2019届山东省高三第一次大联考数学(理)试题(解析版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(山东卷,包括解析)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A B =（A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) 【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<，选D.（2）已知a R ∈,i是虚数单位，若,4z a z z =+⋅=，则a= （A ）1或-1 （B（C ）（D【答案】A【解析】由4z a z z =+⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.（3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（A ） p q ∧ （B ）p q ⌝∧ （C ）p q ⌝∧ （D ）p q ⌝⌝∧【答案】B（4）已知x,y 满足x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x ，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6 【答案】C【解析】由x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x 画出可行域及直线20x y +=如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线3x +y 50=+与x -3=的交点(3,4)-时，2z x y =+最大为3245z =-+⨯=，选C. （5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170 【答案】C【解析】22.5,160,160422.570,42470166x y a y ==∴=-⨯==⨯+= ,选C.（6）执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0【答案】D【解析】第一次227,27,3,37,1x b a =<=>= ；第二次229,29,3,39,0x b a =<===，选D.（7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴<+>= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B. （8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 【答案】C【解析】125425989C C =⨯ ,选C. （9）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.（10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞【答案】B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4【解析】()1C 3C 3rr r r rr n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．（12）已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .【解析】)()221212112122333e e e e e e e e e λλλλ-⋅+=+⋅-⋅-=，()2221233232e e e e e e e -=-=-⋅+=，()22221221e e e e e e e e λλλλ+=+=+⋅+=+2cos601λ==+，解得：λ=． (13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .【答案】22π+【解析】该几何体的体积为21V 112211242ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+． （14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】2y x =±（15）若函数()x e f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+【答案】①④【解析】①()22xx x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2xf x -=具有M 性质；②()33xx x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3xxe f x e x =⋅，令()3xg x e x =⋅，则()()32232xxxg x e x e x x ex '=⋅+⋅=+，∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴()3x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()22x x e f x e x =+，令()()22x g x e x =+，则()()()2222110xx x g x exe x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．三、解答题：本大题共6小题，共75分。
2019届山东省高三第一次大联考数学(文)试题(解析版)
2019届山东省高三第一次大联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则的元素个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】根据两个函数图像交点的个数确定的元素个数.【详解】由幂函数的图像可以知道，它们有三个交点，所以集合有三个元素.选D.【点睛】本题考查集合的表示、交集的运算，考查幂函数的图像.考查直观想象能力.属基础题2．若复数满足，则的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先由得到，再由复数除法运算，即可得出结果.【详解】因为，所以，故的虚部为.故选D.【点睛】本题考查了复数的运算、复数的虚部的概念，突显了对数学运算、基本概念的考查. 解答本题首先要了解复数的虚部的概念，其次要能熟练进行复数的四则运算.3．设是不共线的向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】将转化为相互垂直，转化为模长相等，即可得出结果.【详解】，可知以为邻边的平行四边形为矩形，可知两条对角线不一定垂直，当，可知以为邻边的平行四边形为菱形，不一定是矩形，所以不一定成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.【点睛】本题主要考查了向量的几何性质、充分与必要条件的基本概念，熟记充分条件与必要条件的概念以及向量的数量积即可，属于基础题型.4．已知向量的夹角为，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据向量夹角公式求，再根据二倍角公式得结果.【详解】因为，所以.选A.【点睛】本题考查向量的坐标运算、二倍角公式，考查基本求解能力，属基本题.5．已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】结合图像，先确定为等腰三角形，根据题意得到腰长和顶角，代入面积公式即可得出结果.【详解】由题意直线，圆均过原点，通过图形观察可知为等腰三角形，且，，所以.故选A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，结合圆的特征以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.6．已知抛物线的焦点为，上一点在轴上的投影为，为坐标原点.若的面积为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先由题意，不妨设在第一象限，再由的面积为，求出，根据在抛物线上，求出，最后由即可求出结果.【详解】由对称性可知，不妨设在第一象限，，即，因为在抛物线上，即，解得，由抛物线定义，故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，熟记抛物线的结构特征以及抛物线定义即可，属于基础题型.7．我国现代著名数学家徐利治教授提出：图形的对称性是数学美的具体内容.如图，一个圆的外切正方形和内接正方形构成一个优美的几何图形，正方形所围成的区域记为Ⅰ，在圆内且在正方形外的部分记为Ⅱ，在圆外且在大正方形内的部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】首先要将小正方形旋转度，由此看出大正方形与小正方形边长的比值，进而得到面积比，从而可确定概率间的关系.【详解】将小正方形旋转度，图像转化为:由图像易知：小正方形的面积是大正方形面积的一半，所以.则选A.【点睛】本题考查了几何概型，着重考查了利用相似比求面积比，突显了对数学抽象与直观想象的考查.8．设，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题首先根据指数函数的单调性得出，然后根据对数函数的单调性得出，最后根据对数的换底公式进一步判断的大小关系即可得出结果.【详解】，，所以最小，所以，所以选B. 【点睛】本题考查对数运算，考查指数、对数函数的性质、不等式的性质，以及函数与方程的思想，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于基础题型.9．如图，在中，点在边上，且,,,的面积为，则线段的长度为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先由, 的面积为，得到的面积；进而求出，再由余弦定理求出，最后在中，再根据余弦定理即可求出结果.【详解】因为, 的面积为，所以的面积为，则,即.在中，，所以，又因为，，，所以，.所以在中，，即，所以选C.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，熟记余弦定理即可，属于常考题型.10．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断.【详解】由散点图得负相关，所以，因为剔除点后，剩下点数据更具有线性相关性，更接近，所以.选D.【点睛】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.属基础题.11．设函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先由函数解析式判断出函数的奇偶性，以及单调性，再由，，结合函数单调性，即可求出结果.【详解】易知函数为奇函数，且在上为增函数，又因为，由，得，即，解得，故选B.【点睛】本题考查了分段函数的奇偶性、单调性，以及不等式的解法，熟记函数的奇偶性和单调性、以及不等式的解法即可，属于常考题型.12．如图，一个正四棱锥和一个正三棱锥，所有棱长都相等，为棱的中点，将、、分别对应重合为，得到组合体.关于该组合体有如下三个结论：①；②；③，其中错误的个数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先由题意可知，两个锥体叠加后得到的是三棱柱，根据三棱锥的对称性得出空间直线的垂直、平行关系，即可得出结果.【详解】由于正四棱锥和一个正三棱锥，所有的棱长都相等，可看作有两个相同的正四棱柱拼凑而成，如图所示：点对应正四棱锥的上底面中心，点对应另一正四棱锥的上底面中心，由图形可知拼成一个三棱柱，设为的中点，由此可知，又因为平面，所以，因为，，所以.故选A.【点睛】本题考查了空间几何体的叠加，重点考查了几何体的“割”与“补”，突显了对数学抽象和数学建模的考查，熟记空间中线面位置关系即可，属于常考题型.二、填空题13．已知函数在点处的切线方程为___________.【答案】【解析】先由解析式求出，再对函数求导，求出切线斜率，进而可得出结果.【详解】,∴在点处的切线方程为，即. 【点睛】本题考查了导数的四则运算、切线的斜率与切点处导数的关系，重点考查了导数的乘法运算，突显了对数学运算的考查.14．网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体最大侧棱长为_________.【答案】【解析】首先要能将三视图还原成立体图形，再由勾股定理求棱长，即可得出结果.【详解】由三视图可知该几何体为三棱锥，其中底面为等腰直角三角形，，，故，取中点，，即最大棱长为.【点睛】本题考查了几何体的三视图，重点考查了主视图、左视图、俯视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，以及空间线面垂直的判定与性质，突显了对数学抽象和直观想象的考查.15．关于的不等式组表示的平面区域为，若平面区域内存在点，满足，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】先由约束条件作出可行域，再由题意可得，过定点的动直线与平面区域有公共点，结合图像即可得出结果.【详解】画出平面区域为图中阴影部分区域，其中，，而表示过定点的动直线，又题意可转化为：过定点的动直线与平面区域有公共点，也即与线段相交，所以，而，，即.【点睛】本题考查了线性规划问题，重点考查了可行域、目标函数、最优解的概念，属于常考题型.16．已知函数的图象关于点对称，且在上有且只有三个零点，则的最大值是_________.【答案】【解析】根据函数在上有且只有三个零点，可得，求出，再由，从大到小依次取验证即可得出结果.【详解】依题意，，当时，，，所以，所以或，因为，所以，函数的零点可由求得，有四个零点，函数的零点可由求得，有四个零点，不符合条件.当时，，，所以，所以或，因为，所以，函数的零点可由求得，有三个零点，函数的零点可由求得，有三个零点，综上，的最大值是.【点睛】本题考查了三角函数图像的性质、函数的零点，熟记正弦函数的周期性、对称性等即可，属于常考题型.三、解答题17．已知数列，，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意①当为奇数时，根据求出通项公式；②当为偶数时，根据求出通项公式，最后再综合两种情况即可得出结果.(2)根据并项求和的方法求和即可得出结果.【详解】(1)①当为奇数时，.②当为偶数时，.综上，. (2)∵.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及求和公式，熟记等差数列的通项公式以及前n项和公式，结合并项求和的思想即可求解，属于常考题型.18．已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，.(1)证明：平面；(2)若点是棱上一点，且平面，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析；(2).【解析】（1）根据线面垂直的判定定理，直接证明即可；(2)首先要将线面平行即平面转化为线线平行，从而确定点的位置，最后利用比例关系将所求三棱锥的体积转化为其它棱锥的体积，进而可得出结果. 【详解】(1)因为是等腰梯形，所以，即，即，，所以，又因为，，，所以平面；(2)因为平面，，所以，所以，所以，即，所以平面，又因为平面，平面平面，平面，所以，即，所以.【点睛】本题考查线面垂直关系的判定，考查线面平行的性质，考查体积公式应用，熟记线面垂直的判定定理和性质定理以三棱锥的体积公式即可，属于常考题型.19．下表是年个重点城市（序号为一线城市，其它为非一线城市）的月平均收入与房价对照表，根据表中数据并适当修正，得到房价中位数与月平均收入的线性回归方程是，我们把根据房价与月平均收入的线性回归方程得到的房价称为参考房价，若实际房价中位数大于参考房价，我们称这个城市是“房价偏贵城市”.序月评房价参考序月评房价参考序月评房价参考号价收入中位数房价号价收入中位数房价号价收入中位数房价1106706782211708117327257042170811479215972 210015525845118012706513918194762270651874115780 39561509004573213702716286194042370271053815324 48798307293657614697416667182042469741206914688 574241092620088156920974317760256920233314040 67825267142490016690310627181202669031358213836 77770397232424017688429000173882768842212613608 8775015114240001866547979165842866541220710848 97723177272367619664812500169202966481247210776 107635130122262020660812298162003066081640610286(1)计算城市的参考房价；(2)从个一线城市中随机选取个城市进行调研，求恰好选到一个“房价偏贵城市”的概率；(3)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为一线城市与该城市为“房价偏贵城市”有关？一般城市非一线城市总计房价偏贵城市不是房价偏贵城市总计附参考公式及数据：，其中.0.1000.0500.012.7063.841 6.635【答案】(1)；(2)；(3)见解析.【解析】（1）将代入，即可求出结果；(2)用列举法分别列举“这五个城市中选取个”以及“其中恰好有一个房价偏贵城市”所包含的基本事件，基本事件的个数比即是所求概率；(3)根据题中数据先完善列联表，再由求出，结合临界值表即可得出结果.【详解】(1)城市的参考房价为：；(2)一线城市中，城市是房价偏贵城市，不是房价偏贵城市，从这五个城市中选取个的所有可能有：，，，，，，，，，共十种，其中恰好有一个房价偏贵城市的情形有：，，，，，，所以恰好选到一个房价偏贵城市的概率.(3)一般城市非一线城市总计房价偏贵城市 3 9 12不是房价偏贵城市 2 16 18总计 5 25 30，所以我们没有的把握认为是否是一线城市与该城市是否是房价偏贵城市有关.【点睛】本题考查了线性回归分析、古典概率、独立性检验，熟记古典概型的概率计算公式，以及独立性检验的思想即可，属于常考题型.20．椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点.已知当时，，且的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)当时，求过点且圆心在轴上的圆的方程.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由当时，，且的面积为，得到，进而求出，求解即可得到，，从而可得椭圆方程；(2) 当时，，代入椭圆方程，求出点坐标，进而可得线段的中垂线方程，从而可求出所求圆心和半径，得到所求圆的方程.【详解】(1)由已知得：当时，，此时，所以，，所以椭圆的方程为. (2)当时，，代入椭圆的方程得：，所以，，所以，线段的中点坐标，线段的中垂线方程为，令，即圆心坐标为，所以半径，因此所求圆的方程为：.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，通常需要联立直线与椭圆方程，结合题中条件求解，属于常考题型.21．已知函数（为常数，且）(1）当时，求函数的单调区间；(2）若函数在区间上有唯一的极值点，求实数和极值的取值范围.【答案】(1) 函数的递增区间是，递减区间是；(2)【解析】(1）先对函数求导，将代入导函数，解导函数对应的不等式，即可求出结果；(2）先记，根据函数在区间上有唯一的极值点，可得函数图像是开口向下的抛物线，且，从而可得的范围，再由，以及在上单调递增，即可求出的取值范围.【详解】(1)（，当时，由解得，所以函数的递增区间是，递减区间是；(2)记，，函数在区间上有唯一极值点，则函数图像是开口向下的抛物线，且，即，所以的取值范围是，，所以，因为在上单调递增，且时，，，所以的取值范围是.【点睛】本题考查了导数的计算、导数的应用，考查了函数与方程思想、数形结合思想，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性以及极值等，属于常考题型.22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.为曲线上的动点，点在射线上，且满足.（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）设与轴交于点，过点且倾斜角为的直线与相交于两点，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先依据动点的极坐标的关系找到点的极坐标方程，再化为直角坐标方程；（Ⅱ）首先根据条件确定直线的参数方程，依据参数的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解.【详解】（Ⅰ）设的极坐标为，的极坐标为，由题设知.所以，即的极坐标方程，所以的直角坐标方程为.（Ⅱ）交点，所以直线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程，代入得：，，设方程两根为，则分别是对应的参数，所以.【点睛】本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，突显了直观想象的考查.23．已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；（Ⅱ）首先利用绝对值不等式定理得到函数的最小值，将不等式恒成立问题转化为关于的不等式解的问题，再通过对绝对值内式子符号的讨论，转化为不含绝对值的不等式组，最后求解不等式组.【详解】（Ⅰ）不等式为，可以转化为：或或，解得或，所以原不等式的解集是或.（Ⅱ），所以或，解得或.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式定理，考查转化与化归思想、分类与整合思想，突显了数学运算、逻辑推理的考查.。
2019年高三上学期联考数学(理)试题含答案
2019年高三上学期联考数学（理）试题含答案一、选择题(本大题共10题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合M ={0,1,2,3}，N =，则=（ ） A ．{0}B ．C ．D ． {1,2}2．已知函数，则 ( ) A ．1B ．－2C ．2D ．3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度4． 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为( ) A ．103B ．4C ．163D ．6 5．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若2221cos cos sin ,()4a B b A c C S b c a +==+-，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．若a ，b 为实数，则“”是“”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7． 已知函数()()1ln 1f x y f x x x ==--，则的图象大致为（ ）8． 已知锐角满足，,则= （ ） A ． B ．πC ． 或πD ．9．如果实数满足不等式组302301x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，目标函数的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．定义域为R 的函数,若对任意两个不相等的实数，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数为“H 函数”，现给出如下函数：①②③④其中为“H 函数”的有（ ） A ．①②B ．③④C ． ②③D ． ①②③二、填空题（大题共5题，每小题5，共25分，把答案填写在答题卡中横线上） 11． 已知复数,且是实数，则实数k ＝12． 已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =2x 上，则cos2=__________13． 若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为____14．已知定义在上的函数满足以下三个条件：①对于任意的，都有 ；②函数的图象关于轴对称；③对于任意的，且 ，都有。
2019届高三第一次联考数学(理)答案
１ ９ ． 解： （ １ ） 由三角形数阵知， ａ １ ， ａ ａ ２ ， １＝ ２－ １＝ ａ － ａ ＝ ４ ， …， ａ － ａ ＝ ２ （ ｎ － １ ） （ ｎ ２ ， ｎ Ｎ ， ≥ ∈ ） ３ ２ ｎ ｎ － １ ａ － ａ ＝ ２＋ ４＋ … ＋ ２ （ ｎ － １ ） ＝ ｎ （ ｎ － １ ） ， 累加得， ｎ １ ２ ʑａ ｎ－ ｎ ＋ １ （ ｎ ） ， ≥２ ｎ＝ ȵａ １也满足上述等式， １＝ ２ ʑａ ｎ － ｎ ＋ １ （ ｎ ） ； （ ４分） ∈Ｎ ｎ＝ 由题设知， ｂ ＝ ａ ＝ ７ ， 设数列｛ ｂ ｝ 的公差为 ｄ ， ４ ３ ｎ 则ｂ ３ ｄ ＝ ７ ， ㊀① １＋ １ ０ １ ０ˑ ９ ȵ∑ｂ １ ０ ０ ， ʑ１ ０ ｂ ｄ ＝ １ ０ ０ ， ｎ＝ １＋ ｎ ＝ １ ２ ９ 即ｂ ＝ １ ０ ， ㊀② １＋ ｄ ２ 由①②解得， ｂ １ ， ｄ ＝ ２ ， ʑｂ ２ ｎ － １ ； （ ８分） １＝ ｎ＝ １ １ （ ２ ） 由（ １ ） 知， ｃ ＝２ ｎ＝ ａ ｂ ｎ ＋ １＋ ２ ｎ － １ ｎ＋ ｎ ｎ－ １ １ １ １ ＝２ ＝ ＝ － ， （ ｎ ＋ １ ） ｎ ｎ ＋ １ ｎ＋ ｎ ｎ １ １ １ １ ʑＴ ｃ ｃ …＋ ｃ （ － ）＋ （ － ）＋ … ｎ＝ １＋ ２＋ ｎ＝ １ ２ ２ ３ １ １ １ ｎ ＋ （ － ）＝ １－ ． （ １ ２分） ＝ ｎ ｎ ＋ １ ｎ ＋ １ ｎ ＋ １ ２ ０ ． （ １ ） 证明： 连结 Ｃ Ｄ ， １ ȵＤ为棱 Ａ Ｂ １ １ 的中点， 且 Ｇ为△Ａ Ｂ Ｃ １ １ １ 上的重心， Ｃ Ｇ １ ʑＣ Ｄ一定过点 Ｇ ， 且 ＝ ２ ， ２分） （ １ Ｇ Ｄ Ｃ Ｈ １ １ ȵＣ Ｈ＝ Ｈ Ｃ ， ʑ ＝ ２ ， １ ２ Ｈ Ｃ Ｃ Ｇ Ｃ Ｈ １ １ 则 ＝ ， ʑＧ Ｈ Ｃ ， ∥Ｄ Ｇ Ｄ Ｈ Ｃ ȵＤ Ｃ Ｃ Ｄ ， Ｇ Ｈ Ｃ Ｄ ， 平面 Ｂ 平面 Ｂ ʑＧ Ｈ 平面 Ｂ Ｃ Ｄ ； ５分） ∥ （ # （ ２ ） 解： 取Ａ Ｂ的中点 Ｏ ， 连结 Ｏ Ｄ ， & 由 题 设 知，Ｏ Ｄ⊥ 平 面 Ａ Ｂ Ｃ ， $ * Ｏ Ｃ Ｂ ， 以 Ｏ 为 原 点， Ｏ Ｂ ， Ｏ Ｃ ， ' ⊥Ａ % Ｏ Ｄ所在直线分别为 ｘ ， ｙ ， ｚ 轴建立 ) 空间直角坐标系 Ｏ－ ｘ ｙ ｚ ， $ " ３ & 如图所示； 由题设知， Ｂ （ ， ０ ， ０ ） ， ２ ( ３ ３ % 槡， Ｂ （ ， ０ ， ３ ） ， Ｇ （ ０ ， ３ ）， １ ! ２ ２ ３３ Ｈ （ ０ ， 槡， １ ） （ ８分） ２ → → ３槡 ３ ３３３ ʑＢ Ｇ＝ （－ ， ， ０ ） ， Ｂ Ｈ＝ （－ ， 槡 ， － ２ ） ， １ １ ２ ２ ２ ２ 设平面 Ｂ Ｇ Ｈ的法向量为 ｎ＝ （ ｘ ， ｙ ， ｚ ） ， １ ３ 槡 ３ → － ｘ ＋ ｙ ＝ ０ ｎ ·Ｂ Ｇ＝ ０ ２ ２ １ 由 得， ， → ｎ ·Ｂ Ｈ＝ ０ ３ ３ ３ １ － ｘ ＋ 槡ｙ － ２ ｚ ＝ ０ ２ ２
精品解析：【市级联考】山东省聊城市2019届高三一模数学(理)试题(原卷版)
