2019届甘肃省河西五市高三第一次联考理科数学试卷【含答案及解析】
甘肃省2019年高三(上)第一次段测数学试卷(理科)(Word版 含解析)
2019年甘肃省高三（上）第一次段测数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）2．设i为虚数单位，复数z1=1﹣i，z2=2i﹣1，则复数z1•z2在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列命题，其中说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x ﹣4≠0”B．“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m ≠0或n≠0”4．如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…a7=（）A．14 B．21 C．28 D．355．已知向量||=3，||=2，=m+n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为（）A．B．C．6 D．46．已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．执行如图所示的程序框图，输出的T=（）A．29 B．44 C．52 D．628．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12πB．8πC．D．9．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）A．B．C．D．10．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．B． C． D．11．已知直线与抛物线y2=4x交于A，B两点（A在x轴上方），与x轴交于F点，，则λ﹣μ=（）A．B． C．D．12．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p，q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[15，+∞）B．[6，+∞）C．（﹣∞，15]D．（﹣∞，6]二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．化简的结果是．14．实数x，y满足，则的最小值为．15．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是（填序号）16．设直线l为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=4，=2，则p=．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17．设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．18．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X表示身高在180cm以上的男生人数，求随机变量X的分布列和数学期望EX．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（，1），且焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=k（x+1）与椭圆C相交于不同的两点A、B，定点P的坐标为（，0），证明：•+是常数．21．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]22．已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≤6的解集A；（2）若m，n∈A，试证：|m﹣n|≤．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）【考点】1E：交集及其运算；33：函数的定义域及其求法．【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A和B，即可求得A∩B．【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y=的定义域[﹣2，2]，由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1），则A∩B=[﹣2，1），故选D．2．设i为虚数单位，复数z1=1﹣i，z2=2i﹣1，则复数z1•z2在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z1•z2=（1﹣i）（2i﹣1）=1+3i在复平面上对应的点（1，3）在第一象限．故选：A．3．下列命题，其中说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x ﹣4≠0”B．“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m ≠0或n≠0”【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0；“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件；命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题是假命题；命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”．【解答】解：命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”，故A正确；∵“x=4”⇒“x2﹣3x﹣4=0”，“x2﹣3x﹣4=0”⇒“x=4，或x=﹣1”，∴“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件，故B正确；命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为：∵若方程x2+x﹣m=0有实根，则△=1+4m≥0，解得m，∴“若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0”，是假命题，故C不正确；命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，故D正确．故选C．4．如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由等差数列的性质和题意求出a4的值，再由等差数列的性质化简所求的式子，把a4代入求值即可．【解答】解：由等差数列的性质得，3a4=a3+a4+a5=12，解得a4=4，所以a1+a2+…a7=7a4=28，故选：C．5．已知向量||=3，||=2，=m+n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为（）A．B．C．6 D．4【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，先求得的值，再根据=0求得实数的值．【解答】解：∵向量||=3，||=2，=m+n，若与的夹角为60°，∴•=3•2•cos60°=3，∴=（﹣）•（m+n）=（m﹣n）•﹣m+n•=3（m﹣n）﹣9m+4n=﹣6m+n=0，∴实数=，故选：A．6．已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期函数的周期计算公式算得ω=2．接下来将f（x）的表达式转化成与g（x）同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．【解答】解：由题知ω==2，所以f（x）=sin（2x+）=cos[﹣（2x+）]=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），故选：C．7．执行如图所示的程序框图，输出的T=（）A．29 B．44 C．52 D．62【考点】E7：循环结构．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T，n的值，当S=12，n=4，T=29时，满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．【解答】解：执行程序框图，有S=3，n=1，T=2，不满足条件T＞2S，S=6，n=2，T=8不满足条件T＞2S，S=9，n=3，T=17不满足条件T＞2S，S=12，n=4，T=29满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．故选：A．8．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12πB．8πC．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图得该几何体的上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱，圆锥的高为2，底面半径是2，圆柱的高为4，底面半径为1，由此能求出这个几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图得该几何体的上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱，圆锥的高为2，底面半径是2，圆柱的高为4，底面半径为1，∴这个几何体的体积：V=×2=．故选：D．9．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）A．B．C．D．【考点】67：定积分；CF：几何概型．【分析】先由积分的知识求解阴影部分的面积，然后可求试验的区域所对应的矩形的面积，由几何概率的求解公式代入可求【解答】解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S=2×=1+=1﹣ln=1+ln2∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为1+ln2，矩形的面积为2由集合概率的求解可得P=故选C10．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．B． C． D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意确定正三棱锥的顶点到底面的距离为1，求出正三棱柱的棱长，求出底面面积，然后可得体积．【解答】解：由题意易知正三棱锥的顶点到底面的距离为1．∵底面是正三角形且球半径为1．∴底面边长为，∴底面积为，∴V=××1=．故选C．11．已知直线与抛物线y2=4x交于A，B两点（A在x轴上方），与x轴交于F点，，则λ﹣μ=（）A．B． C．D．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】直线过抛物线的焦点F（1，0），把直线方程代入抛物线的方程解得A、B 的坐标，由，得到3λ+μ=1，2λ﹣μ=0，解方程从而求得λ﹣μ的值．【解答】解：直线过抛物线的焦点F（1，0），把直线方程代入抛物线的方程y2=4x，解得，或，不妨设A（3，2）、B （，﹣）．∵，∴（1，0）=（3λ，2λ）+（μ，﹣μ）=（3λ+μ，2λ﹣μ ）．∴3λ+μ=1，2λ﹣μ=0，∴λ=，μ=，则λ﹣μ=﹣．故选：B．12．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p，q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[15，+∞）B．[6，+∞）C．（﹣∞，15]D．（﹣∞，6]【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由不等式进行转化判断函数的单调性，求函数的导数，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：因为p≠q，不妨设p＞q，由于，所以f（p+1）﹣f（q+1）＞p﹣q，得[f（p+1）﹣（p+1）]﹣[f（q+1）﹣（q+1）]＞0，因为p＞q，所以p+1＞q+1，所以g（x）=f（x+1）﹣（x+1）在（0，1）内是增函数，所以g'（x）＞0在（0，1）内恒成立，即恒成立，所以a＞（2x+3）（x+2）的最大值，因为x∈（0，1）时（2x+3）（x+2）＜15，所以实数a的取值范围为[15，+∞）．故选：A．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．化简的结果是1．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，诱导公式，把要求的式子化为==，从而求得结果．【解答】解：=====1，故答案为：1．14．实数x，y满足，则的最小值为．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（4，0）连线的斜率求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），的几何意义为可行域内的动点与定点P（4，0）连线的斜率，由图可知，的最小值为．故答案为：．15．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是②③④（填序号）【考点】2K：命题的真假判断与应用；LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④16．设直线l为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=4，=2，则p=2．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】分别过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，在直角三角形ADC中求线段PF长度即可得p值，进而可得方程．【解答】解：如图过A作AD垂直于抛物线的准线，垂足为D，过B作BE垂直于抛物线的准线，垂足为E，P为准线与x轴的焦点，由抛物线的定义，|BF|=|BE|，|AF|=|AD|=4，∵|BC|=2|BF|，∴|BC|=2|BE|，∴∠DCA=30°∴|AC|=2|AD|=8，∴|CF|=8﹣4=4，∴|PF|=|CF|═2，即p=|PF|=2，故答案为：2三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17．设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣，]时g（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）=sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣），又f（）=sin（ω﹣）=0，∴ω﹣=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x﹣），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+﹣）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x=﹣时，g（x）取得最小值是﹣×=﹣．18．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X表示身高在180cm以上的男生人数，求随机变量X的分布列和数学期望EX．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据题意得：（0.005×2+a+0.020×2+0.040）×10=1．解得a．（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为，可得．（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180cm以上的概率约为．由已知得，随机变量X的可能取值为0，1，2，3．X～B，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）根据题意得：（0.005×2+a+0.020×2+0.040）×10=1．解得a=0.010．…（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为，则=×0.05+155×0.1+×0.2+175×0.4=17+15.5+70+70=172.5．所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5cm．…（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180cm以上的概率约为．由已知得，随机变量X的可能取值为0，1，2，3．X～B，所以；；；．随机变量X的分布列为因为X～B，所以．…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由线面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；（Ⅱ）取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），进一步求出向量的坐标，再求出平面PCD的法向量，设PB与平面PCD的夹角为θ，由求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由可得M（0，1﹣λ，λ），，由BM∥平面PCD，可得，由此列式求得当时，M点即为所求．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，且PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB；（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，∵CD=AC=，∴CO⊥AD，又∵PA=PD，∴PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则，，设为平面PCD的法向量，则由，得，则．设PB与平面PCD的夹角为θ，则=；（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，则有，可得M（0，1﹣λ，λ），∴，∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得．综上，存在点M，即当时，M点即为所求．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（，1），且焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=k（x+1）与椭圆C相交于不同的两点A、B，定点P的坐标为（，0），证明：•+是常数．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率公式求得a2=b2+2，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）将直线代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得•+是常数．【解答】解：（1）由题意可知：2c=2，则c=，则a2=b2+2，将（，1），代入椭圆方程可得：，解得：b2=2，则a2=4，∴椭圆的标准方程：；（2）证明：由，整理得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，由=（x1﹣，y1），=（x2﹣，y2），•+=（x1﹣）（x2﹣）+y1y2+，=（x1﹣）（x2﹣）+k2（x1+1）（x1+1）+，=（1+k2）x1x2+（k2﹣）（x1+x2）++k2+，=（1+k2）×+（k2﹣）（﹣）++k2+，=，∴•+是常数．21．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由f′（x）=1﹣=，x＞0．对a分类讨论即可得出．（2）不等式f（x）≥0恒成立，⇔f（x）min≥0．利用（1）的结论即可得出．【解答】解：（1）由f′（x）=1﹣=，x＞0．①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数．②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，此时函数单调递减；当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数单调递增．（2）由（1）可得：①当a≤0时，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数．又x→0时，f（x）→﹣∞，舍去．②当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，即最小值，因此a﹣alna≥0，化为：lna≤0，解得0＜a≤1．综上可得：a的取值范围是（0，1]．[选修4-5：不等式选讲]22．已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≤6的解集A；（2）若m，n∈A，试证：|m﹣n|≤．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，即可求不等式f（x）≤6的解集A；（2）利用绝对值不等式，即可证明结论．【解答】（1）解：不等式|x+2|+|x﹣2|≤6可以转化为：或或，解得﹣3≤x≤3，即不等式的解集A={x|﹣3≤x≤3}．（2）证明：因为|m﹣n|≤|m|+|n|=|m|+|n|，又因为m，n∈A，所以|m|≤3，|n|≤3，所以|m|+|n|≤×3+×3=，当且仅当m=﹣n=±3时，等号成立，即|m﹣n|≤，得证．。
2019届高三理科数学第一次大联考试题附答案
2019届高三理科数学第一次大联考试题附答案姓名准考证号(在此卷上答题无效）绝密★启用前三湘名校教育联盟•2019届高三第一次大联考理科数学本试卷共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={ <0}，B={ >1},则=A. (1,3)B. (1,6)C. (2,3)D. (2,6)2.已知复数z满足，则其共轭复数的虚部为A.-2B.-1C.1D.23.设向量，则下列结论中正确的是A.a//bB.(a+b)丄bC.(a-b)丄bD.|a-b|=|b|4.已知x，y满足约束条件,则的最小值为A. B. 1 C. D.25.“”是“函数为奇函数”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.8B.16C.24D.487.设,则A. a<b〈cB. b<a<cC.c〈a〈bD. c<b〈a8.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”。
其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2268用算筹表示就是=||丄|||.执行如图所示程序框图，若输人的x=1, y = 2,则输出的S用算筹表示为9.过双曲线C: (a>b>0)的一个焦点F向其一条渐近线引垂线，垂足为E，0为坐标原点，若△OEF的面积为1，其外接圆面积为，则C的离心率为A. B. C.2 D.10.设>0，>0,将函数的图像向左平移个单位长度得到图像C1，将函数的图像向右平移个单位长度得到图像C2，若C1与C2重合，则A. B. C. D.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥A1-BC1D内切球的表面积为，则正方体外接球的体积为A. B. C. D.12.已知函数，若且，则的最小值为A. B. C. D. 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
