2021-2022年石家庄市九年级数学下期中第一次模拟试题及答案

一、选择题
1．如图，Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝2，正方形CDEF 的顶点D 、F 分别在AC 、BC 边上，设CD 的长度为x ，△ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．关于二次函数22y x x =-+的最值，下列叙述正确的是（ ）
A ．当2x =时，y 有最小值0.
B ．当2x =时，y 有最大值0．
C ．当1x =时，y 有最小值1
D ．当1x =时，y 有最大值1
3．抛物线222=++y x x 与y 轴的交点坐标为（ ）
A ．（1，0）
B ．（0，1）
C ．（0，0）
D ．（0，2） 4．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：
①240b ac ->；②0abc >；③420a b c -+>；④30a c +<．其中，正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．如图是二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的一部分，对称轴是直线12
x =，且经过点()20，
，下列说法∶①0abc >；②240b ac -<；③1x =-是关于x 的方程20ax bx c ++=的一个根；④0a b +=．其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴是x ＝1，下列结论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0； ③8a +c ＜0； ④5a +b +2c ＞0，正确的是（ ）
A ．①②③
B ．②③④
C ．①②④
D ．②③ 7．如图，网格中所有小正方形的边长均为1，有A 、B 、C 三个格点，则ABC ∠的余弦
值为（ ）
A ．12
B 25
C 5
D ．2
8．在Rt △ABC 中，若∠C=90°，BC=2AC ，则cosA 的值为（ ）
A ．12
B ．32
C ．255
D ．55
9．一人乘雪橇沿坡比1：3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s （m ）与时间t （s ）之间的关系为s ＝8t ＋2t 2，若滑到坡底的时间为5s ，则此人下降的高度为（ ）
A ．903m
B ．45m
C ．453m
D ．90m
10．北碚区政府计划在缙云山半山腰建立一个基站AB ，其设计图如图所示，BF ，ED 与地面平行，CD 的坡度为1:0.75i =，EF 的坡角为45︒，小王想利用所学知识测量基站顶部A 到地面的距离，若BF ED =，15CD =米，32EF =米，小王在山脚C 点处测得基站底部B 的仰角为37︒，在F 点处测得基站顶部A 的仰角为60︒，则基站顶部A 到地面的距离为（ ）（精确到0.1米，参考数据：3 1.73≈，sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）
A ．21.5米
B ．21.9米
C ．22.0米
D ．23.9米 11．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上，则AOB ∠的
正弦值是（ ）
A 310
B ．22
C 10
D ．110
12．如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转60°后得到△AO'B'，则点B'的坐标是（ ）
A ．(4，23)
B ．(23，4)
C ．（3，3）
D ．（23＋2，2）
二、填空题
13．在平面直角坐标系中，函数21y ax bx c =++，2y ax b =+，3y ax c =+，其中a ，
b ，
c 为常数，且a<0，函数1y 的图象经过点A （1，0），B （1x ，0），且满足
143x -<<-，函数y 2的图象经过点（x 2，0）；函数y 3的图象经过点（x 3，0），若2311m x m n x n <<+<<+，，且m ，n 是整数，则m=_______；n=________．
14．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表所示，下列说法：
x ···
3- 2- 1- 0 1 ··· y ··· 6- 0 4 6
6 ··· ①抛物线与轴的交点为()0,6；②抛物线的对称轴是在轴右侧；③在对称轴左侧，y 随x 增大而减小；④抛物线一定过点()3,0．上述说法正确的是____（填序号）． 15．已知二次函数221y x =-，如果y 随x 的增大而增大，那么x 的取值范围是__________．
16．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2的图象如图所示．已知A 点坐标为（1，1），过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4……，依次进行下去，则点A 2021的坐标为____．
17．如图，ABC 中，90A ∠=︒，点D 在AC 上，ABD ACB ∠=∠，15AD AC =，则sin ABD ∠=________．