山东省聊城市2019届高三一模数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数的定义域为集合，集合，则（）A. B. C. D.2.设，则复数的虚部为（）A. B. C. D.3.已知向量，，若，则的值为（）A. B. C. D.4.记为等比数列的前项和，若，则（）A. B. C. D.5.AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示4月1日的AQI指数值为201,则下列叙述不正确的是()A. 这12天中有6天空气质量为“优良”B. 这12天中空气质量最好的是4月9日C. 这12天的AQI指数值的中位数是90D. 从4日到9日,空气质量越来越好6.设函数，若对于任意的，都有，则（）A. B. C. D.7.如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.设函数，若为奇函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.9.已知圆的半径为，在圆内随机取一点，则过点的所有弦的长度都大于的概率为（）A. B. C. D.，下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，无10.数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng）广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽丈，长丈；上棱长丈，高丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（）A. B. C. D.11.已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为为左支上的一个动点，若周长的最小值等于实轴长的倍，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数若关于的方程无实根，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）13.若满足约束条件，则的最大值为__________．14.某校举行“我爱我的祖国”征文比赛，从名获得一等奖的同学中选出名同学发表获奖感言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，则不同发言顺序的种数为_____．（用数字作答）15.记数列的前项和为，若，则数列的前项的和等于_____16.抛物线的焦点为，动点在抛物线上，点，当取得最小值时，直线的方程为_____．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每一个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在梯形中，，，．求；若求．18.在三棱柱中，平面平面，，，证明：；求直线与平面所成角的正弦值．19.已知平行四边形的三个顶点都在椭圆为坐标原点．当点的坐标为时，求直线的方程；证明：平行四边形的面积为定值．20.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费元；重量超过的包裹，除收费元之外，超过的部分，每超出（不足时按计算）需再收元．公司从承揽过的包裹中，随机抽取件，其重量统计如下：公司又随机抽取了天的揽件数，得到频数分布表如下：以记录的天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率计算该公司天中恰有天揽件数在的概率；估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员人，每人每天揽件不超过件，每人每天工资元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？（同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）21.已知函数讨论函数的单调性；设，若不相等的两个正数满足，证明：．(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），倾斜角为α的直线经过点求曲线的普通方程和直线的参数方程；若直线与曲线有两个不同的交点，求的最大值．23.已知函数．当时，求不等式解集；设不等式的解集为，若，求的取值范围．。
2019年3月2019届高三第一次全国大联考(新课标Ⅲ卷)-理数(全解全析)高考资料高考复习资料中考资料
你永远是最棒的2019 年第一次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学·全解全析1．A 【解析】易得 A = {x | x 2≤ 4} = {x | -2 ≤ x ≤ 2}， B = {x |x ≤ 0} = {x | 0 ≤ x < 2} ，所以 x - 2A B = [0,2) ，故选 A ．12 3 2019 2 ⨯ (2 2019-1) = 2 2020- 2 ．故选 D. 5．D 【解析】由图知输出的结果 S = 2 + 2 + 2+ + 2 = 2 -16．D 【解析】由已知 T = 2π = π ，解得 ω = 2，故 f ( x ) = sin(4 x π ，若 x ∈( π , π ) ，则 2 π 2 π 5π2ω345π4 x - ∈ ( , ) ，由正弦函数的图象可知函数 f ( x ) 在 ( π , π ) 上有增有减；若 x = π ，则 4x - π = ，3 3 3 π4 2 2 π 3 3 此时函数 f ( x ) 取不到最大值或者最小值，故 x = 不是函数 f ( x ) 图象的对称轴；若 x = ，则 2 π π 3 4x - = π ，此时函数 f ( x )=0 ，故 f ( x ) 的图象关于点 ( , 0) 对称.逐一观察各选项可知，答案为 D.3 37．A 【解析】由题意， (x -1n的通项为 T = ( -1) r C r x n - 3r ，当 n =3 r 即 2n = 3r 时，所得项为常数 2r +1 n2项，其中 r = m -1，所以 m ， n 应满足 2n = 3(m -1) ，故选 A.你永远是最棒的 8．C 【解析】易得圆锥的母线长为13 cm ，当蚂蚁距离圆锥顶点不超过 5 cm 时，蚂蚁应爬行在底面半径为25cm ，母线长为 5 cm 的小圆锥侧面上，由几何概型可知，蚂蚁距离圆锥顶点超过 5 cm 的概率为 1325 ⨯ 5π⨯ 1441 - 13 = ，故选 C ． π⨯ 5 ⨯13 1699．B 【解析】由 a + a + a = 42 ， a + a = 28 ，可得 S = 70 ，由已知得 tS = 52-12 ⨯ 5 ，得 t = - 1 ，13 5 245521故 - S = n 2-12n ，即 S = -2n 2 + 24n = -2(n - 6)2+ 72 ，所以当 n = 6 时, S 取得最大值．故选 B.2 nnn11．B 【解析】设抛物线 C 的焦点为 F ，则 F (a4 ,0) ，可得直线 l : y = 4x - a 过焦点 F ，设直线 l 交抛物线 C于点 A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) ，由抛物线定义可知 | AB |= x 1 + x 2 + a2 ，联立直线 l 与抛物线 C 的方程，消去y 得16 x 2 - 9ax + a 2= 0 ，所以 x 1 + x 2 = 169 a ，则 | AB |= 169a + a 2 = 17 ，解得 a =16 ，则抛物线C 的方程为 y 2 = 16x . 设与抛物线 C 相切且平行于直线 l 的直线方程为 y = 4x + b ，联立方程⎧ 2= 16x，消去 y 得16x2+ (8b -16)x + b 2= 0 ，则 ∆ = (8b - 16) 2 - 4 ⨯ 16b 2 = 0 ，解得 b =1，故⎨y⎩y = 4x + b所求直线方程为 4x - y +1 = 0 .故选 B.． 【解析】由题意，得 f '1 - m 1 mx 2+ x + 1 - m ( mx - m + 1)( x +1) （ x > 0 ），令12C x 2 + x = x 2=( x ) = m +x 2 mx - m + 1 = 0 ，由 m > 0 ，得 x = m -1 .当 0 < m ≤1 时， m -1 ≤ 0 ，此时函数 f (x ) 在 (0,+∞) 上单m m 调递增，且 x → 0 时， mx → 0 ， - 1- m → -∞ ， ln x → -∞ ，故 f (x ) → -∞ ，不合题意，舍去；m -1 x m -1 m -1当 m >1时， > 0 ，此时函数 f (x ) 在 (0, ) 上单调递减，在 ( ,+∞) 上单调递增，所以 m m m你永远是最棒的f (x )min = f ( m-1) = m -1 + m + ln m -1mm= 2m -1 + ln m -1，要使函数 f (x ) > 0 恒成立，只需m 2m -1 + ln m -1 > 0 ，即 m -1 e 2 m -1> 1 .故选 C. m m13．254 π【解析】由题意作出区域 Ω ，如图中阴影部分所示，2 - 13 3易知 tan ∠MON = 2 =，故 sin ∠MON = ，又 MN = 3，设 △OMN 的外接圆的半径为 R ，1 +2 ⨯ 12则由正弦定理得 MN = 2R ，即 R = 5 ，故所求外接圆的面积为 π⨯ ( 5 )2 = 25π .sin ∠MON 2 2 415．(1, 2 33 ) 【解析】由题意设双曲线 C 的半焦距为 c ，则右焦点 F 2 (c ,0) 到渐近线 y = ± ba x 的距离均为| bc | = b ，圆 F 的半径为 c ，要使圆 F 与双曲线 C 的两渐近线有公共点，需满足 c > b ，即a +b 22 22c 242) .c 2> 4(c 2- a 2) ，解得 < ，又双曲线的离心率 e >1 ，故双曲线 C 的离心率的取值范围为 (1, 3a 2 3 316． 193π【解析】作出图形如图（1）所示，由图可知在四面体 A - CDM 中， MA ⊥ AD ， MA ⊥AC ，AC AD = A ，故 MA ⊥ 平面 ACD ，将图形旋转得到如图（2）所示的三棱锥 M - ACD ，其中△ACD自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的为等边三角形，过△ACD 的中心 O1作平面 ACD 的垂线 l1，过线段 MC 的中点 O2作平面 MAC 的垂线 l2，易得直线 l1与 l2相交，记 l1l 2= O ，则 O 即为三棱锥 M - ACD 外接球的球心.设外接球的半径为 R，连接OC、O C，可得O C=2,OO=1,在Rt△OO C中，OC2= OO 2+ O C 2=19= R2，1131211112故外接球的表面积 S =4πR2=19π，故答案为19π.33图（1）图（2）17．（本小题满分 12 分）（2）由（1）可知，b=2a+ c，2a + c222a 2+ c 2- b2a+ c- ()2a2+ 3c2- 22a c在△ABC 中，由余弦定理，知cos B ==2=≥2ac2ac8ac你永远是最棒的2 6 a c - 2 2 a c = 6 - 2 （当且仅当 2 a 2 = 3c 2 时，等号成立），（8 分）8ac41 - (- ) = + ，（10 分）6 2 6 2 ∴ sin B = 1 - cos 2B ≤ 4 4则 BC 边上的高 h = c ⋅sin B ≤ 4 ⨯+ =6 2+，624∴ BC 边上的高的取值范围为 (0, 6 + 2 ] ．（12 分）18．（本小题满分 12 分）∴ PA ⊥ PB ，（4 分）∵ AD ⊥ 平面 PAB ，∴ AD ⊥ PB ，又 PA AD = A ，∴ PB ⊥ 平面 PAD ， 又 PB ⊂ 平面 PBC ，∴平面 PAD ⊥ 平面 PBC .（6 分）（2）由 PA = PB ，可得 PE ⊥ AB ，故以 E 为原点， EP , EB , EC 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图，同（1），设 AD = 1 ，则 P (1,0,0) ，A (0,-1,0) ，D (0,-1,1) ，C (0,0,1) ，则 PD = ( - 1, -1,1) ，AD = (0, 0,1) ，CD = (0, -1, 0) ，（8 分）∴平面 PCD 的一个法向量为 n 2 = (1, 0,1) ，（10 分）∴ cosn , n = n 1 ⋅n 2 =1 = 1 ，12| n 1 || n 2 | 2 ⨯ 2 2π故平面 PAD 与平面 PCD 所成锐二面角的大小为 3 ．（12 分）19．（本小题满分 12 分）【解析】（1）由统计表可得 x 1 =15 ⨯ (74.31 + 41.08 + 38.37 + 30.55 + 26.46) =42.154 ， x 2 =15 ⨯ (41.82 + 39.08 + 23.43 + 18.99 + 18.36) = 28.336 .可知 x 1 > x 2 .（4 分）（2）由定义，知男性中只有肺癌属于高发率癌种，女性中乳腺癌、肺癌为高发病率癌种，（6 分）设 X 、 Y 分别为男、女性前 5 类癌种中抽到的高发病率癌种的类数，则X 的可能取值有 0，1，P ( X = 0) = C 42= 3, P ( X = 1) = C 11C 14= 2.C 52 5 C 525故 X 的分布列为（8 分）故 E ( X ) = 0 ⨯ 53 +1⨯ 52 = 52.Y 的可能取值有 0，1，2P (Y = 0) = C 32 = 3 , P (Y = 1) = C 12 C 13 = 3, P (Y = 2) = C 22 = 1 .C 52 10 C 52 5 C 52 10故 Y 的分布列为（10 分）故 E (Y ) = 0 ⨯ 103+ 1 ⨯ 53 + 2 ⨯ 101 = 54.可得 E ( X ) < E (Y ) ，故男性前 5 类癌种中含有高发病率癌种的类数的均值较小.（12 分）20．（本小题满分 12 分）（2）显然过点 F 2 的直线 l 不与 x 轴重合，可设直线 l 的方程为 x = ty +1，且 A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ，⎧ 2⎪ x + y 2 = 1，消去 x 2 2+ 2ty -1 = 0 ，联立方程 ⎨ 2得 (t + 2) y⎪⎩x = ty +1根据根与系数的关系，得 y + y2 = - 2t ， y y 2= -1 ，（6 分）1t 2 + 2 1t 2 + 2⎧y = y 1y 2联立直线 m 与直线 PB⎪y 2(x -x 0 )，消去 y，整理得 y1=(x - x 0 ) ，的方程⎨y =ty +1 - x⎪x 2 - x 0 2 0⎩解得 x = ty 1 y 2 + y 1 - x 0 y 1+ x ，将 y y 2 =-1， y = - y 2t 代入， 01t 2+ 2 12t 2+ 2y 2-3t- y+ x( y+2t)t 2+2t 2+2得 x =202+ x0y2-3t+2t⋅ x- y+ x y t(2x-3)-y+ x yt 2+2t 2+2t 2+2=0202+ x =0202+ x，（10 分）y20y2若存在点 P(x0,0)满足直线 PB 与直线 m 的交点恒在一条定直线上，3t(2 x0- 3) -y2+x0y2可令 x0=，则 x =t 2+2+ x0= 2 ，与t无关，2y2故在 x 轴上存在点P，使直线PB与直线 m 的交点恒在一条定直线上，此时点P的坐标为(32,0)，定直线的方程为 x =2.（12分）令2x2+ (b+ 4)x+ (2b-1) = 0 （*），则∆ = (b+ 4) 2- 8(2b- 1) = (b- 4) 2+ 8 > 0 ，∴方程（*）有两个不相等的实根，且x=- (b+ 4) - (b- 4)+ 8， x=- (b+ 4) + (b- 4)+ 8,1424若 x 1> -1，整理得b+ (b- 4) 2+ 8 < 0 ，又b≥ 1，∴b+ (b- 4) 2+ 8 < 0 不成立，故x1≤ -1；你永远是最棒的若 x> -1，解不等式- (b+ 4) + (b- 4)2+ 8> -1，得b< 3 ，24当1 ≤b< 3 时，函数g(x)在[-1,x2]上单调递减，在 (x2 ,+∞) 上单调递增，（9分）∵g(-1)=1- b ≤0， g (1)=1+ b -ln 3≥2-ln 3>0，∴当 b =1时，函数g(x)有2个零点，当1 <b< 3 时，函数g(x)有1个零点，（10分）- (b+ 4)若 x2≤ -1，解不等式+ (b- 4)2+ 8≤ -1，得 b ≥3，此时g'(x)≥0，故函数4上单调递增，∴ g ( x )≥ g (-1)= 1 -b，∵1 -b< 0 ，∴函数g ( x) 有1个零点.综上，若 b ≥1，函数g(x)至少有1个零点．（12分）（2）（法一）由（1）知曲线C是以(3,1) 为圆心，2为半径的圆，当曲线 C 上至少有3个点到直线 l 的距离为1时，此时圆心到直线 l 的距离不大于1，（5分）设直线 l 的直角坐标方程为y=kx，即kx-y=0，其中 k =tanα，∴圆心 (|3k -1 |≤ 1，解得 0 ≤k≤，即 0 ≤ tan α ≤到直线l的距离为dk +1∵α ∈ [0, π) ，∴α ∈[0,π] ．（10分）3g( x) 在[-1,+∞)3 ，（8分）你永远是最棒的（法二）由题意及（1）知曲线 C 是以 (3,1) 为圆心，2 为半径的圆，直线 l 与圆 C 相交于原点，当曲线 C 上至少有 3 个点到直线 l 的距离为 1 时，直线 l 与圆 C 相交的弦长不小于 2 3 ，将 θ = α 代入曲线 C 的极坐标方程 ρ = 4 sin(θ + π3) ，得 4 sin(α + π3 ) ≥ 2 3 ，即 sin(α + π3 ) ≥ 23 ，（8 分）又 α ∈ [0, π) ，∴α + π3 ∈[ π3 , 43π) ，故α + π3 ∈[ π3 , 23π] ，即α 的取值范围是[0, π3 ] ．（10 分）∴ | 3x + 2a | +ax + | x -1|≤ 0 ，即为 3x + 2a + ax - x +1 ≤ 0 ，化简得 (2 + a )x + 2a +1 ≤ 0 ，（8 分）∵ x ∈ (- 2a,1) 时， f (x )+ | x -1 |≤ 0 恒成立，3⎧ 2a⎪(2 + a )(- ) + 2a +1 ≤ 03⎪ 3∴ ⎨(2 + a ) ⨯1+ 2a +1 ≤ 0 ，解得 - < a ≤ -1 ．2⎪ 2a⎪< 1 ⎩- 3故实数 a 的取值范围为 ( - 32 , -1] .（10 分）自信是迈向成功的第一步。
山东省潍坊市2019届高三一模（数学理）含答案word版
山东省潍坊市2019届高三一模（数学理）含答案word版2019年潍坊市高考模拟考试理科数学本试卷共4页，分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟．第1卷(选择题共60分)注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每题选出答案后，用2 B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号。
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A 为数集，则“A ∩{0，1}={0}”是“A={0}”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若复数ii a ++1为纯虚数，则实数a 的值是 A ．-1 B ．0 C ．1 D ．23．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占1 0％，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为A ．10％B ．20％C ．30％D ．40％4．已知不等式| x+2 |+| x-3 |≤a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是A ．a<5B ．a ≤5C ．a>5D ．a ≥55．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9=2a 5 2，a 2=2，则a 1等于A ．1B ．2C ．一2D ．26．右面的程序框图输出的S 值是A ．2019B ．-21 C ．32 D ． 37.已知f(x)=a x-2，g(x)=loga|x|(a>0且a ≠1)，若f(4)·g(-4)<0，则y=f(x)，y=g(x)在同一坐标系内的大致图象是8.若二项式(x 2-x2)n 的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为A ．-240B ．-160C ．160D ．2409.圆心在曲线y=x3 (x>o)上，且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为A ．(x-1)2+(y-3)2=(518)2B ．(x-3)2+(y-1)2=(516)2 C ．(x-2)2+(y-23)2=9 D ．(x-3)2+(y-3)2=9 10．函数f(x)=lnx-x 2+2x+5的零点的个数是A ．0B ．1 C.2 D ．3l1．已知f(x)=sin(x+2π)，g(x)=cos(x-2π)，则下列结论中不正确的是A ．函数y=f(x)·g(x)的最小正周期为πB ．函数y=f(x)·g(x)的最大值为21 C.函数y=f(x)·g(x)的图象关于点(4π，0)成中心对称 D ．将函数f(x)的图象向右平移2π个单位后得到函数g(x)的图象1 2.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润1万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少生产1 吨，乙产品至少生产2吨，消耗A 原料不超过1 3吨，消耗B 原料不超过1 8吨，那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是A ．1吨B ．2吨C ．3吨D ．311吨第Ⅱ卷 (非选择题共90分)注意事项：1．第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题；2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学"答题卡指定的位置上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共1 6分．l 3． ?01(2x k +1)dx=2，则k= 14．若双曲线922y a x - =1的一条渐近线的倾斜角为600，则双曲线的离心率等于 15．正三棱锥P 一ABC 的四个顶点在同一球面上，已知AB=23，PA=4，则此球的表面积等于16．设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f(x+1)=f(x-1)，已知当x ∈[0，1]时f(x)=(21)1-x ，则①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x ∈[3，4]时，f(x)=( 21)x-3．其中所有正确命题的序号是，三、解答题：本大题共6 小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．1 7．(本题满分1 2分)已知钝角△ABC 中，角A 、B 、c 的对边分别为a 、b 、c ，且(一c)cosB=bcosC ． (I)求角B 的大小；(Ⅱ)设向量m=(cos2A+1，cosA)，n=(1，-58)，且m ⊥n ，求tan(4π+A)的值．1 8．(本题满分1 2分)已知数列{n a }的前n 项积Tn=a1·a2·a3·…·an=223n n +；数列{n b }为等差数列，且公差d>0，bl+b2+b3=l5．(I)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)若312123;;333a a ab b b +++成等比数列，求数列{n b }的前n 项和n S ． 1 9．(本题满分1 2分)如图甲，直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，F 为AD 中点，E 在BC 上，且EF ∥AB ，已知AB=AD=CE=2，现沿EF 把四边形CDFE 折起如图乙，使平面CDFE ⊥平面ABEF(I)求证：AD ∥平面BCE ；(Ⅱ)求CD 与平面ABC 所成角的正弦值20．(本题满分1 2分)某工厂生产一种零件，该零件有甲、乙两项技术指标需要检验，设两项技术指标检验互不影响，经研究甲项指标达标率为2/3，乙项指标达标率为3/4．规定：两项指标都达标的零件为一等品，其中一项指标不达标为二等品，两项均不达标的为次品．已知生产一个一等品、二等品的利润分别为500元、200元，出现一个次品亏损400元．(I)求生产一个零件的平均利润；(Ⅱ)若该工厂某时段生产了5个零件，记该5个零件中一等品的个数为X ，求p(X ≥2)及E(X)，D(X)．21．(本题满分1 2分)如图，抛物线C1：x 2=2py(p>0)的焦点为F ，椭圆C2：2222by a x +=l(a>b>o)的离心率e=23，c1与c2在第一象限的交点为p(3，21)．(I)求抛物线C1及椭圆C2的方程；(Ⅱ)已知直线l ：y=kx+t(k ≠0，t>0)与椭圆C2交于不同两点A 、B ，点m 满足=0，直线FM 的斜率为k1，试证明k ·k1>-41。
2019届山东省烟台市高三数学(理科)一模试题答案及解析
2019届山东省烟台市高三数学（理科）一模试题答案及解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i为虚数单位），则＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1﹣i）z＝2i，得z＝，∴．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）若集合M＝{x|x＞1}，N＝{x∈Z|0≤x≤4}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{2，3，4}【分析】可求出集合N，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：N＝{0，1，2，3，4}，∁R M＝{x|x≤1}；∴（∁R M）∩N＝{0，1}．故选：B．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及补集、交集的运算．3．（5分）已知甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为（）A．B．C．D．【分析】现从两袋中各随机取一个球，基本事件总数n＝＝6，取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球，利用对立事件概率计算公式能求出取出的两球中至少有1个红球的概率．【解答】解：甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，基本事件总数n＝＝6，取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球，∴利用对立事件概率计算公式得：取出的两球中至少有1个红球的概率为p＝1﹣＝．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）“b＞a＞0”是“”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当b＞a＞0时，成立，反之当b＜0，a＞0时，满足，但b＞a＞0不成立，即b＞a＞0”是“”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣3，1），则cos2θ＝（）A．B．C．D．【分析】由任意角的三角函数的定义求得sinθ，然后展开二倍角公式求cos2θ．【解答】解：∵角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣3，1），∴|OP|＝，∴sinθ＝．则cos2θ＝1﹣2sin2θ＝．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．8B．16C．32D．64【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．【解答】解：当a＝1，b＝2时，S＝ab＝2，S＜100成立，则a＝2，b＝2，S＝ab＝2×2＝4，S＜100成立，则a＝2，b＝4，S＝ab＝2×4＝8，S＜100成立，则a＝4，b＝8，S＝ab＝4×8＝32，S＜100成立，则a＝8，b＝32，S＝ab＝8×32＝256，S＜100不成立，输出b＝32，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．7．（5分）在，＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】本题主要是找到两个基底向量，然后用两个基底向量表示，再通过向量的运算即可得出结果．【解答】解：由题意，画图如下：则：＝＝，＝＝．∴＝＝＝＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查基底向量的建立，以及用两个基底向量表示别的向量．本题属基础题．8．（5分）我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．1+2πD．【分析】根据三视图知该几何体是三棱锥与圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可．