甘肃省2019年高考数学一模试卷(理科)(解析版) (2)
甘肃省2019年高考数学一模试卷（理科）（解析版）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0}B．{3，0，1}C．{3，0，2}D．{3，0，1，2} 2．已知复数z满足，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i3．在△ABC中，a=2，c=1，∠B=60°，那么b等于（）A．B．C．1 D．4．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件5．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出了下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③若m∥α，α⊥β，则m⊥β，④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，n∥β（）A．②④B．①②④C．①④D．①③6．抛物线y=x2﹣2x﹣3与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（）A．x2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+y2=4 D．（x﹣1）2+（y+1）2=57．函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则φ的值为（）A．B．C． D．8．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x）=sinx，②f（x）=cosx，③f（x）=，④f（x）=lg，则输出的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=D．f（x）=lg9．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．810．如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（）A． B．C． D．11．已知函数，若m＜n，且f（m）=f（n），则n﹣m的取值范围是（）A．[3﹣2ln2，2）B．[3﹣2ln2，2] C．[e﹣1，2]D．[e﹣1，2）12．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，） C．（0，1）D．（0，+∞）二、填空题已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=4，S3=3，则公差d=．14．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（）⊥（﹣），则λ=．15．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为．16．从圆x2+y2=4内任取一点p，则p到直线x+y=1的距离小于的概率．三．解答题（本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足4nS n=（n+1）2a n．a1=1 （1）求a n；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．18．（12分）某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80，85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60．（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；（Ⅱ）若Q大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试．①若Q大学本次面试中有B、C、D三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为、，，求甲同学面试成功的概率；②若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，第3组中有ξ名学生被考官B面试，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=ln （ax+1）+，其中a＞0．（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（2）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0}B．{3，0，1}C．{3，0，2}D．{3，0，1，2}【考点】并集及其运算．【分析】根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．【解答】解：∵P∩Q={0}，∴log2a=0∴a=1从而b=0，P∪Q={3，0，1}，故选B．【点评】此题是个基础题．考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用．2．已知复数z满足，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则计算即可．【解答】解：，则====2+3i，∴z=2﹣3i，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题．3．在△ABC中，a=2，c=1，∠B=60°，那么b等于（）A．B．C．1 D．【考点】余弦定理．【分析】由题意和余弦定理列出式子求出b的值．【解答】解：因为在△ABC中，a=2，c=1，∠B=60°，所以由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB=4+1﹣=3，解得b=，故选B．【点评】本题考查了余弦定理的简单应用，属于基础题．4．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件．【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B【点评】本题考查互为逆否命题的真假一致；考查据命题的真假判定条件关系，属于基础题．5．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出了下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③若m∥α，α⊥β，则m⊥β，④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，n∥β（）A．②④B．①②④C．①④D．①③【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在②中，n∥α或n⊂α；在③中，m与β相交、平行或m⊂β；在④中，由线面平行的判定定理得n∥α，n∥β．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：①若m⊥α，m⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故①正确；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故②错误；③若m∥α，α⊥β，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则由线面平行的判定定理得n∥α，n∥β，故④正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．6．抛物线y=x2﹣2x﹣3与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（）A．x2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+y2=4 D．（x﹣1）2+（y+1）2=5【考点】抛物线的简单性质．【分析】由已知抛物线方程求出圆心横坐标，设出圆心纵坐标，由圆心到圆上两点的距离等于圆的半径列式求解．【解答】解：抛物线y=x2﹣2x﹣3的图象关于x=1对称，与坐标轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），令圆心坐标M（1，b），可得|MA|2=|MC|2=r2，即4+b2=1+（b+3）2=r2，解得b=﹣1，r=．∴圆的轨迹方程为（x﹣1）2+（y+1）2=5．故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查数学转化思想方法，是中档题．7．函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则φ的值为（）A．B．C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】利用诱导公式将y=f（x）=cos（2x+φ）转化为f（x）=sin[+（2x+φ）]，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得φ的值．【解答】解：∵f（x）=cos（2x+φ）=sin[+（2x+φ）]=sin（2x++φ），∴f（x﹣）=sin[2（x﹣）++φ）]=sin（2x﹣+φ），又f（x﹣）=sin（2x+），∴sin（2x﹣+φ）=sin（2x+），∴φ﹣=2kπ+，∴φ=2kπ+，又﹣π≤φ＜π，∴φ=．故选：A．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换与诱导公式的应用，整理得f（x）=cos（2x+φ）=sin[+（2x+φ）]是关键，属于中档题．8．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x）=sinx，②f（x）=cosx，③f（x）=，④f（x）=lg，则输出的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=D．f（x）=lg【考点】复合函数的单调性；程序框图．【分析】由已知中的程序框图，可得该程序输出的函数即是奇函数，也是减函数，进而得到答案．【解答】解：由已知中的程序框图，可得该程序输出的函数即是奇函数，也是减函数，A中，f（x）=sinx是奇函数，但在R上不是减函数，B中，f（x）=cosx不是奇函数，在R上也不是减函数，C中，f（x）=是奇函数，但在R上不是减函数，D中，f（x）=lg是奇函数，且是定义域（﹣1，1）上的是减函数，故选：C【点评】本题以程序框图为载体，考查了函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．9．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．10．如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（）A． B．C． D．【考点】点到直线的距离公式；平面向量坐标表示的应用．【分析】法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，由M、N分别为OA与OB的中点，可得x+y=，下同法一【解答】解法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，∴=x+y得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，又因为M、N分别为OA与OB的中点，所以=∴x+y=原题转化为：当x时，求x2+y2的最小值问题，∵y=∴x2+y2==结合二次函数的性质可知，当x=时，取得最小值为故选B【点评】本题主要考查了平面向量的应用，解题的关键是向量共线定理的应用及结论“点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1“的应用11．已知函数，若m＜n，且f（m）=f（n），则n﹣m的取值范围是（）A．[3﹣2ln2，2）B．[3﹣2ln2，2] C．[e﹣1，2]D．[e﹣1，2）【考点】分段函数的应用．【分析】作出函数f（x）的图象如图：利用消元法转化为关于n的函数，构造函数求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值即可得到结论．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：若m＜n，且f（m）=f（n），则当ln（x+1）=1时，得x+1=e，即x=e﹣1，则满足0＜n≤e﹣1，﹣2＜m≤0，则ln（n+1）=m+1，即m=2ln（n+1）﹣2，则n﹣m=n+2﹣2ln（n+1），设h（n）=n+2﹣2ln（n+1），0＜n≤e﹣1则h′（n）=1﹣==，当h′（x）＞0得1＜n≤e﹣1，当h′（x）＜0得0＜n＜1，即当n=1时，函数h（n）取得最小值h（1）=1+2﹣2ln2=3﹣2ln2，当n=0时，h（0）=2﹣2ln1=2，当n=e﹣1时，h（e﹣1）=e﹣1+2﹣2ln（e﹣1+1）=1+e﹣2=e﹣1＜2，则3﹣2ln2≤h（n）＜2，即n﹣m的取值范围是[3﹣2ln2，2），故选：A【点评】本题主要考考查分段函数的应用，构造函数求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．12．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，） C．（0，1）D．（0，+∞）【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】先求导函数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．二、填空题（2017•凉州区校级一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=4，S3=3，则公差d=3．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质可得S3=3a2=3，解得a2的值，由公差的定义可得．【解答】解：由等差数列的性质可得S3===3，解得a2=1，故公差d=a3﹣a2=4﹣1=3故答案为：3【点评】本题考查等差数列的前n项和公式和公差的定义，属基础题．14．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（）⊥（﹣），则λ=﹣3．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由向量的坐标加减法运算求出（），（﹣）的坐标，然后由向量垂直的坐标运算列式求出λ的值．【解答】解：由向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），得，由（）⊥（﹣），得（2λ+3）×（﹣1）+3×（﹣1）=0，解得：λ=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了平面向量的坐标加法与减法运算，考查了数量积判断两个向量垂直的条件，是基础的计算题．15．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为5π．【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC ⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，B1C1的中，底面边长为1，1，，三棱柱ABC﹣A由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：，∴球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr2=5π．故答案为：5π．【点评】本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．16．从圆x2+y2=4内任取一点p，则p到直线x+y=1的距离小于的概率．【考点】几何概型．【分析】利用点到直线的距离公式求出满足条件的点的弧长、几何概型的计算公式即可得出．【解答】解：由点到直线的距离公式得点O到直线x+y=1的距离为=，故到直线x+y=1距离为的点在直线x+y=0和x+y+2=0上，满足P到直线x+y=1的距离小于的点位于两直线之间的弧上，且两段弧度和为90°．故概率P==．故答案为：【点评】熟练掌握点到直线的距离公式及几何概型的计算公式是解题的关键．三．解答题（本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2017•凉州区校级一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足4nS n=（n+1）2a n．a1=1（1）求a n；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由题意求出S n和S n﹣1，代入关系式a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）化简求出a n，并验证n=1时是否成立；（2）由（1）化简b n=，求出b1和b2，当n≥3时利用放缩法得：b n=＜=，由裂项相消法证明结论成立．【解答】解：（1）由题意得，4nS n=（n+1）2a n（n∈N*），则，∴当n≥2时，，∴a n=S n﹣S n﹣1=﹣，即化简得=1，则，又a1=1，也满足上式，∴（n∈N*）；…（6分）证明：（2）由（1）得，b n==，∴b1=1，b2=，∵当n≥3时，b n=＜=，∴T n=b1+b2+…+b n＜1++（）+（）…（）=﹣＜…（12分）【点评】本题考查数列递推式的化简及应用，考查等价转化思想，裂项相消法求数列的和，以及放缩法证明不等式成立，综合性强、难度大，属于难题．18．（12分）（2014•芜湖模拟）某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80，85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60．（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；（Ⅱ）若Q大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试．①若Q大学本次面试中有B、C、D三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为、，，求甲同学面试成功的概率；②若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，第3组中有ξ名学生被考官B面试，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由第四组的人数能求出总人数，由此能补全频率分布直方图．（Ⅱ）①设事件A=甲同学面试成功，由此利用独立事件概率公式能求出甲同学面试成功的概率．②由题意得，ξ=0，1，2，3，分别求出其概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵第四组的人数为60，∴总人数为：5×60=300，由直方图可知，第五组人数为：0.02×5×300=30人，又为公差，∴第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人（4分）（Ⅱ）①设事件A=甲同学面试成功，则P（A）=…..（8分）②由题意得，ξ=0，1，2，3，，，，，分布列为：…..（12分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，是历年高考的必考题型．19．（12分）（2017•凉州区校级一模）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，再利用已知AC⊥FB和线面垂直的判定定理即可证明；（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量是否垂直即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB=2BC，∠ABC=60°，在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcos60°=3BC2，∴AC2+BC2=4BC2=AB2，∴∠ACB=90°．∴AC⊥BC．又∵AC⊥FB，FB∩BC=B，∴AC⊥平面FBC．（Ⅱ）线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．证明如下：因为AC⊥平面FBC，所以AC⊥FC．因为CD⊥FC，所以FC⊥平面ABCD．所以CA，CF，CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C﹣xyz．在等腰梯形ABCD中，可得CB=CD．设BC=1，所以，．所以，．设平面EAC的法向量为=（x，y，z），则，所以取z=1，得=（0，2，1）．假设线段ED上存在点Q，设，所以．设平面QBC的法向量为=（a，b，c），则所以取c=1，得=．要使平面EAC⊥平面QBC，只需，即，此方程无解．所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．【点评】本题综合考查了线面、面面垂直的判定定理与性质定理、通过距离空间直角坐标系利用两个平面的法向量解决面面垂直等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．20．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E 的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y=x ﹣2或y=﹣x ﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）（2011•南通三模）已知函数f （x ）=ln （ax +1）+，其中a ＞0．（1）若f （x ）在x=1处取得极值，求a 的值； （2）若f （x ）的最小值为1，求a 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．【分析】（1）求导函数，根据f （x ）在x=1处取得极值，可得f'（1）=0，即可求得a 的值；（2）设f′（x ）=＞0，有ax 2＞2﹣a ，分类讨论：a ≥2，则f'（x ）＞0恒成立，f （x ）在[0，+∞）上递增，f （x ）的最小值为f （0）=1；0＜a ＜2，可得f （x ）在x=处取得最小值f （）＜f （0）=1，由此可得a 的取值范围．【解答】解：（1）f （x ）=ln （ax +1）+=ln （ax +1）+﹣1，求导函数可得f′（x ）=，∵f （x ）在x=1处取得极值，∴f'（1）=0，∴ =0∴a=1；（2）设f′（x）=＞0，有ax2＞2﹣a，若a≥2，则f'（x）＞0恒成立，f（x）在[0，+∞）上递增，∴f（x）的最小值为f（0）=1；若0＜a＜2，则x＞，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（，+∞）上递增，在（﹣∞，）上递减，∴f（x）在x=处取得最小值f（）＜f（0）=1．综上知，若f（x）最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值与最值，正确求导是关键．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2015•南昌校级二模）已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）把参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为普通方程，从而得到它们分别表示什么曲线；（2）先求出过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l参数方程，然后代入曲线C1，利用参数的应用进行求解的即可．【解答】解：（1）∵C1：（t为参数），C2：（θ为参数），∴消去参数得C1：（x+2）2+（y﹣1）2=1，C2：，曲线C1为圆心是（﹣2，1），半径是1的圆．曲线C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．（2）曲线C2的左顶点为（﹣4，0），则直线l的参数方程为（s为参数）将其代入曲线C 1整理可得：s2﹣3s+4=0，设A，B对应参数分别为s1，s2，则s+s2=3，s1s2=4，所以|AB|=|s﹣s2|==．【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，两点的距离公式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016•中山市二模）已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，或或，解得：﹣≤x≤；（2）不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，即|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a，由绝对值不等式的性质可得||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|，即有f（x）的最大值为|a+6|，∴或，解得：a≥﹣．【点评】题考查绝对值不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别，本题是一个存在问题，解决的是有的问题，本题是一个易错题，主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解，因思维错误导致错误．。
