣1﹣或﹣1+（舍弃）．．24．【解答】解：（1）∵二次函数 y ＝ax 2+bx ﹣3a 经过点 A （﹣1，0）、C （0，3），∴当 QB 2 取最小值时，m 的值为﹣1﹣∴根据题意，得，解得，∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+3．（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），∴CD＝＝，BC＝＝3 ，BD＝＝2 ，∵CD2+BC2＝（）2+（3 ）2＝20，BD2＝（2 ）2＝20，∴CD2+BC2＝BD2，∴△BCD 是直角三角形；（3）存在．y＝﹣x2+2x+3 对称轴为直线 x＝1．①若以 CD 为底边，则 P1D＝P1C，设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，因此 x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，即 y＝4﹣x．又 P1 点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，即 x2﹣3x+1＝0，解得x1＝，x2＝＜1，应舍去，∴x＝，∴y＝4﹣x＝，即点P1坐标为（，）．②若以 CD 为一腰，∵点 P2 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点 P2 与点 C 关于直线 x＝1 对称，此时点P2坐标为（2，3）．∴符合条件的点P坐标为25．【解答】（1）证明：连接O G．∵EF 切⊙O 于 G，∴OG⊥EF，∴∠AGO+∠AGE＝90°，∵CD⊥AB 于 H，∴∠AHD＝90°，∴∠OAG＝∠AKH＝90°，∵OA＝OG，∴∠AGO＝∠OAG，∴∠AGE＝∠AKH，∵∠EKG＝∠AKH，∴∠EKG＝∠AGE，∴KE＝GE．（2）设∠FGB＝α，∵AB 是直径，∴∠AGB＝90°，∴∠AGE＝∠EKG＝90°﹣α，∴∠E＝180°﹣∠AGE﹣∠EKG＝2α，∵∠FGB＝∠ACH，∴∠ACH＝2α，∴∠ACH＝∠E，∴CA∥FE．（3）作NP⊥AC 于P．∵∠ACH＝∠E，∴sin∠E＝sin∠ACH＝＝，设A H＝3a，AC＝5a，则C H＝＝4a，tan∠CAH＝＝，∵CA∥FE，∴∠CAK＝∠AGE，∵∠AGE＝∠AKH，∴∠CAK＝∠AKH，∴AC＝CK＝5a，HK＝CK﹣CH＝a，tan∠AKH＝＝3，AK＝＝a，∵AK＝，∴a＝，∴a＝1．AC＝5，∵∠BHD＝∠AGB＝90°，∴∠BHD+∠AGB＝180°，在四边形 BGKH 中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG＝360°，∴∠ABG+∠HKG＝180°，∵∠AKH+∠HKG＝180°，∴∠AKH＝∠ABG，∵∠ACN＝∠ABG，∴∠AKH＝∠ACN，∴tan∠AKH＝tan∠ACN＝3，∵NP⊥AC 于 P，∴∠APN＝∠CPN＝90°，在R t△APN 中，tan∠CAH＝＝，设P N＝12b，则A P＝9b，在R t△CPN中，tan∠ACN＝＝3，∴CP＝4b，∴AC＝AP+CP＝13b，∵AC＝5，∴13b＝5，∴b＝，∴CN＝＝4 b＝．。
2023-2024学年广东省广州市增城区九年级(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年广东省广州市增城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列四个图案中，不是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.下列事件为随机事件的是()A.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B.负数大于正数C.任意画一个三角形，其内角和是D.通常加热到时，水沸腾3.如果反比例函数的图象分布在第一、三象限，那么a的值可以是()A. B.2 C.0 D.4.如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，则的度数为()A.B.C.D.5.解方程“”时，小明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该方程的解为()A.B.，C.，D.6.某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个.已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个.设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是()A. B.C. D.7.如图，正方形ABCD的边长为2，是以点B为圆心，AB长为半径的一段圆弧，则的长为()A.B.C.D.8.如图，AB是的直径，PA，PC分别与相切于点A，点C，若，，则AB的长为()A.1B.2C.D.9.在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是()A. B. C.或 D.或10.如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则ac的值为()A.B.C.D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知的半径为5，点P在上，则OP的长为______.12.已知∽，其相似比为2：3，则它们的周长之比为______.13.一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共100个，这些球除颜色外都相同.小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则可估计红球的数量约为______个.14.若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数m的值等于__________.15.已知点，在反比例函数的图象上，且，则______填“<”或“>”或“=”16.如图，平面直角坐标系中有一点，在以为圆心，2为半径的圆上有一点P，将点P绕点A旋转后恰好落在x轴上，则点P的坐标是______.三、计算题：本大题共1小题，共4分。
2020-2021学年广州中学九年级上学期期末数学模拟试卷(含答案解析)
2020-2021学年广州中学九年级上学期期末数学模拟试卷一、选择题（本大题共11小题，共33.0分）1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A. 正六边形B. 平行四边形C. 正三角形D. 等腰梯形2.Windows2000下有一个有趣的“扫雷”游戏．如图是“扫雷”游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷．现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其他地方为安全区(包括有数字的方格)，则A、B、C三个方格中有地雷概率最大的方格是()A B C22A. AB. BC. CD. 无法确定3.方程x2=x的解为()A. x=1B. x=1，x2=−1C. x1=1，x2=0D. 以上答案都不对4.圆中与半径相等的弦所对的圆周角度数是()A. 30°B. 60°C. 150°D. 30°或150°5.对于二次函数y=−x2+3，则下列说法，不正确的是()A. 抛物线的开口向下B. 当x<0时，y随x的增大而减小C. 图象是轴对称图形D. 当x=0时，y有最大值36.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为()A. 50(1+x)2=175B. 50+50(1+x)2=175C. 50(1+x)+50(1+x)2=175D. 50+50(1+x)+50(1+x)2=1757.如图，四边形ABCO是平行四边形，OA=1，AB=3，点C在x轴的负半轴上，将平行四边形ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，则D点的坐标为()A. (1,√3)B. (−1,−√3)C. (√3,1)D.8.小红上学要经过两个十字路口，假设她在每个路口遇到红、绿灯的概率均为12，小红上学时经过每个路口都是绿灯的概率为()A. 14B. 13C. 12D. 349.一圆锥体形状的圣诞帽，母线长是30cm，底面圆的直径是15cm，点A为圆锥底面圆周上一点，从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点，则彩带最少用()厘米(接口处重合部分忽略不计)A. 30πcmB. 30√2cmC. 15πcmD. 15√2cm10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，它的对称轴为直线x=−1.则下列选项正确的是()A. abc<0B. 4ac−b2>0C. (c−a)(c+3a)>0D. a−b≥m(am+b)(m为实数)11.如图，正方形ABCD中，AB=4，点E在边CD上且DE=1，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论中正确的个数是()①△ABG≌△AFG；②∠EAG=45°；③3BG=5CG；④S△FGC=14485．A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）12.设x1，x2是方程x2+5x+2=0的两个根，则x1⋅x2=______．13.小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若千天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的扇形统计图．请你估计该市这一年(365天)大约共有______天达到优和良．14.二次函数y=2(x−4)2−1的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线y=2x2+bx+c，则b+c=．15.Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b(b>a)，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△EBD，=______.(用含a，b的代数式表示)连结AE，射线CD分别交AB，AE于点F、G，则CFDG16.不论自变量x取什么实数，二次函数y=2x2−6x+m的函数值总是正值，你认为m的取值范围是______ ，此时关于一元二次方程2x2−6x+m=0的解的情况是______ ．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）17.解方程：(1)x2−2x−8=0；(2)3x(x−1)=2(x−1)；(3)x2+3=3(x+1)；(4)2x(4x+5)=7；(5)4x2−8x+1=0；(6)(y+2)2=(3y−1)2．18.某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用15750元，请问：(1)该单位这次去旅游，员工有没有超过20人？(2)该单位这次共有多少员工去旅游？19.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)将△ABC向上平移3个单位后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A2B2C2，并求点B所经过的路径长(结果保留x)20.某中学为了丰富学生的业余爱好，决定开设以下活动项目：A：书法；B：绘画C：象棋；D：音乐．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行问卷调査，并将调査结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：(1)这次调查的学生共有多少人？(2)补全条形统计图；(3)九年级(1)班老师想从这四类活动项目中随机选取两类作为“五四青年节”表演项目，请用列表或画树状图的方法求恰好选中书法和绘画的概率21.如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G.求证：BC2=BG⋅BF．22.三张形状、大小完全相同的卡片，卡片上分别写着数字1、3、6.将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．随机抽取一张卡片，记下数字后不放回，再抽一张，记下数字．(1)请用画树形图或列表方式表示两次抽取数字的所有结果．(2)求出两次所抽的卡片数字之和是偶数的概率．23.已知：二次函数y=(a−3)x2−2(a2−6a+10)x+1(a≠3)．(1)当a=5，求此二次函数图象的顶点坐标．(2)设a为大于4的整数，x为正整数①在括号内填上适当的内容使等式成立由题意得抛物线的对称轴ℎ=−2(a2−6a+10)2(a−3)=a2−6a+10()=()2+1a−3=a−3+()a−3②用a的代数式表示ℎ的整数部分，并说明理由．③当二次函数取得最小值时，求正整数x的值．(用a的代数式表示)24.如图，点E是⊙O中弦AB的中点，过点E作⊙O的直径CD，P是⊙O上一点，过点P作⊙O的切线，与AB的延长线交于F，与CD的延长线交于点G，连接CP与AB交于点M．(1)求证：FM=FP；(2)若点P是FG的中点，cos∠F=35，⊙O半径长为3，求EM长．25.如图1，抛物线y=x2+(m+1)x−(m+2)(其中m为大于−1的常数)交坐标轴于A、B、C三点．(1)当m=1时，①直接写出A、B、C的坐标A______、B______、C______；②点D在抛物线上，且满足∠DAO=∠BCO，试求D点坐标；(2)如图2，点M在抛物线上且位于x轴下方，直线AM、BM分别交y轴于P、Q两点，MN⊥y轴于N.若OP OC =54，试求ONOQ的值．参考答案及解析1.答案：A解析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．2.答案：A解析：解：根据题意分析可得：B，C一定不是地雷，∴A处是雷，则B，C处均不地雷，P(A)=1；P(B)=0；P(C)=0．故A、B、C三个方格中有地雷概率最大的是A．故选：A．根据图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，即可得出B，C均不是地雷，即可得出答案．此题主要考查了概率的求法与运用，根据已知得出右边2靠近B，C，此时B，C均不是地雷是解决问题的关键．3.答案：C解析：解：x2=x，x2−x=0，x(x−1)=0，x−1=0或x=0，x1=1，x2=0，故选：C．移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题考了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．4.答案：D解析：解：如图，∵AB=OB=OA，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∠AOB=30°，∴∠ACB=12∴∠ADB=180°−∠ACB=150°，∴弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°．故选D．根据题意画出几何图，易得△OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，于是根据圆周角定理得到∠ACB=1∠AOB=30°，然后根据圆内接四边形的性质求出∠ADB的度数，这样得到弦AB所对的圆周角的度2数．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半角是解答此题的关键．5.答案：B解析：解：∵二次函数y=−x2+3，∴抛物线的开口向下，故选项A正确；当x<0时，y随x的增大而增大，故选项B不正确；图象时轴对称图形，故选项C正确；当x=0时，y有最大值3，故选项D正确；故选：B．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．6.答案：D解析：本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几年的产值，再根据题意列出方程即可．增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．解：二月份的产值为：50(1+x)，三月份的产值为：50(1+x)(1+x)=50(1+x)2，故第一季度总产值为：50+50(1+x)+50(1+x)2=175．故选：D．7.答案：B解析：本题考查平行四边形的性质、坐标与图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行四边形的性质和旋转的性质判断出∠DOC=60°，再利用锐角三角函数的定义可以求得点D 的坐标．解：由题意可得，OA=1，AF=1，∴∠AFO=∠AOF，∵AB//OF，∠BAO=∠OAF，∴∠BAO=∠AOF=∠OAF，∵∠BAF+∠AFO=180°，解得，∠BAO=60°，∴∠DOC=60°，∵AO=1，AD=AB=3，∴OD=2，∴点D的横坐标是：−2×cos60°=−1，纵坐标为：−2×sin60°=−√3，∴点D的坐标为(−1,−√3)，故选：B．8.答案：A解析：解：画树状图如下：由树状图知共4种情况，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为14．故选：A．列举出所有情况，看每个路口都是绿灯的情况数占总情况数的多少即可．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．9.答案：B解析：解：如图，设扇形的圆心角∠ASA′=n°，根据题意得n⋅π⋅30180=2⋅π⋅12⋅15，解得n=90，所以△SAA′为等腰直角三角形，所以AA′=√2SA=30√2，即彩带最少用30√2厘米．故选B．画出圆锥展开图，设扇形的圆心角∠ASA′=n°，根据弧长公式得到n⋅π⋅30180=2⋅π⋅12⋅15，解得n=90，则可判断△SAA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．10.答案：D解析：解：A、由图示知，抛物线对称轴位于y轴左侧，则a、b同号，即ab>0.抛物线与y轴交于正半轴，则c>0.