18．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，8AD =，按下列步骤进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，如图（1）所示；第二步：再把B 点叠在折痕线MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为'B ，得Rt 'AB E △，如图（2）所示；第三步：沿'EB 折叠折痕为EF ，且AF 交B N '的延长线于点G ，如图（3）所示；则由纸片折叠成的图形中，'AB G S △为____．
19．如图，在ABC 中，AD BC ⊥交BC 于点D ，AD BD =，若42AB =，4tan 3
C =，则BC =________．
20．已知等腰ABC ，AB AC =，BH 为腰AC 上的高，3BH =，3tan 3
ABH ∠=，则CH 的长为______． 三、解答题
21．某箫笛厂设计了一款成本为10元/根的箫笛，并投放市场进行试销．经过调查，发现每天的销售量y （件）与销售单价x （元）存在一次函数关系10700y x =-+． （1）销售单价定为多少时，该厂每天获取的利润最大？最大利润为多少？
（2）若物价部门规定，该产品的最高销售价不得超过38元/根，那么销售单价如何定位才能获取最大利润？
22．已知抛物线2y ax c =+经过点()0,2A 和点()1,0B -．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将（1）中的抛物线平移，使其顶点坐标为()2,1，平移后的抛物线与x 轴的两个交点分别为点,C D （点C 在点D 的左边）．求点,C D 的坐标；
（3）将（1）中的抛物线平移，设其顶点的纵坐标为m ，平移后的抛物线与x 轴两个交点之间的距离为n ．若15m <≤，直接写出n 的取值范围．
23．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()0,2．试寻找一些点，使他们满足“到点A 与到x 轴的距离相等”．
小明在探究过程中首先想到了OA 的中点M 满足条件，点M 到点A 和x 轴的距离都是1．接着，小明过x 轴上一点()4,0B 作x 轴的垂线l ．他认为在l 上应该有一个点N 到点A 与到x 轴的距离相等．
（1）请你用尺规作图找出点N （不写画法，保留作图痕迹）并求出点N 的坐标；
（2）小明用同样的方法又找出了一些符合条件的点，并把这些点用平滑的曲线连接起来他发现这些点在一条对称轴为y 轴的抛物线上．请你根据以上探究和发现，求出这条抛物线的解析式；
（3）请直接写出平面内到点A 和直线2y =-距离相等的点所在抛物线的解析式． 24．小红要外出参加一项庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图1，图2分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE ，箱长BC ，拉杆AB 的长度都相等，B ，F 在AC 上，C 在DE 上，支杆30cm DF =，:1:3CE CD =，2sin 2DCF ∠=，3cos 2
CDF ∠=，求AC 的长度（结果保留根号）．
25．根据新冠疫情的防疫需要，学校需要做到经常开窗通风．如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM 上的点A 处，另一端B 在边ON 上滑动，如图2为某一位置从上往下看的平面图，测得此时ABO ∠是45°，AB 长为20cm ．（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈，2 1.4≈，结果精确到1cm ） （1）求固定点A 到窗框OB 的距离；
（2）若测得37AOB ∠=︒，求OA 的长度．
26．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，E 为BC 上一点，∠BDE ＝∠BAD ＝90°．
（1）求证：BD 2＝BA •BE ；
（2）求证：△CDE ∽△CBD ；
（3）若AB ＝6，BE ＝8，求CD 的长．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到2y x ；当1＜x≤2时，ED 交AB 于M ，EF 交AB 于N ，利用重叠的面积等于正方形的面积减去△MNE 的面积得到
()2221y x x =--，配方得到()222y x =--+，然后根据二次函数的性质对各选项进行分析判断即可．
【详解】
解：当0＜x≤1时，2y x ，
当1＜x≤2时，ED 交AB 于M ，EF 交AB 于N ，如图，
CD=x ，则2AD x =-，
∵Rt △ABC 中，AC=BC=2，
∴△ADM 为等腰直角三角形，
∴2DM x =-，
∴()222EM x x x =--=-，
∴S △ENM ()()22122212
x x =-=-， ()()2222214222y x x x x x =--=-+-=--+
∴()()()2201221
2y x x y x x ⎧=≤⎪⎨=--+≤⎪⎩﹤﹤， 故选：A ．
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象：通过看图获取信息，考查学生问题分析能力，解题的关键是分两种情况考虑：当0＜x≤1和当1＜x≤2．
2．D
解析：D
【分析】
先将二次函数配方成()211y x =--+，即可求解．
【详解】
解：()()2