甘肃省2019年高考[理数]考试真题与答案解析
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甘肃省2019年高考[理科数学]考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B =A ．(–∞，1)B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞)2．设z =–3+2i ，则在复平面内对应的点位于z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知=(2,3)，=(3，t )，=1，则=ABAC ||BC AB BC ⋅ A ．–3B ．–2C ．2D ．34．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M2L ２，地月距离为R ，点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：2L .设，由于的值很小，因此在近似计算中，121223()()M M M R r R r r R +=++r R α=α34532333(1)ααααα++≈+则r 的近似值为A ．B ．21M R M 212M R M C ．D ．2313M R M 2313M R M 5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差6．若a >b ，则A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面8．若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p =2231x y pp+=A ．2 B ．3 C ．4 D ．89．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是2π4π2πA ．f (x )=│cos2x │B ．f (x )=│sin2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )=sin│x │10．已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=2πA ．B ．1555C ．D ．3325511．设F 为双曲线C ：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与22221(0,0)x y a b a b-=>>O OF 圆交于P ，Q 两点．若，则C 的离心率为222x y a +=PQ OF =A ．B ．23C ．2D ．512．设函数的定义域为R ，满足，且当时，．若对()f x (1) 2 ()f x f x +=(0,1]x ∈()(1)f x x x =-21．已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−.记M 的轨12迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：是直角三角形；PQG △（ii ）求面积的最大值.PQG △（二）选考题共10分。
甘肃河西五市高三第一次联考数学试题及答案
辽宁省抚顺市08-09学年普通高中高一上学期期末教学质量检测高一数学试卷题号 一 二 三 总分20 21 22 23 24得分试卷满分100分，考试时间90分钟．得分 评卷人 一、选择题：本大题共14个小题，每小题3 分，共42分． 在每小题后的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后的括号内．1．将集合“正奇数的全体”用描述法表示正确的是 （） A ．{x |21x n =+，n +∈N } B ．{x |21x n =-，n ∈+N }C ．{x |21x n =-，n ∈Z }D ．{x |21x n =+，n ∈Z }2．已知集合A={2|160x x -=}，B={2|120x x x --=}，则集合A B 是 （ ）A ． {-4，3，4}B ． {-3，-4，4}C ． {3，4}D ． {-3， 4}3．已知函数2f x =，则函数()f x 的表达式为 （） A ．42()21(0)f x x x x =++≥ B ．42()21(0)f x x x x =-+≥C ．42()21(1)f x x x x =++≥D ．42()21(1)f x x x x =-+≥4．如图1，是偶函数()y f x =所给信息，下列结论正确的是（ ） A ．(1)(2)0f f -->B ．(1)(2)0f f --=C ．(1)(2)0f f --<D ．(1)(2)0f f +-<5．已知二次函数2()(1)2f x a x =+-的图象经过坐标原点，则下列结论正确的是（） A ．函数()f x 有最大值2 B ．函数()f x 有最小值2C ．函数()f x 有最大值-2D ．函数()f x 有最小值-26．已知函数3()f x x x =--，若实数1x ，2x ，3x 满足120x x +>，230x x +>， 310x x +>，则下列结论一定正确的是 （） A ．123()()()(0)f x f x f x f ++> B ．123()()()(0)f x f x f x f ++=C ．123()()()(0)f x f x f x f ++<D ．123()()()2(0)f x f x f x f ++=7．函数y = （） A ．{|0x x >}和{|0y y >} B ．{|0x x >}和{|1y y ≥}C ．{|0x x ≥}和{|0y y >}D ．{|0x x ≥}和{|1y y ≥}8．式子832log 9log 27的值为 （ ） A ． 25 B ． 52 C ． 109 D ． 9109．下列判断正确的是 （ ）A ．棱柱中两个互相平行的面间的距离叫做棱柱的高B ．三棱锥的侧面可以都是直角三角形C ．底面是正多边形的棱台是正棱台D ．直平行六面体一定是正四棱柱10．如图2，是将一个正方体沿两个顶点及棱上一点截去一个“大角”后水平放置的直观图，则它的府视图为 （ ）A ．B ．C ．D ．11．下列说法正确的是 （ ）A ．过平面外的一点，可以作无数条直线与这个平面平行B ．过平面外的一点，可以作无数个平面与这个平面平行C ．若一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直D ．过不在平面内的一条直线可以作无数个平面与已知平面垂直12．已知点A （1，2），点B （3，4），则在坐标轴上到点A 与点B 的距离相等的点的坐标是 （ ）A ．（5，0）和（-5，0）B ．（0，5）和（0，-5）C ．（5，0）和（0，5）D ．（5，0）和（0，-5）13．下列各组直线中，互相垂直的一组是 （ ）A ．3470x y --=与121670x y --=B ．3470x y --=与121670x y ++=C ．2560x y +-=与2560x y --=D ．2560x y +-=与5260x y -+=14．已知一条直线经过点P （2，1），且与圆2210x y +=相交，截得的弦长为直线的方程为 （ ）A ．250x y ++=B ．250x y +-=图2C．250x y-+= D．250x y--=得分评卷人二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案直接写在题后的横线上．15．函数23()(1)(1)f x x x=-+的零点是．16．已知函数21(3)()13(3)x xf xx x-⎧=⎨-<⎩≥，则((2))f f-的值是．17．如果二次函数254y x mx=++在区间（-∞，1]-上是减函数，在区间[1-，+∞）是增函数，则m的值是．18．设正四棱台的上底面和下底面的边长分别为2cm和6cm，侧棱长为5cm，则这个正四棱台的高为 cm．19．已知长方体有正方形的侧面，三条棱AB，AC，AD，若点A（0，0，0），点B（3，0，0），点C（0，2，0），点D（0，0，m）在z轴的正半轴上，则m的值是．三、解答题：本大题共5个小题，满分43分，解答要求写出步骤过程得分评卷人 20．本题满分10分（每小题各5分）（1）试说明函数2()23f x x ax=+-的最小值为负数，并求出当最小值为-4时的a值．（2）计算：12266411 log(6)(0.2)lg4lg25log 3427--+⨯---．得分评卷人 21．本题满分8分如图3：在空间四边形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E是CD的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面BCD；（2）若F是AB的中点，BC=AD，且AB=8，AE=10，求EF的长．得分评卷人 22已知圆C经过点A（0，5）、B（1）求圆C的方程；（2）求斜率为2且与圆C得分评卷人 23某服装加工厂对外批发某种服装，生产成本为每件60元．该加工厂为了鼓励零售商大批量购买，推出优惠政策：一次购买不超过50件时，只享受批发价；一次购买超过50件时，每多．购买1件，购买者所购买的所有．．服装可在享受批发价的基础上，每件再降低0.2元，但每件最低价不低于50元．（1）试写出该种服装实际售价()f x与销售数量x的函数关系式；（2）在每件实际售价高于50元时，购买者一次购买多少件，加工厂获得的利润最大？（利润=销售总额－成本）得 分 评卷人 24．本题满分9分已知0a >且1a ≠，211(log )()1a f x x a x=--． （1）求函数()f x 的解析式；（2）试判定函数()f x 的奇偶性与单调性；（3）若对于函数()f x ，当x ∈（-1，1）时，有(1)(32)0f m f m -+-<恒成立，求实数m 的取值范围．抚顺市08-09学年普通高中高一上学期期末教学质量检测高一数学试卷参考答案与评分标准15、二重零点-1和零点1；16、13；17、10；1819、2或3．三、解答题：共5个小题，满分43分．20、本题满分10分．（1）解：因为22()()3f x x a a =+--，所以当x a =-时，()f x 取得最小值23a --，又对于a ∈R ，20a -≤，230a --<，所以()f x 取得最小值为负数……3分当234a --=-时，解得1a =-或1a =……2分（2）解：原式=12264251log 27()()lg(425)345--⨯+⨯-⨯ ……3分 =2262log 625lg102102105+⨯-=+-= ……2分 21、本题满分8分．（1）证明：因为AC=AD ，BC=BD ，且E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD ，且AE ⊥CD ，又AE BE=E ，所以CD ⊥平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面BCD ……3分（2）因为E 是CD 的中点，所以CE=ED ，由（1）知BE ⊥CD ，且AE ⊥CD ，所以BC 2=BE 2+CE 2=BE 2+ED 2，AD 2=AE 2+ED 2，因为BC=AD ，所以AE = BE ……3分AB 的中点，所以AF=FB=4，且EF ⊥AB ，所以=2分22、本题满分8分．解：（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则有525025034250E F D E F D E F ++=⎧⎪-++=⎨⎪+--=⎩，解这个方程组得D=6，E=-2，F=-15……3分所以圆C 的方程为22(3)(1)25x y ++-=……2分（2）由题意设所求直线的方程为2y x b =+5=，得7b =±所以直线方程为27y x =++或27y x =+-3分23、本题满分8分．解：（1）设购买者一次购买x 件，每件实际售价恰好是50元，则由题得：60(50)0.250x --⨯=，解得100x = ……1分 所以60(050)1()70(50100)550(100)x f x x x x <⎧⎪⎪=-<<⎨⎪⎪⎩≤≥ ……3分 （2）当050x <≤时，加工厂的利润为604020x x x -=，最大利润为当50x =时取得，最大利润为20501000⨯=元……1分当50100x <<时，加工厂的利润为211(70)403055x x x x x --=-+， 最大利润为当75x =时取得，最大利润为1125元，答：当购买者一次购买75件时，加工厂获得的利润最大，为1125元……3分24、本题满分9分．解：（1）令log a x t =，则t x a =，得21()()1t t f t a a a -=--， 所以21()()1x x f x a a a -=-- ……2分 （2）因为2211()()()()11x x x x f x a a a a f x a a ---=-=--=---， 所以函数()f x 为奇函数……1分任取12x x <，则2112()2121()()()(1)1x x x x f x f x a a a a -+-=-+- 因为当0a >且1a ≠，恒有21()()0f x f x ->，所以()f x 为增函数……3分（3）因为()f x 为奇函数，所以由(1)(32)0f m f m -+-<得(1)(32)(23)f m f m f m -<--=-，又()f x 为增函数，所以有1111321123m m m m -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，解得1132m << ……3分。
甘肃省2019届高三第一次高考诊断考试理科数学试卷附答案解析
2019年甘肃省高考一诊试卷数学(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A,—— H—i B.———i C.—— H i 252525252525【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算，将复数化简为a+bi的形式，由此得出正确选项.71 D,—2525【详解】依题意,(l+i)(3+4i)_—l+7i八乱一(3—42)(3+4，)25~17—方+云'，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题.2.已知全集U=R,集合A={x\-3<x<l},B={x\x<—2或x>2},那么集合A n(C…B)=()A.{x|—3<x<—2}B.{x|—3<x<2}C.(x|—2<x<1}D.(x|x<lgfcx>2)【答案】C【解析】【分析】先求得集合B的补集，然后求其与集合A的交集.【详解】依题意C u B={x\-2<x<2},故/10(^6)={%|-2<%<1},故选C.【点睛】本小题主要考查集合补集的运算，考查集合交集的运算，属于基础题.2,713.己知平面向量片的夹角为与■,淑=(0,—1),|日|=2,贝!]|2a+B|=()A.4B.2C.2^/2D.2龙【答案】B【解析】【分析】将\2a+t\两边平方，利用向量数量积的运算求解得出数值，然后开方得到结果.【详解】依题意 |2』+ = J(2& + 酣=^4a 2 + 4a-b + b 2 = f4 + 4xlx2x (-：) + 2?=皿=2.故选 B.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量模的坐标表示，属于基础题.4.抛物线v v 22 = 8x 的焦点到双曲线二-/ = 1的渐近线的距离是()4R 2扼5C 四!. 5【答案】C【解析】【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果.【详解】依题意，抛物线的焦点为(2,0),双曲线的渐近线为y= ±2x,其中一条为2x-y = 0,由点到直线的距4 4a /5离公式得d = — = —^~.故选C.【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础 题.5.已知函数的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()A. f(x) = e 闵.cosxC. /(x) =+ cosx 【答案】D【解析】【分析】 B. f(x) = ln\x\ • cosx D. f(x) = ln\x\ + cosx根据函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】对于A,B 两个选项，4；) = 0,不符合图像，排除A,B 选项.对于C 选项，f(l) = e + cosl>L 不符合 图像，排除C 选项，故选D.【点睛】本小题主要考查根据函数图像选择相应的解析式，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.71 716.若函数/(x) = asiwc + cosx 在［-弓引为增函数，则实数。
甘肃省2019届高三第一次高考诊断性考试数学(理)试题
甘肃省2019届高三第一次高考诊断性考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={x|lg（x﹣1）＞0}，则A∩（∁u B）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|x＜2}D．{x|x≤1}2．在复平面内，复数z满足z（1﹣i）=（1+2i）（i是虚数单位），则z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知，为两个非零向量，设命题p：|•|=||||，命题q：与共线，则命题p是命题q成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若bsinA=3csinB，a=3，，则b=（）A．14 B．6 C．D．5．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n 除以m的余数，例如MOD（8，3）=2，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n的值为（）A．16 B．14 C．12 D．106．某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）A．110 B．100 C．90 D．807．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（）A．B． C．3πD．38．已知直线ax+y﹣1=0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（）A．B．﹣1 C．1或﹣1 D．19．，，则的值为（）A．B．C．D．10．已知命题：①函数y=2x（﹣1≤x≤1）的值域是[，2]；②为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度；③当n=0或n=1时，幂函数y=x n的图象都是一条直线；④已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（2，4）．其中正确的命题是（）A．①③B．①④C．①③④D．①②③④11．已知O为坐标原点，双曲线上有一点P，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形OAPB的面积为1，则双曲线C的离心率为（）A． B．C．2 D．12．已知函数f （x ）=aln （x +1）﹣x 2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p ，q ，若不等式＞1恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[15，+∞） B ．[6，+∞） C ．（﹣∞，15] D ．（﹣∞，6]第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若sin sin 1αβ-=-，1cos cos 2αβ-=，则cos()αβ-= ． 14.观察下列式子：1，121++，12321++++，1234321++++++，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于*n N ∈，则1221n ++++++= ．15.已知函数：①()2sin(2)3f x x π=+；②()2sin(2)6f x x π=-；③1()2sin()23f x x π=+；④1()2sin()23f x x π=-.其中，最小正周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数序号是 ． 16.已知定义域为[0,)+∞的函数()f x 满足()2(2)f x f x =+，当[0,2)x ∈时，2()24f x x x =-+，设()f x 在[22,2)n n -上的最大值为*()n a n N ∈，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan tan tan 1)A C A C +-.（1）求角B ；（2）如果2b =，求ABC ∆面积的最大值.18. 现如今，“网购”一词不再新鲜，越来越多的人已经接受并喜欢了这种购物方式，但随之也出现了商品质量不能保证与信誉不好等问题，因此，相关管理部门制定了针对商品质量与服务的评价体系，现从评价系统中选出成功交易200例，并对其评价进行统计：对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.（1）依据题中的数据完成下表，并通过计算说明，能否有99.9%的把握认为“商品好评与服务好评”有关；（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行了5次购物，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ，求X 的分布列（概率用算式表示）、数学期望和方差.19. 如图所示的空间几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面ABCD ，//EF AB ，//EG AD ，1EF EG ==，3AE =.