所以abc>0，故本选项不符合题意．B、由图示知，抛物线与x轴有两个交点，则b2−4ac>0，所以4ac−b2<0，故本选项不符合题意．C、由对称轴x=−b2a=−1得到：b=2a．又∵当x=1时，y<0，∴a+b+c<0．∵抛物线开口向下，∴a<0．∴c−a>0．∴(c−a)(c+3a)=(c−a)(c+a+b)<0．故本选项不符合题意．D、∵x=−1时，函数值最大，∴a−b+c≥m2a−mb+c，∴a−b≥m(am−b)，故本选项符合题意．故选：D．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．主要考查抛物线与x轴的交点，图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．11.答案：C解析：解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD=6，∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，由翻折可知：AF=AD，∠AFE=∠D=90°，∴AF=AB，∠AFG=∠B=90°，在Rt△ABG和Rt△AFG中，{AG=AGAB=AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，故①正确，②∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，∵∠DAE=∠FAE，∠BAD=90°，∴∠EAG=∠EAF+∠FAG=12∠BAD=45°，故②正确，③∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴BG=FG，∵CD=4，DE=1，∴DE=EF=1，EC=3，在Rt△EGC中，CE=3，EG=EF+FG=1+BG，CG=BC−BG=4−BG，根据勾股定理，得EG2=CE2+CG2即(1+BG)2=32+(4−BG)2，解得BG=125，∴CG=4−125=85，∴BG：CG=12：8=3：2，∴2BG=3CG.故③错误．④作FM⊥BC于M，∵FM//EC，∴FGEG =FMEC，∴FM=3617∵S△FGC =12×85×3617=14485，故④正确．所以其中正确的是①②④，一共3个．故选：C．①正确，可以根据HL进行证明．②正确．利用全等三角形的性质解决问题即可．③错误，在Rt△EGC中，利用勾股定理求出BG，CG即可解决问题．④正确，根据S△FGC=12⋅GC⋅FM即可计算．本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折变换等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．12.答案：2解析：解：∵x1，x2是方程x2+5x+2=0的两个根，∴x1x2=2，故答案为2．根据根与系数的关系即可求得．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca．13.答案：292解析：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．先根据样本中良的天数及其所占百分比求得抽查的总天数，再用365天乘以样本中优和良的天数所占比例即可得．解：∵被抽查的总天数为32÷64%=50(天)，=292(天)，∴估计该市这一年(365天)达到优和良的天数大约为365×8+3250故答案为：292．14.答案：−2解析：试题分析：抛物线的平移，实质上是顶点的平移．原抛物线顶点坐标为(4,−1)，根据平移规律，平移后抛物线顶点坐标为(2,−2)，根据顶点式可求新抛物线解析式，展开比较系数求b、c．∵二次函数y=2(x−4)2−1的顶点坐标为(4,−1)∴图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后，顶点坐标为(2,−2)，由顶点式得，平移后抛物线解析式为：y=2(x−2)2−2，即y=2x2−8x+6，比较系数，得b=−8，c=6，b+c=−2．故本题答案为：−2．15.答案：2aba2−b2解析：解：如图作FJ⊥AC于J，FK⊥BC于K，GN⊥AC于N，GM⊥CB交CB的延长线于M，连接BG．由题意：BC=BD，∠CBD=90°，∴∠DCB=45°，∵∠ACB=90°，∴∠ACF=∠FCB=45°，∵FJ⊥AC，FK⊥BC，∴FJ=FK，设FJ=FK=x，∵S△ACB=S△ACF+S△BCF，∴12ab=12(a+b)x，∴x=aba+b，∴FC=√2FJ=√2aba+b，∵BA=BE，∠ABE=90°，∴∠BAG=∠BCG=45°，∴A，C，B，G四点共圆，∴∠AGB+∠ACB=180°，∴∠AGB=90°，∴BG⊥AE，∴AG=GE，∴BG=AG，∵GC平分∠ACM，GN⊥AC，GM⊥CM，∴GN=GM，∴△GNA≌△GMB(HL)，∴AN=BM，易证四边形CNGM是正方形，∴CM=CN，∴CN+CM=AC−AN+BC+BM=AC+BC=a+b．∴CM=a+b2，∴CG=√2CM=√22(a+b)，∵CD=√2b，∴DG=CG−CD=√22(a−b)，∴CFDG =√2aba+b√22(a−b)=2aba2−b2．故答案为：2aba2−b2．如图作FJ ⊥AC 于J ，FK ⊥BC 于K ，GN ⊥AC 于N ，GM ⊥CB 交CB 的延长线于M ，连接BG.想办法求出CF ，DG 即可解决问题．本题考查旋转变换，解直角三角形，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16.答案：m >92；无解解析：解：方法一：y =2x 2−6x +m =2(x −32)2+m −92，∵函数值总是正值，∴m −92>0即m >92， 此时关于一元二次方程2x 2−6x +m =0的△<0方程无解；方法二：∵二次函数y =2x 2−6x +m 的函数值总是正值，∴不论自变量x 取什么实数，函数图象与x 轴无交点△<0，36−8m <0，解得m >92．先用配方法把二次函数写成顶点式y =2(x −32)2+m −92，让m −92>0可求m >92，利用△<0判定方程无解，或直接用根的判别式判断．典型的二次函数和一元二次方程的综合题，要求掌握二次函数和一元二次方程之间的联系，熟练运用配方法和根的判别式． 17.答案：解：(1)(x +2)(x −4)=0，∴x +2=0或x −4=0，解得：x =−2或x =4；(2)3x(x −1)−2(x −1)=0，(x −1)(3x −2)=0，∴x −1=0或3x −2=0，解得：x =1或x =23；(3)原方程整理可得x 2−3x =0，x(x −3)=0，解得：x =0或x =3；(4)8x 2+10x −7=0，(2x −1)(4x +7)=0，∴2x −1=0或4x +7=0，解得：x =12或x =−74；(5)∵a =4，b =−8，c =1，∴b 2−4ac =64−16=48>0，∴x =8±√488=8±4√38=2±√32， ∴x 1=2+√32，x 2=2−√32；(6)y +2=±(3y −1)，即y +2=3y −1或y +2=−3y +1，解得：y =32或y =−14．解析：(1)因式分解法求解可得；(2)因式分解法求解可得；(3)整理成一般式后，因式分解法求解可得；(4)整理成一般式后，因式分解法求解可得；(5)公式法求解可得；(6)直接开平方法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键． 18.答案：解：(1)设该单位这次共有x 名员工去旅游．因为600×20=12000<15750，所以员工人数一定超过20人．(2)设该单位这次共有x 名员工去旅游，根据题意列方程得：[600−10(x −20)]x =15750．整理得x 2−80x +1575=0，即(x −45)(x −35)=0，解得x 1=45，x 2=35．当x 1=45时，600−10(x −20)=350<420，故舍去x 1；当x 2=35时，600−10(x −20)=450>420，符合题意．答：该单位这次共有35名员工去旅游．解析：此题考查了一元二次方程的应用，此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题应注意的地方有两点：1、确定人数的范围；2、用人均旅游费用不低于420元来判断，得到满足题意的x 的值．(1)先根据共支付给旅行社旅游费用15750元，确定旅游的人数的范围；(2)根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x 名员工去旅游．即可由对话框，超过20人的人数为(x −20)人，每人降低10元，共降低了10(x −20)元．实际每人收了[600−10(x −20)]元，列出方程求解．19.答案：解：(1)如图所示：A 1的坐标为：(−3,6)；(2)如图所示：∵BO =√12+42=√17，∴BB 2︵=90π×√17180=√172π. 解析：(1)根据△ABC 向上平移3个单位，得出对应点位置，即可得出A 1的坐标；(2)得出旋转后的△A 2B 2C 2，再利用弧长公式求出点B 所经过的路径长．此题主要考查了弧长公式的应用以及图形的旋转与平移变换，根据已知得出对应点位置是解题关键．20.答案：解：(1)∵D 类有40人，占20%，∴这次被调查的学生共有：40÷20%=200(人)；(2)C 项目对应人数为：200−20−80−40=60(人)；补充如图如下：(3)画树状图得：∵共有12种等可能的情况，恰好选中书法和绘画的有2种，∴恰好选中书法和绘画的概率是212=16．解析：此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图．注意概率=所求情况数与总情况数之比．(1)根据D类的人数和所占的百分比即可得出答案；(2)首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中书法和绘画的情况，再利用概率公式即可求得答案．21.答案：证明：∵AB是⊙O的直径，∠ACB=90°，又CD⊥AB于D，∴∠BCD=∠A，又∠A=∠F．∴∠F=∠BCD．在△BCG和△BFC中，，∴△BCG∽△BFC．∴．即BC2=BG⋅BF．解析：试题分析：结合图形，可以把所要证明的线段放到△CBG和△FBC中，两个三角形中已经有一个公共角，只需进一步证明∠BCG=∠F，根据等角的余角相等和圆周角定理，借助中间角∠A即可证明．证明：∵AB 是⊙O 的直径，∠ACB =90°，又CD ⊥AB 于D ，∴∠BCD =∠A ，又∠A =∠F.∴∠F =∠BCD.在△BCG 和△BFC 中，，∴△BCG∽△BFC.∴ .即BC 2=BG ⋅BF ．22.答案：解：(1)根据题意画图如下：(2)根据(1)画出的树状图可得：共有6种情况，卡片数字之和是偶数的有2种，则P =26=13．解析：(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；(2)由(1)中的树状图可求得甲胜的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 23.答案：解：(1)当a =5时，二次函数y =(a −3)x 2−2(a 2−6a +10)x +1=2x 2−10x +1=2(x −52)2−232；∴此二次函数图象的顶点坐标为：(52,−232)；(2)①ℎ=−−2(a 2−6a+10)2(a−3)=a 2−6a+10a−3=(a−3)2+1a−3=a −3+1a−3， 故答案为：a −3，a −3，1；②由①得：ℎ的整数部分为：a −3；理由：∵为大于4的整数，∴a −3是大于1的整数，∴1a−3是小数，∴ℎ的整数部分为：a −3；③当x=ℎ=a−3+1a−3时，二次函数取得最小值，∵a为大于4的整数，x为正整数，∴抛物线的开口向上，∴x=a−3或a−2时取得最小值，当x=a−3时，取得最小值，则有a−3+1a−3−(a−3)<(a−2)−a−3−1a−3，解得a>5，当x=a−3或a−2时取得最小值，则有a−3+1a−3−(a−3)=(a−2)−a−3−1a−3，解得a=5，此时x=2或3，当x=a−2时取得最小值，则有a−3+1a−3−(a−3)>(a−2)−a−3−1a−3，解得a<5(不合题意)综上所述，当a>5时，二次函数取得最小值时，x=a−2，当a=5时，二次函数取得最小值时，x=2或3．解析：(1)将a=5代入二次函数y=(a−3)x2−2(a2−6a+10)x+1，然后利用配方法求解即可求得此二次函数图象的顶点坐标．(2)①首先根据公式求得对称轴，再化简，即可求得答案；②由①，即可求得答案；③分三种情形讨论即可．此题属于二次函数的综合题．考查了二次函数的性质以及配方法的应用．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．24.答案：(1)证明：连接OP，∵CD为⊙O的直径，E为弦AB的中点，∴∠CEF=90°，∴∠C+∠CME=90°，∵GF是⊙O的切线，∴∠OPF=90°，∴∠FPM+∠OPC=90°，∵OC=OP，∴∠C=∠OPC，∴∠FPM=∠CME，∵∠CME=∠FMP，∴∠FMP=∠FPM，∴FM=FP；(2)解：∵∠OEF=90°，∴∠G+∠F=90°，∵∠GOP+∠G=90°，∴∠GOP=∠F，∴cos∠GOP=cos∠F=35，即OPOG=35，∵OP=3，∴OG=5，∴PG=√OG2−OP2=4，∵点P是FG的中点，∴PF=PG=4，∴GF=8，∵cos∠F=35，∴EFFG =35，∴EF=245，∴EM=EF−FM=45．解析：(1)连接OP，根据垂径定理得到∠CEF=90°，根据切线的性质得到∠OPF=90°，根据同角的余角相等得到∠FMP=∠FPM，根据等腰三角形的判定定理证明即可；(2)根据余弦的定义求出OG，根据勾股定理求出FG，根据余弦的定义计算，得到答案．本题考查的是切线的性质、解直角三角形的知识，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．25.答案：(−3,0)(1,0)(0,−3)解析：解：(1)①当m=1时，y=x2+(m+1)x−(m+2)=x2+2x−3，令y=x2+2x−3=0，解得x=−3或1，令x=0，则y=−3，故点A、B、C的坐标分别为(−3,0)、(1,0)、(0,−3)，故答案为：(−3,0)、(1,0)、(0,−3)；②当点D 在x 轴上方时，设直线AB 交y 轴于点H ，∵OA =OC =3，∠DAO =∠BCO ，∠COB =∠AOH =90°，∴△COB≌△AOH(AAS)，∴OH =OB =1，由点A 、H 的坐标得，直线AH 的表达式为y =13x +1，则{y =x 2+2x +3y =13x +1，解得{x =43y =139(不合题意的值已舍去)， 故点D 的坐标为(43,139)；当点D 在x 轴下方时，同理可得点D′(23,−119)；故点D 的坐标为(43,139)或(23,−119)；(2)对于y =x 2+(m +1)x −(m +2)①，令y =x 2+(m +1)x −(m +2)=0，解得x =1或−m −2，令x =0，则y =−m −2，故点A 、B 、C 的坐标分别为(−m −2,0)、(1,0)、(0,−m −2)，设直线BM 的表达式为y =kx +b ，将点B 的坐标代入上式并解得b =−k ，故直线BM 的表达式为y =kx −k②，则OQ =k ，联立①②并整理得：x 2+(m +1−k)x +(k −m −2)=0，则x B x M =k −m −2而x B=1，故x M=k−m−2，设直线AM的表达式为y=k′x+b′，将点A的坐标代入上式并解得：b′=mk′+2k′，则直线AM的表达式为y=k′x+mk′+2k′③，则OP=−k′(m+2)，同理可得：x M=k′+1，故k−m−2=k′+1，解得：m=k−k′−3，而OC=m+2=k−k′−1，将x M=k′+1代入y=kx−k=k(k′+1)−k=kk′，故ON=−kk′，则OPCO =−k′(m+2)m+2=−k′=54，则ONOQ =−kk′k=−k′=54．(1)①令y=x2+2x−3=0，解得x=−3或1，令x=0，则y=−3，即可求解；②当点D在x轴上方时，证明△COB≌△AOH(AAS)，则OH=OB=1，进而求解；当点D在x轴下方时，同理可得点D′(23,−119)；(2)确定直线BM的表达式为y=kx−k②，则OQ=k，进而求出x M=k−m−2，同理可得ON=−kk′，进而求解．本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、根与系数关系的运用、三角形全等等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．。
广州市重点中学九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析(共六套)