【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为V＝××1×1×2+×π×12×2＝+；所以对应不规则几何体的体积为+．故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．9．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，且，则当ω取最小值时，函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由，求出φ，再根据所得图象关于y轴对称求出ω，可得f（x）的解析式．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，可得y＝sin（ωx﹣+φ）的图象；∵所得图象关于y轴对称，∴﹣+φ＝kπ+，k∈Z．∵＝sin（π+φ）＝﹣sinφ，即sinφ＝，则当ω取最小值时，φ＝，∴﹣＝kπ+，取k＝﹣1，可得ω＝4，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝sin（4x+），故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．10．（5分）设A，B，C，D是同一个球面上四点，△ABC是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为27，则该球的表面积为（）A．36πB．64πC．100πD．144π【分析】由题意画出图形，求出三棱锥D﹣ABC的外接球的半径，代入表面积公式求解．【解答】解：如图，△ABC是斜边BC长为6的等腰直角三角形，则当D位于直径的端点时，三棱锥D﹣ABC 体积取最大值为27，由AB＝AC，AB⊥AC，BC＝6，可得斜边BC上的高AE＝3，AB＝AC＝，由，解得DE＝9，则EF＝．∴球O的直径为DE+EF＝10，则球O的半径为．∴该球的表面积为S＝4π×52＝100π．故选：C．【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．11．（5分）若函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin2x，则满足f（2x2﹣1）+f（x）＞0的x的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】判断函数f（x）为定义域R上的奇函数，且为增函数；把f（2x2﹣1）+f（x）＞0化为2x2﹣1＞﹣x，求出解集即可．【解答】解：函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin2x，定义域为R，且满足f（﹣x）＝e﹣x﹣e x+sin（﹣2x）＝﹣（e x﹣e﹣x+sin2x）＝﹣f（x），∴f（x）为R上的奇函数；又f′（x）＝e x+e﹣x+2cos2x≥2+2xos2x≥0恒成立，∴f（x）为R上的单调增函数；又f（2x2﹣1）+f（x）＞0，得f（2x2﹣1）＞﹣f（x）＝f（﹣x），∴2x2﹣1＞﹣x，即2x2+x﹣1＞0，解得x＜﹣1或x＞，所以x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，是中档题．12．（5分）已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，M为双曲线右支上一点且满足，若直线MF2与双曲线的另一个交点为N，则△MF1N的面积为（）A．12B．C．24D．【分析】设|MF1|＝m，|MF2|＝n，根据双曲线的定义和MF1⊥MF2，可求出m＝6，n＝2，再设|NF2|＝t，则|NF1|＝4+t根据勾股定理求出t＝6即可求出三角形的面积【解答】解：设|MF1|＝m，|MF2|＝n，∵F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，∴m﹣n＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2∵，∴MF1⊥MF2，∴m2+n2＝4c2＝40，∴（m﹣m）2＝m2+n2﹣2mn，即2mn＝40﹣16＝24，∴mn＝12，解得m＝6，n＝2，设|NF2|＝t，则|NF1|＝2a+t＝4+t在Rt△NMF1中可得（4+t）2＝（t+2）2+62，解得t＝6，∴|MN|＝6+2＝8，∴△MF1N的面积S＝|MN|•|MF1|＝×8×6＝24故选：C．【点评】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数为40，则实数a的值为3．【分析】把（2+x）5按照二项式定理展开，可得（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数，再根据（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数为40，求得a的值．【解答】解：∵（a﹣x）（2+x）5＝（a﹣x）（32+80x+80x2+40x3+10x4+x5）的展开式中x3的系数为40a﹣80＝40，∴a＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．（5分）己知x，y满足约束条件的最小值是．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出x，y满足约束条件的对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由解得A（，）此时z＝×2+＝，故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．15．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，则△ABC周长的最大值为6．【分析】由正弦定理化简已知等式可得：sin A sin B＝sin B cos A，结合sin B＞0，可求tan A ＝，结合范围A∈（0，π），可求A＝，由余弦定理，基本不等式可求4≥bc，进而可求b+c≤4，即可计算得解△ABC周长的最大值．【解答】解：∵，∴由正弦定理可得：sin A sin B＝sin B cos A，∵sin B＞0，∴sin A＝cos A，可得：tan A＝，∵A∈（0，π），∴A＝，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，当且仅当b＝c 时等号成立，∴由4＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，可得：（b+c）2＝4+3bc≤4+3×4＝16，即b+c≤4，当且仅当b＝c时等号成立，∴△ABC周长a+b+c≤2+4＝6，即其最大值为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．（5分）已知f（x）＝，若方程f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根，则实数m的取值范围是（结果用区间表示）．【分析】由方程的解与函数图象的交点个数的关系可得：f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根等价于y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2，由函数图象的性质及利用导数求切线方程可得：设过原点的直线与y＝f（x）相切与点P （x0，y0），由f′（x）＝，则此切线方程为：y﹣lnx0＝（x﹣x0），又此直线过原点（0，0），则求得x0＝e，即切线方程为：y＝再结合图象可得：实数m的取值范围是m，得解【解答】解：由f（x）＝，可得：y＝f（x）在（0，4e）的图象关于直线x＝2e对称，f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根等价于y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2，y＝f（x）的图象与直线x＝mx的位置关系如图所示，设过原点的直线与y＝f（x）相切与点P（x0，y0），由f′（x）＝，则此切线方程为：y﹣lnx0＝（x﹣x0），又此直线过原点（0，0），则求得x0＝e，即切线方程为：y＝，由图可知：当y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2时，实数m的取值范围是m，故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题考查了方程的解与函数图象的交点个数的相互转化、函数图象的性质及利用导数求切线方程，属难度较大的题型．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知数列{a n}中，．（1）记b n＝log2（a n+1），判断{a n}是否为等差数列，并说明理由：（2）在（1）的条件下，设，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）根据题意，由于b n＝log2（a n+1），分析可得当n＝1时，计算可得b1的的值，综合即可得答案；值，当n≥2时，分析b n﹣b n﹣1（2）由（1）的结论求出{b n}的通项公式，进而可得，由错位相减法分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，b n＝log2（a n+1），当n＝1时，有b1＝log2（a1+1）＝log22＝1；当n≥2时，＝；所以数列{b n}是以1为首项、公差为1的等差数列．（2）由（1）的结论，数列{b n}是以1为首项、公差为1的等差数列，则b n＝2+（n﹣1）＝n，则，于是，，①，②①﹣②可得：，＝，所以．【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，关键是求出数列{b n}的通项公式，属于综合题．18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，△ABC等边三角形，AC⊥DC，以AC为折痕将△ABC折起，使得平面ABC⊥平面ACD．（1）设E为BC的中点，求证：AE⊥平面BCD：（2）若BD与平面ABC所成角的正切值为，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【分析】（1）推导出CD⊥平面ABC，从而CD⊥AE，再求出AE⊥BC，由此能证明AE ⊥平面BCD．（2）由DC⊥平面ABC，知∠DBC即为BD与平面ABC所成角，从而在直角△DCB中，，以C为坐标原点，分别以所在的方向作为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系C﹣xyz．利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）因为平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，CD⊂平面ACD，CD⊥AC，所以CD⊥平面ABC．………………………（1分）又AE⊂平面ABC，所以CD⊥AE．………………………（2分）在等边△ABC中，因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．…………………（3分）因为AE⊥CD，AE⊥BC，CD∩BC＝C，所以AE⊥平面BCD．…………………（4分）解：（2）由（1）知DC⊥平面ABC，所以∠DBC即为BD与平面ABC所成角，于是在直角△DCB中，．…………………（5分）以C为坐标原点，分别以所在的方向作为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．设等边△ABC的边长为a，则，C（0，0，0），A（0，a，0），，，，，，．……………………（7分）设平面ABD的一个法向量为＝（x1，y1，z1），则，即，令z1＝1，则，，于是＝（，）．……………………（9分）设平面BCD的一个法向量为＝（x2，y2，z2），则，即，解得x2＝0，令z2＝1，则，于是＝（0，﹣，1）．……………………（11分）所以cos＜＞＝＝＝﹣．由题意知二面角A﹣BD﹣C为锐角，所以二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．……………………（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．【分析】（1）由题意可得|AB|＝2p＝4，即可求出抛物线的方程，（2）设直线AB的方程为y＝x﹣1，联立消去x，得y2﹣4y﹣4＝0，根据韦达定理结合直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，即可求出点P的坐标【解答】解：（1）因为，在抛物线方程y2＝2px中，令，可得y＝±p．于是当直线与x轴垂直时，|AB|＝2p＝4，解得p＝2．所以抛物线的方程为y2＝4x．（2）因为抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，所以M（﹣1，﹣2）．设直线AB的方程为y＝x﹣1，联立消去x，得y2﹣4y﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4，y1y2＝﹣4．若点P（x0，y0）满足条件，则2k PM＝k PA+k PB，即，因为点P，A，B均在抛物线上，所以．代入化简可得，将y1+y2＝4，y1y2＝﹣4代入，解得y0＝±2．将y0＝±2代入抛物线方程，可得x0＝1．于是点P（1，±2）为满足题意的点．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数列与解析几何的综合，考查直线的斜率，综合性强．20．（12分）2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N（μ，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1），且P（X≤a）＝P（Y≤）．利用直方图得到的正态分布，求P（X≤10）．（ii）从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P（Z≥2）（结果精确到0.0001）以及Z的数学期望．参考数据：．若Y～N（0，1），则P（Y≤0.75）＝0.7734．【分析】（1）直接由平均数公式及方差公式求解；（2）（i）由题知μ＝9，σ2＝1.78，则X～N（9，1.78），求出σ，结合已知公式求解P （X≤10）．（ⅱ）由（i）知P（X＞10）＝1﹣P（X≤10）＝0.2266，可得Z～B（20，0.2266），由P（Z≥2）＝1﹣P（Z＝0）﹣P（Z＝1）求解P（Z≥2），再由正态分布的期望公式求Z 的数学期望E（Z）．【解答】解：（1），s2＝（6﹣9）2×0.03+（7﹣9）2×0.1+（8﹣9）2×0.2+（9﹣9）2×0.35+（10﹣9）2×0.19+（11﹣9）2×0.09+（12﹣9）2×0.04＝1.78；（2）（i）由题知μ＝9，σ2＝1.78，∴X～N（9，1.78），．∴；（ⅱ）由（i）知P（X＞10）＝1﹣P（X≤10）＝0.2266，可得Z～B（20，0.2266），P（Z≥2）＝1﹣P（Z＝0）﹣P（Z＝1）＝＝1﹣（0.7734+20×0.2266）×0.0076≈0.9597．∴Z的数学期望E（Z）＝20×0.2266＝4.532．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查离散型随机变量得期望，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣2ax+3a2e﹣x（a∈R），其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x∈（0，+∞）时，e x（x﹣a）+3a2e﹣x﹣x2﹣a2+10＞f（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令g（x）＝e x（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10只需在x∈（0，+∞）使g min（x）＞0即可，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定a的范围即可．【解答】解：（1）由题意可知，＝，………………（1分）当a＝0时，f'（x）＝e x＞0，此时f（x）在R上单调递增；………………（2分）当a＞0时，令f'（x）＝0，解得x＝ln（3a），当x∈（﹣∞，ln（3a））时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ln（3a），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；………………（3分）当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x＝ln（﹣a），当x∈（﹣∞，ln（﹣a））时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ln（﹣a），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；………………（4分）综上，当a＝0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，x∈（﹣∞，ln（3a））时，f（x）单调递减，x∈（ln（3a），+∞）时单调递增；当a＜0时，x∈（﹣∞，ln（﹣a））时，f（x）单调递减，x∈（ln（﹣a），+∞）时单调递增．………………（5分）（2）由e x（x﹣a）+3a2e﹣x﹣x2﹣a2+10＞f（x），可得，e x（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10＞0，令g（x）＝e x（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10只需在x∈（0，+∞）使g min（x）＞0即可，g'（x）＝e x（x﹣a﹣1）+e x﹣2x+2a＝（e x﹣2）（x﹣a），………………（6分）①当a≤0时，x﹣a＞0，当0＜x＜ln2时，g'（x）＜0，当x＞ln2时，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，ln2）上是减函数，在（ln2，+∞）上是增函数，只需g（ln2）＝﹣a2+（2ln2﹣2）a﹣ln22+2ln2+8＞0，解得ln2﹣4＜a＜ln2+2，所以ln2﹣4＜a≤0；………………（8分）②当0＜a＜ln2时，g（x）在（0，a）上是增函数，在（a，ln2）上是减函数，在（ln2，+∞）上是增函数，则，解得0＜a＜ln2，………………（9分）③当a＝ln2时，g'（x）≥0，g（x）在（0，+∞）上是增函数，而g（0）＝9﹣ln2﹣ln22＞0成立，………………（10分）④当a＞ln2时，g（x）在g（x）在（0，ln2）上是增函数，在（ln2，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，则，解得ln2＜a＜ln10．………（11分）综上，a的取值范围为（ln2﹣4，ln10）．………（12分）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．（二）选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点，直线l与曲线C相交于两点A，B，求的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．【解答】解：（1）直线l的普通方程为；因为，所以2ρ2﹣ρ2cos2θ＝8，将x＝ρcosθ，ρ2＝x2+y2，代入上式，可得x2+2y2＝8．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得，设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，则，．于是＝．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣m|x+2|．（1）当m＝1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若实数m使得不等式f（x﹣2）＞m在x∈[﹣1，1]恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）分3种情况去绝对值，解不等式组可得；（2）将不等式分离参数m后构造函数求最小值可得．【解答】解：（1）当m＝1时，|2x﹣1|﹣|x+2|≥2，当x≤﹣2时，原不等式转化为1﹣2x+x+2≥2，解得x≤﹣2；………………（1分）当﹣2＜x≤时，原不等式转化为1﹣2x﹣x﹣2≥2，解得﹣2＜x≤﹣1；…（2分）当x＞时，原不等式转化为2x﹣1﹣x﹣2≥2，解得x≥5；………………（3分）综上，不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥5}．………………（4分）（2）由已知得：f（x﹣2）＝|2x﹣5|﹣m|x|＞m，即.，由题意m＜g（x）min．………………（5分）当x∈[0，1]时，为减函数，此时最小值为；………………（7分）当x∈[﹣1，0）时，为增函数，此时最小值为．………………（9分）又，所以．所以m的取值范围为．………………（10分）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
山东省枣庄市2019届高三一调模拟考试数学(理)试题(解析版)9
第1页（共6页）第2页（共6页） 高三一调模拟考试 数学（理） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷（选择题） 一、单选题 1．已知集合41{|0},{|24}24x x A x Z B x x -=∈≥=≤≤+ ，则集合A B ⋂=（ ） A. {}|12x x -≤≤ B. {}1,0,1,2- C. {}2,1,0,1,2-- D. {}0,1,2 2．在等差数列{}n a 中， 37101141,21a a a a a +-=--=，则数列{}n a 的前8项和8S =（ ） A. 50 B. 70 C. 120 D. 100 3．已知向量()()1,2,2,1a x b =-=，则“0x >”是“a 与b 夹角为锐角”的( ) A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4．已知函数()sin 2y x ϕ=+在6x π=处取得最大值，则函数()cos 2y x ϕ=+的图象 （ ） A. 关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 B. 关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C. 关于直线6x π=对称 D. 关于直线3x π=对称5．某一简单几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积是（ ）.A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
6．《周易》历来被人们视作儒家之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而不朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳“—”当作数字“1”，把阴“——”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦“屯”卦，符号“”表示的十进制是（ ） A. 18 B. 17 C. 16 D. 15 7．设变量,x y 满足约束条件{34 2y x x y x ≥+≤≥-，则3z x y =- 的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8．已知定义在R 上的函数()f x 满足条件：①对任意的x R ∈，都有()()4f x f x +=；②对任意的[]12,0,2x x ∈且12x x <，都()()12f x f x <有；③函数()2f x +的图象关于y 轴对称，则下列结论正确的是 （ ） A. ()()()7 6.5 4.5f f f << B. ()()()7 4.5 6.5f f f << C. ()()()4.57 6.5f f f << D. ()()()4.5 6.57f f f << 此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号第3页（共6页）第4页（共6页） 9．已知斜率为3的直线l 与双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>交于,A B 两点，若点()6,2P 是AB 的中点，则双曲线C 的离心率等于（ ）A.B. C. 2D. 10．函数()21cos 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭（其中e 为自然对数的底数）图象的大致形状是（ ）A.B.C.D.11．已知点(0,Q 及抛物线24y x =上一动点(),P x y ，则x P Q +的最小值为（ ）A. 4B. 2C. 6D. 12．已知函数(),1{ 1,12lnx x f x x x ≥=-< ，若()()1F x f f x m ⎡⎤=++⎣⎦有两个零点12,x x ，则12x x ⋅的取值范围是 （ ）A. [)42ln2,-+∞B. )+∞C. (],42ln2-∞-D. (-∞第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知函数()()21,10{ ,1x x f x x +-≤≤=<≤，则()11f x dx -=⎰__________．14．已知函数()21sin 21x x f x x x -=+++，若正实数a ， b 满足()()490f a f b +-=， 11a b+则的最小值为__________．15．圆心在曲线2(0)y x x =>上，且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为 .16．已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球， 3BC =，AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__________. 三、解答题 17．已知向量()()()sin ,cos ,2cos ,2cos a x x b x x π=-=，函数()1f x a b =⋅+. （1）求()f x 的对称中心； （2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并求出x 相应的值. 18．如图所示， ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b cc b =. （1）求角B 的大小； （2）点D 为边AB 上的一点，记BDC θ∠=，若2πθπ<<，2,CD AD a ===求sin θ与b 的值.19．如图，四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是边长为2的菱形, 060,,2ABC PA PB PC ∠=⊥=. （1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ； （2）若PA PB =，求锐角二面角A PC D --的余弦值.第5页（共6页） 第6页（共6页）20．已知数列{}{},n n a b 分别是等差数列与等比数列，满足11a =，公差0d >，且2263224,,a b a b a b ===.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 对任意正整数n 均有12112n n nc c c a b b b ++++=成立，设{}n c 的前n 项和为n S ，求证： 20182018(S e e ≥是自然对数的底数）21．已知点错误！未找到引用源。
2019年3月2019届高三第一次全国大联考(新课标Ⅲ卷)-理数(全解全析)
（2）显然过点 F2的直线l 不与 x 轴重合，可设直线l 的方程为 x ty 1，且 A(x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，
x2
联立方程 2
y2
1
，消去
x 得 (t
2
2) y2 2ty 1
0
，
x ty 1
2t
1
根据根与系数的关系，得 y1 y2 t 2 2 ， y1 y2 t 2 2 ，（6 分）
2m 1 ln m 1 0 ，即 m 1 e2m1 1 .故选 C.