（1）求证：平面CFG ⊥平面ACE ；（2）求平面CEG 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.20. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为1(2,0)F -，点B 在椭圆C 上，直线(0)y kx k =≠与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 分别与y 轴交于点,M N .（1）求椭圆C 的方程；（2）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.21. 已知函数2()ln f x ax bx x x =++在(1,(1))f 处的切线方程为320x y --=.（1）求实数,a b 的值；（2）设2()g x x x =-，若k Z ∈，且(2)()()k x f x g x -<-对任意的2x >恒成立，求k 的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知点(1,1)B ，曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且l 过点A ；过点B 与直线l 平行的直线为1l ，1l 与曲线C 相交于两点,M N .（1）求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值；（2）求||MN 的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|||f x x x a =-++.（1）当3a =时，解关于x 的不等式|1|||6x x a -++>；（2）若函数()()|3|g x f x a =-+存在零点，求实数a 的取值范围.甘肃省2019届高三第一次高考诊断性考试数学（理）试题试卷答案一、选择题1．已知全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={x|lg（x﹣1）＞0}，则A∩（∁u B）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|x＜2}D．{x|x≤1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】lg（x﹣1）＞0，可得x﹣1＞1，可得B，∁R B．再利用集合的运算性质可得：A∩（∁u B）．【解答】解：∵lg（x﹣1）＞0，∴x﹣1＞1，解得x＞2．∴B={x|lg（x﹣1）＞0}=（2，+∞），∴∁R B=（﹣∞，2]．则A∩（∁u B）=（﹣∞，2）．故选：C．2．在复平面内，复数z满足z（1﹣i）=（1+2i）（i是虚数单位），则z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由足z（1﹣i）=（1+2i），得，∴z对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．3．已知，为两个非零向量，设命题p：|•|=||||，命题q：与共线，则命题p是命题q成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设与的夹角为θ．若与共线，则cosθ=±1．再利用数量积运算性质即可判断出结论．【解答】解：设与的夹角为θ．若与共线，则cosθ=±1．∴|•|=|||||cosθ|=||||，反之也成立．∴命题p是命题q成立的充要条件．故选：C．4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若bsinA=3csinB，a=3，，则b=（）A．14 B．6 C．D．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】bsinA=3csinB，利用正弦定理可得ab=3cb，化简解得c，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：在△ABC中，∵bsinA=3csinB，∴ab=3cb，可得a=3c，∵a=3，∴c=1．∴==，解得b=．故选：D．5．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n 除以m的余数，例如MOD（8，3）=2，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n的值为（）A．16 B．14 C．12 D．10【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次代入各选项，计算MOD（n，i）的值，验证输出的结果是否为4，即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：①若n=16，i=3，MOD（16，3）=1，不满足条件MOD（16，3）=0，i=4，MOD（16，4）=0，满足条件MOD（16，4）=0，退出循环，输出i的值为4，满足题意；②若n=14，i=3，MOD（14，3）=2，不满足条件MOD（14，3）=0，i=4，MOD（14，4）=2，不满足条件MOD（14，4）=0，i=5，MOD（14，5）=4，不满足条件MOD（14，5）=0，i=6，MOD（14，6）=2，不满足条件MOD（14，6）=0，i=7，MOD（14，7）=0，满足条件MOD（14，7）=0，退出循环，输出i的值为7，不满足题意；③若n=12，i=3，MOD（12，3）=0，满足条件MOD（12，3）=0，退出循环，输出i的值为3，不满足题意；④若n=10，i=3，MOD（10，3）=1，不满足条件MOD（10，3）=0，i=4，MOD（10，4）=2，不满足条件MOD（10，4）=0，i=5，MOD（10，5）=0，满足条件MOD（14，5）=0，退出循环，输出i的值为5，不满足题意；故选：A．6．某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）A．110 B．100 C．90 D．80【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据分层抽样的定义求出C抽取的人数，利用甲、乙二人均被抽到的概率是，直接进行计算即可【解答】解：∵按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，∴从中抽取一个容量为20的样本，则抽取的C组数为×20=2，设C组总数为m，则甲、乙二人均被抽到的概率为==，即m（m﹣1）=90，解得m=10．设总体中员工总数为x，则由==，可得x=100，故选：B．7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（）A．B． C．3πD．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球．【解答】解：该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球．设其四棱锥的外接球的半径为r，则3×12=（2r）2，解得r=．∴该几何体外接球的体积==．故选：A．8．已知直线ax+y﹣1=0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（）A．B．﹣1 C．1或﹣1 D．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，可得圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a的值．【解答】解：由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°=，再利用点到直线的距离公式可得=，∴a=±1，故选：C．9．，，则的值为（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由二倍角公式化简sin2α，由同角的三角函数恒等式得到（sinα+cosα）2，结合α的范围，得到开平方的值．【解答】解：∵，，∴sinαcosα=，∵sin2α+cos2α=1∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，=（cosα+sinα）=cosα+sinα=．故选：D10．已知命题：①函数y=2x（﹣1≤x≤1）的值域是[，2]；②为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度；③当n=0或n=1时，幂函数y=x n的图象都是一条直线；④已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（2，4）．其中正确的命题是（）A．①③B．①④C．①③④D．①②③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据指数函数的单调性进行判断．②根据三角函数的图象关系进行判断．③根据幂函数的定义和性质进行判断．④根据函数与方程的关系，利用数形结合进行判断．【解答】解：①∵y=2x是增函数，∴当﹣1≤x≤1时，函数的值域是[，2]；故①正确，②函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度，则y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣，则无法得到函数y=sin（2x﹣）的图象，故②错误，③当n=0时，y=x0=1，（x≠0）是两条射线，当n=1时，幂函数y=x的图象都是一条直线；故③错误，④作出函数f（x）的图象如图，∴f（x）在（0，1]上递减，在（1，2）上递增，在（2，+∞）单调递减，又∵a，b，c互不相等，∴a，b，c在（0，2]上有两个，在（2，+∞）上有一个，不妨设a∈（0，1]，b∈（1，2），c∈（2，+∞），则log2a+log2b=0，即ab=1，则abc的取值范围是c的取值范围，∵由﹣x+2=0，得x=4，则2＜c＜4，则2＜abc＜4，即abc的取值范围是（2，4）．故④正确，故选：B．11．已知O为坐标原点，双曲线上有一点P，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形OAPB的面积为1，则双曲线C的离心率为（）A． B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，设P（m，n）是双曲线上任一点，设过P平行于x+ay=0的直线为l，求得l的方程，联立另一条渐近线可得交点A，|OA|，求得P到OA的距离，由平行四边形的面积公式，化简整理，解方程可得a=2，求得c，进而得到所求双曲线的离心率．【解答】解：由双曲线方程可得渐近线方程x±ay=0，设P（m，n）是双曲线上任一点，设过P平行于x+ay=0的直线为l，则l的方程为：x+ay﹣m﹣an=0，l与渐近线x﹣ay=0交点为A，则A（，），|OA|=||，P点到OA的距离是：，∵|OA|•d=1，∴||•.=1，∵，∴a=2，∴，∴．故选：D．12．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p，q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围是（）A ．[15，+∞）B ．[6，+∞）C ．（﹣∞，15]D ．（﹣∞，6] 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由不等式进行转化判断函数的单调性，求函数的导数，利用参数分离法 进行求解即可．【解答】解：因为p ≠q ，不妨设p ＞q ，由于，所以f （p +1）﹣f （q +1）＞p ﹣q ，得[f （p +1）﹣（p +1）]﹣[f （q +1）﹣（q +1）]＞0，因为p ＞q ，所以p +1＞q +1，所以g （x ）=f （x +1）﹣（x +1）在（0，1）内是增函数，所以g'（x ）＞0在（0，1）内恒成立，即恒成立，所以a ＞（2x +3）（x +2）的最大值， 因为x ∈（0，1）时（2x +3）（x +2）＜15， 所以实数a 的取值范围为[15，+∞）． 故选：A ． 二、填空题2n 15. ② 16. 2142n --三、解答题17. 解：（Ⅰ）∵tan tan tan 1)A C A C +=-，即tan tan 1tan tan A CA C+=-∴tan()A C += 又∵A B C π++= ∴tan B =由于B 为三角形内角，故3B π=（Ⅱ）在ABC ∆中，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，所以224a c ac +=+∵222a c ac +≥ ∴4ac ≤，当且仅当2a c ==时等号成立∴ABC ∆的面积11sin 422S ac B =≤⨯=∴ABC ∆面积的最大值为18. 解：（Ⅰ） 根据题中条件可得关于商品和服务的22⨯列联表：22200(80104070)100=11.11110.82815050120809K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯因此，有99.9%的把握认为“商品好评与服务好评”有关. （Ⅱ）由题可得，每次购物时，对商品和服务都好评的概率为8022005= X 的所有可能的取值为0,1,2,3,4,5，则X ～2(5,)5B ，所以53(0)()5P X ==，114523(1)()()55P X C ==，223523(2)()()55P X C ==，332523(3)()()55P X C ==，44523(4)()()55P X C ==，52(5)()5P X ==分布列为：由于X ～2(5,)5B ，所以2()525E x =⨯=，226()5(1)555D X =⨯⨯-= 19. 解：（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 于点O ，则BD ⊥AC 设AB ，AD 的中点分别为M ，N ，连接MN ，则MN ∥BD ，连接FM ，GN ，则FM ∥GN 且FM GN =，所以MN ∥FG ，所以BD ∥FG由于AE ⊥平面ABCD ，所以 AE ⊥BD 所以FG AC ⊥，FG AE ⊥，所以FG ⊥平面ACE所以平面CFG ⊥平面ACE （Ⅱ）解法一：∵EG ∥AD ，∴EG ∥BC∴平面CEG 与平面ABCD 所成的锐二面角即为平面EBCG 与平面ABCD 所成的锐二面角连接BE ，∵AE ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥ ∴BE BC ⊥ ∴EBA ∠为平面EBCG 与平面ABCD 所成二面角的一个平面角 ∵3AE =，2AB =∴BE =∴cos AB EBA EB ∠==即平面CEG 与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为13解法二：建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0)(0,0,3)A B C E ，，(0,1,3)G 依题意(0,0,3)AE =为平面ABCD 的一个法向量， 设(,,)n x y z =为平面CEG 的一个法向量，则00n CE n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2302230x y z x y z --+=⎧⎨--+=⎩令3x =， 则0,2y z ==，所以(3,0,2)n =设平面C E G 与平面A B C D 所成的锐二面角为α，则3c o s ||||||313AE n AE n α⋅===⋅ 即平面CEG 与平面ABCD 20. 解：（Ⅰ） 设椭圆C 的方程为22221(0)x y a ba b+=>>∵椭圆的左焦点为1(20)F -，， ∴224a b -=． ∵点(B 在椭圆C 上， ∴22421a b +=． 解得，28a =，24b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（Ⅱ）依题意点A 的坐标为(-，设00(,)P x y （不妨设00x >），则00(,)Q x y --由22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得00x y ==所以直线AP的方程为y x =+直线AQ的方程为y x =+所以M，N所以，|||MN =-=设MN 的中点为E ，则点E 的坐标为(0,，则以MN 为直径的圆的方程为22222(12)(k x y k k +++=，即224x y y k++=令0y =得2x =或2x =-，即以MN 为直径的圆经过两定点1(2,0)P -，2(2,0)P 21. 解：（Ⅰ）()21ln f x ax b x '=+++， 所以213a b ++=且=1a b +， 解得=1a ，0b = （Ⅱ）由（Ⅰ）与题意知()()ln 22f xg x x x xk x x -+<=--对任意的2>x 恒成立， 设ln ()(2)2x x xh x x x +=>-，则242ln ()(2)x x h x x --'=-， 令()42ln (2)m x x x x =-->，则22()10x m x x x-'=-=>， 所以函数()m x 为(2,)+∞上的增函数.因为2(8)42ln842ln 440m e =-<-=-=，3(10)62ln1062ln 660m e =->-=-=所以函数()m x 在(8,10)上有唯一零点0x ，即有0042ln 0x x --=成立， 所以0042ln 0x x --=故当02x x <<时，()0m x <，即()0h x '<；当0x x <时，()0m x >，即()0h x '> 所以函数()h x 在0(1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增 所以000000min 0004(1)ln 2()()212x x x x x x h x h x x x -++====-- 所以02x k <，因为0(8,10)x ∈，所以0(4,5)2x∈，又因Z k ∈ 所以k 最大值为422. 解：（Ⅰ）因为)4A π，且A l ∈，所以)44a ππ-=，即a =所以直线l的极坐标方程为cos()4πρθ-=所以cos cossin sin44ππρθρθ+=即直线l 的直角坐标方程为8x y += 设曲线C上的点到直线l 距离为d ，则||7s i n ()8|d ==所以曲线C 上的点到直线l 距离的最小值为==（Ⅱ）设1l 的方程为0x y m ++=，由于1l 过点B ，所以2m =-，所以1l 的方程为20x y +-=故1l的参数方程为11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），曲线C 的普通方程为22143x y +=所以223(1)4(1)1222-++=，即有27100t +-=所以121210+77t t t t =-⋅=-所以12||||MN t t =-=7== 23.解：（Ⅰ）当3a =时，不等式为|1||3|6x x -++>即3136x x x ≤-⎧⎨--->⎩或31136x x x -<≤⎧⎨-++>⎩或1136x x x >⎧⎨-++>⎩解得：4x <-或2x >所以所求不等式的解集为(,4)(2,)-∞-+∞ ……………5分 （Ⅱ）函数()()|3g x f x a =-+存在零点等价为关于x 的方程|1|||=|3x x a a -+++ 有解因为|1||||1()||1|x x a x x a a -++≥-++=+所以|3||1|a a +≥+，即22|3||1|a a +≥+ 解得2a ≥-所以实数a 的取值范围是[2,)-+∞。
2019年甘肃省高考一诊理科数学答案
令 y1 = 1 ，可得 m = ( 3,1, 2) ．
⎪⎩m ⋅ BM = 0, ⎪⎩− 3x1 + y1 + z1 = 0,
……10 分
cos < n, m >= m ⋅ n =
3 × 3 + 0×1+ 3× 2 = 3 6
m ⋅ n ( 3)2 + 32 ( 3)2 + 12 + 22 8
所以二面角 A − BM − C 的余弦值是 − 3 6 . 8
4 3a + a + 4
AE AC
即 p = 3a + a = 4a ，所以 p = 4a = 8 ，
4 3a + a + 4 4a + 4
a +1 3
选 C.
12.【解析】令 g(x) =
f (x) ex
，则
g ′( x)
=
f ′(x)ex − f (x)ex e2x
=
f ′(x) − ex
f (x) .
2019 年甘肃省第一次高考诊断理科数学考试参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的. 1. A 2. C 3.B 4.C 5.D 6. A 7. C 8.A 9.B 10.D 11. C 12. B 11.【解析】过 A,B 分别作准线的垂线交准线于 E,D.因为
…………………7 分
令 h(x) = x −1− ln x ，则 h′(x) = 1 − l = x − l . 当 x ∈(1，+∞) 时，h′(x) > 0 , 函数 h(x) 在
2019年甘肃省高考数学一模试卷(理科)
2019年甘肃省高考数学一模试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A={x|（x+1）（3﹣x）＞0}，集合B={x|1﹣x＞0}，则A∩B等于（）A．（1，3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，3）D．（﹣1，1）2．i为虚数单位，（）2=（）A．1B．﹣1C．iD．﹣i3．设向量，，且，则实数m的值为（）A．﹣10B．﹣13C．﹣7D．44．已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°5．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均甲、乙和中位数y甲、y乙进行比较，下面结论正确的是（）A．甲＞乙，y甲＞y乙B．甲＜乙，y甲＜y乙C．甲＜乙，y甲＞y乙D．甲＞乙，y甲＜y乙6．如图，是一个几何体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）、俯视图，正视图（主视图）、侧视图（左视图）都是矩形，则该几何体的体积是（）A．24B．12C．8D．47．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．则输出的S=（）A．B．C．D．8．如图，y=f（x）是可导函数，直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）=（）A．﹣1B．0C．2D．49．在约束条件下，当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是（）A．[6，15]B．[7，15]C．[6，8]D．[7，8]10．已知直线ax+by﹣1=0（ab＞0）经过圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，则最小值是（）A．9B．8C．6D．411．已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB△l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，△ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，e2+]B．（0，e2+]C．（e2+，+∞]D．（﹣e2﹣，e2+]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2019届甘肃省高三一模数学(理)试卷【含答案及解析】