广州市重点中学九年级上学期期末考试数学试卷（一）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣2，﹣4） D．（2，4）2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15 3．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A． B．C．D．4．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100°D．无法确定5．在二次函数y=x2﹣2x+3的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞16．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了21场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）=21 B．x（x+1）=21 C．x（x﹣1）=42 D．x（x+1）=42 7．三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（）A．B．C．D．8．如果将抛物线y=x2+2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2B．y=（x+1）2C．y=x2+1 D．y=x2+39．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'=（）A．30°B．35°C．40°D．50°10．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，若正方形CDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2 B．2π﹣2 C．4π﹣4 D．4π﹣8二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标为．12．一元二次方程x2﹣16=0的解是．13．抛物线y=x2+2x+1的顶点坐标是．14．若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为．15．用一根长为16cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是cm2．16．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE 绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．18．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．19．在数学活动课中，同学们准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个扇形制作圆锥玩具模型．如图，已知△ABC是腰长为4的等腰直角三角形．（1）在等腰直角三角形ABC纸片中，以C为圆心，剪出一个面积最大的扇形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请求出所制作圆锥底面的半径长．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学．（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；（2）求两人再次成为同班同学的概率．21．已知关于的方程x2+2x+m﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求m的值及方程的另一根．22．在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AF=6，EF=2，求⊙O 的半径长．25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y 轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）设P（x，y），PD的长度为l，求l与x的函数关系式，并求l的最大值；（3）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣2，﹣4）D．（2，4）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．【解答】解：∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴，∴若图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（2，4）．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键．2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15【考点】解一元二次方程﹣配方法．【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．【解答】解：∵x2﹣8x﹣1=0，∴x2﹣8x=1，∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．3．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选A．【点评】本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．4．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100°D．无法确定【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】根据圆周角定理即可得．【解答】解：∵∠ACB与∠AOB所对的弧是同一段弧，且∠AOB=90°，∴∠ACB=∠AOB=90°，故选：B．【点评】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．5．在二次函数y=x2﹣2x+3的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞1【考点】二次函数的性质．【分析】抛物线y=x2﹣2x+3中的对称轴是直线x=1，开口向上，x＞1时，y随x 的增大而增大．【解答】解：∵a=1＞0，∴二次函数图象开口向上，又∵对称轴是直线x=﹣=1，∴当x＞1时，函数图象在对称轴的右边，y随x的增大而增大．故选D．【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：当a＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣，在对称轴左边，y随x的增大而增大．6．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了21场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）=21 B．x（x+1）=21 C．x（x﹣1）=42 D．x（x+1）=42 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片上的数字恰好都小于3的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率==．故选A．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8．如果将抛物线y=x2+2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2B．y=（x+1）2C．y=x2+1 D．y=x2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【解答】解：抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，2），向左平移1个单位，向下平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+1）2．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式9．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'=（）A．30°B．35°C．40°D．50°【考点】旋转的性质．【分析】由平行线的性质可求得∠C′CA的度数，然后由旋转的性质得到AC=AC′，然后依据等腰三角形的性质可知∠AC′C的度数，依据三角形的内角和定理可求得∠CAC′的度数，从而得到∠BAB′的度数．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠C′CA=∠CAB=65°．∵由旋转的性质可知；AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C=65°．∴∠CAC′=180°﹣65°﹣65°=50°．∴∠BAB′=50°．故选D．【点评】本题主要考查的是旋转的性质，得到∠C′CA=65°以及AC=AC′是解题的关键．10．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，若正方形CDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2 B．2π﹣2 C．4π﹣4 D．4π﹣8【考点】扇形面积的计算；正方形的性质．【分析】连结OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．【解答】解：连接OC∵在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，∴∠COD=45°，∴OC=CD=2，∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积=×π×（2）2﹣×22=π﹣2．故选：A．【点评】考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标为（﹣2，3）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【专题】常规题型．【分析】由关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求出答案．【解答】解：因为关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，所以：点（2，﹣3）关于原点的对称点的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．【点评】考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．12．一元二次方程x2﹣16=0的解是x1=﹣4，x2=4 ．【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【专题】计算题．【分析】方程变形后，开方即可求出解．【解答】解：方程变形得：x2=16，开方得：x=±4，解得：x1=﹣4，x2=4．故答案为：x1=﹣4，x2=4【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．13．抛物线y=x2+2x+1的顶点坐标是（﹣1，0）．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】把a、b、c的值直接代入顶点的公式中计算即可．【解答】解：∵a=1，b=2，c=1，∴﹣=﹣=﹣1，==0，故答案是（﹣1，0）．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握顶点的计算公式．14．若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为．【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．【分析】首先连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，由⊙O是等边△ABC的外接圆，即可求得∠OBC的度数，然后由三角函数的性质即可求得OD的长，又由垂径定理即可求得等边△ABC的边长．【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，∴BC=2BD，∵⊙O是等边△ABC的外接圆，∴∠BOC=×360°=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB===30°，∵⊙O的半径为2，∴OB=2，∴BD=OB•cos∠OBD=2×cos30°=2×=，∴BC=2BD=2．∴等边△ABC的边长为2．故答案为：2．【点评】本题考查了垂径定理，圆的内接等边三角形，以及三角函数的性质等知识．此题难度不大，解题的关键是掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法．15．用一根长为16cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是16 cm2．【考点】二次函数的应用．【分析】先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可．【解答】解：设矩形的一边长为xcm，所以另一边长为（8﹣x）cm，其面积为s=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，∴周长为16cm的矩形的最大面积为16cm2．故答案为：16．【点评】此题考查的是二次函数在实际生活中的应用及求二次函数的最大（小）值有三种方法：第一种可由图象直接得出；第二种是配方法；第三种是公式法．常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．16．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE 绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为1或5 ．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC上的点”，所以有两种情况，即一个是逆时针旋转，一个顺时针旋转，根据旋转的性质可知．【解答】解：旋转得到F1点，∵AE=AF1，AD=AB，∠D=∠ABC=90°，∴△ADE≌△ABF1，∴F1C=1；旋转得到F2点，同理可得△ABF2≌△ADE，∴F2B=DE=2，F 2C=F2B+BC=5．【点评】本题主要考查了旋转的性质．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+2）2+2，然后把点（1，1）代入求出a的值即可．【解答】解：设这个函数的关系式为y=a（x+2）2+2，把点（1，1）代入y=a（x+2）2+2得9a+2=1，解得a=﹣，所以这个函数的关系式为y=﹣（x+2）2+2．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．18．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2=0，然后解此一元二次方程即可．【解答】解：把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得1﹣2a+a2=0，解得a1=a2=1，所以a的值为1．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．19．在数学活动课中，同学们准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个扇形制作圆锥玩具模型．如图，已知△ABC是腰长为4的等腰直角三角形．（1）在等腰直角三角形ABC纸片中，以C为圆心，剪出一个面积最大的扇形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请求出所制作圆锥底面的半径长．【考点】作图—应用与设计作图；等腰直角三角形；扇形面积的计算；圆锥的计算．【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2根据勾股定理得到AB=，由（1）可知CD平分∠ACB，根据等腰三角形的性质得到CD⊥AB，根据弧长的公式即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示：扇形CEF为所求作的图形；（2）∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC=4，∴AB=，由（1）可知CD平分∠ACB，∴CD⊥AB，∴CD=，设圆锥底面的半径长为r，依题意得：2πr=，∴r=，答：所制作圆锥底面的半径长为．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，等腰直角三角形的性质，弧长的计算，正确的作出图形是解题的关键．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学．（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；（2）求两人再次成为同班同学的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）画树状图法或列举法，即可得到所有可能的结果；（2）由（1）可知两人再次成为同班同学的概率．【解答】解：（1）画树状图如下：由树形图可知所以可能的结果为AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC；（2）由（1）可知两人再次成为同班同学的概率==．【点评】本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．已知关于的方程x2+2x+m﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求m的值及方程的另一根．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系即可得出关于m、x1的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：（1）依题意得：△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（m﹣2）=12﹣4m＞0，解得：m＜3．∴若该方程有两个不相等的实数根，实数m的取值范围为m＜3．（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，∴m的值为﹣1，该方程的另一根为﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系找出关于m、x1的二元一次方程组．22．在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．【分析】（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x﹣80）元，根据“按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元”建立方程，解方程即可；（2）设平均每次降价的百分率为y，根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程，解方程即可．【解答】解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x ﹣80）元，根据题意得=，解得x=400．经检验，x=400是原方程的根．答：每张门票的原定票价为400元；（2）设平均每次降价的百分率为y，根据题意得400（1﹣y）2=324，解得：y1=0.1，y2=1.9（不合题意，舍去）．