m
m
13． 25 【解析】由题意作出区域，如图中阴影部分所示，
4
易知 tan MON
21 2
3
，故 sin MON
3
，又
MN
3，设△OMN
的外接圆的半径为 R
，
1 2 1 4
5
2
则由正弦定理得 MN 2R ，即 R 5 ，故所求外接圆的面积为 ( 5)2 25 .
t 22 1
2 t 2 2
理科数学 第 7页（共 10页）
得x
t
3t 2 2
y2
x0 ( y2
y2
2t ) t2 2
x0
t
3t 2 2
2t t2 2
x 0
y
2
xy 02
x
t
t 2
2
(2x
0
3)
y 2
xy 02
x
10
y
0
y
0 ，（ 分）
山东省烟台市2019届高三高考理科数学一模试卷附答案解析
烟台市2019届高三高考一模数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i为虚数单位），则＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i2．（5分）若集合M＝{x|x＞1}，N＝{x∈Z|0≤x≤4}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{2，3，4}3．（5分）已知甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）“b＞a＞0”是“”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣3，1），则cos2θ＝（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．8B．16C．32D．647．（5分）在，＝，则＝（）A．B．C．D．8．（5分）我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．1+2πD．9．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，且，则当ω取最小值时，函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．10．（5分）设A，B，C，D是同一个球面上四点，△ABC是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为27，则该球的表面积为（）A．36πB．64πC．100πD．144π11．（5分）若函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin2x，则满足f（2x2﹣1）+f（x）＞0的x的取值范围为（）A．B．C．D．12．（5分）已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，M为双曲线右支上一点且满足，若直线MF2与双曲线的另一个交点为N，则△MF1N的面积为（）A．12B．C．24D．二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数为40，则实数a的值为．14．（5分）己知x，y满足约束条件的最小值是．15．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，则△ABC 周长的最大值为．16．（5分）已知f（x）＝，若方程f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根，则实数m的取值范围是（结果用区间表示）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知数列{a n}中，．（1）记b n＝log2（a n+1），判断{a n}是否为等差数列，并说明理由：（2）在（1）的条件下，设，求数列{c n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，△ABC等边三角形，AC⊥DC，以AC为折痕将△ABC 折起，使得平面ABC⊥平面ACD．（1）设E为BC的中点，求证：AE⊥平面BCD：（2）若BD与平面ABC所成角的正切值为，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．19．（12分）已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．20．（12分）2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N（μ，σ2），令Y ＝，则Y～N（0，1），且P（X≤a）＝P（Y≤）．利用直方图得到的正态分布，求P（X≤10）．（ii）从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P（Z≥2）（结果精确到0.0001）以及Z的数学期望．参考数据：．若Y～N（0，1），则P（Y≤0.75）＝0.7734．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣2ax+3a2e﹣x（a∈R），其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x∈（0，+∞）时，e x（x﹣a）+3a2e﹣x﹣x2﹣a2+10＞f（x）恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点，直线l与曲线C相交于两点A，B，求的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣m|x+2|．（1）当m＝1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若实数m使得不等式f（x﹣2）＞m在x∈[﹣1，1]恒成立，求m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i为虚数单位），则＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1﹣i）z＝2i，得z＝，∴．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）若集合M＝{x|x＞1}，N＝{x∈Z|0≤x≤4}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{2，3，4}【分析】可求出集合N，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：N＝{0，1，2，3，4}，∁R M＝{x|x≤1}；∴（∁R M）∩N＝{0，1}．故选：B．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及补集、交集的运算．3．（5分）已知甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为（）A．B．C．D．【分析】现从两袋中各随机取一个球，基本事件总数n＝＝6，取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球，利用对立事件概率计算公式能求出取出的两球中至少有1个红球的概率．【解答】解：甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，基本事件总数n＝＝6，取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球，∴利用对立事件概率计算公式得：取出的两球中至少有1个红球的概率为p＝1﹣＝．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）“b＞a＞0”是“”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当b＞a＞0时，成立，反之当b＜0，a＞0时，满足，但b＞a＞0不成立，即b＞a＞0”是“”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣3，1），则cos2θ＝（）A．B．C．D．【分析】由任意角的三角函数的定义求得sinθ，然后展开二倍角公式求cos2θ．【解答】解：∵角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣3，1），∴|OP|＝，∴sinθ＝．则cos2θ＝1﹣2sin2θ＝．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．8B．16C．32D．64【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．【解答】解：当a＝1，b＝2时，S＝ab＝2，S＜100成立，则a＝2，b＝2，S＝ab＝2×2＝4，S＜100成立，则a＝2，b＝4，S＝ab＝2×4＝8，S＜100成立，则a＝4，b＝8，S＝ab＝4×8＝32，S＜100成立，则a＝8，b＝32，S＝ab＝8×32＝256，S＜100不成立，输出b＝32，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．7．（5分）在，＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】本题主要是找到两个基底向量，然后用两个基底向量表示，再通过向量的运算即可得出结果．【解答】解：由题意，画图如下：则：＝＝，＝＝．∴＝＝＝＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查基底向量的建立，以及用两个基底向量表示别的向量．本题属基础题．8．（5分）我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．1+2πD．【分析】根据三视图知该几何体是三棱锥与圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可．【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为V＝××1×1×2+×π×12×2＝+；所以对应不规则几何体的体积为+．故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．9．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，且，则当ω取最小值时，函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由，求出φ，再根据所得图象关于y轴对称求出ω，可得f（x）的解析式．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，可得y＝sin（ωx﹣+φ）的图象；∵所得图象关于y轴对称，∴﹣+φ＝kπ+，k∈Z．∵＝sin（π+φ）＝﹣sinφ，即sinφ＝，则当ω取最小值时，φ＝，∴﹣＝kπ+，取k＝﹣1，可得ω＝4，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝sin（4x+），故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．10．（5分）设A，B，C，D是同一个球面上四点，△ABC是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为27，则该球的表面积为（）A．36πB．64πC．100πD．144π【分析】由题意画出图形，求出三棱锥D﹣ABC的外接球的半径，代入表面积公式求解．【解答】解：如图，△ABC是斜边BC长为6的等腰直角三角形，则当D位于直径的端点时，三棱锥D﹣ABC体积取最大值为27，由AB＝AC，AB⊥AC，BC＝6，可得斜边BC上的高AE＝3，AB＝AC＝，由，解得DE＝9，则EF＝．∴球O的直径为DE+EF＝10，则球O的半径为．∴该球的表面积为S＝4π×52＝100π．故选：C．【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．11．（5分）若函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin2x，则满足f（2x2﹣1）+f（x）＞0的x的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】判断函数f（x）为定义域R上的奇函数，且为增函数；把f（2x2﹣1）+f（x）＞0化为2x2﹣1＞﹣x，求出解集即可．【解答】解：函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin2x，定义域为R，且满足f（﹣x）＝e﹣x﹣e x+sin（﹣2x）＝﹣（e x﹣e﹣x+sin2x）＝﹣f（x），∴f（x）为R上的奇函数；又f′（x）＝e x+e﹣x+2cos2x≥2+2xos2x≥0恒成立，∴f（x）为R上的单调增函数；又f（2x2﹣1）+f（x）＞0，得f（2x2﹣1）＞﹣f（x）＝f（﹣x），∴2x2﹣1＞﹣x，即2x2+x﹣1＞0，解得x＜﹣1或x＞，所以x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，是中档题．12．（5分）已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，M为双曲线右支上一点且满足，若直线MF2与双曲线的另一个交点为N，则△MF1N的面积为（）A．12B．C．24D．【分析】设|MF1|＝m，|MF2|＝n，根据双曲线的定义和MF1⊥MF2，可求出m＝6，n＝2，再设|NF2|＝t，则|NF1|＝4+t根据勾股定理求出t＝6即可求出三角形的面积【解答】解：设|MF1|＝m，|MF2|＝n，∵F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，∴m﹣n＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2∵，∴MF1⊥MF2，∴m2+n2＝4c2＝40，∴（m﹣m）2＝m2+n2﹣2mn，即2mn＝40﹣16＝24，∴mn＝12，解得m＝6，n＝2，设|NF2|＝t，则|NF1|＝2a+t＝4+t在Rt△NMF1中可得（4+t）2＝（t+2）2+62，解得t＝6，∴|MN|＝6+2＝8，∴△MF1N的面积S＝|MN|•|MF1|＝×8×6＝24故选：C．【点评】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数为40，则实数a的值为3．【分析】把（2+x）5按照二项式定理展开，可得（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数，再根据（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数为40，求得a的值．【解答】解：∵（a﹣x）（2+x）5＝（a﹣x）（32+80x+80x2+40x3+10x4+x5）的展开式中x3的系数为40a﹣80＝40，∴a＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．（5分）己知x，y满足约束条件的最小值是．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出x，y满足约束条件的对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由解得A（，）此时z＝×2+＝，故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．15．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，则△ABC 周长的最大值为6．【分析】由正弦定理化简已知等式可得：sin A sin B＝sin B cos A，结合sin B＞0，可求tan A＝，结合范围A∈（0，π），可求A＝，由余弦定理，基本不等式可求4≥bc，进而可求b+c≤4，即可计算得解△ABC周长的最大值．【解答】解：∵，∴由正弦定理可得：sin A sin B＝sin B cos A，∵sin B＞0，∴sin A＝cos A，可得：tan A＝，∵A∈（0，π），∴A＝，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，当且仅当b＝c时等号成立，∴由4＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，可得：（b+c）2＝4+3bc≤4+3×4＝16，即b+c≤4，当且仅当b＝c时等号成立，∴△ABC周长a+b+c≤2+4＝6，即其最大值为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．（5分）已知f（x）＝，若方程f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根，则实数m的取值范围是（结果用区间表示）．【分析】由方程的解与函数图象的交点个数的关系可得：f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根等价于y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2，由函数图象的性质及利用导数求切线方程可得：设过原点的直线与y＝f（x）相切与点P（x0，y0），由f′（x）＝，则此切线方程为：y﹣lnx0＝（x﹣x0），又此直线过原点（0，0），则求得x0＝e，即切线方程为：y＝再结合图象可得：实数m的取值范围是m，得解【解答】解：由f（x）＝，可得：y＝f（x）在（0，4e）的图象关于直线x＝2e对称，f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根等价于y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2，y＝f（x）的图象与直线x＝mx的位置关系如图所示，设过原点的直线与y＝f（x）相切与点P（x0，y0），由f′（x）＝，则此切线方程为：y﹣lnx0＝（x﹣x0），又此直线过原点（0，0），则求得x0＝e，即切线方程为：y＝，由图可知：当y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2时，实数m的取值范围是m，故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题考查了方程的解与函数图象的交点个数的相互转化、函数图象的性质及利用导数求切线方程，属难度较大的题型．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知数列{a n}中，．（1）记b n＝log2（a n+1），判断{a n}是否为等差数列，并说明理由：（2）在（1）的条件下，设，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）根据题意，由于b n＝log2（a n+1），分析可得当n＝1时，计算可得b1的值，当n≥2时，分析b n﹣b n的值，综合即可得答案；﹣1（2）由（1）的结论求出{b n}的通项公式，进而可得，由错位相减法分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，b n＝log2（a n+1），当n＝1时，有b1＝log2（a1+1）＝log22＝1；当n≥2时，＝；所以数列{b n}是以1为首项、公差为1的等差数列．（2）由（1）的结论，数列{b n}是以1为首项、公差为1的等差数列，则b n＝2+（n﹣1）＝n，则，于是，，①，②①﹣②可得：，＝，所以．【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，关键是求出数列{b n}的通项公式，属于综合题．18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，△ABC等边三角形，AC⊥DC，以AC为折痕将△ABC 折起，使得平面ABC⊥平面ACD．（1）设E为BC的中点，求证：AE⊥平面BCD：（2）若BD与平面ABC所成角的正切值为，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【分析】（1）推导出CD⊥平面ABC，从而CD⊥AE，再求出AE⊥BC，由此能证明AE⊥平面BCD．（2）由DC⊥平面ABC，知∠DBC即为BD与平面ABC所成角，从而在直角△DCB中，，以C为坐标原点，分别以所在的方向作为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系C﹣xyz．利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）因为平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，CD⊂平面ACD，CD⊥AC，所以CD⊥平面ABC．………………………（1分）又AE⊂平面ABC，所以CD⊥AE．………………………（2分）在等边△ABC中，因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．…………………（3分）因为AE⊥CD，AE⊥BC，CD∩BC＝C，所以AE⊥平面BCD．…………………（4分）解：（2）由（1）知DC⊥平面ABC，所以∠DBC即为BD与平面ABC所成角，于是在直角△DCB中，．…………………（5分）以C为坐标原点，分别以所在的方向作为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．设等边△ABC的边长为a，则，C（0，0，0），A（0，a，0），，，，，，．……………………（7分）设平面ABD的一个法向量为＝（x1，y1，z1），则，即，令z1＝1，则，，于是＝（，）．……………………（9分）设平面BCD的一个法向量为＝（x2，y2，z2），则，即，解得x2＝0，令z2＝1，则，于是＝（0，﹣，1）．……………………（11分）所以cos＜＞＝＝＝﹣．由题意知二面角A﹣BD﹣C为锐角，所以二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．……………………（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．【分析】（1）由题意可得|AB|＝2p＝4，即可求出抛物线的方程，（2）设直线AB的方程为y＝x﹣1，联立消去x，得y2﹣4y﹣4＝0，根据韦达定理结合直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，即可求出点P的坐标【解答】解：（1）因为，在抛物线方程y2＝2px中，令，可得y＝±p．于是当直线与x轴垂直时，|AB|＝2p＝4，解得p＝2．所以抛物线的方程为y2＝4x．（2）因为抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，所以M（﹣1，﹣2）．设直线AB的方程为y＝x﹣1，联立消去x，得y2﹣4y﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4，y1y2＝﹣4．若点P（x0，y0）满足条件，则2k PM＝k PA+k PB，即，因为点P，A，B均在抛物线上，所以．代入化简可得，将y1+y2＝4，y1y2＝﹣4代入，解得y0＝±2．将y0＝±2代入抛物线方程，可得x0＝1．于是点P（1，±2）为满足题意的点．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数列与解析几何的综合，考查直线的斜率，综合性强．20．（12分）2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N（μ，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1），且P（X≤a）＝P（Y≤）．利用直方图得到的正态分布，求P（X≤10）．（ii）从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P（Z≥2）（结果精确到0.0001）以及Z的数学期望．参考数据：．若Y～N（0，1），则P（Y≤0.75）＝0.7734．【分析】（1）直接由平均数公式及方差公式求解；（2）（i）由题知μ＝9，σ2＝1.78，则X～N（9，1.78），求出σ，结合已知公式求解P（X≤10）．（ⅱ）由（i）知P（X＞10）＝1﹣P（X≤10）＝0.2266，可得Z～B（20，0.2266），由P（Z≥2）＝1﹣P（Z＝0）﹣P（Z＝1）求解P（Z≥2），再由正态分布的期望公式求Z的数学期望E（Z）．【解答】解：（1），s2＝（6﹣9）2×0.03+（7﹣9）2×0.1+（8﹣9）2×0.2+（9﹣9）2×0.35+（10﹣9）2×0.19+（11﹣9）2×0.09+（12﹣9）2×0.04＝1.78；（2）（i）由题知μ＝9，σ2＝1.78，∴X～N（9，1.78），．∴；（ⅱ）由（i）知P（X＞10）＝1﹣P（X≤10）＝0.2266，可得Z～B（20，0.2266），P（Z≥2）＝1﹣P（Z＝0）﹣P（Z＝1）＝＝1﹣（0.7734+20×0.2266）×0.0076≈0.9597．∴Z的数学期望E（Z）＝20×0.2266＝4.532．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查离散型随机变量得期望，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣2ax+3a2e﹣x（a∈R），其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x∈（0，+∞）时，e x（x﹣a）+3a2e﹣x﹣x2﹣a2+10＞f（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令g（x）＝e x（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10只需在x∈（0，+∞）使g min（x）＞0即可，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定a的范围即可．【解答】解：（1）由题意可知，＝，………………（1分）当a＝0时，f'（x）＝e x＞0，此时f（x）在R上单调递增；………………（2分）当a＞0时，令f'（x）＝0，解得x＝ln（3a），当x∈（﹣∞，ln（3a））时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ln（3a），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；………………（3分）当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x＝ln（﹣a），当x∈（﹣∞，ln（﹣a））时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ln（﹣a），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；………………（4分）综上，当a＝0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，x∈（﹣∞，ln（3a））时，f（x）单调递减，x∈（ln（3a），+∞）时单调递增；当a＜0时，x∈（﹣∞，ln（﹣a））时，f（x）单调递减，x∈（ln（﹣a），+∞）时单调递增．………………（5分）（2）由e x（x﹣a）+3a2e﹣x﹣x2﹣a2+10＞f（x），可得，e x（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10＞0，令g（x）＝e x（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10只需在x∈（0，+∞）使g min（x）＞0即可，g'（x）＝e x（x﹣a﹣1）+e x﹣2x+2a＝（e x﹣2）（x﹣a），………………（6分）①当a≤0时，x﹣a＞0，当0＜x＜ln2时，g'（x）＜0，当x＞ln2时，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，ln2）上是减函数，在（ln2，+∞）上是增函数，只需g（ln2）＝﹣a2+（2ln2﹣2）a﹣ln22+2ln2+8＞0，解得ln2﹣4＜a＜ln2+2，所以ln2﹣4＜a≤0；………………（8分）②当0＜a＜ln2时，g（x）在（0，a）上是增函数，在（a，ln2）上是减函数，在（ln2，+∞）上是增函数，则，解得0＜a＜ln2，………………（9分）③当a＝ln2时，g'（x）≥0，g（x）在（0，+∞）上是增函数，而g（0）＝9﹣ln2﹣ln22＞0成立，………………（10分）④当a＞ln2时，g（x）在g（x）在（0，ln2）上是增函数，在（ln2，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，则，解得ln2＜a＜ln10．………（11分）综上，a的取值范围为（ln2﹣4，ln10）．………（12分）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．（二）选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点，直线l与曲线C相交于两点A，B，求的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．【解答】解：（1）直线l的普通方程为；因为，所以2ρ2﹣ρ2cos2θ＝8，将x＝ρcosθ，ρ2＝x2+y2，代入上式，可得x2+2y2＝8．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得，设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，则，．于是＝．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣m|x+2|．（1）当m＝1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若实数m使得不等式f（x﹣2）＞m在x∈[﹣1，1]恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）分3种情况去绝对值，解不等式组可得；（2）将不等式分离参数m后构造函数求最小值可得．【解答】解：（1）当m＝1时，|2x﹣1|﹣|x+2|≥2，当x≤﹣2时，原不等式转化为1﹣2x+x+2≥2，解得x≤﹣2；………………（1分）当﹣2＜x≤时，原不等式转化为1﹣2x﹣x﹣2≥2，解得﹣2＜x≤﹣1；…（2分）当x＞时，原不等式转化为2x﹣1﹣x﹣2≥2，解得x≥5；………………（3分）综上，不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥5}．………………（4分）（2）由已知得：f（x﹣2）＝|2x﹣5|﹣m|x|＞m，即.，由题意m＜g（x）min．………………（5分）当x∈[0，1]时，为减函数，此时最小值为；………………（7分）当x∈[﹣1，0）时，为增函数，此时最小值为．………………（9分）又，所以．所以m的取值范围为．………………（10分）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