2019届甘肃省高三一模数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）A. B. C. D.2. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的值为（）参考数据：，，．A. 12B. 24C. 48D. 963. 已知，，则（）A. B. C. D.4. 甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（）A. B. C. D.5. 、分别是双曲线（，）的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6. 已知在区间内任取两个实数、，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题7. 已知直线、和平面、，下列命题中假命题的是 ____________ （只填序号）．①若，则平行于经过的任何平面；②若，，则；③若，，且，则；④若，且，则．8. 有一个游戏，将标有数字1，2,3,4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为 __________ ．9. 已知的顶点和顶点，顶点在椭圆上，则__________ ．10. 定义1：若函数在区间上可导，即存在，且导函数在区间上也可导，则称函数在区间上存在二阶导数，记作，即．定义2：若函数在区间上的二阶导数恒为正，即恒成立，则称函数在区间上为凹函数．已知函数在区间上为凹函数，则的取值范围是 __________ ．11. 已知数列中，，，且，，成等比数列，数列满足 .（1）求数列的通项公式；（2）设是数列前项和，求 .三、解答题12. 某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用、、三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如表：p13. ly:宋体; font-size:11.5pt">方式实施地点大雨中雨小雨模拟实验总次数甲 4次 6次 2次 12次乙 3次 6次 3次 12次丙 2次 2次 8次 12次假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟实验的统计数据：（Ⅰ）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；（Ⅱ）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只能是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望．14. 如图<1>:在直角梯形中，，，，，于点，把沿折到的位置，使，如图<2>：若，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面的夹角．15. 如图已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点是椭圆上异于、的任意一点，且直线、分别与轴交于点、，为坐标原点，求证：为定值．16. 设函数，，．（Ⅰ）试讨论的单调性；（Ⅱ）当时，在恒成立，求实数的取值．17. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，它在点处的切线为直线．（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点为椭圆上一点，求点到直线的距离的取值范围．18. 选修4-5：不等式选讲已知函数，．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若对于，，有，，求证：．四、选择题19. 在复平面内，两个共轭复数所对应的点（）A. 关于轴对称________B. 关于轴对称________C. 关于原点对称________D. 关于直线对称20. 已知集合，，则集合与集合的关系是（）A. B. C. D.21. 已知两个单位向量，的夹角为，且满足，则实数的值是（）A. B. C. D.22. 直线被圆截得的弦长为（）A. 1B. 2C. 4D.23. 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A. 12种________B. 10种________C. 9种________D. 8种24. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则主视图中的值是（）A. B. C. D.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。
2019年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)-含答案解析
高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（每小题5分）1．已知集合A={1，2，3}，B={x∈Z|（x+2）（x﹣3）＜0}，则A∪B（）A．{1} B．{﹣1，0，1，2，3} C．{1，2} D．{0，1，2，3}2．已知z是复数，且=1+i，则z在复平面内对应的点的坐标为（）A．（﹣3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．169石B．192石C．1367石 D．1164石4．已知直线l与平面α相交但不垂直，m为空间内一条直线，则下列结论一定不成立的是（）A．m⊥l，m⊂αB．m⊥l，m∥αC．m∥l，m∩α≠∅D．m⊥l，m⊥α5．在等差数列{an }中，a1+a2=1，a2016+a2017=3，Sn是数列{an}的前n项和，则S2017=（）A．6051 B．4034 C．2017 D．10096．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4+2πB．8+2πC．4+πD．8+π7．若圆x2+y2+4x﹣2y﹣a2=0截直线x+y+5=0所得弦的长度为2，则实数a=（）A．±2 B．﹣2 C．±4 D．48．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.99．已知实数x，y满足且ax﹣y+1﹣a=0，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，1）B．[﹣1，] C．（﹣1，] D．[﹣，]10．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一个对称中心是（）A．（﹣，1）B．（﹣，1）C．（，1）D．（，0）11．设抛物线K：x2=2py（p＞0），焦点为F，P是K上一点，K在点P处的切线为l，d为F到l的距离，则（）A． =p B． =p C． =2p D． =12．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）+﹣f（x）﹣f（y）=0，若一族平行线x=xi （i=1，2，…，n）分别与y=f（x）图象的交点为（x1，y 1），（x2，y2），…，（xn，yn），且xi，2f（1），xn﹣i+1成等比数列，其中i=1，2，…，n，则=（）A．2n B．1 C．D．二、填空题（每小题5分）13．已知向量=（1，﹣1），•=0，|﹣|=2，则||= ．14．已知（a+）6（a＞0）展开式中的常数项是5，则a= ．15．已知函数f（x）=若方程f（x）﹣a=0有唯一解，则实数a 的取值范围是．16．设数列{an }满足：a1=1，an=e2an+1（n∈N*），﹣=n，其中符号Π表示连乘，如i=1×2×3×4×5，则f（n）的最小值为．三、解答题17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b，c是关于x的一元二次方程x2+mx﹣a2+b2+c2=0的两根．（1）求角A的大小；（2）已知a=，设B=θ，△ABC的面积为y，求y=f（θ）的最大值．18．持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车排放的尾气是造成雾霾天气的重要因素之一．为了贯彻落实国务院关于培育战略性新兴产业和加强节能减排工作的部署和要求，中央财政安排专项资金支持开展私人购买新能源汽车补贴试点．2017年国家又出台了调整新能源汽车推广应用财政补贴的新政策，其中新能源乘用车推广应用补贴标准如表：某课题组从汽车市场上随机选取了20辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R（单词充电后能行驶的最大里程，R∈[100，300]）进行如下分组：第1组[100，150），第2组[150，200），第3组[200，250），第4组[250，300]，制成如图所示的频率分布直方图．已知第1组与第3组的频率之比为1：4，第2组的频数为7．纯电动续驶里程R（公里）100≤R＜150 150≤R＜250R＞250补贴标准（万元/辆）2 3.6 44（1）请根据频率分布直方图统计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程；（2）若以频率作为概率，设ξ为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）．19．如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1．（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（2）若平面PAD与PBC所成的锐二面角的大小为，求线段PD的长度．20．已知椭圆E：x2+3y2=m2（m＞0）的左顶点是A，左焦点为F，上顶点为B．（1）当△AFB的面积为时，求m的值；（2）若直线l交椭圆E于M，N两点（不同于A），以线段MN为直径的圆过A点，试探究直线l是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由．21．已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1）e x．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）若方程a（+1）+ex=e x在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），曲线C2的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）射线θ=﹣与曲线C1的交点为P，与曲线C2的交点为Q，求线段PQ的长．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围；（2）若集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分）1．已知集合A={1，2，3}，B={x∈Z|（x+2）（x﹣3）＜0}，则A∪B（）A．{1} B．{﹣1，0，1，2，3} C．{1，2} D．{0，1，2，3}【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x∈Z|（x+2）（x﹣3）＜0}={﹣1，0，1，2，}，∴A∪B={﹣1，01，1，2，3}．故选：B．2．已知z是复数，且=1+i，则z在复平面内对应的点的坐标为（）A．（﹣3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解： =1+i，∴z+2=i﹣1，化为：z=﹣3+i，则z在复平面内对应的点的坐标为（﹣3，1）．故选：A．3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．169石B．192石C．1367石 D．1164石【考点】简单随机抽样．【分析】根据224粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1536×=192石，故选：B．4．已知直线l与平面α相交但不垂直，m为空间内一条直线，则下列结论一定不成立的是（）A．m⊥l，m⊂αB．m⊥l，m∥αC．m∥l，m∩α≠∅D．m⊥l，m⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：设过l和l在平面α内的射影的平面为β，则当m⊥β时，有m⊥l，m∥α或m⊂α，故A，B正确．若m∥l，则m与平面α所成的夹角与l与平面α所成的夹角相等，即m与平面α斜交，故C正确．若m⊥α，设l与m所成的角为θ，则0＜θ＜．即m与l不可能垂直，故D 错误．故选：D．5．在等差数列{an }中，a1+a2=1，a2016+a2017=3，Sn是数列{an}的前n项和，则S2017=（）A．6051 B．4034 C．2017 D．1009【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据题意和等差数列的性质求出a1+a2017的值，由等差数列的前n项和公式求出S2017的值．【解答】解：在等差数列{an}中，因为a1+a2=1，a2016+a2017=3，所以a1+a2017=a2+a2016=2，所以S2017==2017，故选C．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4+2πB．8+2πC．4+πD．8+π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．【解答】解：该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．∴该几何体的体积V==8+．故选：D．7．若圆x2+y2+4x﹣2y﹣a2=0截直线x+y+5=0所得弦的长度为2，则实数a=（）A．±2 B．﹣2 C．±4 D．4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心和半径，根据弦长公式进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5+a2，r2=5+a2，则圆心（﹣2，1）到直线x+y+5=0的距离为=2，由12+（2）2=5+a2，得a=±2，故选：A．8．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得此程序框图的功能是计算并输出S=+的值，结合选项，只有当S的值为0.7时，n不是正整数，由此得解．【解答】解：模拟执行程序，可得此程序框图执行的是输入一个正整数n，求+的值S，并输出S，由于S=+=1+…+﹣=1﹣=，令S=0.7，解得n=，不是正整数，而n分别输入2，3，8时，可分别输出0.75，0.8，0.9．故选：A．9．已知实数x，y满足且ax﹣y+1﹣a=0，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，1）B．[﹣1，] C．（﹣1，] D．[﹣，]【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，化简目标函数，推出a的表达式，利用不等式的几何意义，求解范围即可．【解答】解：实数x，y满足的可行域如图：可知x≤﹣1，由ax﹣y+1﹣a=0，可得：a=，它的几何意义是可行域内的点与D（1，1）连==．最小值大于与直线线的斜率，由图形可知连线的斜率的最大值为KBDx+y=0平行时的斜率．可得a∈（﹣1，]．故选：C．10．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一个对称中心是（）A．（﹣，1）B．（﹣，1）C．（，1）D．（，0）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一个对称中心．【解答】解：∵f （x ）=cos （2x ﹣）+2cos 2x=cos2x+sin2x+1=sin （2x+）+1，∴将函数y=f （x ）的图象向右平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，可得：g （x ）=sin[2（x ﹣）+]+1=sin2x+1，∴令2x=k π，k ∈z ，可得x=，k ∈z ，∴当k=﹣1时，可得函数的图象的对称中心为（﹣，1），故选：A ．11．设抛物线K ：x 2=2py （p ＞0），焦点为F ，P 是K 上一点，K 在点P 处的切线为l ，d 为F 到l 的距离，则（ ） A ．=pB ．=p C ．=2p D ．=【考点】抛物线的简单性质．【分析】设P （x 0，y 0），则K 在点P 处的切线方程为l ：y ﹣y 0=（x ﹣x 0），再根据点到直线的距离公式，化简计算即可得到．【解答】解：设P （x 0，y 0），则K 在点P 处的切线方程为l ：y ﹣y 0=（x ﹣x 0），则x 02=2py 0，得l ：x 0x ﹣py ﹣py 0=0， 又F （0，），所以d====•⇒=，故选：D12．已知定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足f （xy ）+﹣f （x ）﹣f （y ）=0，若一族平行线x=x i （i=1，2，…，n ）分别与y=f （x ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ），且x i ，2f （1），x n ﹣i+1成等比数列，其中i=1，2，…，n，则=（）A．2n B．1 C．D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】利用xi ，2f（1），xn﹣i+1成等比数列，得xixn﹣i+1=1，f（xi）+f（xn﹣i+1）=f（xi xn﹣i+1）+=1，求出2=1+1+…+1=n，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（1）=，∵xi ，2f（1），xn﹣i+1成等比数列，∴xi xn﹣i+1=1，∴f（xi ）+f（xn﹣i+1）=f（xixn﹣i+1）+=1，∴2=1+1+…+1=n，∴=故选：C．二、填空题（每小题5分）13．已知向量=（1，﹣1），•=0，|﹣|=2，则||= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：∵向量=（1，﹣1）=，•=0，∴|﹣|2=||2﹣2+||2=4，∴||2=2，∴||=，故答案为：14．已知（a+）6（a＞0）展开式中的常数项是5，则a= ．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式求出展开式的常数项的表达式，列方程求出a的值．【解答】解：（a+）6（a＞0）展开式中，通项公式为：T=••=a6﹣r•••，r+1令3﹣=0，解得r=2；∴展开式的常数项是a4••=5，解得a=±；又a＞0，∴a=．故答案为：．15．已知函数f（x）=若方程f（x）﹣a=0有唯一解，则实数a 的取值范围是（1，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题知f（x）为分段函数，当x大于0时，由f（x）=f（x﹣1）可知当x大于1时，f（x）=0，小于1大于0时函数为减函数；当x小于等于0时函数为减函数，在同一坐标系中画出函数f（x）的图象与函数y=a的图象，利用数形结合，易求出满足条件实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=的图象如图所示，当a＞1时，函数y=f（x）的图象与函数y=a的图象有唯一个交点，即方程f（x）﹣a=0有唯一解，．故答案为（1，+∞）．16．设数列{an }满足：a1=1，an=e2an+1（n∈N*），﹣=n，其中符号Π表示连乘，如i=1×2×3×4×5，则f（n）的最小值为﹣．【考点】数列递推式．【分析】a1=1，an=e2an+1（n∈N*），可得an=e﹣2（n﹣1）.﹣=n，化为：f（n）==．考查函数f（x）=的单调性，利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：∵a1=1，an=e2an+1（n∈N*），∴an=e﹣2（n﹣1）．﹣=n，化为：f（n）==．考查函数f（x）=，f′（x）=（4x2﹣12x+3）•，令f′（x）=0，解得x1=，x2=，∴0＜x1＜1，2＜x1＜3．当x＜x1时，f′（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0；当x＞x2时，f′（x）＞0．即f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）单调递增，在（x1，x2）上单调递减，∴h（x）min =h（x2），即f（n）min=min{f（2），f（3）}，f（2）=＞f（3）=﹣．∴f（n）=f（3）=﹣．min故答案为：﹣．三、解答题17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b，c是关于x的一元二次方程x2+mx﹣a2+b2+c2=0的两根．（1）求角A的大小；（2）已知a=，设B=θ，△ABC的面积为y，求y=f（θ）的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知化简可得：b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可求cosA=，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由已知及正弦定理可得b=2sinθ，c=2sin（﹣θ），利用，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用化简可求y=sin（2θ﹣）+，由0＜θ＜，可得范围﹣＜2θ﹣＜，利用正弦函数的图象可求最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，由题意可得：bc=﹣a2+b2+c2，可得：b2+c2=a2+bc，∴cosA==，又∵A∈（0，π），∴A=．…6分（2）由a=，A=及正弦定理可得：，∴b=2sinB=2sinθ，c=2sinC=2sin（﹣B）=2sin（﹣θ），∴y=bcsinA=sinθsin（﹣θ）=sinθ（cosθ+sinθ）=sin2θ﹣cos2θ+=sin（2θ﹣）+，由于0＜θ＜，可得：﹣＜2θ﹣＜，∴当2θ﹣=，即θ=时，ymax=．…12分18．持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车排放的尾气是造成雾霾天气的重要因素之一．为了贯彻落实国务院关于培育战略性新兴产业和加强节能减排工作的部署和要求，中央财政安排专项资金支持开展私人购买新能源汽车补贴试点．2017年国家又出台了调整新能源汽车推广应用财政补贴的新政策，其中新能源乘用车推广应用补贴标准如表：某课题组从汽车市场上随机选取了20辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R（单词充电后能行驶的最大里程，R∈[100，300]）进行如下分组：第1组[100，150），第2组[150，200），第3组[200，250），第4组[250，300]，制成如图所示的频率分布直方图．已知第1组与第3组的频率之比为1：4，第2组的频数为7．纯电动续驶里程R（公里）100≤R＜150 150≤R＜250R＞250补贴标准（万元/辆）2 3.644（1）请根据频率分布直方图统计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程；（2）若以频率作为概率，设ξ为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由表格分别求出第一组、第二组、第三组、第四组的频率，由此利用频率分布直方图能估计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程．（2）由题意知ξ的可能取值为2，3.6，4.4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由表格知第一组的频率为0.1，第二组的频率为，第三组的频率为0.4，第四组的频率为0.15，∴频率分布直方图估计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程为：125×0.1+175×0.35+225×0.4+275×0.15=205（公里）．