答：平均每次降价10%．【点评】本题考查了一元二次方程与分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．【考点】旋转的性质；勾股定理；菱形的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CD；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，∵AB=AC，∴AE=AF，∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，∴BE=CF；（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE﹣DE=﹣1．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AF=6，EF=2，求⊙O 的半径长．【考点】切线的性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）根据切线的性质得OC⊥AD，而AD⊥DP，则肯定判断OC∥AD，根据平行线的性质得∠DAC=∠OCA，加上∠OAC=∠OCA，所以∠OAC=∠DAC；（2）根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，则∠BCE=45°，再利用圆周角定理得∠BOE=2∠BCE=90°，则∠OFE+∠OEF=90°，易得∠CFP+∠OEF=90°，再根据切线的性质得到∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，根据等角的余角相等得到∠PCF=∠CFP，于是可判断△PCF是等腰三角形；（3）连结OE．由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据角平分线的定义得到∠BCE=45°，设⊙O 的半径为r，则OF=6﹣r，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：∵PD为⊙O的切线，∴OC⊥DP，∵AD⊥DP，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAB；（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=2∠BCE=90°，∴∠OFE+∠OEF=90°，而∠OFE=∠CFP，∴∠CFP+∠OEF=90°，∵OC⊥PD，∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，∴∠PCF=∠CFP，∴△PCF是等腰三角形；（3）解：连结OE．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=90°，即OE⊥AB，设⊙O 的半径为r，则OF=6﹣r，在Rt△EOF中，∵OE2+OF2=EF2，∴r2+（6﹣r）2=（2）2，解得，r1=4，r2=2，当r1=4时，OF=6﹣r=2（符合题意），当r2=2时，OF=6﹣r=4（不合题意，舍去），∴⊙O的半径r=4．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和等腰三角形的判定．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y 轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）设P（x，y），PD的长度为l，求l与x的函数关系式，并求l的最大值；（3）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）设y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式；（2）令y=0，得x2﹣4x+3=0，求得方程方程的解，从而可得到点A、B的坐标，设直线AC的函数关系式为y=mx+n，将A（3，0），C（0，3）代入可求得m、n 的值，故此可得到AC的解析式为y=﹣x+3上，设D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），然后依据l=Dy ﹣Py列出l与x的函数关系式，依据二次根式的性质可求得PD的最大值；（3）①当点P为直角顶点时，点P与点B重合，②当点A为直角顶点时，可证明∠DAO=∠PAO，然后可证明点D与P关于x轴对称，设D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），依据关于x轴对称点的纵坐标互为相反数可列出关于x的方程，从而可求得x的值，故此可求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），∴设y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入上式得3=a（0﹣2）2﹣1，解得：a=1，∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3．（2）令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，∵点A在点B的右边，∴A （3，0），B（1，0）设直线AC的函数关系式为y=mx+n，将A（3，0），C（0，3）代入上式得，，解得：，∴y=﹣x+3．∵D在y=﹣x+3上，P在y=x2﹣4x+3上，且PD∥y轴，∴D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），∴l=PD=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=∴当时，l取得最大值为．（3）分两种情况：①当点P为直角顶点时，如图1，点P与点B重合，由（2）可知B（1，0），∴P（1，0）．②当点A为直角顶点时，如图2，∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠OAD=45°，当∠DAP=90°时，∠OAP=45°，∴AO平分∠DAP，又∵PD∥y轴，∴PD⊥AO，∴P与D关于x轴对称，∵D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），∴（﹣x+3）+（x2﹣4x+3）=0，整理得x2﹣5x+6=0，∴x1=2，x2=3（舍去），当x=2时，y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1，∴P的坐标为P（2，﹣1）．∴满足条件的P点坐标为P（1，0），P（2，﹣1）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质、依据l=Dy ﹣Py列出l与x的函数关系式是解答问题（2）的关键，证得点D与P关于x轴对称，利用关于x轴对称点的特点列出关于x的方程是解答问题（3）的关键．广州市重点中学九年级上学期期末考试数学试卷（二）一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程中关于x的一元二次方程的是（）A．x2+=0 B．x3+x﹣1=0 C．x2﹣2xy+y2=0 D．x2+2x﹣3=02．下列是电视台的台标，属于中心对称图形的是（）A． B．C．D．3．抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣3，1）B．（3，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，﹣1）4．反比例函数y=经过（）象限．A．第一和第三 B．第二和第四 C．第一和第二 D．第三和第四5．用配方法解方程x2﹣4x﹣7=0时，原方程应变形为（）A．（x+2）2=11 B．（x﹣2）2=11 C．（x+4）2=23 D．（x﹣4）2=236．小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，英语题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是（）A． B．C．D．7．成语“水中捞月”所描述的事件是（）事件．A．必然B．随机C．不可能D．无法确定8．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°，得到△OA1B1，求∠A1OB的度数（）A．100°B．70°C．40°D．30°9．如图，已知二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（）A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞3 C．2＜x＜3 D．0＜x＜310．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点C为圆心，OA的长为直径作半圆交CE于点D．若OA=4，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．二次函数y=x2﹣2x﹣3的开口方向是向．12．方程x2﹣9=0的解是．13．平面直角坐标系中，点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是．14．已知反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是．15．如图，已知△ABC是圆内接三角形，若∠OCB=15°，则∠A= 度．16．如图，2016年里约奥运会上，某运动员在10米跳台跳水比赛时估测身体（看成一点）在空中的运动路线是抛物线y=﹣x2+x（图中标出的数据为已知条件），运动员在空中运动的最大高度离水面为米．。
2022年广东省广州市天河区数学九上期末质量检测模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．用配方法解方程2237x x +=时，方程可变形为（ ）A ．273724x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．274324x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．271416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．2725416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ ） x … ﹣1 0 1 2 … y…﹣5131…A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x=3时，y ＜0D ．方程ax 2+bx+c=0有两个相等实数根3．已知23x y =，则下列比例式成立的是（ ）A ．23x y= B ．23x y = C ．32x y = D ．52x y x += 4．下列事件是随机事件的是（ ） A ．打开电视，正在播放新闻 B ．氢气在氧气中燃烧生成水 C ．离离原上草，一岁一枯荣D ．钝角三角形的内角和大于180°5．某商品原价为180元，连续两次提价后售价为300元，设这两次提价的年平均增长率为x ，那么下面列出的方程正确的是（ ） A ．180（1+x ）＝300 B ．180（1+x ）2＝300 C ．180（1﹣x ）＝300D ．180（1﹣x ）2＝3006．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（ ） A ．60°B ．90°C ．120°D ．180°8．某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目小分支，主干、枝干和小分支总数共57根，则主干长出枝干的根数为 （ ） A ．7B ．8C ．9D ．109．用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣2＝0，配方后得到的方程是（ ） A ．（x ﹣3）2＝2B ．（x ﹣3）2＝8C ．（x ﹣3）2＝11D ．（x +3）2＝910．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是中心对称图形的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若4AB =，3AD =，则CF 的长为________．12．某品牌手机六月份销售400万部，七月份、八月份销售量连续增长，八月份销售量达到576万部，则该品牌手机这两个月销售量的月平均增长率为_________.13．已知ABC DEF ∽△△，其相似比为2：3，则他们面积的比为__________．14．图甲是小张同学设计的带图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案设计拼接面成（不重叠，无缝隙）．图乙中，点E 、F 、G 、H 分别为矩形AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若AB ＝4，BC ＝6，则图乙中阴影部分的面积为 _____．15．如图，△ABC 中，∠C=90°，2sin 5A =，D 为AC 上一点，∠BDC=45°,CD=6,则AB=_______．16．如图，在菱形ABCD 中，22AB =,120A ∠=︒,点P ,Q ,K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK QK +的最小值为__________．17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC △的每个顶点都在格点上，则tan BAC ∠=_____.18．某工厂的产品每50件装为一箱，现质检部门对100箱产品进行质量检查，每箱中的次品数见表： 次品数 0 1 2 3 4 5 箱数5014201042该工厂规定：一箱产品的次品数达到或超过6%，则判定该箱为质量不合格的 产品箱.若在这100箱中随机抽取一箱，抽到质量不合格的产品箱概率为_______ 三、解答题(共66分)19．（10分）阅读下列材料，然后解答问题．经过正四边形(即正方形)各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的面积为S 1，正方形ABCD 的面积为S 1．以圆心O 为顶点作∠MON ，使∠MON ＝90°．将∠MON 绕点O 旋转，OM 、ON 分别与⊙O 交于点E 、F ，分别与正方形ABCD 的边交于点G 、H ．设由OE 、OF 、EF 及正方形ABCD 的边围成的图形(阴影部分)的面积为S ．（1）当OM 经过点A 时(如图①)，则S 、S 1、S 1之间的关系为： (用含S 1、S 1的代数式表示)； （1）当OM ⊥AB 于G 时(如图②)，则(1)中的结论仍然成立吗？请说明理由；（3）当∠MON 旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论任然成立吗：请说明理由.20．（6分）已知抛物线()22y a x c =-+经过点()2,0A 和 90,4C ⎛⎫⎪⎝⎭，与x 轴交于另一点B ，顶点为D ． （1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标；（2）如图，点,E F 分别在线段,AB BD 上（E 点不与,A B 重合），且DEF A ∠=∠，则DEF ∆能否为等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；（3）若点P 在抛物线上，且PBDCBDS m S ∆∆=，试确定满足条件的点P 的个数．21．（6分）如图，一次函数y=ax+b （a≠0）的图象与反比例函数ky x=（k≠0）的图象相交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，tan ∠DCO=32，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，若点C 是OE 的中点，且点A 的横坐标为﹣1．， （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接ED ，求△ADE 的面积．22．（8分）如图，以等腰△ABC的一腰AC为直径作⊙O，交底边BC于点D，过点D作腰AB的垂线，垂足为E，交AC的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）证明：∠CAD＝∠CDF；（3）若∠F＝30°，AD＝3，求⊙O的面积．23．（8分）端午节是我国传统佳节.小峰同学带了4个粽子（除粽馅不同外，其它均相同），其中有两个肉馅粽子、一个红枣馅粽子和一个豆沙馅粽子，准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦.（1）用树状图或列表的方法列出小悦拿到两个粽子的所有可能结果；（2）请你计算小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率.24．（8分）若+2+5==346a b c，且2a－b＋3c＝21.试求a∶b∶c.25．（10分）计算：（1）2sin30°+cos45°3（2）30-（12）-2+ tan2 30︒．26．（10分）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.参考答案一、选择题(每小题3分,共30分) 1、D【详解】解：∵2x 2+3=7x ， ∴2x 2-7x=-3，∴x 2-72x=-32， ∴x 2-72x+4916=-32+4916，∴（x-74）2=2516．故选D ． 【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法，掌握配方法的步骤进行计算是解题关键． 2、C【解析】根据表格的数据，描点连线得，根据函数图像，得：抛物线开口向下；抛物线与y 轴交于正半轴；当x=3时，y ＜0 ；方程20ax bx c ++=有两个相等实数根.故选C.3、C【分析】依据比例的性质，将各选项变形即可得到正确结论． 【详解】解：A ．由23x y=可得，2y=3x ，不合题意； B ．由23x y =可得，2y=3x ，不合题意；C ．由32x y=可得，3y=2x ，符合题意； D ．