221221y x x x x x =-+=----+=， 二次函数的图象开口向下，当1x =时，y 有最大值1，
故选：D ．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，将二次函数解析式化为顶点式是解题的关键． 3．D
解析：D
【分析】
令x=0，则y=2，抛物线与y 轴的交点为 (0，2)
【详解】
令x=0，则y=2，
∴抛物线与y 轴的交点为(0，2)，
故选：D ．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数图象与坐标轴的交点是解题的关键；
4．D
解析：D
【分析】
根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x 轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】
解：抛物线与x 轴有两个不同的交点，因此b 2-4ac ＞0，故①正确；
抛物线开口向上，因此a ＞0，对称轴为x=1＞0，a 、b 异号，因此b ＜0，抛物线与y 轴交在负半轴，因此c ＜0，所以abc ＞0，故②正确；
由图象可知，当x=-2时，y=4a-2b+c ＞0，故③正确；
∵对称轴x=-
2b a
=1 ∴-b=2a
当x=-1时，y=a-b+c ＜0，
∴a+2a+c ＜0，即30a c +<，故④正确；
综上所述，正确结论有：①②③④
故选：D ．
【点睛】
考查二次函数的图象和性质，掌握a 、b 、c 的值决定抛物线的位置以及二次函数的图象与性质，是正确判断的前提． 5．B
解析：B
【分析】
①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y 轴交点位置求得a 、b 、c 的符号即可判断；
②根据抛物线与x 轴的交点即可判断；
③根据二次函数的对称性即可判断；
④由对称轴求出=-b a 即可判断．
【详解】
解：①∵二次函数的图象开口向下，
∴0a <，
∵二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点，
∴0c >，
∵对称轴是直线12
x =， ∴122
b a -
=， ∴0b a =->，
∴0abc <． 故①错误；
②∵抛物线与x 轴有两个交点，
∴240b ac ->，
故②错误；
③∵对称轴为直线12
x =，且经过点()2,0， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为()1,0-，
∴1x =-是关于x 的方程20ax bx c ++=的一个根，故③正确；
④∵由①中知=-b a ，
∴0a b +=，
故④正确；
综上所述，正确的结论是③④共2个．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当0a >时，二次函数的图象开口向上，当0a <时，二次函数的图象开口向下．
6．B
解析：B
【分析】
由函数图像与对称轴的方程结合可判断①，由抛物线与x 轴有两个交点，可判断②，由抛物线的对称轴为：1,2b x a
=-= 可得2,b a =-结合图像可得当2x =-时，42y a b c =-+＜0, 可判断③，由图像可得当2x =时，4+2y a b c =+＞0，当1x =-时，y a b c =-+＞0，两式相加可得：52a b c ++＞0，可判断④，从而可得答案．
【详解】
解： 图像开口向下，
a ∴＜0，
12b x a
==-
＞0, b ∴＞0， 函数图像与y 轴交于正半轴，
c ∴＞0，
abc ∴＜0，
故①不符合题意； 抛物线与x 轴有两个交点，
24b ac ∴-＞0, 故②符合题意；
抛物线的对称轴为：1,
2b x a
=-= 2,b a ∴=-
当2x =-时，42y a b c =-+＜0,
()422a a c ∴-⨯-+＜0,
8a c ∴+＜0,故③符合题意；
当2x =时，4+2y a b c =+＞0，
当1x =-时，y a b c =-+＞0，
两式相加可得：52a b c ++＞0，故④符合题意；
故选：.B
【点睛】
本题考查的是抛物线的图像与系数之间的关系，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
过点B 作BD ⊥AC 于点D ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则BD=AD=3，CD=1，利用勾股定理可求出AB ，BC 的长，利用面积法可求出CE 的长，再利用余弦的定义可求出∠ABC 的余弦值．
【详解】
解：过点B 作BD ⊥AC 于点D ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则BD=AD=3，CD=1，如图所示．
AB=2232BD AD +=，BC=2210BD CD +=．
∵12AC•BD=12AB•CE ，即12×2×3=12
×32•CE ， ∴CE=2，∴BE=2222BC CE -=，
∴cos ∠ABC=
222510
BE BC ==． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及勾股定理求出CE ，BC 的长度是解题的关键． 8．D
解析：D
【分析】
设AC=k ，则BC=2k ，AB=5k ，根据三角函数的定义计算即可.
【详解】
如图，设AC=k ，则BC=2k ，根据勾股定理，得AB= 22AC BC +=5k ，
∴cosA=5AC AB k ==5， 故选D.