（2）由题意知ξ的可能取值为2，3.6，4.4，P（ξ=2）=0.1，P（ξ=3.6）=0.75，P（ξ=4.4）=0.15，∴ξ的分布列为：ξ 2 3.6 4.4P 0.1 0.75 0.15Eξ=2×0.1+3.6×0.75+4.4×0.15=3.56．19．如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1．（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（2）若平面PAD与PBC所成的锐二面角的大小为，求线段PD的长度．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）设PC交DE于点N，连结MN，MN∥AC，由此能证明AC∥平面MDE．（2）设PD=a，（a＞0），推导出PD⊥平面ABCD，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段PD的长度．【解答】证明：（1）设PC交DE于点N，连结MN，在△PAC中，∵M，N分别是PA，PC的中点，∴MN∥AC，又AC⊄平面MDE，MN⊂平面MDE，∴AC∥平面MDE．解：（2）设PD=a，（a＞0），∵四边形PDCE是矩形，四边形ABCD是梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，又∵∠BAD=∠ADC=90°，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，a），B（1，1，0），C（0，2，0），，平面PAD的法向量=（0，1，0），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=a，得=（a，a，2），∵平面PAD与PBC所成的锐二面角的大小为，∴cos===，解得a=．∴线段PD的长度为．20．已知椭圆E：x2+3y2=m2（m＞0）的左顶点是A，左焦点为F，上顶点为B．（1）当△AFB的面积为时，求m的值；（2）若直线l交椭圆E于M，N两点（不同于A），以线段MN为直径的圆过A点，试探究直线l是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）将椭圆方程转化成标准方程，则三角形AFB的面积S=b×（b﹣c），代入即可求得m的值；（2）设直线AM的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理求得M和N的方程，当l 的斜率不存在时，显然可得k=1，求得圆心为P（﹣，0），当l的斜率存在时，由利用两点的斜率公式求得kPM =kPN，直线l是否过定点．【解答】解：（1）由椭圆方程：，则a=m，b=，c=，由三角形AFB的面积S，S=b×（b﹣c）=，则（m﹣）﹣，解得：m=，∴m的值为；（2）由线段MN过直径的圆过A点，则MA⊥NA，设直线AM的斜率为k（k＞0），则直线AN的斜率为﹣，AM为y=k（x+m），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3k2+1）x2+6k2mx+（3k2﹣1）m2=0，则x1（﹣m）=，则x1=，故y1=k（x1+m）=，则M（，），直线AN的方程为y=﹣（x+m），同理可得：N（，﹣），当l的斜率不存在时，显然可得k=1，此时M（﹣，），N（﹣，﹣），则圆心为P（﹣，0），由直线l总穿过x轴，证明当l的斜率存在时，也过点P（﹣，0），当l的斜率存在时，kPM ===kPN（k＞0，k≠1），综上可知：l过定点（﹣，0）．21．已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1）e x．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）若方程a（+1）+ex=e x在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题可化为e x﹣ax2+（a﹣e）x=0，令g（x）=e x﹣ax2+（a﹣e）x，则g（x）在（0，1）内有零点，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a 的范围即可．【解答】解：（1）f′（x）=（x2+x﹣2）e x=（x﹣1）（x+2）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜1，故f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）方程a（+1）+ex=e x可化为e x﹣ax2+（a﹣e）x=0，令g（x）=e x﹣ax2+（a﹣e）x，则g（x）在（0，1）内有零点，易知g（0）=1，g（1）=0，g′（x）=e x﹣2ax+a﹣e，设g′（x）=h（x），则h′（x）=e x﹣2a，①a＜0时，h′（x）＞0，即h（x）在区间（0，1）递增，h（0）=1+a﹣e＜0，h（1）=﹣a＞0，即h（x）在区间（0，1）只有1个零点x1，故g（x）在（0，x1）递减，在（x1，1）递增，而g（0）=1＞0，g（1）=0，得g（x1）＜g（1）=0，故g（x）在（0，x1）内存在唯一零点；②当0≤a≤时，h′（x）＞0，即h（x）在区间（0，1）递增，h（x）＜h（1）=﹣a≤0，得g（x）在（0，1）递减，得g（x）在（0，1）无零点；③当＜a＜时，令h′（x）=0，得x=ln（2a）∈（0，1），∴h（x）在区间（0，ln（2a））上递减，在（ln（2a），1）递增，h（x）在区间（0，1）上存在最小值h（ln（2a）），故h（ln（2a））＜h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e＜a﹣＜0，故＜a＜时，∀x∈（0，1），都有g′（x）＜0，g（x）在（0，1）递减，又g（0）=1，g（1）=0，故g（x）在（0，1）内无零点；④a≥时，h′（x）＜0，h（x）在区间（0，1）递减，h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e，若h（0）=1+a﹣e＞0，得a＞e﹣1＞，则h（x）在区间（0，1）只有1个零点x2，故g（x）在（0，x2）递增，在（x2，1）递减，而g（0）=1，g（1）=0，得g（x）在（0，1）无零点，若＜a时，则h（0）=1+a﹣e＜0，得g（x）在（0，1）递减，得g（x）在（0，1）内无零点，综上，a＜0时，方程a（+1）+ex=e x在（0，1）内有解．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），曲线C2的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）射线θ=﹣与曲线C1的交点为P，与曲线C2的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）通过方程组求出P、Q坐标，然后利用两点间距离公式求解即可．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），普通方程为（x﹣1）2+y2=1，（y＜0），极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈（﹣，0），曲线C2的参数方程为（t 为参数），普通方程2x+y﹣6=0；（2）θ=﹣，，即P（，﹣）；θ=﹣代入曲线C2的极坐标方程，可得ρ′=6，即Q（6，﹣），∴|PQ|=6﹣=5．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围；（2）若集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值三角不等式，求得f（x）的最小值及取得最小值时x 的取值范围．（2）当集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，函数f（x）＞﹣ax+1恒成立，即f（x）的图象恒位于直线y=﹣ax+1的上方，数形结合求得a的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|≥|x+2﹣（x﹣1）|=3，故函数f （x）=|x+2|+|x﹣1|的最小值为3，此时，﹣2≤x≤1．（2）函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|=，而函数y=﹣ax+1表示过点（0，1），斜率为﹣a的一条直线，如图所示：当直线y=﹣ax+1过点A（1，3）时，3=﹣a+1，∴a=﹣2，当直线y=﹣ax+1过点B（﹣2，3）时，3=2a+1，∴a=1，故当集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，函数f（x）＞﹣ax+1恒成立，即f（x）的图象恒位于直线y=﹣ax+1的上方，数形结合可得要求的a的范围为（﹣2，1）．。
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32015 年 2 月甘肃省部分普通高中高三第一次联考数学 试题（理科）命题学校：嘉峪关市酒钢三中命题教师：李宗平 田培泽 高映俊本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,总分 150 分,考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题,共 6 0 分）一.选择题（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）2⎧ 1 x ⎫1. 设集合 M = {x | x + 3x + 2 < 0}，集合 N = ⎨x ( ) ≤ 4⎬ , 则 M N = （ ）⎩ 2 ⎭A ．{x | x ≥ -2}2. 下面是关于复数 z =B ．{x | x > -1} 2的四个命题:1 - iC ．{x | x < -1}D ．{x | x ≤ -2}p 1 : z = 2 ,p 2: z 2 = 2ip 3 : z 的共轭复数为- 1 + i p 4 : z 的虚部为1其中真命题为( )A. p 2 , p 3B. p 1 , p 2C. p 2 , p 4D. p 3 , p 43. 已知平面向量 a 与b 的夹角为 ， 且b = 1, a + 2b = 233,则a = （ ）A ．1B ．C ． 3D ． 24. 下列推断错误的是( )A.命题“若 x 2 - 3x + 2 = 0, 则 x = 1 ”的逆否命题为“若 x ≠ 1 则 x 2 - 3x + 2 ≠ 0 ”B. 命题 p :存在 x ∈ R ，使得 x 2 + x +1 < 0 ，则非 p :任意 x ∈ R ，都有 x 2 + x +1 ≥ 0C. 若 p 且 q 为假命题，则 p , q 均为假命题D. “ x < 1”是“ x 2- 3x + 2 > 0 ”的充分不必要条件5. 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为 （ ）4A ．12 3侧 侧 侧B ． 36 33 3侧 侧 侧C ． 27 3侧 侧 侧D ． 6请第Ⅱ卷（非选择题,共 90 分）二.填空题（本大题共 4 个小题, 每小题 5 分,共 20 分, 把正确的3⎪⎩6. 等比数列{a n }中， a 4 = 2, a 5 = 5 ，则数列{lg a n } 的前 8 项和等于（ ）A. 4B. 5C. 6 ⎧ y ≤ 57. 若实数 x 、y 满足不等式组⎨2x - y + 3 ≤ 0. ⎪x + y -1 ≥ 0 D. 1 + lg 4则 z =| x | +2 y 的最大值是（ ）A ．108. 抛物线 x2 = B ．11 C ．13 D ．141y 在第一象限内图象上一点(a ,2a 2 ) 处的切线与 x 轴交点的横坐标记2 i i为a i + ，其中i ∈ N * ，若a 1 = 32 ，则a + a 2 + a 4= （ ）A. 64B. 42C. 32D. 219. 定义行列式运算：a 1 a 2= a a - a a .若将函数 f (x ) =-sin xcos x的图象向左平移m a 3 a 41 42 31 -(m > 0) 个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ）2 5A.B ．C ．D ．6 3 3 6 ⎛ x ⎫k 1 10. 设k 是一个正整数， 1+ ⎪ 的展开式中第四项的系数为 ，记函数 y = x 2 与 y = kx⎝ k ⎭ 16的图像所围成的阴影部分为 S ，任取 x ∈[0,4], y ∈[0,16] ,则点(x , y ) 恰好落在阴影区域内 的概率为（ ） 17 5A. B ．9632 1 7 C ． D ．648y 2 x 211. 已知 F 2 、 F 1是双曲线 a 2 - b2 = 1(a > 0, b > 0)的上、下焦点，点 F 2 关于渐近线的对称点恰好落在以 F 1为圆心， OF 1 为半径的圆上，则双曲线的离心率为( ) A. 3B ．C ． 2D ．12. 已知实数 a , b , c , d a - 2e a满足b= 1 - c d - 1= 1 其中e 是自然对数的底数,则(a - c )2 + (b - d )2 的最小值为（ ） A. 4B ． 8C ．12D ．183 26 2 答案填写在各小题的横线上.）13. 定义某种运算⊗ ， S = a ⊗ b 的运算原理如右图：则式子5 ⊗ 3 + 2 ⊗ 4 =.14. 正四棱锥 P - ABCD 的五个顶点在同一球面上，若正四棱锥的底面边长是4 ，侧棱长为2 ，则此球的表面积.15. 从某校数学竞赛小组的10 名成员中选3 人参加省级数学竞赛，则甲、乙2 人至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 （用数字作答）.16. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆C 的方程为 x 2 + y 2 - 8x + 15 = 0 ，若直线 y = kx + 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C 有公共点,则k 的最小值是 .三、解答题（本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明或演算步骤.） 17.(本题满 12 分)在∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为a , b , c 且b cos C = 3a cos B - c cos B(1) 求cos B 的值；(2) 若 BA ⋅ BC = 2 ，且b = 2，求 a 和c 的值.18.（本小题满分 12 分）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得0 分，比赛进行到有一人比对方多2 分或打满6 局时停止．设甲在每局中获胜的概率 p ( p > 1) ，且各局胜负相互独立．已知第25二局比赛结束时比赛停止的概率为 ．9（1） 求 p 的值；（2） 设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望 E .19.（本题满分 12 分）己知斜三棱柱 ABC - A B C 的底面是边长 为2 的正三1 1 1∠BAC 的角平分线与 BC 和圆O 分别交于点 D 和 E . （1） 求证 AB ⋅ PC = PA ⋅ AC （2） 求 AD ⋅ AE 的值.23．（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程角形，侧面 A 1 ACC 1 为菱形， ∠A 1 AC = 60 ，平面 A 1 ACC 1 ⊥平面 ABC ， N 是CC 1 的中点．（1） 求证： A 1C ⊥ BN ；（2） 求二面角 B - A 1N - C 的余弦值．20.（本题满分 12 分）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为F 1 和 F 2 ，且| F 1 F 2 |= 2 ，点 3 (1,) 在该椭圆上．2（1） 求椭圆C 的方程；（2）过 F 的直线l 与椭圆C 相交于 A , B 两点，若∆AF 2 B 的面积为12 2 ，求以 F 为圆心172且与直线l 相切圆的方程．21.（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x ) = ln(x + 1) +ax + 2（1） 当 a =25 时，求 f (x ) 的单调递减区间；4（2） 若当 x > 0 时， f (x ) > 1 恒成立，求 a 的取值范围；（3）求证： ln(n + 1) > 1 + 1 + 1+ +1(n ∈ N * )3 5 72n + 1请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22．（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲如图所示, PA 为圆O 的切线, A 为切点, PO 交圆O 于B ,C 两点 PA = 20 ， PB = 10,⎩⎧x = 1+ cos在直角坐标系 xOy 中，圆C 的参数方程⎨ y = sin (为参数）．以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1） 求圆C 的极坐标方程； （2） 直线l 的极坐标方程是2sin(+) = 3 3，射线OM :=与圆C 的交点为O 、P ， 3与直线l 的交点为Q ，求线段 PQ 的长．24．(本小题满分 l0 分)选修 4—5：不等式选讲已知函数 f (x ) =| 2x + 1 |, g (x ) =| x | +a（1） 当a = 0 时，解不等式 f (x ) ≥ g (x ) ；（2） 若存在 x ∈ R ，使得， f (x ) ≤ g (x ) 成立，求实数a 的取值范围．2015 年 2 月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联考数学试题答案（理科）一、选择题：1.A 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A7.D8.B9.A 10.C 11.C12.B二、填空题：13. 14 14. 36三、解答题15. 4916. - 4317【解析】：（I ）由正弦定理得 a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin C ，3)( ) 1则2R sin B cos C = 6R sin A cos B - 2R sin C cos B , 故sin B cos C = 3sin A c os B - sin C cos B , 可得sin B cos C + sin C cos B = 3sin A c os B , 即sin(B + C ) = 3sin A c os B ,可得sin A = 3sin A cos B .又sin A ≠ 0,1因此cos B = .3（II ）解：由 BA ⋅ BC = 2 ,可得 ac cos B = 2 ，又cos B = 1,故ac = 6,3由b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B , 可得a 2 + c 2 = 12, 所以(a - c )2 = 0,即a = c ,所以 a ＝c ＝ 6 12 分…………6 分18. 解：（Ⅰ）依题意，当甲连胜2 局或乙连胜2 局时，第二局比赛结束时比赛结束．∴ 有 p 2 + (1- p )2 = 5 ． 解得 p = 2 或 p = 1．9 3 31 2p > ，∴ p = ． .................................................. 5 分 23（Ⅱ）依题意知，依题意知，的所有可能值为 2，4，6． ........................ 6 分5设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 ．若该轮结束时比赛还将继续，则9甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有 P (= 2) = 5 ， P (= 4) = (1 - 5 5 = 20 ， P (= 6) = (1 - 5)(1 - 5) ⋅1 = 16． 10 分9 ∴随机变量的分布列为：9 9 81 9 9 81则 E = 2 ⨯ 5 + 4 ⨯ 20 + 6 ⨯ 16 = 266.981818119 【解析】：（Ⅰ）证明：方法一取 AC 的中点O ,连结 BO ， ON ,由题意知……………………12 分BO ⊥ AC ．又因为平面 A 1ACC 1 ⊥ 平面 ABC ， 所以面 A ACC ． ....................... 2 分 BO ⊥ 1 1因为A 1C ⊂ 平面 A 1ACC 1 所以 BO ⊥ AC 因为 四边形 A 1ACC 1 为菱形，所以 A 1C ⊥ AC 1 又因为 ON ∥ AC 1, 所以 A 1C ⊥ ON 所以 A 1C ⊥ 平面 BON ..................... 4 分z A 1C 1平B 1NOC yxBA2 4 6P5920 8116 8133x ⎛ 3 ⎫3 (( )⎨⎩1又 BN ⊂ 平面 BON ， 所以 A 1C ⊥ BN ．…6 分方法二取 AC 的中点O ,连结 BO ， A 1O , 由题意知 BO ⊥ AC ， A 1O ⊥ AC . 又因为 平面 A 1 ACC 1 ⊥ 平面 ABC ，所以 A 1O ⊥ 平面 ABC以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O - xyz ................................ 2 分则O (0, 0, 0), B (3, 0, 0), A 1 (0,0, 3 )， N 0, , ,C (0,1, 0)， ⎛⎝ 3 3 ⎫ 2 2 ⎭A 1C = (0,1, - ). BN = - 3, , ……………………4 分⎝ 2 2 ⎭ 因 为 A C BN = 0 + 3 + (- 3 )3 = 0 ，所以 AC ⊥ BN ......................... 6 分1 2 21（Ⅱ）取 AC 的中点O ,连结 BO ， A 1O , 由题意知 BO ⊥ AC ， A 1O ⊥ AC . 又因为 平面 A 1 ACC 1 ⊥ 平面 ABC ，所以 A 1O ⊥ 平面 ABC以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O - xyz ................................ 7 分 ⎛ 3 3 ⎫ ⎛ 3 3 ⎫则O (0, 0, 0), B3, 0, 0), A 1 (0,0, 3 )， N 0, , , A 1N = 0, 2 , - 2,A 1B =3, 0, - 3 . ⎝ 2 2 ⎭ ⎝ ⎭设平面 A BN 的法向量为 n = ( x , y , z ) ， 则⎪⎧ A 1 N ⋅ n 1 = 0,11 ⎨ ⎧ 3 3 即⎪2 y - 2 z = 0, ⎩ A 1B ⋅ n 1 = 0. ⎪ - 3z = 0.令 x = 1 .所以 n 1 = (1, 3，1) ............................................................................... 9 分 3又平面 A 1NC 的法向量 n 2 = (1,0, 0)…………………………………10 分设二面角B - A N -C 的平面角为，则cos = n 1 ⋅ n 2 = .……………12 分 n 1 ⋅ n 2 7x 2 + y 2 = 20. （12 分） 【解析】（1）椭圆 C 的方程为4 3 ……………．（4 分）33（2）①当直线l ⊥x 轴时，可得 A （-1，- 2 ），B （-1， 2 ）， ∆ AF 2 B 的面积为 3，不符合题 2111 + k 22 ，=+意． ...................................................................................................................... （6 分）②当直线l 与 x 轴不垂直时，设直线l 的方程为 y=k （x+1）．