由52x y x +=可得，3x=2y ，不合题意； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，解决问题的关键是掌握：内项之积等于外项之积． 4、A【分析】根据随机事件的意义，事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A 、打开电视，正在播放新闻，是随机事件； B 、氢气在氧气中燃烧生成水，是必然事件； C 、离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件； D 、钝角三角形的内角和大于180°，是不可能事件； 故选：A ． 【点睛】本题考查可随机事件的意义，正确理解随机事件的意义是解决本题的关键. 5、B【分析】本题可先用x 表示出第一次提价后商品的售价，再根据题意表示出第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于x 的方程．【详解】当商品第一次提价后，其售价为：180（1+x ）；当商品第二次提价后，其售价为：180（1+x ）1． ∴180（1+x ）1＝2． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意表示出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次提价后售价的方程，令其等于2即可． 6、C【分析】根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断． 【详解】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C 选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心． 故选C ． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心． 7、C【详解】解:设母线长为R ，底面半径为r ，可得底面周长=2πr ，底面面积=πr 2，侧面面积=12lr=πrR ， 根据圆锥侧面积恰好等于底面积的3倍可得3πr 2=πrR ，即R=3r. 根据圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，设圆心角为n ，有2180n Rr ππ=， 即32180n rr ππ⋅=. 可得圆锥侧面展开图所对应的扇形圆心角度数n=120°． 故选C ．考点：有关扇形和圆锥的相关计算 8、A【分析】分别设出枝干和小分支的数目，列出方程，解方程即可得出答案. 【详解】设枝干有x 根，则小分支有2x 根 根据题意可得：2157x x ++= 解得：x=7或x=-8(不合题意，舍去) 故答案选择A.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，解题关键是根据题目意思列出方程. 9、C【分析】根据配方法即可求出答案． 【详解】∵x 2﹣6x ﹣2＝0， ∴x 2﹣6x ＝2， ∴（x ﹣3）2＝11， 故选：C ． 【点睛】考查了配方法解方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 10、D【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可． 【详解】解：①不是中心对称图形，故本选项不合题意； ②是中心对称图形，故本选项符合题意； ③不是中心对称图形，故本选项不合题意； ④是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，熟悉掌握概念是解题的关键二、填空题(每小题3分,共24分) 11、103【解析】分析：根据勾股定理求出5AC ==，根据AB ∥CD ，得到12AF AE CF CD ==，即可求出CF 的长.详解：∵四边形ABCD 是矩形，∴4AB CD ==，AB ∥CD ，90ADC ∠=︒，在Rt ADC △中，90ADC ∠=︒，∴5AC ==，∵E 是AB 中点，∴1122AE AB CD ==，∵AB ∥CD ，∴12AF AE CF CD ==，∴21033CF AC ==． 故答案为103. 点睛：考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键. 12、20%【分析】根据增长（降低）率公式()21a x b ±=可列出式子. 【详解】设月平均增长率为x. 根据题意可得:()24001+576x =.解得:0.2x =. 所以增长率为20%. 故答案为:20%. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，记住增长率公式很重要. 13、4：1．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为23， ∴这两个相似三角形的面积比为22439⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故答案为：49． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 14、225【分析】根据S 阴＝S 菱形PHQF ﹣2S △HTN ，再求出菱形PHQF 的面积，△HTN 的面积即可解决问题． 【详解】如图，设FM ＝HN ＝a ．由题意点E 、F 、G 、H 分别为矩形AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴四边形DFBH 和四边形CFAH 为平行四边形，∴DF ∥BH,CH ∥AF ，∴四边形HQFP 是平行四边形又HP=12CH=DP=PF ， ∴平行四边形HQFP 是菱形，它的面积＝14S 矩形ABCD ＝14×4×6＝6， ∵FM ∥BJ ，CF ＝FB ，∴CM ＝MJ ，∴BJ ＝2FM ＝2a ，∵EJ ∥AN ，AE ＝EB ，∴BJ ＝JN ＝2a ， ∵S △HBC ＝12•6•4＝12，HJ ＝35BH ， ∴S △HCJ ＝35×12＝365， ∵TN ∥CJ ，∴△HTN ∽△HCJ ， ∴HTN HCJ S S ＝（HN HJ ）2＝19， ∴S △HTN ＝19×365＝45， ∴S 阴＝S 菱形PHQF ﹣2S △HTN ＝6﹣85＝225， 故答案为225． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质、菱形的判定与性质及相似三角形的性质. 15、1【分析】根据题意由已知得△BDC 为等腰直角三角形，所以CD=BC=6，又因为已知∠A 的正弦值，即可求出AB 的长．【详解】解：∵∠C=90°，∠BDC=45°，∴BC=CD=6，又∵sinA=BC AB ＝25， ∴AB=6÷25=1． 故答案为：1．【点睛】本题考查解直角三角形问题，直角三角形知识的牢固掌握和三角函数的灵活运用．16、6【分析】根据菱形的对称性，在AB 上找到点P 关于BD 的对称点P '，过点P '作P 'Q ⊥CD 于Q ，交BD 于点K ，连接PK ，过点A 作AE ⊥CD 于E ，根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，可得此时PK QK +最小，且最小值为P Q '的长，P Q AE '=，然后利用锐角三角函数求AE 即可．【详解】解：根据菱形的对称性，在AB 上找到点P 关于BD 的对称点P '，过点P '作P 'Q ⊥CD 于Q ，交BD 于点K ，连接PK ，过点A 作AE ⊥CD 于E根据对称性可知：PK=P 'K ，∴此时PK QK +=P K QK P Q ''+=，根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，∴此时PK QK +最小，且最小值为P Q '的长，P Q AE '=∵在菱形ABCD 中，22AB =120A ∠=︒∴22AD AB ==ADE=180°－∠A=60°在Rt △ADE 中，AE=AD ·sin ∠ADE=3226=∴6P Q AE '==即PK QK +的最小值为6 故答案为6．【点睛】此题考查的是菱形的性质、求两线段之和的最值问题和锐角三角函数，掌握菱形的性质、垂线段最短、平行线之间的距离处处相等和用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．17、2【分析】如图，取格点E ，连接EC ．利用勾股定理的逆定理证明∠AEC=90°即可解决问题．【详解】解：如图，取格点E ，连接EC ．易知2,10,22AC EC ==∴AC 2=AE 2+EC 2，∴∠AEC=90°， ∴tan ∠BAC=2222EC AE ==. 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18、425【分析】由表格中的数据可知算出抽到质量不合格的产品箱频率后，利用频率估计概率即可求得答案.【详解】解：∵一箱产品的次品数达到或超过6%，则判定该箱为质量不合格的 产品箱.∴质量不合格的产品应满足次品数量达到：506%=3⨯∴抽到质量不合格的产品箱频率为：10+4+2164=10010025= 所以100箱中随机抽取一箱，抽到质量不合格的产品箱概率：425 故答案为：425. 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，由此可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率的近似值，随着实验次数的增多，值越来越精确.三、解答题(共66分)19、（1）121()4S S S =-； （1）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（1）（1）中的结论仍然成立，理由见解析.【解析】试题分析：（1）结合正方形的性质及等腰直角三角形的性质，容易得出结论；（1）仍然成立，可证得四边形OGHB 为正方形，则可求出阴影部分的面积为扇形OEF 的面积减去正方形OGBH 的面积；（3）仍然成立，过O 作OR ⊥AB ，OS ⊥BC ，垂足分别为R 、S ，则可证明△ORG ≌△OSH ，可得出四边形ORBS 的面积=四边形OGBH 的面积，再利用扇形OEF 的面积减正方形ORBS 的面积即可得出结论．试题解析：（1）当OM 经过点A 时由正方形的性质可知：∠MON=90°，∴S △OAB =14S 正方形ABCD =14S 1，S 扇形OEF =14S 圆O =14S 1， ∴S=S 扇形OEF -S △OAB =14S 圆O -14S 正方形ABCD =14S 1-14S 1=14（S 1-S 1）， （1）结论仍然成立，理由如下：∵∠EOF=90°，∴S 扇形OEF =14S 圆O =14S 1 ∵∠OGB=∠EOF=∠ABC=90°，∴四边形OGBH 为矩形，∵OM ⊥AB ，∴BG=12AB=12BC=BH ， ∴四边形OGBH 为正方形，∴S 四边形OGBH =BG 1=（12AB ）1=14S 1， ∴S=S 扇形OEF -S 四边形OGBH =14S 1-14S 1=14（S 1-S 1）； （3）（1）中的结论仍然成立，理由如下：∵∠EOF=90°，∴S 扇形OEF =14S 圆O =14，过O 作OR ⊥AB ，OS ⊥BC ，垂足分别为R 、S ，由（1）可知四边形ORBS 为正方形，∴OR=OS ，∵∠ROS=90°，∠MON=90°，∴∠ROG=∠SOH=90°-∠GOS ，在△ROG 和△SOH 中，{ROG SOHOR OS ORG OSH∠=∠=∠=∠，∴△ROG ≌△SOH （ASA ），∴S △ORG =S △OSH ，∴S 四边形OGBH =S 正方形ORBS ，由（1）可知S 正方形ORBS =14S 1， ∴S 四边形OGBH =14S 1， ∴S=S 扇形OEF -S 四边形OGBH =14（S 1-S 1）． 考点：圆的综合题．20、（1）()2,3；（2）可能，BE 的长为5或258；（3）当3010m <<时，满足条件的点P 的个数有4个，当310m =时，满足条件的点P 的个数有3个，当310m >时，满足条件的点P 的个数有2个（此时点P 在BD 的左侧）． 【解析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．（2）可能分三种情形①当DE DF =时，②当DE EF =时，③当DF EF =时，分别求解即可．（3）如图2中，连接BD ，当点P 在线段BD 的右侧时，作DH AB ⊥于H ，连接,,PD PH PB ．设()23,2316P n n ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦，构建二次函数求出PBD ∆的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题．【详解】（1）由题意： 160944a c a c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3163a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为23(2)316y x =--+， ∴顶点D 坐标()2,3．（2）可能．如图1，(2,0),(2,3),(6,0)A D B -8,5AB AD BD ∴===①当D E=D F 时，DFE DEF ABD ∠=∠=∠ //EF AB ∴，此时E 与B 重合，与条件矛盾，不成立．②当DE EF =时，又~BEF AED ∆∆，BEF AED ∴∆≅∆，5BE AD ∴==③当DF EF =时，EDF DEF DAB DBA ∠=∠=∠=∠~FDE DAB ∆∆DE BD ABEF ∴= EF BD 5DE AB 8∴==， ~AEF BCE ∆∆EF 5AD DE 8EB ∴==， 52588EB AD ∴==答：当BE 的长为5或258时，CFE ∆为等腰三角形． （3）如图2中，连接BD ，当点P 在线段BD 的右侧时，作DH AB ⊥于H ，连接,,PD PH PB ．设()23,2316P n n ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦则PBD PDH BDH PBH S S S S +∆∆∆=-2134(2)3216n ⎡⎤=⨯⨯--+⎢⎥⎣⎦113(2)4322n +⨯⨯--⨯⨯=()233482n =--+ 308-< 4n ∴=时，PBD ∆的面积的最大值为32， PBD CBD S m S ∆∆= ∴当点P 在BD 的右侧时，m 的最大值332510==， 观察图象可知：当3010m <<时，满足条件的点P 的个数有4个， 当310m =时，满足条件的点P 的个数有3个， 当310m >时，满足条件的点P 的个数有2个（此时点P 在BD 的左侧）． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．21、（1）y=﹣32x ﹣3，y=﹣12x ；（2）S △ADE = 2． 【分析】（1）根据题意求得OE=1，OC=2，Rt △COD 中，tan ∠DCO=32，OD=3，即可得到A （-1，3），D （0，-3），C （-2，0），运用待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的解析式；（2）求得两个三角形的面积，然后根据S △ADE =S △ACE +S △DCE 即可求得．【详解】（1）∵AE ⊥x 轴于点E ，点C 是OE 的中点，且点A 的横坐标为﹣1，∴OE=1，OC=2，∵Rt △COD 中，tan ∠DCO=32， ∴OD=3，∴A （﹣1，3），∴D （0，﹣3），C （﹣2，0），∵直线y=ax+b （a≠0）与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点， ∴320b a b =-⎧⎨-+=⎩ ，解得33a xb ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ， ∴一次函数的解析式为y=﹣32x ﹣3， 把点A 的坐标（﹣1，3）代入，可得3=4k - ，解得k=﹣12， ∴反比例函数解析式为y=﹣12x ； （2）S △ADE =S △ACE +S △DCE =12EC•AE+12EC•OD=12×2×3+1232⨯⨯=2． 22、（1）见解析；（2）见解析；（3）π【分析】（1）连接OD ，AD ，证点D 是BC 的中点，由三角形中位线定理证OD ∥AB ，可推出∠ODF ＝90°，即可得到结论；（2）由OD ＝OC 得到∠ODC ＝∠OCD ，由∠CAD+∠OCD ＝90°和∠CDF+∠ODC ＝90°即可推出∠CAD ＝∠CDF ； （3）由∠F ＝30°得到∠DOC ＝60°，推出∠DAC ＝30°，在Rt △ADC 中，由锐角三角函数可求出AC 的长，推出⊙O 的半径，即可求出⊙O 的面积．【详解】解:（1）证明：如图，连接OD ，AD ，∵AC 是直径，∴∠ADC ＝90°，即AD ⊥BC ，又AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，又AO ＝CO ，∴OD ∥AB ，又FE ⊥AB ，∴FE ⊥OD ，∴EF 是⊙O 的切线；（2）∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠OCD ，∵∠ADC ＝∠ODF ＝90°，∴∠CAD+∠OCD ＝90°，∠CDF+∠ODC ＝90°，∴∠CAD ＝∠CDF ；（3）在Rt △ODF 中，∠F ＝30°，∴∠DOC ＝90°﹣30°＝60°，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ＝12∠DOC ＝30°， 在Rt △ADC 中， AC ＝cos30AD ＝332＝2， ∴r ＝1，∴S ⊙O ＝π•12＝π，∴⊙O 的面积为π．【点睛】本题考查了圆的有关性质，切线的判定与性质，解直角三角形等，解题关键是能够根据题意作出适当的辅助线，并熟练掌握解直角三角形的方法．23、（1）树状图见解析；（2）16【解析】分析：（1）根据题意可以用树状图表示出所有的可能结果；（2）根据（1）中的树状图可以得到小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率．详解：（1）肉粽记为A 、红枣粽子记为B 、豆沙粽子记为C ，由题意可得，（2）由（1）可得，小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是：21= 126，即小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是16．