山东省济宁市2019届高三一模(数学理)word版含答案1
山东省济宁市 2019年高三年级考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，学生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选了答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数i i21+（i 是虚数单位）的实部是 （ ）A ．52B ．-52C ．51D ．-51 2．集合}2{},,,{},2,3{=⋂==N M b a N M a若，则M ∪N=（ ）A ．{0,1,2}B ．{0,1,3}C ．{0,2,3}D ．{1,2,3} 3．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……，用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是 （ ）4．ABCD 为矩形，AB=3，BC=1，O 为AB 的中点，在矩形ABCD 内随机取一点P ，点P 到点O的距离大于1的概率为 （ ）A ．6πB ．61π-C ．31π-D ．3π 5．若把函数x x y sin cos 3-=的图象向右平移)0(>m m 个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．3π B ．π32 C ．6π D ．π656．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有 （ ） A ．36种 B ．30种 C ．42种 D ．60种7．一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．24㎝3B ．48㎝3C ．32㎝3D ．28㎝3 8．某地区为了解中学生的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了n 位中学生进行调查，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次构成公差为0.1的等差数列，又第一小组的频数是10，则=n （ ）A ．80B ．90C ．100D ．110 9．如果关于x 的不等式1|4|||≥++-x a x 的解集是全体实数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（-∞，3]∪[5，+∞）B ．[-5，-3]C ．[3，5]D ．（-∞，-5]∪[-3，+∞）10．下列命题中为真命题的是（ ）A ．若21,0≥+≠xx x 则 B ．“1=a 是“直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充要条件 C ．直线b a ,为异面直线的充要条件是直线b a ,不相交D ．若命题"01,:"2>--∈∃x x R x p ，则命题p 的否定为：“01,2≤--∈∀x x R x ”11．以抛物线x y 202=的焦点为圆心，且与双曲线191622=-y x 的两斩近线都相切的圆的方程为（ ）A ．0642022=+-+x y x B ．0362022=+-+x y xC ．0161022=+-+x y xD ．091022=+-+x y x12．不等式)1(400>⎪⎩⎪⎨⎧+-≤≥≥k kkx y y x 所表示的平面区域为M ，若M 的面积为S ，则1-k kS 的最小值为（ ）A ．30B ．32C ．34D ．36第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项： 1．第Ⅱ卷，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔，要字体工整， 笔迹清晰，严格在题号所指示的答题域内 作答。
山东省2019届高三第一次大联考理科数学试题(含解析)
一、选择题1．已知集合3{(,)|}A x y y x ==，{(,)|}B x y y x ==，则A B 的元素个数是（）A.0B. 1C. 2D. 3 答案： D 解答：【评析】本题考查集合的表示、交集的运算，考查幂函数的图像.凸显了直观想象考查.解答本题首先要能理解集合,A B 表示的是点集，表示的是两个幂函数的图像上所有点组成的集合，其次需要熟悉常见幂函数的图像，最后要理解集合A B 的元素个数就是这两个函数图像交点的个数.由幂函数3,y x y x ==的图像可以知道，它们有三个交点(1,1),(0,0),(1,1)--，所以集合A B有三个元素．2．已知在复平面内，复数12,z z 对应的点分别是12(2,1),(1,1)Z Z -，则复数12z z 对应的点在（） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D.第四象限 答案： D 解答：【评析】本题考查复数的几何意义、复数运算，突显数学运算、直观想象的考查.解答本题首先 要理解复平面内点与复数的对应关系，其次要能熟练进行复数的四则运算.122i (2i)(1i)13i 1i 22z z ----===+，对应的点的坐标是13(,)22-，在第四象限． 3．已知{}n a 是等差数列，且12343,6a a a a +=-+=-，则{}n a 的前10项和等于（）A. 15-B. 25-C. 45-D. 60- 答案： C 解答：【评析】本题考查等差数列的判定、通项公式、前n 项和公式，考查方程思想.突显了数学建模的考查.解答本题首先要知道{}n a 是等差数列，则212{}nn a a 也是等差数列，建立等差数列模型，其次是要找好新等差数列的首项123a a +=-及公差3412'()()d a a a a ,最后需要理解到{}n a 的前10项和即为数列212{}nn a a 的前5项和.解答本题也可以首先根据条件列出两个关于1,a d的方程，从而求出1,a d,再利用前n 项和公式求解.101234910()()()3(12345)45S a a a a a a =++++++=-⨯++++=-．4.已知向量(1,0),(3,4)a b ==-的夹角为θ，则cos θ2等于（）A. 725-B.725 C. 2425-D.2425答案： A 解答：【评析】本题考查向量的坐标运算、二倍角公式，突显了数学抽象的考查.解答本题首先要根据 向量夹角公式和坐标运算公式求出cos ,再利用二倍角的余弦公式求解.33cos 155θ-==-⨯，所以27cos 22cos 125θθ=-=-． 5．已知00(,)A x y 是抛物线24y x =上的点，点F 的坐标为(1,0)，则“0[1,3]x ∈”是“||[3,4]AF ∈”的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 答案： B 解答：【评析】本题考查抛物线的定义、标准方程、充要条件的判定，突显了逻辑推理的考查.解答本题首先要根据抛物线的标准方程和定义找到||AF 与0x的关系，从而发现||[3,4]AF 的等价条件，其次要正确理解条件与结论的关系，准确作出判断.||[3,4]AF ∈001[3,4][2,3]x x ⇔+∈⇔∈，因为[2,3][1,3]⊂≠，所以选B ．6．下图是相关变量,x y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归方程：22y b x a =+，相关系数为2r .则（）A.1201r r <<<B. 2101r r <<<C. 1210r r -<<<D. 2110r r -<<< 答案： D 解答：【评析】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.解答本题首先要能理解散点图，其次需要理解相关系数与正负相关的关系，最后还需要理解相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关性.负相关，所以12,0r r <，因为剔除点(10,21)后，剩下点数据更具有线性相关性，||r 更接近1，所以2110r r -<<<．7.设23342,log 15,log 20a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A.a b c << B. a c b << C. b c a << D. c b a << 答案： B 解答：【评析】本题考查对数运算，考查指数、对数函数的性质，考查不等式的性质，考查函数与方程思想，突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先需要根据对数运算将,b c 化简，然后建立指数函数、对数函数模型，根据指数函数、对数函数的性质判断,,a b c 与2的大小关系，最后还需要根据换底公式、不等式性质等判断出,b c 的大小关系.122a <=，3log 92b >=，4log 162c >=，所以a 最小，341log 5,1log 5b c =+=+，因为11lg 5lg 50lg 3lg 4lg 3lg 4lg 3lg 4b c <<⇒>⇒>⇒>． 8.执行如图所示程序框图，输出的结果是（）A.5B. 6C. 7D. 8 答案： B 解答：【评析】本题考查程序框图、等比数列的判定、等比数列的前n项和公式，突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先要根据程序框图正确得到等比数列模型，再根据等比数列前n 项和公式求解.该题易错点是B 是数列1{2}n 的前1n 项和，而不是数列{2}n 的前n 项和. 如图所示i n =时，B 是等比数列1{2}n -的前1n +项和，即21122221n n B +=++++=-，由1100210117n B n +≥⇒≥⇒+≥，所以输出的是6．9．过两点(4,0),(4,0)A B -分别作斜率不为0且与圆226290(0)x y x my m +--+=≠相切的直线,AC BC ，当m 变化时，交点C 的轨迹方程是（）A.221(3)97x y x -=> B. 221(4)169x y x -=>C. 212(0)y x x => D. 216(0)y x x => 答案： A 解答：【评析】本题考查圆的方程、双曲线的定义及其标准方程.突显了直观想象、逻辑推理的考查.解答本题首先要正确根据圆的方程找到圆心和半径，然后根据圆的切线性质发现动点C 满足的几何条件，从而判断出动点C 的轨迹，再根据双曲线的标准方程找出轨迹方程.圆方程为222(3)()x y m m -+-=与x 轴相切于点(3,0)M ，设,AC BC 与圆的切点分别为,N P ，则||||||||||||6AC BC AN BP AM BM -=-=-=，所以点C 的轨迹是以,A B 为焦点且实轴长为6的双曲线的右支，所以选A ．10.在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边,,a b c 直接求三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式即()()()S p p a p b p c =---，其中1()2p a b c =++．我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）也在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是2221()4S c a =-∆，这个公式中的∆应该是（） A.2()2a cb ++ B.2a c b+- C. 2222c a b +-D.2a b c++ 答案： C 解答：【评析】本题考查余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数关系式，弘扬中国古代数学文化，突显了数学抽象的考查.解答本题首先要注意观察、联想三角形面积公式1sin 2Sca B ,从而发现∆应该等于|cos |ca B ,再根据余弦定理得到答案.因为222cos 2c a b ac B +-=1sin 2ac B S ==．11．如图，1111ABCD A B C D -是棱长为4的正方体，P QRH -是棱长为4的正四面体，底面ABCD ,QRH 在同一个平面内，QH BC //，则正方体中过AD 且与平面PHQ 平行的截面面积是（）A.B.C.D. 答案： C 解答：【评析】本题考查正棱锥的平行关系、等角定理，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.解答本题首先要根据面面平行的性质定理确定截面的形状，再根据正四面体的性质、等角定理等确定点,E F 的具体位置、AE 的长度，从而求出截面面积.设截面与1111,A B D C 分别相交于点,E F 则//EF AD ，过点P 作平面QRH 的垂线，垂足为O，则O 是底面QRH 的中心.设OR HQ G =，则EAB PGO ∠=∠，又因为23RG RO OG ===，3PO ==，所以sin sin 3PO EAB PGO PG ∠=∠==，所以43EA EA =⇒=，所以四边形AEFD的面积4S =⨯=．12．已知函数e ,0,()2e (1),0xx m mx x f x x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e 为自然对数的底），若方程()()0f x f x -+=有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是（） A.(0,e) B. (e,+)∞ C. (0,2e) D.(2e,)+∞答案： D 解答：【评析】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.解答本题首先需要根据方程特点构造函数()()()F x f x f x ,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数()F x 在(0,)上的零点个数，再转化成方程1e ()2x x m x =-解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得因为函数()()()F x f x f x =-+是偶函数，(0)0F ≠，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当0x >时，()e 2x mf x mx -=-+，所以方程可以化为： e e e 02x x x m mx x -++-=，即1e ()2x x m x =-，记()e x g x x =，()e (1)x g x x '=+，设直1()2y m x =-与()g x 图像相切时的切点为(,e )tt t ，则切线方程为e e (1)()tty t t x t -=+-，过点1(,0)2，所以1e e (1)()12t t t t t t -=+-⇒=或12-（舍弃），所以切线的斜率为2e ，由图像可以得2e m >． 二、填空题13．5(2)(1)a b c --的展开式中，32a b c 的系数是. 答案：40-解答：【评析】本题考查二项式定理，突显了数学运算的考查.解答本题首先要将5(2)(1)a b c --化成55(2)(2)a b c a b ---，并注意到5(2)a b -的展开式中不会出现32a b c ，最后用二项式定理求5(2)c a b -⋅-中32a b c 的系数，从而得解.依题意，只需求5(2)c a b -⋅-中32a b c 的系数，是225(2)40C -⋅-=-．14. 已知ABC ∆是等腰直角三角形，||||1AC BC ==，()(R,0)CP CA CB λλλ=+∈>，4AP BP ⋅=，则λ等于.2解答：【评析】本题考查向量的运算、坐标法，考查方程思想，突显直观想象的考查.解答本题首先需要依据直观想象，根据条件建立直角坐标系，将向量的几何运算转化为坐标运算，其次需要根据条件建立关于实数的方程，通过解方程得到解.以,CA CB 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立直角坐标系，则(1,0),(0,1),(0,0),(,)A B C P λλ，所以(1,),(,1)AP BP λλλλ=-=-， 所以2(1)4λλ-=，解得2λ=或1-（舍去）.15. 如图，已知四棱锥P ABCD -底面是边长为4的正方形，侧面PBC 是一个等腰直角三角形，PB PC =，平面PBC ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -外接球的表面积是.答案：32π解答：【评析】本题考查两平面垂直的性质、球的性质及表面积公式，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.解答本题首先要理解到外接球球心与各面中心连线垂直该面，从而通过找两个面的中心，并依据面面垂直的性质过中心作垂线，找到外接球的球心，然后确定外接球的半径，并计算球的表面积得到解.DCBAP过PBC ∆的外心即BC 的中点E 作平面PBC 的垂线，该垂线过正方形的中心O ，所以点O 为该四棱锥外接球的球心，其半径R OA ==2432S R ππ==．16. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12,a =-2S 是34,S S 的等差中项．设m 是整数，若存在N n +∈，使得等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=成立，则m 的最大值是. 答案：16解答：【评析】本题考查等差中项、等比数列的通项公式及前n 项和公式，考查函数思想.突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先需要依据条件求出等比数列的通项公式及前n 项和公式，然后要利用函数思想，为了求m 的最值，需要把m 表示成n 的函数，最后根据,m n 是整数确定这个函数的定义域，从而找到这个函数值域，得到m 的最大值. 因为2S 是34,S S 的等差中项，所以34243234322222S S S S S S S a a q +=⇒-=-⇒=-⇒=-，所以(2)nn a =-，12(2)3n n S +---=，等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=，化为：2(2)[(2)4]0n n m -+-+=， OE DCB AP因此2(2)16(2)4(2)4(2)4n nn n m --==--+-+-+，因为m 为整数，所以|(2)4|161,2,3nn -+≤⇒=，当1n =时，2482m m -=--+⇒=-， 当2n =时，164428m m -=-+⇒=-， 当3n =时，1684164m m -=--+⇒=-． 三、解答题17．如图，点,A B 分别是圆心在原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A 从初始位置0(cos,sin )33A ππ开始，按逆时针方向以角速度s /rad 2作圆周运动，同时点B 从初始位置)0,2(0B 开始，按顺时针方向以角速度s /rad 2作圆周运动．记t 时刻，点B A ,的纵坐标分别为12,y y ．（Ⅰ）求4t π=时刻，,A B 两点间的距离；（Ⅱ）求12yy y =+关于时间(0)t t >的函数关系式，并求当(0,]2t π∈时，这个函数的值域．答案：（Ⅰ）7；（Ⅱ）[2．解答：【评析】考查余弦定理、三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图像，考查函数思想、数形结合思想，突显了数学建模的考查.解答本题第一问首先要确定π4t=时刻,A B两点的坐标及,OA OB的长度、夹角，再利用两点距离公式或余弦定理求解；解答本题第二问，需要根据三角函数的定义先确定12,y y与t的函数关系式，从而得到所求函数关系式，再利用两角和与差的三角函数公式将函数关系式化成sin()y A x k（或cos()y A x k）的形式，最后根据三角函数图像确定值域.（Ⅰ）4tπ=时，,232xOA xOBπππ∠=+∠=，所以23AOBπ∠=，…… 2分又||1,||2OA OB==，所以2222||12212cos73ABπ=+-⨯⨯=，即,A B两点间的距离为7. ………………6分（Ⅱ）依题意，1sin(2)3y tπ=+，ty2sin22-=，………………8分所以3sin(2)2sin22sin2)323y t t t t tππ=+-=-=+，即函数关系为)(0)3y t tπ=+>，………………10分当(0,]2tπ∈时，2(,]333tπππ4+∈，所以1cos(2)[1,)32tπ+∈-，[2y∈．…12分18．已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是等腰梯形，CD AB //，ACBD O =，AC PB ⊥，222====CD AB PB PA ，3=AC .（Ⅰ）证明：平面⊥PBD 平面ABCD ；（Ⅱ）点E 是棱PC 上一点，且//OE 平面PAD ，求二面角A OB E --的余弦值． 答案： （Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2-． 解答：【评析】本题考查线面、面面垂直关系的判定，考查线面平行的性质，考查空间向量的应用，考查二面角的计算，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，突显了直观想象、数学运算的考查.解答本题第一问首先需要在面ABCD 内发现垂直关系，再利用判定定理转化为线面垂直，从而得到面面垂直；解答本题第二问首先要通过垂直关系的判定正确建立空间直角坐标系找好,,A B P 的坐标，然后将线面平行即//OE 平面PAD 转化为线线平行PA OE //，从而确定平面的法向量，最后根据法向量求出二面角的余弦.本题特色是通过平行关系的转化避开了计算点E 的坐标，简化了求法向量的运算，本题要特别注意的是所求二面角是钝角，其余弦值为负.（Ⅰ）证明：等腰梯形ABCD 中，OAB ∆∽OCD ∆，所以2OA ABOC CD==，又3AC =，所以2OA =，所以2=OB . 所以222OA OB AB +=，所以OB OA ⊥，即BD AC ⊥，………………3分 又因为AC PB ⊥，且BDPB 于点B ，所以⊥AC 平面PBD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，因此平面⊥PBD 平面ABCD . …6分 （Ⅱ）连接PO ，由（Ⅰ）知，⊥AC 平面PBD ，所以PO AC ⊥，所以222=-=OA PA PO ，所以222PO OB PB +=，即OB PO ⊥，………………7分 如图以,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B P ，平面AOB 的法向量(0,0,1)m =， 因为//OE 平面PAD ，⊂OE 平面PAC ， 平面PAC平面PA PAD =，所以PA OE //，………………9分设平面EOB 的法向量为(,,)n x y z =，则n OB ⊥，即0=y ，(,,)(2,0,2)0n OE n AP x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=，令1x =，则(1,0,1)n =，……11分所以cos ,2m n <>==，所以所求二面角的余弦值是2-．……………12分19．某公司生产某种产品，一条流水线年产量为10000件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：从第一道生产工序抽样调查了100件，得到频率分布直方图如图：若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、100 元.（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是20万元，使用寿命是1年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布2(80,2)N ，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由．