【点睛】
本题考查了锐角三角函数，熟记三角函数的定义，并灵活运用勾股定理是解题的关键. 9．B
解析：B
【分析】
根据题意求出滑下的距离s ，根据坡度的概念求出坡角，根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】
解：设斜坡的坡角为α，
当t=5时，2852590s =⨯+⨯=，
∵斜坡的坡比1：3， ∴tanα=33
， ∴α=30°， ∴此人下降的高度=
12×90=45（m ）， 故选：B ．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
根据直角三角形的边角关系及坡度、坡角的定义求解．
【详解】
解：如图，分别过D 、B 作DM 、BO 垂直于地面于M 、O 两点，过F 作FN 垂直于直线ED 于点F ，
设DM=x ，则有：
143,0.7534
DM MC x MC ==∴=由勾股定理可得： 22222291516
DM CM DC x x +=∴+
=，， 解之得：x=12，
∴DM=12，MC=9，
∵32EF =，EF 的坡角为45°，
∴FN=NE=3，
∴BO=FN+DM=3+12=15，
OC=BO÷tan37°≈15÷0.75=20，
∵BF=ED ，
∴BF=（OC-MC-NE ）÷2=4,
∴AB=BF×tan60°≈4×1.73=6.92,
∴AO=AB+BO=6.92+15=21.92≈21.9（米），
故选B ．
【点睛】
本题考查解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系、锐角三角函数的应用及坡度、坡角的定义是解题关键．
11．C
解析：C
【分析】
利用勾股定理求出AB 、AO 、BO 的长，再由S △ABO =
12AB•h=12AO•BO•sin ∠AOB 可得答案．
【详解】
解：由题意可知，AB=2，==
∵S △ABO =
12AB•h=12AO•BO•sin ∠AOB ， ∴1
2×2×2=12×sin ∠AOB ，
∴sin ∠ 故选：C ．
【点睛】 本题考查了解直角三角形，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
根据直线解析式求出点A 、B 的坐标，从而得到OA 、OB 的长度，再求出∠OAB ＝30°，利用勾股定理列式求出AB ，然后根据旋转角是60°判断出AB′⊥x 轴，再写出点B′的坐标即可．
【详解】
令y ＝0，则−x ＋2＝0，
解得x ＝，
令x ＝0，则y ＝2，
所以，点A （0），B （0，2），
所以，OA ＝OB ＝2，
∵tan ∠OAB ＝
3
OB OA ==， ∴∠OAB ＝30°，
由勾股定理得，AB 4=
=，
∵旋转角是60°，
∴∠OAB′＝30°＋60°＝90°，
∴AB′⊥x 轴，
∴点B′（
4）．
故选：B ．
【点睛】 本题考查了坐标与图形性质−旋转，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角函数的应用，求出AB′⊥x 轴是解题的关键．
二、填空题
13．-33【分析】根据二次函数对称轴的性质一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可；【详解】解:由题意得∴；故答案是：；【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合准确计算是解题的关键
解析：-3 3
【分析】
根据二次函数对称轴的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可；
【详解】
解:由题意得，0a b c ++=，2b x a
=-，3c x a =- 1131222+-<-=<-x b a ，232-<=-<-b x a
， ∴3314+<==+<a b b x a a
， 3m ∴=-，3n =；
故答案是：3-，3；
【点睛】
本题主要考查了二次函数与一次函数综合，准确计算是解题的关键．
14．①②④【分析】由表格中数据x=0时y=6x=1时y=6；可判断抛物线的对称轴是x=05根据函数值的变化判断抛物线开口向下再由抛物线的性质逐一判断
【详解】解：由表格中数据可知x=0时y=6x=1时y=
解析：①②④．
【分析】
由表格中数据x=0时，y=6，x=1时，y=6；可判断抛物线的对称轴是x=0.5，根据函数值的变化，判断抛物线开口向下，再由抛物线的性质，逐一判断．
【详解】
解：由表格中数据可知，x=0时，y=6，x=1时，y=6，
①抛物线与y轴的交点为（0，6），正确；
②抛物线的对称轴是x=0.5，对称轴在y轴的右侧，正确；
③由表中数据可知在对称轴左侧，y随x增大而增大，错误．
④根据对称性可知，抛物线的对称轴是x=0.5，点（-2，0）的对称点为（3，0），即抛物线一定经过点（3，0），正确；
正确的有①②④．
故答案为①②④．
【点睛】