点睛：本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的树状图，求出相应的概率．24、4∶8∶7.【解析】试题分析：首先设等式为m，然后分别将a、b、c用含m的代数式来进行表示，根据2a-b+3c=21求出m的值，从而得出a、b、c的值，最后求出比值．试题解析：令＝＝＝m，则a＋2=3m，b=4m，c＋5=6m，∴a=3m－2，b=4m，c=6m－5，∵2a－b＋3c=21，∴2(3m－2)－4m＋3(6m－5)=21，即20m=40，解得m=2，∴a=3m－2=4，b=4m=8，c=6m－5=7，∴a∶b∶c=4∶8∶7.25、（1）22-2（2）83-【分析】（1）根据特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据负指数幂、零指数幂及特殊角的三角函数值即可求解．【详解】（1）2sin30°+cos45°3tan60°=2×12+223×3=1+22-3=22-2（2）30-（12）-2+ tan2 30︒=1-4+32=-3+13=83-．【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 26、 (1)y 与x 的函数解析式为()()20022006102001012x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩；(2)这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元. 【解析】(1)当6≤x≤10时，由题意设y ＝kx ＋b(k ＝0)，利用待定系数法求得k 、b 的值即可；当10＜x≤12时，由图象可知y ＝200，由此即可得答案；(2))设利润为w 元，当6≦x≤10时，w ＝－2002172x -（）＋1250，根据二次函数的性质可求得最大值为1250；当10＜x≤12时，w ＝200x －1200，由一次函数的性质结合x 的取值范围可求得w 的最大值为1200，两者比较即可得答案.【详解】(1)当6≤x≤10时，由题意设y ＝kx ＋b(k ＝0)，它的图象经过点(6，1000)与点(10，200)，∴1000620010k b k b=+⎧⎨=+⎩ ， 解得2002200k b =-⎧⎨=⎩， ∴当6≤x≤10时， y ＝-200x+2200，当10＜x≤12时，y ＝200，综上，y 与x 的函数解析式为()()20022006102001012x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩； (2)设利润为w 元，当6≤x≤10时，y ＝－200x ＋2200，w ＝(x －6)y ＝(x －6)(－200x ＋200)＝－2002172x -（）＋1250， ∵－200＜0，6≦x≤10，当x ＝172时，w 有最大值，此时w=1250； 当10＜x≤12时，y ＝200，w ＝(x －6)y ＝200(x －6)＝200x －1200，∴200＞0，∴w ＝200x －1200随x 增大而增大，又∵10＜x≤12，∴当x ＝12时，w 最大，此时w=1200，1250＞1200，∴w的最大值为1250，答：这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质等，弄清题意，找准各量间的关系是解题的关键.。
广东省广州市2022年九年级数学第一学期期末经典模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，折叠ABC 使得点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为AD ． 连接DE 、CE ，下列结论：①△DBE 是等腰直角三角形；②AB AC CD =+；③BE BD AC AB= ；④CDE BDE S S ∆∆=．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB ＝1.3cm ，当BC ＝2.6m 时，点B 离地面的距离BE ＝1m ，则此时点A 离地面的距离是（ ）A ．2.2mB ．2mC ．1.8mD ．1.6m3．正三角形外接圆面积是264cm π，其内切圆面积是（ ）A ．232cm πB ．28cm πC ．29cm πD ．216cm π4．关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣a ＝0的一个根是1，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．一元二次方程2640x x --=配方为（ ）A ．()2313x -=B ．()239x -=C ．()2313x +=D ．()239x += 7．下列计算中正确的是（ ）A ．325+=B ．()233-=-C ．2464÷=D ．822-=8． “一般的，如果二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根．——苏科版《数学》九年级（下册）P 21”参考上述教材中的话，判断方程x 2﹣2x =1x ﹣2实数根的情况是 （ ） A ．有三个实数根 B ．有两个实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根9．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，＝，那么等于（ ）A ．＝＋B ．＝＋C ．＝－D ．＝＋10．下列事件中是必然事件是（ ）A ．明天太阳从西边升起B ．篮球队员在罚球线投篮一次，未投中C ．实心铁球投入水中会沉入水底D ．抛出一枚硬币，落地后正面向上二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知甲、乙两种棉花的纤维长度的平均数相等，若甲种棉花的纤维长度的方差2S 1.3275=甲，乙种棉花的纤维长度的方差2S 1.8775=乙，则甲、乙两种棉花质量较好的是 ▲ ．12．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y 轴的交点坐标为(0,3).此二次函数的解析式可以是______________13．如图ABC ∆的顶点B 在x 轴的正半轴上，顶点A 在y 轴的负半轴上，顶点C 在第一象限内，AC 交x 轴于点E ，过点E 作DE BE ⊥交BC 的延长线于点D ．若反比例函数k y x =经过点D ，且EC BC =，3ABE S ∆=，则k 值等于__________．14．如图，直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线2k y=x交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k 1x ＜2k x ＋b 的解集是 ▲ ．15．计算： sin 260°+cos 260°﹣tan45°=________． 16．一元二次方程x 2﹣x=0的根是_____．17．在Rt ABC 中，390,,85C cosA BC ∠=︒==，则ABC 的面积是__________． 18．小华在距离路灯6米的地方，发现自己在地面上的影长是2米，若小华的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度是_____米．三、解答题(共66分)19．（10分）随机抽取某小吃店一周的营业额(单位: 元)如下表: 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 540 680 640 640 780 1110 1070（1）分析数据，填空:这组数据的平均数是 元，中位数是 元，众数是 元.（2）估计一个月(按30天计算)的营业额,星期一到星期五营业额相差不大，用这5天的平均数估算合适么?简要说明理由.20．（6分）如图，直线y ＝﹣x+m 与抛物线y ＝ax 2+bx 都经过点A （6，0），点B ，过B 作BH 垂直x 轴于H ，OA ＝3OH ．直线OC 与抛物线AB 段交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点C 的纵坐标是52时，求直线OC 与直线AB 的交点D 的坐标； （3）在（2）的条件下将△OBH 沿BA 方向平移到△MPN ，顶点P 始终在线段AB 上，求△MPN 与△OAC 公共部分面积的最大值．21．（6分）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点P ，在公路1上确定点O 、B ，使得PO ⊥l ，PO ＝100米，∠PBO ＝45°．这时，一辆轿车在公路1上由B 向A 匀速驶来，测得此车从B 处行驶到A 处所用的时间为3秒，并测得∠APO ＝60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：2＝1.41，3＝1.73）．22．（8分）科研人员在测试火箭性能时，发现火箭升空高度()h km 与飞行时间()t s 之间满足二次函数22009920h t t =-+-.（1）求该火箭升空后飞行的最大高度；（2）点火后多长时间时，火箭高度为44km .23．（8分）已知直线y ＝x +3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ．（1）求抛物线解析式；（2）点C （m ，0）在线段OA 上（点C 不与A ，O 点重合），CD ⊥OA 交AB 于点D ，交抛物线于点E ，若DE ＝2AD ，求m 的值；（3）点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，在（2）的条件下，是否存在以点D ，B ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．24．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D 为边CB 上的一个动点（点D 不与点B 重合），过D 作DO ⊥AB ，垂足为O ，点B′在边AB 上，且与点B 关于直线DO 对称，连接DB′，AD ．（1）求证：△DOB ∽△ACB ；（2）若AD 平分∠CAB ，求线段BD 的长；（3）当△AB′D 为等腰三角形时，求线段BD 的长．25．（10分）（1）计算：|2﹣1|+2sin45°﹣8+tan 260°；（2）已知：53a b =，求a b b +． 26．（10分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用现在的数学语言表达是：如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，1CE =寸，1AB =尺，其中1尺10=寸，求出直径CD 的长．解题过程如下：连接OA ，设OA r =寸，则()1OE r CE r =-=-寸．∵,1AB CD AB ⊥=尺，∴152AE AB ==寸． 在Rt OAE △中，222OA AE OE =+，即()22251r r =+-，解得13r =，∴226CD r ==寸．任务：（1）上述解题过程运用了 定理和 定理．（2）若原题改为已知25DE =寸，1AB =尺，请根据上述解题思路，求直径CD 的长．（3）若继续往下锯，当锯到AE OE =时，弦AB 所对圆周角的度数为 ．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】根据折叠的性质、等腰直角三角形的定义、相似三角形的判定定理与性质、三角形的面积公式逐个判断即可得．【详解】由折叠的性质得：,,90AC AE CD DE AED ACD ==∠=∠=︒又,90AC BC ACB =∠=︒45B CAB ∴∠=∠=︒在DBE ∆中，19,9058004AED BDE B BED ∠=︒∠=︒-∠∠-==︒︒即45BDE B ∠=∠=︒，则DBE ∆是等腰直角三角形，结论①正确由结论①可得：DE BE =,AC AE CD DE ==AB AE BE AC DE AC CD ∴=+=+=+，则结论②正确90BED BCA B B ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩BED BCA ∴∆~∆BC BE BD AB∴= AC BC =BE BD AC AB∴=，则结论③正确 如图，过点E 作EF BC ⊥112212CDE BDE S CD EF DE EF S BD EF ∆∆⎧=⋅=⋅⎪⎪∴⎨⎪=⋅⎪⎩由结论①可得：DBE ∆是等腰直角三角形，DE BE =由勾股定理得：2BD DE =12222BDE CDE S BD EF DE EF S ∆∆∴=⋅=⋅=，则结论④错误 综上，正确的结论有①②③这3个故选：C ．【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的定义、相似三角形的判定定理与性质等知识点，熟记并灵活运用各定理与性质是解题关键．2、A【分析】先根据勾股定理求出CE ，再利用相似三角形的判定与性质进而求出DF 、AF 的长即可得出AD 的长．【详解】解：由题意可得：AD ∥EB ，则∠CFD ＝∠AFB ＝∠CBE ，△CDF ∽△CEB ，∵∠ABF ＝∠CEB ＝90°，∠AFB ＝∠CBE ，∴△CBE ∽△AFB ，∴BE FB ＝BC AF ＝EC AB， ∵BC ＝2.6m ，BE ＝1m ，∴EC ＝2.4（m ），即1FB ＝2.6AF ＝2.41.3， 解得：FB ＝1324，AF ＝169120， ∵△CDF ∽△CEB ，∴DFEB＝CFCB，即132.624 1 2.6 DF-=解得：DF＝19 24，故AD＝AF+DF＝1924+169120＝2.2（m），答：此时点A离地面的距离为2.2m．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质，利用勾股定理，正确利用相似三角形的性质得出FD的长是解题的关键．3、D【分析】△ABC为等边三角形，利用外接圆和内切圆的性质得∠OBC=30°，在Rt△OBD中，利用含30°的直角三角形三边的关系得到OD=12OB，然后根据圆的面积公式得到△ABC的外接圆的面积与其内切圆的面积之比，即可得解.【详解】△ABC为等边三角形，AD为角平分线，⊙O为△ABC的内切圆，连OB，如图所示：∵△ABC为等边三角形，⊙O为△ABC的内切圆，∴点O为△ABC的外心，AD⊥BC，∴∠OBC=30°，在Rt △OBD 中，OD=12OB ， ∴△ABC 的外接圆的面积与其内切圆的面积之比=OB 2：OD 2=4：1．∵正三角形外接圆面积是264cm π，∴其内切圆面积是216cm π故选：D .【点睛】本题考查了正多边形与圆：正多边有内切圆和外接圆，并且它们是同心圆．也考查了等边三角形的性质． 4、D【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=1代入方程，即可得到一个关于a 的方程，即可解得实数a 的值；【详解】解：由题可知，一元二次方程x 2+2x ﹣a ＝0的一个根是1，将x=1代入方程得，21+21-a=0⨯，解得a=3；故选D.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是解题的关键.5、B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.【详解】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形；D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故选B.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键. 6、A【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．【详解】解：x 2-6x-4=0，x2-6x=4，x2-6x+32=4+32，（x-3）2=13，故选：A．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．7、D【分析】直接利用二次根式混合运算法则分别判断得出答案．【详解】A、32+无法计算，故此选项不合题意；-=-=，故此选项不合题意；B、()23|3|3C、2464=2÷=，故此选项不合题意；D、822222-=-=，正确.故选D.【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．8、C【解析】试题分析：由得，，即是判断函数与函数的图象的交点情况.因为函数与函数的图象只有一个交点所以方程只有一个实数根故选C.考点：函数的图象点评：函数的图象问题是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中比较常见，要特别注意.9、D【解析】利用平面向量的加法即可解答. 【详解】解：根据题意得＝, ＋ .故选D.【点睛】本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.10、C【解析】必然事件就是一定会发生的事件，即发生的概率是1的事件，依据定义即可解决．【详解】解：A 、明天太阳从西边升起，是不可能事件，故不符合题意；B 、篮球队员在罚球线投篮一次，未投中，是随机事件，故不符合题意；C 、实心铁球投入水中会沉入水底，是必然事件，故符合题意；D 、抛出一枚硬币，落地后正面向上，是随机事件，故不符合题意．故选C ．二、填空题(每小题3分,共24分)11、甲．【解析】方差的运用．【分析】方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．由于22S S <甲乙，因此，甲、乙两种棉花质量较好的是甲． 12、223,y x =-+【分析】根据二次函数图像和性质得a <0,c=3,即可设出解析式.【详解】解：根据题意可知a <0,c=3,故二次函数解析式可以是2y 2x 3,=-+【点睛】本题考查了二次函数的性质,属于简单题,熟悉概念是解题关键.13、6【分析】可证OEA EBD ,得到0,OE A BE DE = 因此求得6OE DE OA BE ⋅=⋅=【详解】解：设(),D x y ,根据题意,点D 在第一象限,,,OE x DE y ∴==,EC BC =CEB CBE ∴∠=∠又CEB OEB ∠=∠OEA CBE ∴∠=∠又=90EOA DEB ∠=︒OEA EBD ∴因此0,OE A BE DE=OE DE OA BE ⋅=⋅ 123ABE O BE S A ∆=⋅= 6OE DE OA BE ⋅=⋅=6k xy ∴==【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及反比例函数的性质.14、－2＜x ＜－1或x ＞1．