（参考数据：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9548P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=）答案： （Ⅰ）80.2； （Ⅱ）30万元； （Ⅲ）见解析. 解答：【评析】本题考查频率分布直方图、样本平均数的估算、独立事件的概率、随机变量的分布列及数学期望、正态分布，突显了数学建模、数据分析的考查.解答本题第一问首先要根据频率分布直方图确定各组的频率及中间值，再根据样本平均数的计算公式计算得到平均数；解答本题第二问首先要确定随机变量X 的所有可能取值，再根据独立事件的概率公式求出分布列，最后利用数学期望公式求X 的数学期望；本题第三问首先要根据正态分布的性质确定好,2μσμσ--等，然后类似第二问求出随机变量Y 的分布列及数学期望，最后根据随机变量,X Y 的数学期望的大小决策.本题特色综合考察概率统计的几个主要模型、体现概率统计在实际中的主要应用：用于决策. （Ⅰ）平均值为：720.1760.25800.3840.2880.1580.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…3分 （Ⅱ）由频率直方图，第一段生产半成品质量指标(74P x ≤或86)x >0.25=，(7478P x <≤或8286)x <≤0.45=，(7882)0.3P x <≤=，………………4分设生产一件产品的利润为X 元，则(100)P X ==0.20.250.40.450.60.30.41⨯+⨯+⨯=， (60)0.30.250.30.450.30.30.3P X ==⨯+⨯+⨯=，(100)0.50.250.30.450.10.30.29P X =-=⨯+⨯+⨯=，………………7分所以生产一件成品的平均利润是1000.41600.31000.2930⨯+⨯-⨯=元，所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元. ………………8分 （Ⅲ）374,78,82,386μσμσμσμσ-=-=+=+=，………………9分 设引入该设备后生产一件成品利润为Y 元，则(100)0.00260.20.31480.40.68260.60.536P Y ==⨯+⨯+⨯=， (60)0.00260.30.31480.30.68260.30.3P Y ==⨯+⨯+⨯=，(100)0.00260.50.31480.30.68260.10.164P Y =-=⨯+⨯+⨯=，………………11分所以引入该设备后生产一件成品平均利润为1000.536600.31000.16455.2EY =⨯+⨯-⨯=元，所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元， 增加收入55.23020 5.2--=万元， 综上，应该引入该设备.………………12分20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，点000(,)(0)P x y y >是椭圆C 上的一个动点，当直线OP的斜率等于2时，2PF x ⊥轴. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P 且斜率为02x y -的直线1l 与直线2:2l x =相交于点Q ，试判断以PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 答案：（Ⅰ）2212x y +=； （Ⅱ）见解析. 解答：【评析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，考查数形结合思想、特殊与一般思想，突显了直观想象、数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要根据题设给的点P 的特殊位置，建立关于,,a b c 的等式，再通过解方程求出,,a b c ，从而得到所求标准方程；解答本题第二问首先要根据条件利用直线方程的点斜式得到直线1l 的方程，并能利用椭圆方程整理化简方程，然后求出点Q 的坐标，再根据圆的知识转化成向量垂直，待定出定点坐标.本题特色是回避了直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求解.（Ⅰ）依题意22b a ac =⇒=，………………2分又因为221a b -=，所以2a =2=a .所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ………………5分（Ⅱ）直线1l 的方程：0000()2x y y x x y -=--即22000022y y x x x y =-++，………………6分依题意，有220012x y +=，即220022x y +=，所以1l 的方程为0022x x y y +=，所以点01(2,)x Q y -，………………8分 设定点(,0)M m ，由000010()(2)0x MP MQ x m m y y -⋅=⇒--+⋅=，………………10分 即20(1)(1)0m x m -+-=，所以1m =，综上，存在定点(1,0)M 符合条件.………………12分 21．已知函数x xax a x f e )(e )(2-+=（e 为自然对数的底，a 为常数，a R ∈）有两个极值点21,x x ，且210x x <<．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若0)(2121<++x x m x x 恒成立，求实数m 的取值范围． 答案：（Ⅰ）(2e,)+∞；（Ⅱ）]21,(--∞.解答： 【评析】本题考查导数运算、导数的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类与整合思想，突显了数学抽象、数学建模、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要通过导数运算将极值点问题转化为方程解的问题，从而转化成两个函数图像交点问题，再根据导数的应用确定函数的极值点、单调性，从而画出简图，判断出所求范围；解答本题第二问首先要灵活根据隐含条件消元，将不等式转化为关于12x x 的不等式，从而构造函数，建立函数模型，再通过分类讨论该函数的单调性，确定实数m 的取值范围.（Ⅰ）xxax x f e e 2)(2-='，由0)(='x f 得xa xe 2=，………………2分依题意，该方程有两个不同正实数根，记x x h x e 2)(=，则2)1(e 2)(x x x h x -='，当01x <<时，()0h x '<；当1>x 时，()0h x '>，所以函数()h x 在1x =处取得最小值(1)2e h =，所以a 的取值范围是(2e,)+∞.…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：21(1,)x x ∈+∞，且112e xax =，所以112ln ln ln x x a +=+，222ln ln ln x x a +=+，所以1212ln ln x x x x -=-，………………6分因此0)(2121<++x x m x x 恒成立，即22122121(ln ln )()0x x x x m x x -+-<恒成立，即22221112ln 0x x x m x x x -+<，设21x t x =，即1ln ()0t m t t +-<在(1,)t ∈+∞上恒成立，从而0m <，记1()ln ()g t t m t t =+-，(1)0g =，211()(1)g t m t t'=++22(1)m t tt ++=，…8分 ① 当12m ≤-时，t t 212>+，所以t t m -<+)1(2，从而()0g t '<， 则()g t 在区间[1,)+∞上单调递减，所以当1t >时，()(1)0g t g <=恒成立；……………10分② 102m -<<时，()0g t '>等价于2110t t m ++<，2140m∆=->， 所以2110t t m ++=有两根21,t t ，且121211,0t t t t m=+=->，可以不妨设2110t t <<<， ()0g t '>在),1(2t t ∈时成立，所以()g t 在区间),1(2t 上单调递增，当),1(2t t ∈时，()(1)0g t g >=，即1ln ()0t m t t+-<在(1,)t ∈+∞上不恒成立，综上，m 的取值范围是]21,(--∞．………………12分四、选做题（2选1）22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos (0)ρθρ=>．M 为曲线1C 上的动点，点P 在射线OM 上，且满足||||20OM OP ⋅=． （Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设2C 与x 轴交于点D ，过点D 且倾斜角为56π的直线l 与1C 相交于,A B 两点，求||||DA DB ⋅的值．答案： （Ⅰ）5x =； （Ⅱ）5. 解答：【评析】本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，突显了直观想象的考查.解答本题第一问首先要依据动点,P M 的极坐标的关系找到点P 的极坐标方程，再化为直角坐标方程；解答本题第二问首先要根据条件确定直线l 的参数方程，依据参数t 的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解.（Ⅰ）设P 的极坐标为)0)(,(>ρθρ，M 的极坐标为)0)(,(11>ρθρ，由题设知1,4cos OP OM ρρθ===．所以20cos 4=θρ，………………2分即2C 的极坐标方程cos 5(0)ρθρ=>，所以2C 的直角坐标方程为5x =．………………5分（Ⅱ）交点)0,5(D ，所以直线l的参数方程为5,212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 曲线1C 的直角坐标方程)0(0422≠=-+x x y x ， 代入得：05332=+-t t ，70∆=>，………………8分设方程两根为12,t t ，则12,t t 分别是,A B 对应的参数， 所以5||||||21==⋅t t DB DA ．………………10分 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数|1|||)(-++=x a x x f ．（Ⅰ）当1=a 时，求不等式4)(+≥x x f 的解集；（Ⅱ）若不等式1)(2-≥a x f 恒成立，求实数a 的取值范围．答案：（Ⅰ）4{|3x x ≤-或4}x ≥； （Ⅱ）[1,2]-． 解答：【评析】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式定理，考查转化与化归思想、分类与整合思想，突显了数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；解答本题第二问首先要利用绝对值不等式定理得到函数()f x 的最小值，将不等式恒成立问题转化为关于a 的不等式解的问题，再通过对绝对值内式子符号的讨论，转化为不含绝对值的不等式组，最后求解不等式组.（Ⅰ）不等式为4|1||1|+≥-++x x x ，可以转化为：1,114x x x x ≤-⎧⎨---+≥+⎩或11,114x x x x -<<⎧⎨+-+≥+⎩或1,114x x x x ≥⎧⎨++-≥+⎩，………………2分 解得43x ≤-或4x ≥，所以原不等式的解集是4{|3x x ≤-或4}x ≥. ………………5分 （Ⅱ）|1||)1()(|)(min +=--+=a x a x x f ，所以1|1|2-≥+a a ⎩⎨⎧-≥---<⇔11,12a a a 或2111a a a ≥-⎧⎨+≥-⎩，………………8分 解得a ∈∅或21≤≤-a .所以实数a 的取值范围是[1,2]-．………………10分。
山东省高2019届高三第一次大联考理科数学试题及参考答案
一、选择题1.已知集合3{(,)|}A x y y x ==,{(,)|}B x y y x ==,则A B 的元素个数是( ）A. 0B. 1C. 2D. 3 答案： D 解答：【评析】本题考查集合的表示、交集的运算,考查幂函数的图像.凸显了直观想象考查.解答本题首先要能理解集合,A B 表示的是点集,表示的是两个幂函数的图像上所有点组成的集合,其次需要熟悉常见幂函数的图像,最后要理解集合A B 的元素个数就是这两个函数图像交点的个数.由幂函数3,y x y x ==的图像可以知道,它们有三个交点(1,1),(0,0),(1,1)--,所以集合A B有三个元素.2.已知在复平面内,复数12,z z 对应的点分别是12(2,1),(1,1)Z Z -,则复数12z z 对应的点在( ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 答案： D 解答：【评析】本题考查复数的几何意义、复数运算,突显数学运算、直观想象的考查.解答本题首先 要理解复平面内点与复数的对应关系,其次要能熟练进行复数的四则运算.122i (2i)(1i)13i1i 22z z ----===+,对应的点的坐标是13(,)22-,在第四象限. 3.已知{}n a 是等差数列,且12343,6a a a a +=-+=-,则{}n a 的前10项和等于( ）A. 15-B. 25-C. 45-D. 60- 答案： C 解答：【评析】本题考查等差数列的判定、通项公式、前n 项和公式,考查方程思想.突显了数学建模的考查.解答本题首先要知道{}n a 是等差数列,则212{}n n a a -+也是等差数列,建立等差数列模型,其次是要找好新等差数列的首项123a a +=-及公差3412'()()d a a a a =+-+,最后需要理解到{}n a 的前10项和即为数列212{}n n a a -+的前5项和.解答本题也可以首先根据条件列出两个关于1,a d 的方程,从而求出1,a d ,再利用前n 项和公式求解.101234910()()()3(12345)45S a a a a a a =++++++=-⨯++++=-.4. 已知向量(1,0),(3,4)a b ==-的夹角为θ,则cos θ2等于( ）A. 725-B.725C. 2425-D.2425答案： A 解答：【评析】本题考查向量的坐标运算、二倍角公式,突显了数学抽象的考查.解答本题首先要根据 向量夹角公式和坐标运算公式求出cos q ,再利用二倍角的余弦公式求解.33cos 155θ-==-⨯,所以27cos 22cos 125θθ=-=-. 5.已知00(,)A x y 是抛物线24y x =上的点,点F 的坐标为(1,0),则“0[1,3]x ∈”是 “||[3,4]AF ∈”的( ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 答案： B 解答：【评析】本题考查抛物线的定义、标准方程、充要条件的判定,突显了逻辑推理的考查.解答本题首先要根据抛物线的标准方程和定义找到||AF 与0x 的关系,从而发现||[3,4]AF Î的等价条件,其次要正确理解条件与结论的关系,准确作出判断.||[3,4]AF ∈001[3,4][2,3]x x ⇔+∈⇔∈,因为[2,3][1,3]⊂≠,所以选B .6.下图是相关变量,x y 的散点图,现对这两个变量进行线性相关分析,方案一：根据图中所有数据,得到线性回归方程11y b x a =+,相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21),根据剩下数据得到线性回归方程：22y b x a =+,相关系数为2r .则( ）A. 1201r r <<<B. 2101r r <<<C. 1210r r -<<<D. 2110r r -<<< 答案： D 解答：【评析】本题考查线性回归分析,重点考查散点图、相关系数,突显了数据分析、直观想象的考查.解答本题首先要能理解散点图,其次需要理解相关系数与正负相关的关系,最后还需要理解相关系数的意义：其绝对值越接近1,说明两个变量越具有线性相关性.负相关,所以12,0r r <,因为剔除点(10,21)后,剩下点数据更具有线性相关性,||r 更接近1,所以2110r r -<<<.7. 设23342,log 15,log 20a b c ===,则,,a b c 的大小关系是( ） A. a b c << B. a c b <<C. b c a <<D. c b a << 答案： B 解答：【评析】本题考查对数运算,考查指数、对数函数的性质,考查不等式的性质,考查函数与方程思想,突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先需要根据对数运算将,b c 化简,然后建立指数函数、对数函数模型,根据指数函数、对数函数的性质判断,,a b c 与2的大小关系,最后还需要根据换底公式、不等式性质等判断出,b c 的大小关系.122a <=,3log 92b >=,4log 162c >=,所以a 最小,341log 5,1log 5b c =+=+,因为11lg5lg50lg3lg 4lg3lg 4lg3lg 4b c <<⇒>⇒>⇒>. 8. 执行如图所示程序框图,输出的结果是( ）A. 5B. 6C. 7D. 8 答案： B 解答：【评析】本题考查程序框图、等比数列的判定、等比数列的前n 项和公式,突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先要根据程序框图正确得到等比数列模型,再根据等比数列前n 项和公式求解.该题易错点是B 是数列1{2}n -的前1n +项和,而不是数列{2}n的前n 项和. 如图所示i n =时,B 是等比数列1{2}n -的前1n +项和,即21122221n n B +=++++=-,由1100210117n B n +≥⇒≥⇒+≥,所以输出的是6.9.过两点(4,0),(4,0)A B -分别作斜率不为0且与圆226290(0)x y x my m +--+=≠相切的直线,AC BC ,当m 变化时,交点C 的轨迹方程是( ）A.221(3)97x y x -=> B. 221(4)169x y x -=>C. 212(0)y x x =>D. 216(0)y x x => 答案： A 解答：【评析】本题考查圆的方程、双曲线的定义及其标准方程.突显了直观想象、逻辑推理的考查.解答本题首先要正确根据圆的方程找到圆心和半径,然后根据圆的切线性质发现动点C 满足的几何条件,从而判断出动点C 的轨迹,再根据双曲线的标准方程找出轨迹方程.圆方程为222(3)()x y m m -+-=与x 轴相切于点(3,0)M ,设,AC BC 与圆的切点分别为,N P ,则||||||||||||6AC BC AN BP AM BM -=-=-=,所以点C 的轨迹是以,A B 为焦点且实轴长为6的双曲线的右支,所以选A .10. 在解三角形的问题中,其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边,,a b c 直接求三角形的面积,据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的,他得到了海伦公式即()()()S p p a p b p c =---,其中1()2p a b c =++.我国南宋著名数学家秦九韶(约1202-1261）也在《数书九章》里面给出了一个等价解法,这个解法写成公式就是2221()4S c a =-∆,这个公式中的∆应该是( ） A. 2()2a cb ++ B.2a c b+- C. 2222c a b +-D.2a b c++ 答案：C 解答：【评析】本题考查余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数关系式,弘扬中国古代数学文化,突显了数学抽象的考查.解答本题首先要注意观察、联想三角形面积公式1sin 2S ca B=,从而发现∆应该等于|cos |ca B ,再根据余弦定理得到答案.因为222cos 2c a b ac B +-=,1sin 2ac B S ==.11．如图,1111ABCD A BC D -是棱长为4的正方体,P QRH -是棱长为4的正四面体,底面ABCD ,QRH 在同一个平面内,QH BC //,则正方体中过AD 且与平面PHQ 平行的截面面积是( ）A.B.C.D. 答案： C 解答：【评析】本题考查正棱锥的平行关系、等角定理,考查空间想象能力,突显了直观想象的考查.解答本题首先要根据面面平行的性质定理确定截面的形状,再根据正四面体的性质、等角定理等确定点,E F 的具体位置、AE 的长度,从而求出截面面积.设截面与1111,A B D C 分别相交于点,E F 则//EF AD ,过点P 作平面QRH 的垂线,垂足为O ,则O 是底面Q R H 的中心.设ORHQ G =,则EAB PGO ∠=∠,又因为2RG RO OG ===,3PO =,所以sin sin 3PO EAB PGO PG ∠=∠==,所以4EA EA =⇒=,所以四边形AEFD的面积4S =⨯=12.已知函数e ,0,()2e (1),0xx m mx x f x x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩(e 为自然对数的底）,若方程()()0f x f x -+=有且仅有四个不同的解,则实数m 的取值范围是( ） A. (0,e) B. (e,+)∞ C. (0,2e) D. (2e,)+∞ 答案： D 解答：【评析】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义,考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想,突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.解答本题首先需要根据方程特点构造函数()()()F x f x f x =+-,将方程根的问题转化为函数零点问题,并根据函数的奇偶性判断出函数()F x 在(0,)+?上的零点个数,再转化成方程1e ()2xx m x =-解的问题,最后利用数形结合思想,构造两个函数,转化成求切线斜率问题,从而根据斜率的几何意义得到解. 因为函数()()()F x f x f x =-+是偶函数,(0)0F ≠,所以零点成对出现,依题意,方程有两个不同的正根,又当0x >时,()e 2xmf x mx -=-+,所以方程可以化为：e e e 02x x x m mx x -++-=,即1e ()2x x m x =-,记()e x g x x =,()e (1)x g x x '=+,设直1()2y m x =-与()g x 图像相切时的切点为(,e )t t t ,则切线方程为e e (1)()t t y t t x t -=+-,过点1(,0)2,所以1e e (1)()12t tt t t t -=+-⇒=或12-(舍弃）,所以切线的斜率为2e ,由图像可以得2e m >.二、填空题13.5(2)(1)a b c --的展开式中,32a b c 的系数是 . 答案：40-解答：【评析】本题考查二项式定理,突显了数学运算的考查.解答本题首先要将5(2)(1)a b c --化成55(2)(2)a b c a b ---,并注意到5(2)a b -的展开式中不会出现32a b c ,最后用二项式定理求5(2)c a b -⋅-中32a b c 的系数,从而得解.依题意,只需求5(2)c a b -⋅-中32a b c 的系数,是225(2)40C -⋅-=-.14. 已知ABC ∆是等腰直角三角形,||||1AC BC ==,()(R,0)CP CA CB λλλ=+∈>u u r u u r u u r,4AP BP ⋅=uu u r uu r,则λ等于 .答案：2解答：【评析】本题考查向量的运算、坐标法,考查方程思想,突显直观想象的考查.解答本题首先需要依据直观想象,根据条件建立直角坐标系,将向量的几何运算转化为坐标运算,其次需要根据条件建立关于实数l 的方程,通过解方程得到解.以,CA CB 所在直线分别为x 轴,y 轴,建立直角坐标系,则(1,0),(0,1),(0,0),(,)A B C P λλ,所以(1,),(,1)AP BP λλλλ=-=-u u u r u u r,所以2(1)4λλ-=,解得2λ=或1-(舍去）.15. 如图,已知四棱锥P ABCD -底面是边长为4的正方形,侧面PBC 是一个等腰直角三角形,PB PC =,平面PBC ⊥平面ABCD ,四棱锥P ABCD -外接球的表面积是 .答案：32π解答：【评析】本题考查两平面垂直的性质、球的性质及表面积公式,考查空间想象能力,突显了直观想象的考查.解答本题首先要理解到外接球球心与各面中心连线垂直该面,从而通过找两个面的中心,并依据面面垂直的性质过中心作垂线,找到外接球的球心,然后确定外接球的半径,并计算球的表面积得到解.过PBC ∆的外心即BC 的中点E 作平面PBC 的垂线,该垂线过正方形的中心O ,所以点O 为该四棱锥外接球的球心,其半径R OA ==,所以外接球的表面积是2432S R ππ==.16. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足12,a =-2S 是34,S S 的等差中项.设m 是整数,若存在N n +∈,使得等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=成立,则m 的最大值是 . 答案：DCBAPOE DCB AP16解答：【评析】本题考查等差中项、等比数列的通项公式及前n 项和公式,考查函数思想.突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先需要依据条件求出等比数列的通项公式及前n 项和公式,然后要利用函数思想,为了求m 的最值,需要把m 表示成n 的函数,最后根据,m n 是整数确定这个函数的定义域,从而找到这个函数值域,得到m 的最大值. 因为2S 是34,S S 的等差中项,所以34243234322222S S S S S S S a a q +=⇒-=-⇒=-⇒=-,所以(2)nn a =-,12(2)3n n S +---=,等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=,化为：2(2)[(2)4]0n n m -+-+=, 因此2(2)16(2)4(2)4(2)4n nn n m --==--+-+-+, 因为m 为整数,所以|(2)4|161,2,3n n -+≤⇒=, 当1n =时,2482m m -=--+⇒=-, 当2n =时,164428m m -=-+⇒=-, 当3n =时,1684164m m -=--+⇒=-. 三、解答题17.如图,点,A B 分别是圆心在原点,半径为1和2的圆上的动点.动点A 从初始位置0(cos,sin )33A ππ开始,按逆时针方向以角速度s /rad 2作圆周运动,同时点B 从初始位置)0,2(0B 开始,按顺时针方向以角速度s /rad 2作圆周运动.记t 时刻,点B A ,的纵坐标分别为12,y y .(Ⅰ）求4t π=时刻,,A B 两点间的距离；(Ⅱ）求12y y y =+关于时间(0)t t >的函数关系式,并求当(0,]2t π∈时,这个函数的值域.答案：(Ⅰ）7；(Ⅱ）[2. 解答：【评析】考查余弦定理、三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图像,考查函数思想、数形结合思想,突显了数学建模的考查.解答本题第一问首先要确定π4t =时刻,A B 两点的坐标及,OA OB 的长度、夹角,再利用两点距离公式或余弦定理求解；解答本题第二问,需要根据三角函数的定义先确定12,y y 与t 的函数关系式,从而得到所求函数关系式,再利用两角和与差的三角函数公式将函数关系式化成sin()y A x k w j =++(或cos()y A x k w j =++）的形式,最后根据三角函数图像确定值域. (Ⅰ）4t π=时,,232xOA xOB πππ∠=+∠=,所以23AOB π∠=, …… 2分 又||1,||2OA OB ==,所以2222||12212cos73AB π=+-⨯⨯=, 即,A B 两点间的距离为7. ………………6分(Ⅱ）依题意,1sin(2)3y t π=+,t y 2sin 22-=, ………………8分所以3sin(2)2sin 22sin 2)3223y t t t t t ππ=+-=-=+,即函数关系为)(0)3y t t π=+>, ………………10分当(0,]2t π∈时,2(,]333t πππ4+∈,所以1cos(2)[1,)32t π+∈-,[y ∈.