解密06 定积分与微积分基本定理-备战2018年高考数学理

考点1 定积分的计算
题组一 用牛顿—莱布尼茨公式求定积分
调研1 已知函数1(10)()πcos (0)2
x x f x x x +-≤≤⎧⎪
=⎨<≤⎪⎩
，则π
21()d f x x -=⎰
A ．1
2 B ．1 C ．2 D ．32
【答案】D 【解析】
πππ
20
0222
101
1
13()d (1)d cos d ()|sin |1222
x f x x x x x x x x ---=++=++=+=⎰
⎰⎰
，故选D.
☆技巧点拨☆
1．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤
（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；
（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； （3）分别用求导公式找到一个相应的原函数； （4）利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值； （5）计算原始定积分的值. 2．分段函数的定积分
分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加．
题组二 用定积分的几何意义求定积分 调研2 计算3
33
(cos )d x x x -=⎰
.
【答案】0
【解析】∵3cos y x x =为奇函数，∴3
33
(cos )d 0x x x -=⎰
.
调研3 m 等于 A ．−1 B ．0 C ．1
D ．2
【答案】B
【解析】由已知可得: y =的图象为圆：22(1)1x y ++=对应的上半部分，由定积分的几何意义可得0m =，故选B.
☆技巧点拨☆
1．求定积分的三种方法
（1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强； （2）利用微积分基本定理求定积分；
（3）利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例
如，定积分
x ⎰
的几何意义是求单位圆面积的1
4，所以π=4
x ⎰.
2．奇偶函数的定积分
（1）若奇函数y =f (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则
()d 0a
a
f x x -=⎰
；
（2）若偶函数y =g (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则
()d 2()d a
a
a
g x x g x x -=⎰
⎰.
考点2 定积分的应用
题组一 利用定积分求平面图形的面积
调研1 已知a >0，若曲线y =x a =与0y =所围成的封闭区域的面积为2a ，则a =________.
【答案】49
【解析】由题意3
2
200
2|3
a
a a x x =
=⎰
，所以a ＝49. 调研2 已知{()|,01}1,0x y x y Ω≤≤≤≤＝
，A 是由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 4
所围成的曲边三角形的平面区域，若向平面区域Ω内随机投一点M ，则点M 落在区域A 内的概率为________． 【答案】
15
【解析】区域Ω对应的是边长为1的正方形，其面积为S ＝1.
区域A 是由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 4围成的曲边三角形，如图中阴影部分，故区域A 的面积为S A ＝
1
45100
11d |55
x x x =
=⎰
.
所以点M 落在区域A 内的概率为1
5.
☆技巧点拨☆
利用定积分求平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考查方向，多以选择题、填空题的形式考查．难度一般不大，属中低档题型．常见的题型及其解法如下： 1．利用定积分求平面图形面积的步骤
①根据题意画出图形；
②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；
④计算定积分，写出答案．
注意：当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；
当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．
2．知图形的面积求参数
求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．
3．与概率相交汇问题
解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.
题组二定积分的物理意义
调研3 一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度
55
()5
1
V t t
t
=-+
+
(t的单位:s，v
的单位:m/s)紧急刹车至停止.在此期间火车继续行驶的距离是A．55ln 10 m B．55ln 11 m C．(12+55ln 7) m D．(12+55ln 6) m 【答案】B
【解析】令
55
50
1
t
t
-+=
+
，注意到t>0，得t=10，即行驶的时间为10 s.
行驶的距离s=
10210
551
(5)d[555ln(1)]|55ln11
12
t t t t t
t
-+=-++=
+
⎰，即紧急刹车后火车继续行驶的距
离为55ln 11 m.
☆技巧点拨☆
利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求.
1．（2018届江西省高三年级阶段性检测考试（二））
1
20
4d x x -=⎰
A ．7
B ．
C ．
D ．4
【答案】C
【解析】.故选C.
2．（辽宁省鞍山市第一中学2018届高三上学期第二次模拟考试（期中））由曲线1xy =与直线y x =，3y =所围成的封闭图形的面积为 A ．2ln3- B ．ln3 C ．2
D ．4ln3-
【答案】
D
3．（安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学2018届高三第四次考试）设()[](]
cos ,0,π1,π,2πx x f x x ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，则