主要考查了二次函数的性质．要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点．解题关键是根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴，图象与x，y轴的交点坐标等．15．【分析】由于抛物线y=2x2-1的对称轴是y轴所以当x≥0时y随x的增大而增大【详解】解：∵抛物线y=2x2-1中a=2＞0∴二次函数图象开口向上且对称轴是y轴∴当x≥0时y随x的增大而增大故答案为
x≥
解析：0
【分析】
由于抛物线y=2x2-1的对称轴是y轴，所以当x≥0时，y随x的增大而增大．
【详解】
解：∵抛物线y=2x2-1中a=2＞0，
∴二次函数图象开口向上，且对称轴是y轴，
∴当x≥0时，y随x的增大而增大．
x≥．
故答案为：0
【点睛】
本题考查了抛物线y=ax2+b的性质：①图象是一条抛物线；②开口方向与a有关；③对称轴是y轴；④顶点（0，b）．
16．（-101110112）【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标求得直线A1A2为y=x+2联立方程求得A2的坐标即可求得A3的坐标同理求得A4的坐标即可求得A5的坐标根据坐标的变化找出变化规律即
解析：（-1011，10112）
【分析】
根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y=x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2021的坐标．
【详解】
解：∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y=x，A1（-1，1），
∵A1A2∥OA，
∴直线A1A2为y=x+2，
解22y x y x +⎧⎨⎩
＝＝ 得11x y -⎧⎨⎩＝＝或24x y ⎧⎨⎩
＝＝， ∴A 2（2，4），
∴A 3（-2，4），
∵A 3A 4∥OA ，
∴直线A 3A 4为y=x+6，
解26y x y x
+⎧⎨⎩＝＝， 得24x y -⎧⎨
⎩＝＝或39x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴A 4（3，9），
∴A 5（-3，9）
…，
∴A 2021（-1011，10112），
故答案为（-1011，10112）．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
17．【分析】由为公共角证明可得由设则求解再利用从而可得答案【详解】解：为公共角设（负根舍去）故答案为：【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质求解锐角三角函数值掌握以上知识是解题的关键
解析：6
【分析】
由A ∠为公共角，ABD ACB ∠=∠，证明,ABD ACB ∽ 可得2,AB AD AC =由
15
AD AC =
，设,AD m = 则5,AC m =
求解,AB =
,BD == 再利用 sin ,AD ABD BD
∠=从而可得答案． 【详解】 解： A ∠为公共角，ABD ACB ∠=∠，
,ABD ACB ∴∽ ,AB AD AC AB
∴= 2,AB AD AC ∴=
15AD AC =，设,AD m = 5,AC m ∴= 2255,AB m m m ∴==
5,AB m ∴= （负根舍去）
90,A ∠=︒
()222256,BD AB AD m m m ∴=+=
+= 6sin .6
6AD ABD BD m ∴∠=== 故答案为：
6. 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定与性质，求解锐角三角函数值，掌握以上知识是解题的关键．
18．【分析】根据折叠得到△AEF 是等边三角形再根据Rt △ABE 中求得AE=根据相似三角形的性质可得到的长即可求解【详解】如图所示将图3展开可得下图由折叠可得Rt △AMB 中AM=AB==3∴∠ABM=30
解析：33
【分析】
根据折叠得到△AEF 是等边三角形，再根据Rt △ABE 中，求得AE=43，根据相似三角形的性质可得到B G '的长，即可求解．
【详解】
如图所示，将图3展开，可得下图，
由折叠可得，Rt △AMB'中，AM=
12AB=12
AB '=3， ∴∠AB'M=30°，
∴∠AA'B=30°，
∴∠A'AB=60°，
∴∠BAE=∠B'AE=30°，
∴∠EAF=60°，∠AEB=60°=∠AEB'，
∴△AEF 是等边三角形，
又∵Rt △ABE 中，AB=6，∠BAE=30°，
∴EF=AE=
cos30AB ︒= ∵∠B'AE=∠AA'B=30°， ∴AE= A'E=
∵B'G ∥A'E ，
∴
~FB G FEA ''， ∴1EF 2B G FB EA ''=='， ∴
B G '=，
∵△A B G ''的高为BM=3， ∴
'1'2
AB G S B G BM =⨯⨯=△．
故答案为：
【点睛】 本题属于折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．得到△AEF 是等边三角形是解决问题的关键． 19．7【分析】由题意得是等腰直角三角形由求出AD 和BD 的长度再根据求出CD 的长即可求出BC 的长【详解】解：∵∴是等腰直角三角形