…12分18.已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是等腰梯形,CD AB //,AC BD O =I ,AC PB ⊥,222====CD AB PB PA ,3=AC .(Ⅰ）证明：平面⊥PBD 平面ABCD ；(Ⅱ）点E 是棱PC 上一点,且//OE 平面PAD ,求二面角A OB E --的余弦值. 答案： (Ⅰ）见解析；(Ⅱ）2-. 解答：【评析】本题考查线面、面面垂直关系的判定,考查线面平行的性质,考查空间向量的应用,考查二面角的计算,考查转化与化归思想,考查空间想象能力,突显了直观想象、数学运算的考查.解答本题第一问首先需要在面ABCD 内发现垂直关系,再利用判定定理转化为线面垂直,从而得到面面垂直；解答本题第二问首先要通过垂直关系的判定正确建立空间直角坐标系找好,,A B P 的坐标,然后将线面平行即//OE 平面PAD 转化为线线平行PA OE //,从而确定平面的法向量,最后根据法向量求出二面角的余弦.本题特色是通过平行关系的转化避开了计算点E 的坐标,简化了求法向量的运算,本题要特别注意的是所求二面角是钝角,其余弦值为负. (Ⅰ）证明：等腰梯形ABCD 中,OAB ∆∽OCD ∆,所以2OA ABOC CD==,又3AC =,所以2OA =,所以2=OB . 所以222OA OB AB +=,所以OB OA ⊥,即BD AC ⊥, ………………3分 又因为AC PB ⊥,且BD PB I 于点B ,所以⊥AC 平面PBD ,又因为AC ⊂平面ABCD ,因此平面⊥PBD 平面ABCD . …6分 (Ⅱ）连接PO ,由(Ⅰ）知,⊥AC 平面PBD ,所以PO AC ⊥,所以222=-=OA PA PO ,所以222PO OB PB +=,即OB PO ⊥, ………………7分如图以,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B P ,平面AOB 的法向量(0,0,1)m =u r,因为//OE 平面PAD ,⊂OE 平面PAC ,平面PAC I 平面PA PAD =,所以PA OE //, ………………9分设平面EOB 的法向量为(,,)n x y z =r ,则n OB ⊥r u u u r,即0=y ,(,,)(2,0,2)0n OE n AP x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=r u u u r r u u u r ,令1x =,则(1,0,1)n =r,……11分所以cos ,2m n <>==u r r,所以所求二面角的余弦值是2-.……………12分19.某公司生产某种产品,一条流水线年产量为10000件,该生产线分为两段,流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级,具体见下表：从第一道生产工序抽样调查了100件,得到频率分布直方图如图：若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、100-元.(Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标,估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；(Ⅱ）将频率估计为概率,试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；(Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段,价格是20万元,使用寿命是1年,安装这种设备后,流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布2(80,2)N ,且不影响产量.请你帮该公司作出决策,是否要购买该设备？说明理由.(参考数据：()0.6826P X μσμσ-<≤+=,(22)0.9548P X μσμσ-<≤+=,(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=）答案： (Ⅰ）80.2； (Ⅱ）30万元； (Ⅲ）见解析. 解答：【评析】本题考查频率分布直方图、样本平均数的估算、独立事件的概率、随机变量的分布列及数学期望、正态分布,突显了数学建模、数据分析的考查.解答本题第一问首先要根据频率分布直方图确定各组的频率及中间值,再根据样本平均数的计算公式计算得到平均数；解答本题第二问首先要确定随机变量X 的所有可能取值,再根据独立事件的概率公式求出分布列,最后利用数学期望公式求X 的数学期望；本题第三问首先要根据正态分布的性质确定好,2μσμσ--等,然后类似第二问求出随机变量Y 的分布列及数学期望,最后根据随机变量,X Y 的数学期望的大小决策.本题特色综合考察概率统计的几个主要模型、体现概率统计在实际中的主要应用：用于决策. (Ⅰ）平均值为：720.1760.25800.3840.2880.1580.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= . …3分 (Ⅱ）由频率直方图,第一段生产半成品质量指标(74P x ≤或86)x >0.25=,(7478P x <≤或8286)x <≤0.45=,(7882)0.3P x <≤=, ………………4分设生产一件产品的利润为X 元,则(100)P X ==0.20.250.40.450.60.30.41⨯+⨯+⨯=, (60)0.30.250.30.450.30.30.3P X ==⨯+⨯+⨯=,(100)0.50.250.30.450.10.30.29P X =-=⨯+⨯+⨯=, ………………7分所以生产一件成品的平均利润是1000.41600.31000.2930⨯+⨯-⨯=元,所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元. ………………8分 (Ⅲ）374,78,82,386μσμσμσμσ-=-=+=+=, ………………9分 设引入该设备后生产一件成品利润为Y 元,则(100)0.00260.20.31480.40.68260.60.536P Y ==⨯+⨯+⨯=,(60)0.00260.30.31480.30.68260.30.3P Y ==⨯+⨯+⨯=,(100)0.00260.50.31480.30.68260.10.164P Y =-=⨯+⨯+⨯=, ………………11分所以引入该设备后生产一件成品平均利润为1000.536600.31000.16455.2EY =⨯+⨯-⨯=元,所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元, 增加收入55.23020 5.2--=万元,综上,应该引入该设备. ………………12分20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,点000(,)(0)P x y y >是椭圆C 上的一个动点,当直线OP 的斜率等于2时,2PF x ⊥轴.(Ⅰ）求椭圆C 的方程； (Ⅱ）过点P 且斜率为02x y -的直线1l 与直线2:2l x =相交于点Q ,试判断以PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是,求出定点坐标；若不是,说明理由.答案：(Ⅰ）2212x y +=； (Ⅱ）见解析. 解答：【评析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程,考查数形结合思想、特殊与一般思想,突显了直观想象、数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要根据题设给的点P 的特殊位置,建立关于,,a b c 的等式,再通过解方程求出,,a b c ,从而得到所求标准方程；解答本题第二问首先要根据条件利用直线方程的点斜式得到直线1l 的方程,并能利用椭圆方程整理化简方程,然后求出点Q 的坐标,再根据圆的知识转化成向量垂直,待定出定点坐标.本题特色是回避了直线与椭圆方程联立,利用韦达定理求解.(Ⅰ）依题意22b a ac =⇒=, ………………2分又因为221a b -=, 所以2a =解得2=a .所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ………………5分(Ⅱ）直线1l 的方程：0000()2x y y x x y -=--即22000022y y x x x y =-++,………………6分 依题意,有220012x y +=,即220022x y +=, 所以1l 的方程为0022x x y y +=,所以点01(2,)x Q y -, ………………8分 设定点(,0)M m ,由000010()(2)0x MP MQ x m m y y -⋅=⇒--+⋅=uuu r uuu r , ………………10分即20(1)(1)0m x m -+-=,所以1m =,综上,存在定点(1,0)M 符合条件. ………………12分 21.已知函数x xax a x f e )(e )(2-+=(e 为自然对数的底,a 为常数,a R ∈）有两个极值点21,x x ,且210x x <<.(Ⅰ）求a 的取值范围；(Ⅱ）若0)(2121<++x x m x x 恒成立,求实数m 的取值范围. 答案：(Ⅰ）(2e,)+∞； (Ⅱ）]21,(--∞. 解答：【评析】本题考查导数运算、导数的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类与整合思想,突显了数学抽象、数学建模、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要通过导数运算将极值点问题转化为方程解的问题,从而转化成两个函数图像交点问题,再根据导数的应用确定函数的极值点、单调性,从而画出简图,判断出所求范围；解答本题第二问首先要灵活根据隐含条件消元,将不等式转化为关于12x x 的不等式,从而构造函数,建立函数模型,再通过分类讨论该函数的单调性,确定实数m 的取值范围.(Ⅰ）xxax x f e e 2)(2-=',由0)(='x f 得xa xe 2=, ………………2分依题意,该方程有两个不同正实数根,记x x h x e 2)(=,则2)1(e 2)(x x x h x -=',当01x <<时,()0h x '<；当1>x 时,()0h x '>,所以函数()h x 在1x =处取得最小值(1)2e h =,所以a 的取值范围是(2e,)+∞. …………5分(Ⅱ）由(Ⅰ）得：21(1,)x x ∈+∞,且112e x ax =,所以112ln ln ln x x a +=+,222ln ln ln x x a +=+,所以1212ln ln x x x x -=-, ………………6分 因此0)(2121<++x x m x x 恒成立,即22122121(ln ln )()0x x x x m x x -+-<恒成立,即22221112ln 0x x x m x x x -+<,设21x t x =,即1ln ()0t m t t +-<在(1,)t ∈+∞上恒成立,从而0m <,记1()ln ()g t t m t t =+-,(1)0g =,211()(1)g t m t t '=++22(1)m t tt++=,…8分 ① 当12m ≤-时,t t 212>+,所以t t m -<+)1(2,从而()0g t '<, 则()g t 在区间[1,)+∞上单调递减,所以当1t >时,()(1)0g t g <=恒成立； ……………10分② 102m -<<时,()0g t '>等价于2110t t m ++<,2140m∆=->, 所以2110t t m ++=有两根21,t t ,且121211,0t t t t m=+=->,可以不妨设2110t t <<<,()0g t '>在),1(2t t ∈时成立,所以()g t 在区间),1(2t 上单调递增,当),1(2t t ∈时,()(1)0g t g >=,即1ln ()0t m t t+-<在(1,)t ∈+∞上不恒成立,综上,m 的取值范围是]21,(--∞. ………………12分 四、选做题(2选1）22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为4cos (0)ρθρ=>.M 为曲线1C 上的动点,点P 在射线OM 上,且满足||||20OM OP ⋅=. (Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(Ⅱ）设2C 与x 轴交于点D ,过点D 且倾斜角为56π的直线l 与1C 相交于,A B 两点,求||||DA DB ⋅的值.答案： (Ⅰ）5x =； (Ⅱ）5. 解答：【评析】本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用,突显了直观想象的考查.解答本题第一问首先要依据动点,P M 的极坐标的关系找到点P 的极坐标方程,再化为直角坐标方程；解答本题第二问首先要根据条件确定直线l 的参数方程,依据参数t 的几何意义,结合解方程,利用韦达定理得到解.(Ⅰ）设P 的极坐标为)0)(,(>ρθρ,M 的极坐标为)0)(,(11>ρθρ,由题设知1,4cos OP OM ρρθ===.所以20cos 4=θρ, ………………2分 即2C 的极坐标方程cos 5(0)ρθρ=>,所以2C 的直角坐标方程为5x =. ………………5分(Ⅱ）交点)0,5(D ,所以直线l的参数方程为5,12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数）, 曲线1C 的直角坐标方程)0(0422≠=-+x x y x ,代入得：05332=+-t t ,70∆=>, ………………8分 设方程两根为12,t t ,则12,t t 分别是,A B 对应的参数,所以5||||||21==⋅t t DB DA . ………………10分23.选修4-5：不等式选讲已知函数|1|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ）当1=a 时,求不等式4)(+≥x x f 的解集；(Ⅱ）若不等式1)(2-≥a x f 恒成立,求实数a 的取值范围.答案：(Ⅰ）4{|3x x ≤-或4}x ≥； (Ⅱ）[1,2]-.解答：【评析】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式定理,考查转化与化归思想、分类与整合思想,突显了数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要通过对绝对值内式子符号的讨论,将不等式转化为一元一次不等式组,再分别解各不等式组,最后求各不等式组解集的并集,得到所求不等式的解集；解答本题第二问首先要利用绝对值不等式定理得到函数()f x 的最小值,将不等式恒成立问题转化为关于a 的不等式解的问题,再通过对绝对值内式子符号的讨论,转化为不含绝对值的不等式组,最后求解不等式组.(Ⅰ）不等式为4|1||1|+≥-++x x x ,可以转化为：1,114x x x x ≤-⎧⎨---+≥+⎩或11,114x x x x -<<⎧⎨+-+≥+⎩或1,114x x x x ≥⎧⎨++-≥+⎩, ………………2分 解得43x ≤-或4x ≥,所以原不等式的解集是4{|3x x ≤-或4}x ≥. ………………5分 (Ⅱ）|1||)1()(|)(min +=--+=a x a x x f ,所以1|1|2-≥+a a ⎩⎨⎧-≥---<⇔11,12a a a 或2111a a a ≥-⎧⎨+≥-⎩, ………………8分 解得a ∈∅或21≤≤-a .所以实数a 的取值范围是[1,2]-. ………………10分。
泰安一中2019届高三第一次联考解析版(数学理)
泰安一中2019届高三第一次联考数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（改编，容易）设集合{}2450A x N x x =∈--<，集合[]{}4,2,4B y y x x ==-∈，则A B 等于（ ）A ．{}1,2B ．{}34，C ．φ D.{}0,12，【答案】D【解析】{}{}150,1,2,3,4A x N x =∈-<<=， {}02B x x =≤≤ , {}0,1,2A B ∴=【考点】集合的运算.2．（改编，容易）下列命题中正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．若0,x >则sin x x >恒成立C ．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∉+∞≠-”D ．命题“若22,x =则x x ==的逆否命题是“若x x ≠≠则22x ≠”【答案】 B ．【解析】令()sin f x x x =-，'()1cos 0f x x =-≥恒成立，()sin f x x x =-在()0+∞，单调递增，()(0)0f x f ∴>=，sin x x ∴>,B 为真命题或者排除A 、C 、D. 【考点】命题和复合命题的真假判定、逆否命题、命题的否定. 3．（改编，容易）设0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.2c =，0.21.1d =则（ ）A ．a b d c >>>B ．c a d b >>>C ．d c a b >>>D ．c d a b >>> 【答案】 D【解析】01a <<, 0b < ,1c > ,1d > 由0.2y x =在R 上为增函数c d ∴>, 故选D.【考点】指数、对数的比较大小.4．（改编，容易）已知函数()sin y x b ωϕ=A ++的最大值为3，最小值为-1．两条对称轴间最短距离为2π，直线6x π=是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式为（ ）A ．4sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2sin 216y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭C ．2sin 3y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．2sin 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【答案】 B 【解析】由31b A A b +=⎧⎨-+=-⎩ 21A b =⎧∴⎨=⎩ 又22T π= T π∴= 2ω∴=∴2s i n (2)y x ϕ=++ 又262k k Z ππϕπ⋅+=+∈， ∴6k k Z πϕπ=+∈，∴72sin(2)12sin(2)166y x x ππ=++=-++ 【考点】利用三角函数图象的性质求三角函数的解析式.5．（改编，容易）已知二次函数()f x 的图象如右图所示，则函数()()x g x f x e =⋅的图象大致为（ ）【答案】A【解析】当1x <-或1x >时，()0f x >，()0g x ∴>，当11x -<<时，()0g x <,答案为A. 【考点】函数图象.6．（改编，中等）若()0,απ∈，且sin 2cos 2αα-=，则tan 2α等于（ ）A ．3B.2C ．12 D.13【答案】 B【解析】sin 2cos 2sin 22cos αααα-=∴=+，则22sincos22cos 222ααα=⋅，又()0cos 02ααπ∈∴≠，，则tan 22α=. 【考点】三角函数中的倍角公式.7．（原创，中等）已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()(--4)0+∞∞，，B ．()0+∞，C ．()(--1)+∞∞，1，D ．()--1∞， 【答案】A 【解析】设切点为()00,x x x e ，'(1)x yx e =+，00'(1)x x x y x e =∴=+⋅，则切线方程为：()00000=1()x x y x e x e x x -+⋅-，切线过点(,0)A a 代入得：()00000=1()x x x e x e a x -+⋅-，2001x a x ∴=+，即方程2000x ax a --=有两个解，则有2400a a a ∆=+>⇒>或4a <-.【考点】利用导数求曲线的切线方程.8．（改编，中等）已知定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=且(3)y f x =+为偶函数，若()f x 在(0,3)内单调递减，则下面正确的结论是（ ）A ．( 4.5)(3.5)(12.5)f f f -<<B ．(3.5)( 4.5)(12.5)f f f <-<C ．(12.5)(3.5)( 4.5)f f f <<-D ．(3.5)(12.5)( 4.5)f f f <<-【答案】B【解析】6T =， ()f x 图象关于直线3x =对称，∴(3.5)(2.5)f f = ，( 4.5)(1.5)f f -=， (12.5)(0.5)f f = ,又()f x 在(0,3)内单调递减 ∴(3.5)(-4.5)(1f ff <<【考点】函数的单调性、对称性、周期性.9．（改编，中等）函数()sin()(0)2f x x πωϕωϕ=+><，的部分图象如图所示，若将()f x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的π倍后，再把得到的图象向左平移(0)m m >个单位，得到一个偶函数的图象，则m 的值可能是（ ） A ．8π-B ．8π C ．38πD ．78π【答案】B 【解析】．144T = ∴1T = ∴21πω= ∴2ωπ= ， 又122,82k k Z ππϕπ+=+∈,24k πϕπ∴=+,又2||πϕ<，4πϕ∴=，()sin(2)4f x x ππ∴=+,若将()f x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的π倍后，再把得到的图象向左平移(0)m m >个单位，则sin 2()4y x m π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦为偶函数， ∴242m k πππ+=+∴82k m k Z ππ=+∈，. 【考点】三角函数的图象变换、性质.10．（改编，中等）在C ∆AB 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若s i n 2s i n c o sB A C+=,则当cos B 取最小值时，ac=（ ）AC【答案】C【解析】由正弦定理得 222+202a b c b a ab -+= , ∴2222-0a b c +=,2222c a b -∴=∴22222+-3+3cos 2444a c b a c a c B ac ac c a ===⋅+≥当344a c c a = ，即3a c =时cos B 取最小值. 【考点】正弦定理、余弦定理的综合应用，基本不等式.11.（原创，中等）已知定义在R 上的偶函数()y f x =的导函数为'()f x ，函数()f x 满足：当0x >时，'()()1x f x f x ⋅+>，且(1)=2018f .则不等式2017()1f x x<+的解集是（ ） A ．()-1,1B.()-1∞，C ．()()-1,00,1 D.()()-,-11+∞∞，【答案】C【解析】：当0x >时，'()()1x f x f x ⋅+>，'()()10x f x f x ∴⋅+->，令()()((F x x f x xx f x =⋅-=-，则''()()()10F x x f x f x =⋅+->，即当0x >时，()F x 单调递增.又()f x 为R 上的偶函数,∴()F x 为R 上的奇函数且(0)=0F ，则当0x <时，()F x 单调递增.不等式2017()1f x x<+,当0x >时，()201x fx x ⋅<+，即()2017,x f x x F ⋅-<）(1)1=2f =-，即()(1)F x F <，01x ∴<<；当0x <时，-()-2017x f x x ⋅<+，()2017,(1(1x f x x F F ⋅->--）=-）=-2017，即()(1)F x F >-， -10x ∴<<. 综上，不等式2017()1f x x<+的解集为()()-1,00,1.【考点】函数的单调性、奇偶性、构造函数、解不等式.12．（原创，较难）已知函数l n ,0(),x x e f x ex e x ⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若0a b c <<<且满足()()()f a f b f c ==，则()()()af b bf c cf a ++的取值范围是（ ）A ．()1+∞，B ． (),e +∞C ． 111e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， D ． (1,2e e e ⎫+⎪⎭【答案】 D【解析】画出()f x 的图象，由0a b c <<<且()()()f a f b f c ==得：01,1,a b e c e <<<<>,ln ln ,ln ea b b c-==,1,ln ab c b e ∴==.()()()af b bf c cf a ++=)ln a b c b ++（1=)ln b b e b++（,令1()()ln +,(1)g b b b e b e b=+<<，则'2111()(1)ln ()g b b b b b b =-++⋅，'21()1ln (1ln )g b b b b=++-，1,1ln 0,ln 0b e b b <<∴->>，'()0g b ∴>， 则函数()g b 在区间()1,e 上单调递增，(1)()()g g b g e ∴<<，即e <11)ln 2b b e e be++<+（，()()()af b bf c cf a ∴++的取值范围是(1,2e e e ⎫+⎪⎭（以a 为变量时，注意a 的取值范围为11a e<<）. 【考点】函数的图象，导数的应用.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填写在答题卡上）13. （改编，容易）若函数2()-1xf x a e =-是奇函数，则常数a 等于_________． 【答案】1a =-【解析】由10xe -≠，知定义域为()()-00+∞∞，，．由()()0f x f x +-=，即22+=011x x a a e e -----恒成立，解得1a =-． 【考点】指数运算、函数的奇偶性.14.（改编，容易）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点(,2)(0)A t t t <，则sin 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=___________．【答案】【解析】由三角函数的定义得sin θθ====，sin 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1sin cos cos sin (3322ππθθ+=+⋅=-10. 【考点】三角函数的定义、三角运算.15.（原创，中等）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点。
2019年最新山东省高考数学一模试卷(理)及答案解析