()2π
d f x x =⎰
A ．0
B ．π
C ．π-
D ．
π2
【答案】B
【解析】由已知得
()2π
d f x x =
⎰
π
2π
π2π
0π0
π
cos d 1d sin ||πx x x x x +=+=⎰
⎰，故选B.
4．（安徽省阜阳市临泉县第一中学2018届高三上学期第二次模拟）若，1
25b -=，π
01sin d 4
c x x =
⎰，则的大小关系是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】∵π
01sin d 4
c x x =
⎰，∴，
∵，
∴
，故选D.
5．（陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考（一）2n
y y ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的展开式中常数项为
A ．8
B ．16
C ．24
D ．60
【答案】C
6．（陕西省西安市西北工业大学附属中学2017届高三下学期第七次模拟）已知平面区域
(){,|0π,01}x y x y Ω=≤≤≤≤，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线2sin y x =下方的概率是
A ．1
2 B ．
1π C ．2
π
D ．π4
【答案】A
7．（东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学2017届高三下学期第四次联合模拟考试）已知函数
()f x 的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出200粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通
过100次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数为66，由此可估计()2
0d f x x ⎰的值约为
A ．99
25 B ．
9950 C ．3
10
D ．35
【答案】B
【解析】由定积分的几何意义知
()2
d f x x ⎰
的值即为阴影部分面积S ，再由几何概型可知
6620023
S
=⨯，
解得99
50
S =
．故本题选B ．
8．（四川省德阳市2018【答案】42π+
【解析】令y =则()22
40x y y +=≥，其图象为半圆，且面积为2π，又
2
222
1d |4x x --==⎰
，所以填
42π+. 9．（安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2018届高三上学期第一次联考）如图所示，在平面直角坐标系内，四边形ABCD 为正方形且点C 坐标为11,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
.抛物线Γ的顶点在原点，关于x 轴对称，且过点C .在正方形ABCD 内随机取一点M ，则点M 在阴影区域内的概率为_________．
【答案】
2
3
10．（江西省新余市第一中学2018届高三毕业班第四次模拟考试）设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、围成的封闭图形的面积为b ，若()2
2ln 2g x x bx kx =--在[
)1,+∞上单调递减，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】[0,)+∞
则()2
2
2ln 22ln g x x bx kx x x kx =--=--，()2
2g x x k x
-'=
-， 由()22ln 2g x x bx kx =--在[
)1,+∞上单调递减，
1．（2015年高考湖南卷）2
(1)d x x -=⎰
．
【答案】0 【解析】
2
2200
11(1)d ()|42022
x x x x -=-=⨯-=⎰.
2．（2015年高考天津卷）曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ． 【答案】
1
6
【解析】由题意可得封闭图形的面积为
1
2
23100
11111()d ()|23236
x x x x x -=-=-=⎰. 3．（2015年高考山东卷）执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为 ．
【答案】错误！未找到引用源。

116
【解析】开始n =1，T =1，因为1<3，所以1
121200
113
1d 1|11222
T x x x =+
=+
=+⨯=⎰
，n =1+1=2； 因为2<3，所以13130023313111
d |1223236
T x x x =+=+=+⨯=⎰，n =2+1=3.
因为3<3不成立，所以输出T ，即输出的T 的值为11
6
错误！未找到引用源。

.
4．（2015年高考福建卷）如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f (x )=x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．
【答案】
5
12
5．（2015年高考陕西卷）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型
（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．
【答案】1.2
【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：
原始的最大流量是
()11010222162
⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =(0p >)，因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225
y x =，所以当前最大流量是()()53235355222240(2)d (2)(255)[255]257575753
x x x x ---=-=⨯-⨯-⨯--⨯-=⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是16 1.240
3=，所以答案为1.2．。