∴∴∵∴∵∴∵∴故答案是：7【点睛】本题考查解直角三角形解题的关键是掌握利用
解析：7
【分析】
由题意得ABD △是等腰直角三角形，由AB =AD 和BD 的长度，再根据
4tan 3
C =
，求出CD 的长，即可求出BC 的长． 【详解】
解：∵AD BC ⊥，AD BD =， ∴ABD △是等腰直角三角形，
∴45ABD ∠=︒，
∴sin AD ABD AB ∠==， ∵
AB =
∴4=AD ，
∵4tan 3AD C CD ==， ∴3CD =， ∵4BD AD ==，
∴437BC BD CD =+=+=． 故答案是：7． 【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法． 20．或【分析】如图所示分两种情况利用特殊角的三角函数值求出的度数利用勾股定理求出所求即可【详解】当为钝角时如图所示在中根据勾股定理得：即；当为锐角时如图所示在中设则有根据勾股定理得：解得：则故答案为或【 解析：3
3或3
【分析】
如图所示，分两种情况，利用特殊角的三角函数值求出ABH ∠的度数，利用勾股定理求出所求即可．
【详解】
当BAC ∠为钝角时，如图所示，
在Rt ABH 中，3tan 3
AH ABH BH ∠==，3BH =， 3AH ∴=，
根据勾股定理得：22(3)323AB =+=，即23AC =，
23333CH CA AH ∴=+=+=；
当BAC ∠为锐角时，如图所示，
在Rt ABH 中，3tan ABH ∠=， 30ABH ∴∠=，
1122
AH AB AC ∴==， 设AH x =，则有2AB AC x ==，
根据勾股定理得：222(2)3x x =+，
解得：x =
则HC AC AH =-=
故答案为【点睛】
此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：等腰三角形的性质，勾股定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形的性质及分类的求解的数学思想是解本题的关键．
三、解答题
21．（1）40，9000元；（2）每件售价为38元，才能获取最大利润
【分析】
（1）首先根据题意得每件产品的利润：()10x -元，再根据二次函数的性质计算，即可得到答案；
（2）结合题意，根据二次函数图像的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）∵107000y x =-+≥
∴70x ≤
根据题意得，每件产品的利润：()10x -元
∴该厂每天获取的利润为：()()2
1011070008007000x x x x -=-+--+ 当80040210
x =-=⨯时，该厂每天获取的最大利润为：210408004070009000-⨯+⨯-=元；
（2）根据（1）的结论，该厂每天获取的利润为：
()()21011070008007000x x x x -=-+--+
当40x <时，利润随x 的增大而增大；当40x >时，利润随x 的增大而减小； ∴当38x =时，即每件售价为38元，才能获取最大利润．
【点睛】
本题考查了二次函数、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．
22．（1）222y x =-+；（2）2,0,222C D ⎛
⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；（3n <≤【分析】
（1）把点A 、B 的坐标分别代入函数解析式，列出关于a 、c 的方程组，通过解方程求得它们的值；
（2）根据平移的规律写出平移后抛物线的解析式，然后令0y =，则解关于x 的方程，即
可求得点C 、D 的横坐标；
（3）根据抛物线与x 轴两个交点之间的距离为21||x x -的关系来即可求n 的取值范围；
【详解】
解：（1）抛物线2
y ax c =+经过点(0,2)A 和点(1,0)B -， ∴20
c a c =⎧⎨+=⎩， 解得：22
a c =-⎧⎨=⎩， ∴此抛物线的解析式为222y x =-+； （2）
此抛物线平移后顶点坐标为(2,1)， ∴抛物线的解析式为22(2)1y x =--+，
令0y =，即22(2)10x --+=，
解得 12x =+22x =-， 点C 在点D 的左边，
(C ∴ 22
-0)，(22D +，0)； （3）设平移后抛物线的解析式是22y x m =-+，该抛物线与x 轴的两交点横坐标为1x ，
2x ，
整理为：220x m -=．
此时120x x +=，122m x x =-．
则21||x x n -==．
当1m =时，n =
当5m =时，n =．
所以，n n <≤
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的几何变换．要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．