代入椭圆方程得：(3 + 4k 2 )x 2 + 8k 2 x + 4k 2 - 12 = 0(x , y )(x , y )，显然∆ ＞0 成立，设 A 11 ，B 22 ，则8k 2x 1 + x 2 = - 3 + 4k 2 x 1 ⋅x 2 = 8k 2 - 12 3 + 4k 2，可得|AB|= 12(k 2 +1)3 + 4k 2……………．（10 分） 2 | k |112 | k | k 2 +1 12 2 又圆F 2 的半径 r= ，∴∆ A F 2 B 的面积= 2 |AB| r= 3 + 4k 2= 7，化简得：17 k 4 + k 2 -18=0，得 k=±1，∴r = ，圆的方程为(x - 1)2 + y 2 = 2 ................. ．（12 分）25 21．（Ⅰ） 当 a 时 4f ' (x ) = 4x 2- 9x - 9 4(x + 1)(x + 2)2 3= (4x + 3)(x - 3)4(x + 1)(x + 2)2∴ f (x ) 的单调递减区间为(- a,3) 4 ………………………………… 4 分（Ⅱ） 由ln(x + 1) +x + 2> 1 得 a > (x + 2) - (x + 2) ln(x + 1) 记 g (x ) = (x + 2)[1 - ln(x + 1)]g ' (x ) = 1 - ln(x + 1) -x + 2= -ln(x + 1) - x + 1 1 x + 1当x > 0 时 g ' (x ) < 0 ∴ g (x ) 在(0,+∞) 递减 又 g (0) = 2 ⋅ [1- ln1]= 2∴ g (x ) < 2 (x > 0)∴ a ≥ 2 .................................................................................... 8 分 （Ⅲ）由(Ⅱ)知 ln(x +1) +2> 1 x + 2 (x > 0) ∴ ln(x + 1) > x x + 2取 x = 1 得ln( 1 1 + 1) >k 即ln( k + 1) > 1 k k 1 + 2 k 2k 1 2 3 4 kn +1 1 1 1 1∴ ln + ln 1 + ln 2 + + ln3 n> + + + + …… 12 分 3 5 7 2n +122.（1）∵ PA 为圆O 的切线, ∴∠PAB = ∠ACP , 又∠P 为公共角,AB PA∆PAB ∽ ∆PCA ∴ = .......................................... 4 分AC PC5 5 5 （2）∵ PA 为圆O 的切线, BC 是过点O 的割线, ∴ PA 2 = PB ⋅ PC ,∴ PC = 40, BC = 30 又 ∵ ∠CAB = 900 ,∴ AC 2 + AB 2 = BC 2 = 900AB PA 1又由（1）知 = = ∴ AC = 12 AB = 6 ,AC PC 2连接 EC ,则∠CAE = ∠EAB ,AB AD∆ACE ∽ ∆ADB ，则 = ，AE AC∴ AD ⋅ AE = AB ⋅ AC = 6 5 ⨯12 = 360 -------------------------- 10 分23．解：圆C 的普通方程为(x - 1)2 + y 2 = 1，又 x =cos , y = sin所以圆C 的极坐标方程为= 2 cos⎪= 2 c os（5 分）设 P (1 ,1 ) ，则有⎨ ⎩ = 3解得1= 1,1 =3设Q (2 ,2 ) ，则有⎨所以| PQ |= 2⎪(sin + ⎩cos ) = 3 =33解得2 = 3,2 =3(10 分)24故 h (x )= h (- 1 ) = - 1 ，从而所求实数a 的范围为a 1--------10 分 min2 22 3“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
甘肃河西五部分高中2019高三第一次(1月)联合考试--数学(理)
甘肃河西五部分高中2019高三第一次（1月）联合考试--数学（理）数学〔理〕本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分，其中第II 卷第〔22〕-〔24〕题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式： 锥体体积公式13V Sh=，其中S 为底面面积，h 为高； 柱体体积公式 V Sh =其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积，体积公式 24S R π=，343V Rπ=，其中R 为球的半径。
第一卷一、 选择题〔共12小题，每题5分，总分60分〕 1、复数11,则()z z z i z ⋅=-=-A. 2B. －2C. i 2D. i 2-2、设集合M={x ∣x<2},集合N={x ∣0<x<1},那么以下关系中正确的选项是〔 〕A. M ∪N=RB. M ∪СR N=RC. N ∪СR M=RD. M ∩N=M A.212cos 2sin ,x 22=+∈∃x x R B.x x x cos sin ),,0(>∈∀π C.x e x x +>+∞∈∀1),,0( D.1,2-=+∈∃x x R x4、函数221()log 的零点必落在区间f x x x =+-〔〕A.⎪⎭⎫ ⎝⎛4181， B.⎪⎭⎫ ⎝⎛2141， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛121，D.()21，5、函数1111001,(),则()x x f x f x dx x -⎧+-≤≤⎪==<≤⎰〔〕 A.21π+B.421π+C.41π+D.221π+6、假设对,k R BA k BC CA∀∈-≥恒成立，那么三角形ABC 是〔〕A.锐角三角形Ｂ.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定形状的三角形 7、双曲线2222100(,)yx a b a b-=>>的右焦点是F,过点F 且倾角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么此双曲线的离心率的范围是〔〕A.(]21，B.(1,2)C.[)∞+，2D.()∞+，2 8、假设函数82cos 2sin )(π-=+=x x a x x f 的图像关于直线对称，那么a =()A.2B.－2C.1D.－19、一空间几何体的三视图如图1，那么该几何体的体积为〔〕A.322+πB.324+πC.3322+π D.3324+π10、O 是坐标原点，()11,A -,假设点(),B x y 为平面区域212x y x y ⎧+≥⎪≤⎨⎪≤⎩上一动点，那么OA OB ⋅的取值范围是〔〕 A.10,⎡⎤-⎣⎦B.01,⎡⎤⎣⎦C.02,⎡⎤⎣⎦D.12,⎡⎤-⎣⎦11、三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为∆ABC 的中心，那么1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于〔〕 A.31B.32C.33D.3212、圆C:2244()x y -+=,从动圆M:1)sin 7()cos 74(22=-+--θθy x 上的动点P 向圆C 引切线，切点分别是E,F ，那么CE 的最小值是CF ⋅〔〕 A.27- B.928- C.74D.74-第二卷二、 填空题〔共4小题，每题5分，总分20分〕13、将5名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，那么不同分配方案的种数是_____________(用数字作答) 14、函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=43,8,1)cos (sin cos 2)(ππx x x x x f 的值域是_________. 15、某程序框图如图2，运行此程序结束后， 输出n 的值是________ 16.假设nxx )21(4+得展开式中前三项系数成等差数列，那么其展开式中含x 的一次幂的项是_____________________【三】解答题〔共6小题，总分70分。
2019年甘肃省高三年级第一次高考诊断考试理科数学解析版
2019年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）＝（）A．B．C．D．2．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣3≤x≤1}，B＝{x|x＜﹣2，或x＞2}，那么集合A∩（∁U B）＝（）A．{x|﹣3≤x＜﹣2}B．{x|﹣3≤x＜2}C．{x|﹣2≤x≤1}D．{x|x≤1，或x≥2}3．（5分）已知平面向量，的夹角为，＝（0，﹣1），||＝2，则|2+|＝（）A．4B．2C．2D．24．（5分）抛物线y2＝8x的焦点到双曲线﹣x2＝1的渐近线的距离是（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝e|x|•cos x B．f（x）＝ln|x|•cos xC．f（x）＝e|x|+cos x D．f（x）＝ln|x|+cos x6．（5分）若函数f（x）＝a sin x+cos x在[﹣，]为增函数，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，﹣]C．[﹣，1]D．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）7．（5分）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．B．C．D．8．（5分）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（）A．B．C．D．C C C9．（5分）在△ABC中，A＝120°，BC＝14，AB＝10，则△ABC的面积为（）A．15B．15C．40D．4010．（5分）四棱锥P﹣ABCD的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形ABCD的边长为4，则四棱锥P﹣ABCD的体积最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）直线l过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知，则p＝（）A．2B．C．D．412．（5分）已知函数f'（x）是函数f（x）的导函数，，对任意实数都有f（x）﹣f'（x）＞0，则不等式f（x）＜e x﹣2的解集为（）A．（﹣∞，e）B．（1，+∞）C．（1，e）D．（e，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最大值是．14．（5分）已知α，β均为锐角，cosα＝，tan（α﹣β）＝﹣，则cosβ＝．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，AB＝2，D是AB的中点，异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积等于．16．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+4）＝f（x）+f（2），且在区间[0，2]上是增函数，①函数f（x）的一个周期为4；②直线x＝﹣4是函数f（x）图象的一条对称轴；③函数f（x）在[﹣6，﹣5）上单调递增，在[﹣5，﹣4）上单调递减；④函数f（x）在[0，100]内有25个零点；其中正确的命题序号是（注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等差数列{a n}满足a3﹣a2＝3，a2+a4＝14．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n是等比数列{b n}的前n项和，若b2＝a2，b4＝a6，求S7．18．（12分）为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：cm），经统计其增长长度均在区间[19，31]内，将其按[19，21），[21，23），[23，25），[25，27），[27，29），[29，31]分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为27cm及以上的产品为优质产品．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）已知这120件产品来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：A试验区B试验区合计优质产品20非优质产品60合计将联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系，并说明理由；下面的临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）（Ⅲ）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数X的分布列和数学期望EX．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠ADC＝120°，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，点M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）求二面角A﹣BM﹣C的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与x轴不垂直的直线l经过N（0，），且与椭圆C交于A，B两点，若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l斜率的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣xlnx．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若+﹣＜0在（1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．(二)选考题:共10分。
2020届甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试数学(理)科试题(含答案解析)
2020届甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试数学（理）科试题一、单选题1．已知集合2{|log }A x y x =={}|22B x x =-≤≤，则A B =I （ ）A ．[]12，B ．(02]，C ．[]22-，D ．(2]-∞，【答案】B【解析】2{|log }A x y x == (0,)=+∞,所以(]02A B ⋂=，,选B. 2．若()0,απ∈，()2sin cos παα-+=，则sin cos αα-的值为（ ） A 2B ．2C ．43D ．43-【答案】C【解析】由诱导公式得2sin cos 3αα+=，两边取平方，可得72sin cos 9αα=-，结合()2sin cos 12sin cos αααα-=- 及象限角的符号，即可求得答案.【详解】由诱导公式得()2sin cos sin cos 3παααα-+=+=， 平方得()22sin cos 12sin cos 9αααα+=+=，则72sin cos 09αα=-<， 所以()216sin cos 12sin cos 9αααα-=-=， 又因为()0,απ∈，所以sin cos 0αα->， 所以4sin cos 3αα-=， 故选C. 【点睛】本题考查利用三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系化简求值，考查sin +cos αα、sin -cos αα和sin cos αα知一求二的灵活运用.3．已知等比数列{}n a 满足213562,4a a a a ==，则3a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．14D ．12【答案】A【解析】∵等比数列{}n a 满足213562,4a a a a ==，∴22464a a =，又偶数项同号，∴462a a =∴212q =，∴2311a a q =⨯= 故选：A4．已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．【考点】1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件. 5．已知0.3log 2a =，0.12b =，sin 789c =o ，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】分析：分别判断出a ，b ，c 的大致范围，即可比较出它们的大小. 详解：0.3log 20a =<，0.121b =>，sin 789sin 6901c c ︒︒==⇒<<.b c a ∴>>.故选：B.点睛：(1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1. 6．已知函数在处取得最大值，则函数的图象A ．关于点对称B ．关于点对称C ．关于直线对称D ．关于直线对称【答案】B 【解析】利用在处取得最大值，可以求得，再结合余弦型函数的图像判定. 【详解】 因为函数在处取得最大值，所以，即.,令可得对称中心为，时，可得一个对称中心为，选项B 正确；令可得对称轴为，选项C,D 均错误，所以选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质.利用整体代换的方法，可以求得对称中心和对称轴.7．已知不等式201x ax +<+的解集为(2,1)--，则二项式621ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项是（ ） A ．15- B ．15C ．5-D ．5【答案】B【解析】∵不等式201x ax +<+的解集为()2,1--，11,1a a ∴-=-∴= ．二项式662211ax x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式式的通项公式为6316r rr T C x -+=，令630r -= ，求得2r = ，可得展开式的常数项是2615.C = 故选B ．8．如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π【答案】C【解析】由三视图可得该几何体为底面边长为4m 、 ，一条侧棱垂直底面的四棱锥，设高为4， 则13244,233m m ⨯⨯⨯∴=＝， 将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为2221 42432R =++＝， 故这个几何体的外接球的表面积为24π36πR = ． 故选C ．【点睛】本题考查了由三视图，求体积和表面积，其中根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．属于中档题．9．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比51m -=2sin18︒，则24m m -=（ ） A ．4 B 51 C ．2 D 51【答案】C【解析】由题意得m ＝2sin18°，∴4﹣m 2＝4cos 218°，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简，计算即可得解． 【详解】由题意得m ＝2sin18°，∴4﹣m 2＝4﹣4sin 218°＝4（1﹣sin 218°）＝4cos 218°，24m m -＝22sin184cos 184sin18cos1821cos541sin 36︒︒︒︒︒==+-． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．10．已知点A 在抛物线()220y px p =>上，且A 为第一象限的点，过A 作y 轴的垂线，垂足为B ，F 为该抛物线的焦点，78pAF =，则直线BF 的斜率为（ ） A ．3B ．3C ．-1D ．-2【答案】B【解析】设()00,A x y ，由78p AF =，利用抛物线定义求得038p x =，进而得032y =，进而tan 3BFO ∠=即可求解 【详解】设()00,A x y ，因为78p AF =，所以0728p p x +=，解得038p x =，代入抛物线方程得03p y =，所以3pOB =2p OF =，tan 3BFO ∠=，从而直线BF 的斜率为3-故选：B【点睛】本题考查抛物线的性质及定义，考查运算求解能力，是基础题.11．F 为双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>右焦点，,M N 为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．2C 2D 3【答案】B【解析】设00(,)M x y ，∵四边形OFMN 为平行四边形，∴02c x =， ∵四边形OFMN 的面积为bc ，∴0y c bc =，即0y b =，∴(,)2cM b ，代入双曲线方程得2114e -=，∵1e >，∴22e = B.12．设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有22()'()f x xf x x +>，则不等式2(2018)(2018)x f x ++4(2)0f -->的解集为（ ）A ．(2020,0)-B ．(,2020)-∞-C ．(2016,0)-D ．(,2016)-∞-【答案】B【解析】由()()22'f x xf x x +>，0x （＜），得：232xf x x f x x +'（）（）＜， 即23[]0x f x x '（）＜＜， 令F （x ）=x 2f （x ），则当0x ＜ 时，得0F x '（）＜，即0F x -∞（）在（，） 上是减函数，2201820182018242F x x f x F f ∴+=++-=-（）（）（），（）（），即不等式等价为201820F x F +--（）（）＞， F x Q （） 在0-∞（，） 是减函数，∴由F 20182x F +-（）＞（）得，20182x +-＜ ，即2020.x -＜故选B ．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及抽象不等式的解法，其中利用一种条件合理构造函数，正确利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键二、填空题13．已知()f x 为偶函数，当0x <时，()x f x e x -=-，则(ln 2)f =__________． 【答案】2ln2+【解析】由偶函数的性质直接求解即可【详解】()()()ln2ln2ln2ln22ln2f f e =-=--=+.故答案为2ln2+ 【点睛】本题考查函数的奇偶性，对数函数的运算，考查运算求解能力14．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()3log 11n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式为_____． 【答案】8,123,2n nn a n =⎧=⎨⨯≥⎩ 【解析】先根据对数的运算性质可得113n n S ++=，再通过1n n n a S S -=-求通项公式．【详解】解：()3log 11n S n +=+，113n n S +∴+=，当1n =时，119a +=，解得18a =， 当2n ≥时，11313123n n n n n n a S S +-=-=--+=⨯，当1n =时，168a =≠，故8,123,2n nn a n =⎧=⎨⨯≥⎩． 故答案为：8,123,2n nn a n =⎧=⎨⨯≥⎩． 【点睛】本题考查通过数列的递推公式求通项公式，考查了运算能力和转化能力，属于基础题．15．