【解析】不等式的图象解法，平移的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，对称的性质．不等式k 1x ＜2k x ＋b 的解集即k 1x －b ＜2k x的解集，根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，可以理解为直线y ＝k 1x －b 在双曲线2k y=x下方的自变量x 的取值范围即可．而直线y ＝k 1x －b 的图象可以由y ＝k 1x ＋b 向下平移2b 个单位得到，如图所示．根据函数2k y=x图象的对称性可得：直线y ＝k 1x －b 和y ＝k 1x ＋b 与双曲线2k y=x的交点坐标关于原点对称． 由关于原点对称的坐标点性质，直线y ＝k 1x －b 图象与双曲线2k y=x 图象交点A′、B′的横坐标为A 、B 两点横坐标的相反数，即为－1，－2．∴由图知，当－2＜x ＜－1或x ＞1时，直线y ＝k 1x －b 图象在双曲线2k y=x 图象下方． ∴不等式k 1x ＜2k x＋b 的解集是－2＜x ＜－1或x ＞1． 15、0【分析】将特殊角的三角函数值代入求解.【详解】2222131sin 60cos 60tan 45=110244⎛⎫︒+︒-︒+-=+-= ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为0.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.16、x 1=0，x 2=1【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】方程变形得：x （x ﹣1）=0，可得x=0或x ﹣1=0，解得：x 1=0，x 2=1．故答案为x 1=0，x 2=1．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．17、24 【分析】如图，由三角函数的定义可得3cos 5AC A AB ==，可得AB=5AC 3，利用勾股定理可求出AC 的长，根据三角形面积公式求出△ABC 的面积即可． 【详解】∵3cos 5AC A AB ==， ∴AB=5AC 3， ∴(5AC 3)2=AC 2+BC 2， ∵BC=8，∴25AC 2=9AC 2+9×64，解得：AC=6（负值舍去），∴△ABC的面积是12×8×6=24，故答案为：24【点睛】本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比值；余弦是角的邻边与斜边的比值；正切是角的对边与邻边的比值；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．18、6.1【解析】解：设路灯离地面的高度为x米，根据题意得：261.62x+=，解得：x=6.1．故答案为6.1．三、解答题(共66分)19、（1）780,680,640；（2）不合适，理由见解析【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义，即可得解；（2）根据数值和平均数之间的差距即可判定.【详解】(1)这组数据的平均数是540+680+640+640+780+1110+10707807=元，从小到大排列为:540、640、640、680、780、1070、1110，则其中位数是680元，众数是640元．（2）不合适理由：星期一到星期五的日平均营业额相差不大，但是与周六和周日差距较大，平均数受极端值影响较大，所以不合适.【点睛】此题主要考查统计的相关概念，数据波动以及离散程度的相关知识，熟练掌握，即可解题.20、（1）y＝-12x2+3x；（2）(4，2)；（3）32【分析】（1）先求出直线AB的解析式，求出点B坐标，再将A，B的坐标代入y＝ax2+bx即可；（2）求出直线AC的解析式，再联立直线OC与直线AB的解析式即可；（3）设PM与OC、PA分别交于G、H，PN与OC、OA分别交于K、F，分别求出直线OB，PM，OC的解析式，再分别用含a的代数式表示出H，G，E，F的坐标，最后分情况讨论，可求出△MPN与△OAC公共部分面积的最大值．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+m点A（6，0），∴﹣6+m＝0，∴m＝6，∴y AB＝﹣x+6，∵OA＝3OH，∴OH＝2，在y AB＝﹣x+6中，当x＝2时，y＝4，∴B（2，4），将A（6，0），B（2，4）代入y＝ax2+bx，得，3660 424a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得，a＝﹣12，b＝3，∴抛物线的解析式为y＝-12x2+3x；（2）∵直线OC与抛物线AB段交于点C，且点C的纵坐标是52，∴52＝﹣12x2+3x，解得，x1＝1（舍去），x2＝5，∴C（5，52），设y OC＝kx，将C（5，52）代入，得，k＝12，∴y OC＝12x，联立612y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得，x＝4，y＝2，∴点D的坐标为（4，2）；（3）设直线OB的解析式为y OB＝mx，点P坐标为（a，﹣a+6），将点B（2，4）代入，得，m＝2，∴y OB＝2x，由平移知，PM∥OB，∴设直线PM的解析式为y PM＝2x+n，将P（a，﹣a+6）代入，得，﹣a+6＝2a+n，∴n＝6﹣3a，∴y PM＝2x+6﹣3a，设PM与OC、PA分别交于G、H，PN与OC、OA分别交于K、F，联立12263y xy x a ⎧=⎪⎨⎪=+-⎩，解得，x＝2a﹣4，y＝a﹣2，∴G（2a﹣4，a﹣2），y G＝a﹣2，在y PM＝2x+6﹣3a中，当y＝0时，x＝33 2a-，∴E（332a-，0），OE＝332a-，∵点P的横坐标为a，∴K（a，12a），F（a，0），∴OF＝a，KF＝12 a，设△MPN与△OAC公共部分面积为S，①当0≤a＜4时，S ＝S △OFK ﹣S △OEG ， ＝12×a×12a ﹣12（332a -）（a ﹣2）， ＝﹣12a 2+3a ﹣3 ＝﹣12（a ﹣3）2+32， ∵﹣12＜0，根据二次函数的图象及性质可知， ∴当a ＝3时S 有最大值32； ②当4≤a≤6时，S ＝S △PEF＝12EF•PF ＝12（a ﹣32a+3）（﹣a+6） ＝21394a a -+ ＝21(6)4a -， ∵104>，根据二次函数的图象及性质知，当a ＝4时，S 有最大值1； ∵312>∴△MPN 与△OAC 公共部分面积的最大值为32． 【点睛】 本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数交点问题，图形平移，二次函数综合最值，解决本题的关键是正确理解题意，熟练运用待定系数法求函数解析式，熟练掌握函数交点问题的解法步骤，要与方程相结合，对于求图形面积最值问题转化为二次函数最值问题，万熟练掌握二次函数的性质.21、此车超速，理由见解析.【分析】解直角三角形得到AB=OA-OB=73米，求得此车的速度≈86千米/小时＞80千米/小时，于是得到结论．【详解】解：此车超速，理由：∵∠POB ＝90°，∠PBO ＝45°，∴△POB 是等腰直角三角形，∴OB ＝OP ＝100米，∵∠APO ＝60°，∴OA ＝米，∴AB ＝OA ﹣OB ＝73米， ∴733≈24米/秒≈86千米/小时＞80千米/小时， ∴此车超速．【点睛】本题考查解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．22、（1）该火箭升空后飞行的最大高度为80km ；（2）点火后94s 和106s 时，火箭高度为44km .【分析】（1）直接利用配方法将二次函数写成顶点式，进而求出即可；（2）把44h =直接带入函数2(100)80h t =--+，解得t 的值即为所求.【详解】解：（1）由题意可得： 22009920h t t =-+-2(20010000)100009920t t =--++-2(100)80t =--+.∴该火箭升空后飞行的最大高度为80km .（2）44h =时，2(100)8044t--+=.解得：94t=或106.∴点火后94s和106s时，火箭高度为44km.【点睛】本题考查了二次函数的应用，明确h与t的值是解题的关键.23、（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）m＝﹣2；（3）存在，点N的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，0），理由见解析【分析】（1）先确定出点A，B坐标，再用待定系数法即可得出结论；（2）先表示出DE，再利用勾股定理表示出AD，建立方程即可得出结论；（3）分两种情况：①以BD为一边，判断出△EDB≌△GNM，即可得出结论．②以BD为对角线，利用中点坐标公式即可得出结论．【详解】（1）当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），当y＝0时，x+3＝0，x＝﹣3，∴A（﹣3，0），把A（﹣3，0），B（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：9303b cc--+=⎧⎨=⎩，解得：23bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，（2）∵CD⊥OA，C（m，0），∴D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），∴DE＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，∵AC＝m+3，CD＝m+3，由勾股定理得：AD m+3），∵DE＝AD，∴﹣m2﹣3m＝2（m+3），∴m1＝﹣3（舍），m2＝﹣2；（3）存在，分两种情况：①以BD为一边，如图1，设对称轴与x轴交于点G，∵C（﹣2，0），∴D （﹣2，1），E （﹣2，3），∴E 与B 关于对称轴对称，∴BE ∥x 轴，∵四边形DNMB 是平行四边形，∴BD ＝MN ，BD ∥MN ，∵∠DEB ＝∠NGM ＝90°，∠EDB ＝∠GNM ，∴△EDB ≌△GNM ，∴NG ＝ED ＝2，∴N （﹣1，﹣2）；②当BD 为对角线时，如图2，此时四边形BMDN 是平行四边形，设M （n ，﹣n 2﹣2n +3），N （﹣1，h ），∵B(0，3),D(-2，1),∴21202313n n n h +⎧⎨-+++⎩﹣＝﹣﹣＝ ∴n ＝-1，h ＝0∴N （﹣1，0）；综上所述，点N 的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，0）．【点睛】此题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，根据线段之间的数量关系求点坐标，根据点的位置构建平行四边形，（3）中以BD 为对角线时，利用中点坐标公式计算更简单.24、（1）证明见试题解析；（2）1；（3）5013． 【解析】试题分析：（1）公共角和直角两个角相等，所以相似.(2)由（1）可得三角形相似比，设BD ＝x ，CD ，BD ，BO 用x表示出来，所以可得BD 长.(3)同（2）原理，BD ＝B′D ＝x ,AB′，B′O ，BO 用x 表示,利用等腰三角形求BD 长.试题解析：（1）证明:∵DO ⊥AB ，∴∠DOB ＝90°，∴∠ACB ＝∠DOB ＝90°, 又∵∠B ＝∠B ．∴△DOB ∽△ACB ．（2）∵AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC,DO ⊥AB,∴DO ＝DC ,在 Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝,8，∴AB ＝10,∵△DOB ∽△ACB,∴DO ∶BO ∶BD ＝AC ∶BC ∶AB ＝3∶4∶1,设BD ＝x ，则DO ＝DC ＝35x ，BO ＝45x , ∵CD ＋BD ＝8，∴35x ＋x ＝8，解得x ＝,1，即：BD ＝1． （3）∵点B 与点B′关于直线DO 对称，∴∠B ＝∠OB′D ，BO ＝B′O ＝45x ，BD ＝B′D ＝x , ∵∠B 为锐角，∴∠OB′D 也为锐角，∴∠AB′D 为钝角,∴当△AB′D 是等腰三角形时，AB′＝DB′,∵AB′＋B′O ＋BO ＝10，∴x ＋45x ＋45x ＝10，解得x ＝5013，即BD ＝5013， ∴当△AB′D 为等腰三角形时，BD ＝5013. 点睛：角平分线问题的辅助线添加及其解题模型.①垂两边：如图（1），已知BP 平分ABC ∠，过点P 作PA AB ⊥，PC BC ⊥，则PA PC =.②截两边：如图（2），已知BP 平分MBN ∠，点A BM 上，在BN 上截取BC BA =，则ABP ∆≌CBP ∆. ③角平分线+平行线→等腰三角形：如图（3），已知BP 平分ABC ∠，//PA AC ，则AB AP =；如图（4），已知BP 平分ABC ∠，//EF PB ，则BE BF =.(1) (2) (3) (4)④三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）：如图（1），已知AD 平分BAC ∠，且AD BC ⊥，则AB AC =，BD CD =.(1)25、 (1) 2；(2)83【分析】（1）利用绝对值的意义、特殊角的三角函数值和二次根式的性质进行计算，再合并即可；（2）先根据分式的除法将所求式子进行变形，再将已知式子的值代入即可得出结果．【详解】解：（1）原式2﹣1+2×22﹣2322﹣2﹣2+3=2； （2）∵53a b =， ∴581133a b a b b +=+=+=． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算以及比例的性质和分式的除法法则，掌握基本运算法则，能灵活运用比例的性质进行变形是解此题的关键．26、（1）垂径，勾股；（2）26寸；（3）45︒或135︒【分析】（1）由解题过程可知根据垂径定理求出AE 的长，在Rt △OAE 中根据勾股定理求出r 的值，即可得到答案． （2）连接OA ，设OA=r 寸，则OE=DE-r=25-r ，再根据垂径定理求出AE 的长，在Rt △OAE 中根据勾股定理求出r 的值，进而得出结论．（3）当AE=OE 时，△AEO 是等腰直角三角形，则∠AOE=45°，∠AOB=90°，所以由圆周角定理推知弦AB 所对圆周角的度数为 45°或135°．【详解】解：（1）根据题意知，上述解题过程运用了垂径定理和勾股定理．故答案是：垂径；勾股；（2）连接OA，设OA=r寸，则OE=DE-r=（25-r）寸∵AB⊥CD，AB=1尺，∴AE=12AB=5寸在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，即r2=52+（25-r）2，解得r=13，∴CD=2r=26寸（2）∵AB⊥CD，∴当AE=OE时，△AEO是等腰直角三角形，∴∠AOE=45°，∴∠AOB=2∠AOE=90°，∴弦AB所对圆周角的度数为12∠AOB=45°．同理，优弧AB所对圆周角的度数为135°．故答案是：45°或135°．【点睛】此题考查圆的综合题，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，综合性较强，解题关键在于需要我们熟练各部分的内容，要注意将所学知识贯穿起来．。
2022-2023学年广东省广州市广州外国语学校数学九年级第一学期期末达标检测模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线y=3x（x>0）上的一个动点，当点B 的横坐标系逐渐增大时，△OAB 的面积将会( )A ．逐渐变小B ．逐渐增大C ．不变D ．先增大后减小2．抛物线y=x 2+2x-2最低点坐标是（ ）A ．（2，-2）B ．（1，-2）C ．（1，-3）D ．（-1，-3）3．用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小数，若函数{}22min 1,1y x x =+-，则y 的图象为( )A ．B ．C ．D ．4．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CAB ＝25°，则∠BOD 等于（ ）A ．70°B ．65°C ．50°D ．45°5．如图，在平面直角坐标系中，P 与y 轴相切，直线y x =被P 截得的弦AB 长为43，若点P 的坐标为(4,)p ，则p 的值为（ ）A ．42B ．422+C ．442+D ．242+6．如图，小明同学将一个圆锥和一个三棱柱组成组合图形，观察其三视图，其俯视图是( )A ．B ．C ．D ．7．方程240x x -=的根是（ ）A ．x=4B ．x=0C ．120,4x x ==D ． 1204,x x ==-8．在平面直角坐标系中，二次函数()()53y x x =+-的图像向右平移2个单位后的函数为( )A ．()()51y x x =-+B ．()()53y x x =-+C ．()()53y x x =--D ．()()71y x x =+-9．如图，已知⊙O 的内接正六边形ABCDEF 的边长为6，则弧BC 的长为（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．π10．已知∠A 是锐角，tan 1A =，那么∠A 的度数是（）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°二、填空题(每小题3分,共24分)11．由4m ＝7n ，可得比例式m n＝____________. 12．如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1，BD=4，那么AB= ．13．已知线段c 是线段a 和b 的比例中项，且a 、b 的长度分别为2cm 和8cm ，则c 的长度为_________cm ．14．如图，点D 在ABC ∆的边BC 上，已知点E 、点F 分别为ABD ∆和ADC ∆的重心，如果12BC =，那么两个三角形重心之间的距离EF 的长等于________．15．已知一扇形，半径为6，圆心角为120°，则所对的弧长为___．16．