23．（1）见解析；N ()4,5；（2）2114y x =
+；（3）218
y x = 【分析】
（1）利用尺规作图，作出线段AB 的垂直平分线即可；
（2）设出抛物线的解析式，结合题意分析出点M 为抛物线的顶点，点N 在抛物线上，利用待定系数法直接求解即可；
（3）设出抛物线解析式，结合题意分析出抛物线经过原点，且经过点（4、2）点（-4、2）利用待定系数法求解即可．
【详解】
解：（1）如图，连接AB ，作线段AB 的垂直平分线，与直线l 相交于点N ，点N 即为所求．
连接AN ，过点A 作AH BN ⊥于点H ，设点N 的坐标为()4,y
由作图可知AN y =，
在Rt ANH ∆中，4AH =，2NH y =-，
22(2)16y y ∴=-+，解得5y =
∴点N 的坐标为()4,5；
（2）此抛物线关于y 轴对称，
∴点()0,1M 是抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为21y ax =+，将点()4,5N 代入得，14
a =，
∴抛物线的解析式为2114
y x =+． （3）设抛物线的解析式为：2y ax bx c =++，结合题意可知抛物线经过原点，和点（4、
2）点（-4、2）
则有164216420a b b c +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩
解得1800a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
∴抛物线的解析式为：218y x =
． 【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，待定系数法求函数解析式，解题关键是结合题意确定满足条件的点．
24．AC
的长度为（40+cm
【分析】
过F 作FG ⊥DE 于G ，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解 过点F 作FG ⊥CD 于G ，
∵在Rt DFG
中，cos 2CDF DG DF ∠=
=， ∴∠FDG ＝30°，DG
=cm ）， ∴FG ＝11301522
DF =⨯=（cm ）， ∵在Rt CFG
中，sin DCF ∠=
∴∠FCG ＝45°，
∴CG ＝FG ＝15cm ，
∴CD ＝
15+cm ），
∵CE ：CD ＝1：3， ∴EC
＝153CD =+（cm ），
∴DE ＝
15+5+
＝20203+（cm ）， ∴AC ＝2 DE ＝40403+（cm ），
答：AC 的长度为（40403+）cm ．
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
25．（1）14cm ；（2）23cm ．
【分析】
（1）过A 作AD OB ⊥于D ，解直角三角形ABD 即可；
（2）根据（1）中AD 的长，解直角三角形ADO 即可．
【详解】
解：（1）过A 作AD OB ⊥于D ，
则AD 的长就是A 到OB 的距离，
在Rt △ABD 中，
∵sin AD ABD AB
=∠， 20AB =，45ABD ∠=︒， ∴sin 4520
AD =︒， 即
220AD =， ∴10214AD =≈cm ．
（2）∵AD OB ⊥，
在Rt AOD 中，
∵sin AD AOD AO
=∠， 14AD =，37AOD ∠=︒， ∴
14sin37AO =︒， 即140.6AO
=， ∴14230.6AO =
≈cm ． 【点睛】
本题考查了作高构造直角三角形，并解直角三角形，熟练掌握构造高线构造直角三角形，并灵活求解是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）见解析；（3）CD ＝
【分析】
（1）直接利用两角对应相等两三角形相似进而得出答案；
（2）直接利用相似三角形的性质结合互余两角的关系得出∠DBE=∠EDC ，即可得出答案； （3）利用锐角三角函数关系得出∠ABD=∠DBE=30°，进而得出答案．
【详解】
解：（1）证明：∵BD 平分∠ABC ，
∴∠BAD ＝∠DBE ，
又∵∠A ＝∠BDE ，
∴△BAD ∽△BDE ， ∴BA BD ＝BD BE
， ∴BD 2＝BA •BE ；
（2）证明：∵△BAD ∽△BDE ，
∴∠ADB ＝∠DEB ，
∵∠BDE ＝90°，
∴∠DBE +∠BED ＝90°，
∠ADB +∠EDC ＝90°，
∴∠DBE ＝∠EDC ，
又∵∠C ＝∠C ，
∴△CDE ∽△CBD ；
（3）解：由（1）得：BD 2＝BA •BE ，
∵AB ＝6，BE ＝8，
∴BD 2＝6×8＝48，
∴BD
＝
∴cos ∠ABD ＝AB
BD
∴∠ABD＝30°，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∴∠C＝30°，
∴∠C＝∠DBE，
∴BD＝CD＝43．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．。