在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，090,4,2ABC AB BC AD ∠====，则向量BD u u u r在向量AC u u u r 上的投影为_______. 【答案】2-【解析】建立平面直角坐标系，利用数量积投影的定义及坐标运算即可得到结果. 【详解】如图建立平面直角坐标系，易得：()()()()A 0,4B 0,0C 4,0D 2,4，，，∴()()442,4AC BD =-=u u u r u u u r ，，∴向量BD u u u v 在向量AC u u u v 上的投影为242BD AC AC==-u u u r u un ur u u u r 【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数. 16．已知四边形为矩形,,为的中点,将沿折起,得到四棱锥,设的中点为,在翻折过程中,得到如下有三个命题: ①平面，且的长度为定值；②三棱锥的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得.其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①② 【解析】取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，得出，可判断出命题①的正误；由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，并由平面平面，得出三棱锥体积的最大值，可判断出命题②的正误；取的中点，连接，由，结合得出平面，推出得出矛盾，可判断出命题③的正误. 【详解】 如下图所示：对于命题①，取的中点，连接、，则，，，由勾股定理得，易知，且，、分别为、的中点，所以，，四边形为平行四边形，，，平面，平面，平面，命题①正确； 对于命题②，由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，当平面平面时，三棱锥体积取最大值， 取的中点，则，且， 平面平面，平面平面，，平面，平面，的面积为，所以，三棱锥的体积的最大值为，则三棱锥的体积的最大值为，命题②正确； 对于命题③，，为的中点，所以，，若，且，平面，由于平面，，事实上，易得，，，由勾股定理可得，这与矛盾，命题③错误.故答案为：①②. 【点睛】本题考查直线与平面平行、锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定，判断这些命题时根据相关的判定定理以及性质定理，在计算三棱锥体积时，需要找到合适的底面与高来计算，考查空间想象能力，考查逻辑推理能力，属于难题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC ∆的面积为2sin sin sin B CA.（1）求a 的值； （2）若3A π=，求ABC ∆周长的最大值.【答案】（1）2a = （2）6 【解析】（1）由面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=，利用正弦定理将角化边即可求出边a 的值； （2）由余弦定理及基本不等式可求周长的最大值. 【详解】解：（1）由题意可得12sin sin sin 2sin B C ab C A =， 因为sin 0C ≠，所以12sin 2sin Bab A =，由正弦定理可得122bab a=，得2a =.（2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-及3A π=，可得()()22223c 32b c a b c b b c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭()24b c +=，又2a =，所以4b c +≤，所以6a b c ++≤，当且仅当2b c ==时等号成立. 故ABC ∆周长的最大值是6. 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理及三角形面积公式解三角形，以及基本不等式的应用，属于中档题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，PC ⊥底面ABCD ，224AB AD CD ===，2PC a =，E 是PB 的中点.（1）求证：AC ⊥平面PBC ； （2）若二面角P AC E --的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）23【解析】（1）由线面垂直得到AC PC ⊥，再由勾股定理可证AC BC ⊥，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法由二面角P AC E--的余弦值为6，求出a，再求线面角的正弦值.【详解】解：（1）因为PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC PC⊥．因为4AB=，2AD CD==，所以22AC BC==．所以222AC BC AB+=，所以AC BC⊥，又BC PC C⋂=，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AC⊥平面PBC.（2）如图，以点C为原点，平行于DA，CD,CP分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则()0,0,0C，()2,2,0A，()2,2,0B-．设()()0,0,20P a a>，则()1,1,E a-，()2,2,0CA=u u u r，()0,0,2CP a=u u u r，()1,1,CE a=-u u u r，取()1,1,0m=-u r则0m CA m CP⋅=⋅=u r u u u r u r u u u r，mu r为面PAC的法向量．设(),,n x y z=r为面EAC的法向量，则由0n CA n CE⋅=⋅=r u u u r r u u u r，即x yx y az+=⎧⎨-+=⎩，取x a=，y a=-，2z=-，则(),,2n a a=--r，依题意26cos,32m nm nm n a⋅<>===+u r ru r ru r r，则2a=．于是()2,2,2n=--r，()2,2,4PA=-u u u r．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则2 sin cos,3PA nPA nPA nθ⋅=<>==u u u r ru u u r ru u u r r.【点睛】本题考查线面垂直的判定，利用空间向量法求二面角及线面角，属于中档题.19．2018年1月26日，甘肃省人民政府办公厅发布《甘肃省关于餐饮业质量安全提升工程的实施意见》，卫生部对16所大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估.满10分者为“安全食堂”，评分7分以下的为“待改革食堂”.评分在4分以下考虑为“取缔食堂”，所有大学食堂的评分在7~10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：（1）现从16所大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个评分不低于9分的概率；（2）以这16所大学食堂评分数据估计大学食堂的经营性质，若从全国的大学食堂任选3个，记X表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）121140（2）见解析【解析】（1）根据题意，利用概率的求和公式，计算所求的概率值；（2）由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，再计算数学期望值．【详解】解：（1）设i A表示所抽取3个中有i所大学食堂评分不低于9分，至多有1个评分不低于9分记为事件A，则()()()3121241201331616121140C C CP A P A P AC C=+=+=.（2）由表格数据知，从16所大学食堂任选1个评分不低于9分的概率为41164=，由题知X的可能取值为0，1，2，3()()3121332713270,14644464P X P X C⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()21323139312,34464464P X C P X⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴X的分布列为∴()27911230.75646464E X=⨯+⨯+⨯=.【点睛】求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.20．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为1F ，离心率为22，过点1F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得2 . （1）求椭圆C 的方程;（2）若24y a =上存在两点,M N ，椭圆C 上存在两个,P Q 点满足：1,,M N F 三点共线，1,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值.【答案】（1）2212x y +=；（2）42【解析】【详解】 分析：（1）由题意可知2,2a b a c ==及222a b c =+，即可求得a 和b 的值，求得椭圆的标准方程；（2）讨论直线MN 的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN 的斜率存在时，设直线的方程为()1y x =-，联立方程组，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可求得最小值.详解：（1）∵2，∴222b a=，∵2，∴2c a =222a b c =+，解得2a =1c =，1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=（2）（i ）当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0， 此时4MN =，22PQ =，42PMQN S =四边形（ii ）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()()10y k x k =-≠，联立24y x =，得()2222240(0)k x k x k -++=∆>， 设,M N 的横坐标分别为,M N x x ，则242M N x x k +=+，∴244M N MN x x p k=++=+， 由PQ MN ⊥可得直线PQ 的方程为()()110y x k k=--≠，联立椭圆C 的方程，消去y ，得()22224220(0)k x x k +-+-=∆>设,P Q 的横坐标为,P Q x x ，则24,2P Q x x k +=+ 22222P Q kx x k -=+ ∴2222214221422k PQ k k k -⎛⎫=+- ⎪++⎝⎭)222212k k+=+ )()222421122PMQNk S MN PQ k k+=⋅=+四边形，令()21(1)k t t +=>， 则()()24211PMQNt S t t =-+四边形 2224214214211t t t ⎫==+>⎪--⎭综上()min42PMQNS =四边形点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 21．已知函数()()()2ln 2x a f x x a R +=+∈的导函数为()'f x .（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线310x y ++=垂直，求a 的值； （2）若()'f x 的两个零点从小到大依次为1x ，2x ，证明：()122x f x >. 【答案】（1）1a = （2）证明见解析【解析】（1）求出()f x 的导函数，由直线310x y ++=的斜率为13-，可得()'13f =-，即可求出参数的值；（2）由()()21'0x ax f x x x++=>则()'f x 的零点即210x ax ++=的两根，所以12x x a +=-，121=x x ，又1>0x ，20x >，12x x <，所以1201x x <<<且221a x x =--， 欲证()122x f x >，只需证()2112f x x >，构造函数，利用导数说明其单调性即可得证. 【详解】解：（1）因为()()()2ln 02x a f x x x +=+>，所以()()1'0f x x a x x=++>.因为直线310x y ++=的斜率为13-，曲线()y f x =在1x =处的切线与直线310x y ++=垂直，所以()1'113f ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭， 即113a ++=，所以1a =.（2）因为()()21'0x ax f x x x++=>，且()'f x 的两个零点从小到大依次为1x ，2x ，所以1x ，2x 是方程210x ax ++=的两个根， 所以12x x a +=-，121=x x ，又1>0x ，20x >，12x x <，所以1201x x <<<且221a x x =--， 欲证()122x f x >，只需证()2112f x x >， 而()()2222221221ln 12ln 12x a x f x x x x x x ++==+，令()()1ln 12x g x x x x =+>，则()2'1ln 102x xg x =-++>， 所以()g x 在()1,+∞上单调递增，()121g =Q 所以()12g x >， 所以()122xf x >成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，属于中档题.22．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0,a b ϕ>>为参数),在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线1C 上的点3M 对应的参数3πϕ=，射线3πθ=与曲线2C 交于点(1,)3D π（1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程；（2）若点,A B 在曲线1C 上的两个点且OA OB ⊥，求2211OAOB+的值.【答案】（1）2214x y +=，22(1)1x y -+=；（2）54 【解析】分析：（1）将3(1,2M 及对应的参数3πϕ=，代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩，解得,a b ，即可得出曲线1C 的直角坐标方程，由于曲线2C 是圆心在极轴上，且过极点的圆，将点(1,)3D π代入2cos R ρθ=，即可求解曲线2C 的方程；（2）设12(,),(,)2A B πρθρθ+在曲线1C 上，求得21ρ和22ρ，即可求解2211OAOB+的值.详解：（1）将3M ⎛ ⎝⎭及对应的参数3πϕ=，代入x acos y bsin ϕϕ=⎧⎨=⎩， 得1333acos bsin ππ⎧=⎪⎪=，即21a b =⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的方程为2x cos y sin ϕϕ=⎧⎨=⎩ ϕ为参数，即2214xy +=.设圆2C 的半径为R ，由题意，圆2C 的极坐标方程为2cos R ρθ=.（或()222x R y R -+=） 将点1,3D π⎛⎫⎪⎝⎭代入2cos R ρθ=，得12cos 3R π=，即1R = 所以曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，即()2211x y -+= （2）设()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭在曲线1C 上， 所以222211cos sin 14ρθρθ+=，222222sin cos 14ρθρθ+=，所以222222121111cos sin 4OAOBθθρρ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭ 22sin 5cos 44θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭点睛：本题主要考查了椭圆的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程，以及圆的极坐标与直角坐标方程的互化，以及直线极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 23．己知0a >，函数()f x x a =-.（1）若2a =，解不等式()()35f x f x ++≤；（2）若函数()()()2g x f x f x a =-+，且存在0x R ∈使得()202g x a a ≥-成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|23x x -≤≤；（2）(0,4]【解析】（1）零点分段解不等式即可（2）等价于()2max 2g x a c ≥-，由2x a x a x a x a a --+≤---=，得不等式即可求解 【详解】（1）当2a =时，()()12,13213,1221,2x x f x f x x x x x x -<-⎧⎪++=-++=-≤<⎨⎪-≥⎩，当1x <-时，由125x -≤，解得21x -≤<-； 当12x -≤<时，由35≤，解得12x -≤<； 当2x ≥时，由215x -≤，解得23x ≤≤. 综上可知，原不等式的解集为{}|23x x -≤≤. （2）()()()2g x f x f x a x a x a =-+=--+.存在0x R ∈使得()202g x a a ≥-成立，等价于()2max 2g x a a ≥-.又因为2x a x a x a x a a --+≤---=，所以222a a a ≥-，即240a a -≤. 解得04a ≤≤，结合0a >，所以实数a 的取值范围为(]0,4. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查转化思想，是中档题。
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2019届甘肃省河西五市高三第一次联考理科数学试卷
【含答案及解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 已知集合，，则（）
A ．______________
B ．_________
C ．_________
D ．
2. 复数满足，则（）
A ．___________________________________
B ．____________________
C ．______________
D ．
3. 设，向量，，且，则（）
A ．
B ．_________________________________
C ．____________________
D ．
4. 已知，有解，，则
下列选项中是假命题的为（）
A ． ______________________________
B ． _________
C ．___________
D ．
5. 函数的图象大致是（）
6. 设是一个正整数，的展开式中第四项的系数为，记函数
与的图象所围成的阴影部分为，任取，，则点恰好落在阴影区域内的概率是
（）
A ．______________
B ．______________
C ．____________________
D ．
7. 正项等比数列中的，是函数的极
值点，则（）
A ．______________
B ．_________________________________
C ．
______________ D ．
8. 一个几何体的三视图如上图所示，则这个几何体的体积为（）
A．______________ B．________________________
C ．_________
D ．
9. 阅读如下图所示程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果（）
A ．________
B ． ________
C ．
D ．
10. 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为该抛物线
的焦点，点在抛物线上且满足，当取最小值时，点恰好
在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）
A ．______________
B ．______________
C ．
_________ D ．
11. 体积为的球放置在棱长为4的正方体上，且与上表
面相切，切点为该表面的中心，则四棱锥的外接球的半径为
（）
A ．______________________________
B ．_________
C ．
________ D ．
12. 已知函数，若存在实数，，，，
当时满足，则的取值
范围是（）
A ．______________
B ．______________________
C ．
________ D ．
二、填空题
13. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则
的值为________________________ ．
14. 若实数，且，则当的最小值为，函数
的零点个数为_________ ．
15. 已知不等式组所表示的区域为，是区域内的点，点，则的最大值为____________________ ．
16. 方程的根称为函数的不动点，若函数有唯一
不动点，且，，则________________ ．
三、解答题
17. 已知中，，，分别是角，，的对边，且，
是关于的一元二次方程的两根．
（1）求角的大小；
（2）若，设，的周长为，求的最大值．
18. 在一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如下表所示：p
19. ly:宋体; font-size:10.5pt">学生数学（分） 89 91 93
95 97 物理（分） 87 89 89 92 93
（1）根据表中数据，求物理分对数学分的回归直线方程；
（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望
附：回归方程，，，其中，
为样本平均数．
20. 在三棱柱中，，侧棱平面
，且，分别是棱，的中点，点在棱上，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
21. 已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为
，，经过点的直线与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆方程；
（2）当直线的倾斜角为时，求线段的长；
（3）记与的面积分别为和，求的最大值．
22. 已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：对任意的，．
23. 选修4-1：几何证明选讲
如图，内接于直径为的圆，过点作圆的切线交的延长线于点，的平分线分别交圆和于点，，若
．
（1）求证：；
（2）求· 的值．
24. 选修4-4：坐标系与参数方程．
已知直线的参数方程为 ( 为参数)，在直角坐标系中，以
点为极点，轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆的方程为．
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）若直线截圆所得弦长为，求实数的值．
25. 选修4-5 ：不等式选讲
已知不等式的解集为．
（1）求集合；
（2）若，，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】
第21题【答案】
第22题【答案】
第23题【答案】
第24题【答案】。