如图，ABC 中，90ABC ∠=︒，8AC =，9ABC S =，=△ABC C __________．17．如图，AB 是O 的直径，点C 和点D 是O 上位于直径AB 两侧的点，连结AC ，AD ，BD ，CD ，若O 的半径是5，8BD =，则sin ACD ∠的值是_____________．18．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N 和0.5m ，则动力F （单位：N ）关于动力臂l （单位：m ）的函数解析式为______．三、解答题(共66分)19．（10分）小明、小林是景山中学九年级的同班同学，在六月份举行的招生考试中，他俩都被亭湖高级中学录取，并将被编入A 、B 、C 三个班，他俩希望编班时分在不同班．（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；（2）求两人不在同班的概率．20．（6分）在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点ABC （顶点是网格线的交点）的三个顶点坐标分别是(22)(31)A B ﹣，，﹣，(10)C ，﹣，，以O 为位似中心在网格内画出ABC 的位似图△A 1B 1C 1，使ABC 与111A B C △的相似比为12：，并计算出111A B C △的面积．21．（6分）已知二次函数22y =x mx --.（1）求证：不论m 取何值，该函数图像与x 轴一定有两个交点；（2）若该函数图像与x 轴的两个交点为A 、B ，与y 轴交于点C ，且点A 坐标（2,0），求△ABC 面积.22．（8分）如图甲，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4cm ，BC=3cm ．如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s ．连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4），解答下列问题：（1）设△APQ 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值，S 的最大值是多少；（2）如图乙，连接PC ，将△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP′C ，当四边形PQP′C 为菱形时，求t 的值； （3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形．23．（8分）在下列网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC 在网格中的位置如图所示：（1）在图中画出△ABC 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后的图形111A B C ∆；（2）若点A 的坐标是（－4，－3），试在图中画出平面直角坐标系，坐标系的原点记作O ；（3）根据（2）的坐标系，作出111A B C ∆以O 为旋转中心，逆时针旋转90º后的图形222A B C ∆，并求出点A 一共运动的路径长．24．（8分）某苗圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆植人3株时，平均每株盈利3元．在同样的栽培条件下，若每盆增加1株，平均每株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利为10元，且每盆植入株数尽可能少，每盆应植入多少株？25．（10分）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，90BAC AGF ∠=∠=︒，若ABC 固定不动，AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合）．（1）求证：ABE DCA △△∽；（2）在旋转过程中，试判断等式222BD CE DE +=是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．26．（10分）如图，△BAD 是由△BEC 在平面内绕点B 旋转60°而得，且AB ⊥BC ，BE ＝CE ，连接DE ． （1）求证：△BDE ≌△BCE ；（2）试判断四边形ABED 的形状，并说明理由．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【解析】试题分析：根据反比例函数的性质结合图形易知△OAB 的高逐渐减小，再结合三角形的面积公式即可判断．要知△OAB 的面积的变化，需考虑B 点的坐标变化，因为A 点是一定点，所以OA （底）的长度一定，而B 是反比例函数图象上的一点，当它的横坐标不断增大时，根据反比例函数的性质可知，函数值y 随自变量x 的增大而减小，即△OAB 的高逐渐减小，故选A.考点：反比例函数的性质，三角形的面积公式点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握反比例函数的性质，即可完成.2、D【分析】利用配方法把抛物线的一般式转化为顶点式，再写出顶点坐标即可．【详解】∵()22222211213y x x x x x =+-=++--=+-，且10a =>，∴最低点（顶点）坐标是()13--，． 故选：D ．【点睛】此题考查利用顶点式求函数的顶点坐标，注意根据函数的特点灵活运用适当的方法解决问题．3、C【分析】根据题意，把问题转化为二次函数问题.【详解】根据题意，min{x 2+1，1-x 2}表示x 2+1与1-x 2中的最小数，不论x 取何值，都有x 2+1≥1-x 2，所以y=1-x 2；可知，当x=0时，y=1；当y=0时，x=±1； 则函数图象与x 轴的交点坐标为（1，0），（-1，0）；与y 轴的交点坐标为（0，1）．故选C ．【点睛】考核知识点：二次函数的性质.4、C【分析】先根据垂径定理可得BC BD =，然后根据圆周角定理计算∠BOD 的度数．【详解】解：∵弦CD ⊥AB ，∴BC BD =，∴∠BOD ＝2∠CAB ＝2×25°＝50°．故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角定理和圆周角定理，熟悉掌握定义，灵活应用是解本题的关键5、B【分析】过点P 作PH ⊥AB 于H ，PD ⊥x 轴于D ，交直线y=x 于E ，连结PA ，根据切线的性质得PC ⊥y 轴，则P 点的横坐标为4，所以E 点坐标为（4，4），易得△EOD 和△PEH 都是等腰直角三角形，根据垂径定理由PH ⊥AB 得AH=1AB 2=根据勾股定理可得PH=2，于是根据等腰直角三角形的性质得=则PD=4+然后利用第一象限点的坐标特征写出P 点坐标．【详解】解：过点P 作PH ⊥AB 于H ，PD ⊥x 轴于D ，交直线y=x 于E ，连结PA ，∵⊙P与y轴相切于点C，∴PC⊥y轴，∴P点的横坐标为4，∴E点坐标为（4，4），∴△EOD和△PEH都是等腰直角三角形，∵PH⊥AB，∴AH=1AB23 2=在△PAH中，22224(23)2PA AH-=-=，∴2PH22=∴PD= 422+∴P点坐标为（4，422+．故选：B【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理．6、B【详解】解：由题意得：俯视图与选项B中图形一致．故选B．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是会画简单组合图形的三视图．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，掌握简单组合体三视图的画法是关键．7、C【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】方程整理得：x（x﹣1）=0，可得x=0或x﹣1=0，解得：x1=0，x2=1．故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．8、B【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律，求出平移后的函数表达式即可；【详解】解：根据“左加右减，上加下减”得，二次函数()()53y x x =+-的图像向右平移2个单位为：()()()()252335y x x x x =-+--=+-；故选B.【点睛】本题主要考查了二次函数与几何变换，掌握二次函数与几何变换是解题的关键.9、A【分析】连接OC 、OB ，求出圆心角∠AOB 的度数，再利用弧长公式解答即可．【详解】解：连接OC 、OB∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴∠COB ＝13606︒⨯＝60°， ∵OA=OB∴△OBC 是等边三角形，∴OB ＝OC ＝BC ＝6，弧BC 的长为:6062180ππ⨯＝ ． 故选：A ．【点睛】此题考查了扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，解题的关键是掌握扇形的弧长公式．10、C【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可.【详解】∵tan1A=，且∠A是锐角，∴∠A=45°.故选：C.【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握相关数值是解题关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、74 mn=【分析】根据比例的基本性质，将原式进行变形，即等积式化比例式后即可得. 【详解】解：∵4m＝7n，∴7 =4 mn.故答案为：7 4【点睛】本题考查比例的基本性质，将比例进行变形是解答此题的关键. 12、4【解析】∵AB⊥BD，ED⊥BD∴∠B=∠D=90°，∠A+∠ACB=90°∵AC⊥CE，即∠ECD+∠ACB=90°∴∠A=∠ECD∴△ABC∽△CDE∴AB BCCD DE=∴AB=413、4【分析】根据线段c是线段a和b的比例中项，得出2c ab=，将a，b的值代入即可求解．【详解】解：∵线段c是线段a和b的比例中项，∴a c c b =即2c ab=又∵a、b的长度分别为2cm和8cm，∴216c=∴c=4或c=-4（舍去）故答案为：4【点睛】本题考查了比例中项的概念，掌握基本概念，列出等量关系即可解答．14、4【分析】连接AE 并延长交BD 于G ，连接AF 并延长交CD 于H ，根据三角形的重心的概念可得12DG BD =，12DH CD =，2AE GE =，2AF HF =，即可求出GH 的长，根据对应边成比例，夹角相等可得EAF GAH ∆∆∽，根据相似三角形的性质即可得答案．【详解】如图，连接AE 并延长交BD 于G ，连接AF 并延长交CD 于H ，∵点E 、F 分别是ABD ∆和ACD ∆的重心，∴12DG BD =，12DH CD =，2AE GE =，2AF HF =， ∵12BC =， ∴111()126222GH DG DH BD CD BC =+=+==⨯=， ∵2AE GE =，2AF HF =，∴23AE AF AG AH ==， ∵EAF GAH ∠=∠，∴EAF GAH ∆∆∽，∴23EF AE GH AG ==， ∴4EF =，故答案为：4【点睛】本题考查了三角形重心的概念和性质及相似三角形的判定与性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．15、4π．【分析】根据弧长公式求弧长即可.【详解】此扇形的弧长＝0208161π⨯＝4π， 故答案为：4π．【点睛】此题考查的是求弧长，掌握弧长公式：180n r l π=是解决此题的关键.16、18【分析】根据勾股定理和三角形面积公式得2218,64AB BC AB BC •=+=，再通过完全平方公式可得.【详解】因为ABC 中，90ABC ∠=︒，8AC =，9ABC S =， 所以222219,82AB BC AB BC AC •=+== 所以2218,64AB BC AB BC •=+=所以()2222AB BC AB BC AB BC +=++•=64+36=100所以AB+BC=10所以=△ABC C AC+AB+BC=8+10=18故答案为：18【点睛】考核知识点：勾股定理.灵活根据完全平方公式进行变形是关键.17、35【分析】根据题意可知∠ADB=90°,∠ACD=∠ABD,求出∠ABD 的正弦就是∠ACD 的正弦值．【详解】解：∵AB 是O 的直径， ∴∠ADB=90°∴∠ACD=∠ABD∵O 的半径是5，8BD =， ∴63sin sin 105ACD ABD ∠=∠== 故答案为：35【点睛】 本题考查的是锐角三角函数值.18、600F l= 【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式．【详解】∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N 和0.5m ，∴动力F （单位：N ）关于动力臂l （单位：m ）的函数解析式为：1200×0.5=Fl ， 则600F l=．故答案为：600F l =． 【点睛】 此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键．三、解答题(共66分)19、（1）9种结果，见解析；（2）P=23【分析】（1）小明有3种分班情况，小林有3种分班情况，共有9种结果；（2）根据（1）即可列式求出两人不在同班的概率．【详解】（1）树状图如下：所有可能的结果共有9种.（2）两人不在同班的有6种，∴P （两人不在同班）=69=23. 【点睛】此题考查求事件的概率，熟记概率的公式，正确代入求值即可.20、画图见解析，111A B C △的面积为1．【分析】先找出ABC 各顶点的对应顶点A 1、B 1、C 1，然后用线段顺次连接即可得到111A B C △，用割补法可以求出111A B C △的面积. 【详解】如图所示：111A B C △，即为所求，111A B C △的面积为：111442422246222⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯﹣﹣﹣＝．【点睛】本题考查了作图-位似变换：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．21、（1）见解析；（2）10【分析】（1）令y ＝0得到关于x 的二元一次方程，然后证明△＝b 2−4ac ＞0即可；（2）令y=0求出抛物线与x 轴的交点坐标,根据坐标的特点即可解题.【详解】（1）因为224()4(4)b ac m -=--⨯-=216m +，且20m ≥，所以2160m +>.所以该函数的图像与x 轴一定有两个交点.（2）将A （-1,0）代入函数关系式，得，2(1)40m -+-=，解得m=3，求得点B 、C 坐标分别为（4,0）、（0，-4）.所以△ABC 面积=[4-（-1）]×4×0.5=10 【点睛】本题主要考查的是抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，将函数问题转化为方程问题是解答问题（1）的关键，求出抛物线与x 轴的交点坐标是解答问题（2）的关键．22、 (1)当t 为52秒时，S 最大值为185；（1）2013； （3）52或2513或4013． 【分析】（1）过点P 作PH ⊥AC 于H ，由△APH ∽△ABC ，得出=PH AP BC AB ，从而求出AB ，再根据535PH t -，得出PH=3﹣35t ，则△AQP 的面积为：12AQ•PH=12t （3﹣35t ），最后进行整理即可得出答案； （1）连接PP′交QC 于E ，当四边形PQP′C 为菱形时，得出△APE ∽△ABC ，=AE AP AC AB，求出AE=﹣45t+4，再根据QE=AE ﹣AQ ，QE=12QC 得出﹣95t+4=﹣12t+1，再求t 即可；（3）由（1）知，PD=﹣35t+3，与（1）同理得：QD=﹣95t+4，从而求出，在△APQ 中，分三种情况讨论：①当AQ=AP ，即t=5﹣t ，②当PQ=AQ ，③当PQ=AP ﹣t ，再分别计算即可．【详解】解：（1）如图甲，过点P 作PH ⊥AC 于H ，∵∠C=90°，∴AC ⊥BC ，∴PH ∥BC ，∴△APH ∽△ABC ，∴=PH AP BC AB， ∵AC=4cm ，BC=3cm ，∴AB=5cm ， ∴5=35PH t -， ∴PH=3﹣35t ， ∴△AQP 的面积为： S=12×AQ×PH=12×t×（3﹣35t ）=﹣310（t ﹣52）1+185， ∴当t 为52秒时，S 最大值为185cm1． （1）如图乙，连接PP′，PP′交QC 于E ，当四边形PQP′C 为菱形时，PE 垂直平分QC ，即PE ⊥AC ，QE=EC ，∴△APE ∽△ABC ， ∴=AE AP AC AB， ∴AE=(5)4=5AP AC t AB ⋅-⨯=﹣45t+4 QE=AE ﹣AQ═﹣45t+4﹣t=﹣95t+4， QE=12QC=12（4﹣t ）=﹣12t+1， ∴﹣95t+4=﹣12t+1， 解得：t=2013， ∵0＜2013＜4， ∴当四边形PQP′C 为菱形时，t 的值是2013s ； （3）由（1）知，PD=﹣35t+3，与（1）同理得：QD=AD ﹣AQ=﹣95t+4∴ 在△APQ 中，①当AQ=AP ，即t=5﹣t 时，解得：t 1=52； ②当PQ=AQ ，即218t 18t 255-+=t 时，解得：t 1=2513，t 3=5； ③当PQ=AP ，即218t 18t 255-+=5﹣t 时，解得：t 4=0，t 5=4013； ∵0＜t ＜4， ∴t 3=5，t 4=0不合题意，舍去，∴当t 为52s 或2513s 或4013s 时，△APQ 是等腰三角形．【点睛】本题考查相似形综合题．23、（1）见解析；（2）见解析；（3）图见解析，点A 一共运动的路径长为(5)π+【分析】（1）根据平移的性质描点作图即可．（2）根据A 点坐标在图中找出原点，画出平面直角坐标系即可．（3）利用旋转的性质描点画出图形，由于旋转所经过的路径是圆弧，因此利用弧长公式计算即可．【详解】解：所作图形如下：点A 由A 到1A 运动的路径长为5，再由1A 到2A 运动的路径长为902=180ππ⨯ ∴点A 一共运动的路径长为(5)π+．【点睛】本题主要考查了图形的平移，旋转的性质，弧长的计算，熟记旋转时的路径是圆弧，利用弧的计算公式列式计算是解题的关键．24、4株【分析】根据已知假设每盆花苗增加x 株，则每盆花苗有(3)x +株，得出平均单株盈利为(30.5)x -元，由题意得(3)(30.5)10x x +-=求出即可。