山东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合M={x|x2﹣2x﹣8≤0}，集合N={x|lgx≥0}，则M∩N=（）A．{x|﹣2≤x≤4} B．{x|x≥1} C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥﹣2}3．某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400，320，280．采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是（）A．20 B．16 C．15 D．144．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0=；命题q：∀x∈（0，），x＞sinx，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假5．已知x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣3 C．1 D．46．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．28+6 B．40 C．D．30+67．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（0）+f（）的值为（）A．2﹣B．2+C．1﹣D．1+8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．489．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且|AB|=1，若P（1，），则|++|的取值范围是（）A．[5，6] B．[6，7] C．[6，9] D．[5，7]10．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞） D．（，+∞）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．二项式的展开式中常数项的值为．12．已知向量，其中，且，则向量与的夹角是．13．已知等比数列{a n}为递增数列，其前n项和为S n，若a3=8，S3=（4x+3）dx，则公比q= ．14．过点（0，3b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的最大值是．15．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知2cos2+（cosB﹣sinB）cosC=1．（I）求角C的值．（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠ABC=90°，△ABC≌△ADC，PA=AC=2AB=2，E是线段PC的中点．（I）求证：DE∥面PAB；（Ⅱ）求二面角D﹣CP﹣B的余弦值．18．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个、10个、20个学豆的奖励．游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．（Ⅰ）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；（Ⅱ）设该选手所得学豆总数为X，求X的分布列与数学期望．19．已知数列a n是公差不为零的等差数列，且a3=5，a2，a4，a12成等比数列．数列{b n}的每一项均为正实数，其前n项和为S n，且满足4S n=b n2+2b n﹣3（n∈N*）（I）数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）令c n=，记数列{c n}的前n项和为T n，若≥对∀n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．20．已知函数f（x）=﹣aln（1+x）（a∈R），g（x）=x2e mx（m∈R）．（1）当a=1，求函数f（x）的最大值（2）当a＜0，且对任意实数x1，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，求实数m的取值范围．21．设椭圆C：+=1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2=．若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点（i）证明：∠AOB为定值；（ii）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：z==，则z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第三象限．故选：C．2．已知集合M={x|x2﹣2x﹣8≤0}，集合N={x|lgx≥0}，则M∩N=（）A．{x|﹣2≤x≤4} B．{x|x≥1} C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥﹣2}【考点】交集及其运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣4）（x+2）≤0，解得：﹣2≤x≤4，即M=[﹣2，4]，由N中lgx≥0，得到x≥1，即N=[1，+∞），则M∩N=[1，4]，故选：C．3．某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400，320，280．采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是（）A．20 B．16 C．15 D．14【考点】分层抽样方法．【分析】先求出抽取样本的比例是多少，再计算从高三学生中应抽取的人是多少．【解答】解：根据题意，得抽取样本的比例是=，∴从高三学生中应抽取的人数为280×=14．故选：D．4．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0=；命题q：∀x∈（0，），x＞sinx，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：∀x∈R，都有sinx≤1，故命题p：∃x0∈R，使sinx0=是假命题；令f（x）=x﹣sinx，f′（x）=1+cosx＞0，y=f（x）在区间（0，）上单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，故命题q：∀x∈（0，），x＞sinx是真命题，故B正确，故选：B．5．已知x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣3 C．1 D．4【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化简z=3x﹣2y为y=x﹣，从而利用数形结合求解即可．【解答】解：由题意作平面区域如下，，z=3x﹣2y可化为y=x﹣，故当过点A（1，5）时，z有最小值，即z=3x﹣2y的最小值是3﹣10=﹣7，故选：A．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．28+6 B．40 C．D．30+6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是5、4，由正视图知，三棱锥的高是4，∴该几何体的体积V==，故选：C．7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（0）+f（）的值为（）A．2﹣B．2+C．1﹣D．1+【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的部分图象，求出周期T与ω的值，再计算φ的值，写出f（x）的解析式，从而求出f（0）+f（）的值．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象，得T=﹣（﹣）=，又T==π，∴ω=2；当x=﹣时，函数f（x）取得最小值﹣2，∴2×（﹣）+φ=﹣+2kπ，k∈Z，解得φ=﹣+2kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）；∴f（0）+f（）=2sin（﹣）+2sin（2×﹣）=2×（﹣）+2sin=2﹣．故选：A．8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且|AB|=1，若P（1，），则|++|的取值范围是（）A．[5，6] B．[6，7] C．[6，9] D．[5，7]【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】设出A，B两点坐标，求出三个向量的坐标，对|++|取平方得出关于A点坐标的函数，利用三角函数的性质求出|++|的范围．【解答】解：设A（x，0），B（0，y），则x2+y2=1．∴=（1﹣x，），=（1，y）.=（1，）．∴++=（3﹣x，3）．∴|++|2=（3﹣x）2+（3﹣y）2=37﹣6x﹣6y．令x=cosθ，y=sinθ，则|++|2=37﹣6cosθ﹣6sinθ=37﹣12sin（θ+）．∴当sin（θ+）=﹣1时，|++|取得最大值=7，当sin（θ+）=1时，|++|取得最小值=5．故选：D．10．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞） D．（，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据题意，设函数f（x）=ae bx+c，由f（0）=1得a+c=1；再由3f（x）=f′（x）﹣3，得；由此求出f（x）的解析式，再解不等式4f（x）＞f′（x）即可．【解答】解：∵3f（x）=f′（x）﹣3，∴f′（x）=3f（x）+3；可设f（x）=ae bx+c，由f（0）=1，∴a+c=1；又3f（x）=f′（x）﹣3，∴3ae bx+3c=abe bx﹣3，即（3a﹣ab）e bx=﹣3﹣3c，∴，解得b=3，c=﹣1，a=2；∴f（x）=2e3x﹣1，x∈R；又4f（x）＞f′（x），∴8e3x﹣4＞6e3x，即e3x＞2，解得x＞，所求不等式的解集为（，+∞）．故选：B．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．二项式的展开式中常数项的值为20 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=C6r x6﹣2r令6﹣2r=0得r=3故展开式的常数项为T4=C63=20故答案为2012．已知向量，其中，且，则向量与的夹角是150°．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角．【分析】由，，且，知+cos＜＞=0，即3+cos＜＞=0，由此能求出向量与的夹角．【解答】解：∵，，且，∴+cos＜＞=0，即3+cos＜＞=0，解得cos＜＞=﹣，∴向量与的夹角是150°，故答案为：150°．13．已知等比数列{a n}为递增数列，其前n项和为S n，若a3=8，S3=（4x+3）dx，则公比q= 2 ．【考点】等比数列的通项公式；定积分．【分析】求定积分S3=（4x+3）dx=14，从而可得8（1++）=14，从而解得．【解答】解：S3=（4x+3）dx=2x2+3x|=8+6=14，则S3=a3（1++）=14，解得，q=2，故答案为：2．14．过点（0，3b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的最大值是3 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出直线l的方程，利用双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，直线l与bx ﹣ay=0的距离恒大于等于b，运用平行直线的距离公式，建立不等式，即可求出双曲线C的离心率的最大值．【解答】解：由双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程y=±x，可得直线l的方程为y=x+3b，即bx﹣ay+3ab=0，由双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，可得直线l与bx﹣ay=0的距离恒大于等于b，即有≥b，化简可得8a2≥b2，8a2≥c2﹣a2，即c2≤9a2，即有c≤3a，可得离心率e=≤3．则离心率的最大值为3．故答案为：3．15．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1] ．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【分析】方程f（x）﹣kx=1有两个不同实根可化为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，作函数f（x）与函数y=kx+1的图象，结合函数的图象求解．【解答】解：∵g（x）=kx+1，∴方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根等价为方程f（x）=g（x）有两个不同实根，即f（x）=kx+1，则等价为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，当1＜x≤2，则0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣1，当2＜x≤3，则1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣2，当3＜x≤4，则2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣3，…当x＞1时，f（x）=f（x﹣1），周期性变化；函数y=kx+1的图象恒过点（0，1）；作函数f（x）与函数y=kx+1的图象如下，C（0，1），B（2，e），A（1，e）；故k AC=e﹣1，k BC=；在点C处的切线的斜率k=e0=1；结合图象可得，实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1]；故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知2cos2+（cosB﹣sinB）cosC=1．（I）求角C的值．（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得﹣sinBsinC=﹣sinBcosC，结合范围B∈（0，π），sinB≠0，解得tanC=，又C∈（0，π），即可求C的值．（Ⅱ）由三角形面积公式可解得ab=4，又由余弦定理可解得a+b=4，联立可解得a，b的值．【解答】解：（I）∵2cos2+（cosB﹣sinB）cosC=1，∴1+cosA+（cosB﹣sinB）cosC=1，可得：﹣cosA=（cosB﹣sinB）cosC，∴cos（B+C）=cosBcosC﹣sinBsinC=cosBcosC﹣sinBcosC，可得：﹣sinBsinC=﹣sinBcosC，∵B∈（0，π），sinB≠0，∴sinC=cosC，即：tanC=，∵C∈（0，π），∴C=．（Ⅱ）∵c=2，C=，△ABC的面积为=absinC=ab，∴解得：ab=4，①又∵由余弦定理可得：4=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=（a+b）2﹣12，解得：a+b=4，②∴①②联立可解得：a=b=2．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠ABC=90°，△ABC≌△ADC，PA=AC=2AB=2，E是线段PC的中点．（I）求证：DE∥面PAB；（Ⅱ）求二面角D﹣CP﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）设线段AC的中点为O，连接OD，OE，推导出四边形ABOD是平行四边形，从而DO∥AB，进而面ODE∥面PAB，由此能证明DE∥面PAB．（Ⅱ）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过点B平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣CP﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）设线段AC的中点为O，连接OD，OE，∵∠ABC=90°，∴BO=，同理，DO=1，又∵AB=AD=1，∴四边形ABOD是平行四边形，∴DO∥AB，又∵OD∩OE=O，PA∩AB=A，OD，OE⊂平面ODE，PA，AB⊂面PAB，∴面ODE∥面PAB，又∵DE⊂面ODE，∴DE∥面PAB．解：（Ⅱ）∵AB⊥BC，PA⊥面ABCD，∴以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过点B平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C（0，，0），P（1，0，2），D（，，0），=（0，，0），=（1，0，2），=（﹣，，0），=（﹣，﹣，2），设面PBC的法向量为=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，0，﹣1），设平面DPC的法向量为=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，，1），设二面角D﹣CP﹣B的平面角为θ，则cosθ===，∴二面角D﹣CP﹣B的余弦值为．18．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个、10个、20个学豆的奖励．游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．（Ⅰ）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；（Ⅱ）设该选手所得学豆总数为X，求X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2，则A1，A2互斥，由此能求出选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率．（Ⅱ）X所有可能的取值为0，5，15，35，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2，则A1，A2互斥，，…，……（Ⅱ）X所有可能的取值为0，5，15，35，…，，，…所以，X的分布列为：X 0 5 15 35P……19．已知数列a n是公差不为零的等差数列，且a3=5，a2，a4，a12成等比数列．数列{b n}的每一项均为正实数，其前n项和为S n，且满足4S n=b n2+2b n﹣3（n∈N*）（I）数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）令c n=，记数列{c n}的前n项和为T n，若≥对∀n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）通过设数列{a n}的首项为a1，公差为d（≠0），代入计算即得a n=3n﹣4；当n=1时由4S1=b12+2b1﹣3可知b1=3，当n≥2时，利用4S n=b n2+2b n﹣3与4S n﹣1=b n﹣12+2b n ﹣1﹣3作差，整理可知数列{b n}是首项为3、公差为2的等差数列，进而可知b n=2n+1；（Ⅱ）通过（I）裂项可知c n=（﹣），并项相加可知T n=，进而可知=1﹣，通过令f（x）=1﹣，借助函数知识可知≥，从而问题转化为解不等式≤，计算即得结论．【解答】解：（I）设数列{a n}的首项为a1，公差为d（≠0），由已知可得，解得：或（舍），∴a n=3n﹣4；当n=1时，4S1=b12+2b1﹣3，解得：b1=3或b1=﹣1（舍），当n≥2时，4S n﹣1=b n﹣12+2b n﹣1﹣3，∴4b n=4S n﹣4S n﹣1=b n2+2b n﹣b n﹣12﹣2b n﹣1，整理得：（b n﹣b n﹣2﹣2）（b n+b n﹣2）=0，又∵数列{b n}的每一项均为正实数，∴b n﹣b n﹣2﹣2=0，∴数列{b n}是首项为3、公差为2的等差数列，∴b n=2n+1；（Ⅱ）由（I）可知c n===（﹣），则T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，∴==1﹣，令f（x）=1﹣，则当x＞0时，f（x）＞0，∴{}为递增数列，≥=，又∵≥对∀n∈N*恒成立，∴=≤，解得：m≤，故正整数m的最大值为6．20．已知函数f（x）=﹣aln（1+x）（a∈R），g（x）=x2e mx（m∈R）．（1）当a=1，求函数f（x）的最大值（2）当a＜0，且对任意实数x1，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）把a=1代入函数解析式，直接利用导数求得函数的最值；（2）构造函数h（x）=f（x）+1，对任意的x1，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，等价于当a＜0时，对任意的x1，x2∈[0，2]，h min（x）≥g max（x）成立，分类求得f（x）在[0，2]上的最小值，再求g（x）的导数，对m讨论，结合单调性，求得最大值，解不等式即可得到实数m的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=﹣aln（1+x）=，f′（x）=（x＞﹣1），当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为增函数．∴f（x）max=f（0）=0；（2）令h（x）=f（x）+1，当a＜0，对任意实数x1，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，即当a＜0，对任意实数x1，x2∈[0，2]，h（x1）≥g（x2）恒成立，等价于当a＜0时，对任意的x1，x2∈[0，2]，h min（x）≥g max（x）成立，当a＜0时，由h（x）=﹣aln（1+x）+1，得h′（x）==（x＞﹣1），当x∈（﹣1，1﹣a）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，当x∈（1﹣a，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，若1﹣a＜2，即﹣1＜a＜0，h（x）在（0，1﹣a）上为增函数，在（1﹣a，2）上为减函数，h（x）的最小值为min{h（0），h（2）}=min{1，}=1，若1﹣a≥2，即a≤﹣1，h（x）在（0，2）上为增函数，函数f（x）在[0，2]上的最小值为f （0）=1，∴f（x）的最小值为f（0）=1，g（x）的导数g′（x）=2xe mx+x2e mx•m=（mx2+2x）e mx，当m=0时，g（x）=x2，x∈[0，2]时，g max（x）=g（2）=4，显然不满足g max（x）≤1，当m≠0时，令g′（x）=0得，，①当﹣≥2，即﹣1≤m≤0时，在[0，2]上g′（x）≥0，∴g（x）在[0，2]单调递增，∴，只需4e2m≤1，得m≤﹣ln2，则﹣1≤m≤﹣ln2；②当0＜﹣＜2，即m＜﹣1时，在[0，﹣]，g′（x）≥0，g（x）单调递增，在[﹣，2]，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max=g（﹣）=，只需≤1，得m≤﹣，则m＜﹣1；③当﹣＜0，即m＞0时，显然在[0，2]上g′（x）≥0，g（x）单调递增，g（x）max=g（2）=4e2m，4e2m≤1不成立．综上所述，m的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]．21．设椭圆C：+=1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2=．若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点（i）证明：∠AOB为定值；（ii）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，得到b=c=1，由此能求出椭圆C的方程．∴“相关圆”E的方程为x2+y2=．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线AB方程为x=，；当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，代入椭圆方程，得x2+2（kx+m）2=2，由此利用根的判别式、韦达定理、直线与圆相切，结合已知条件推导出为定值．（ii）要求△ABQ的面积的取值范围，只需求弦长|AB|的范围，由此利用椭圆弦长公式能求出△ABQ面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，∴b=c=1，∴a2=1+1=2，∴椭圆C的方程为．∴“相关圆”E的方程为x2+y2=．证明：（Ⅱ）（i）当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为x=，则A（，），B（，﹣），∴，当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，得x2+2（kx+m）2=2，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=8（2k2﹣m2+1）＞0，即2k2﹣m2+1＞0，（*），∵直线与圆相切，∴==，∴3m2=2+2k2，∴+km（x1+x2）+m2===0，∴，∴为定值．解：（ii）∵PQ是“相关圆”的直径，∴，∴要求△ABQ的面积的取值范围，只需求弦长|AB|的范围，当直线AB的斜率不存在时，由（i）知|AB|=，|AB|====，①当k≠0时，|AB|=，∵，∴0＜，∴≤3，∴＜|AB|，当且仅当k=时，取“=”号．②当k=0时，|AB|=．|AB|的取值范围为≤|AB|，∴△ABQ面积的取值范围是[，]．。
【省级联考】山东省2019届高三第一次大联考理科数学试题-2d64c8b7d2754e29896e16e458ec6132
（Ⅰ） 时， ，所以 ，
又 ，所以 ，
即 两点间的距离为 .
（Ⅱ）依题意， ， ，
所以 ，
即函数关系为 ，
当 时， ，所以 ， .
【点睛】
考查余弦定理、三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图像，考查函数思想、数形结合思想，突显了数学建模的考查.
18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .
【解析】
【详解】
因为 是 的等差中项，
所以 ，
所以 ， ，
所以等式 ，化为： ，
因此 ，
因为 为整数，所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， .
从而 的最大值是16.
【点睛】
本题考查等差中项、等比数列的通项公式及前 项和公式，考查基本分析求解能力，属基本题.
17．（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）首先确定 时刻 两点的坐标及 的长度、夹角，再利用两点距离公式或余弦定理求解；（Ⅱ）根据三角函数的定义先确定 与 的函数关系式，从而得到所求函数关系式，再利用两角和与差的三角函数公式将函数关系式化成 （或 ）的形式，最后根据三角函数图像确定值域.
A．
B．
C．
D．
8．执行如图所示程序框图，输出的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．过两点 分别作斜率不为 且与圆 相切的直线 ，当 变化时，交点 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边 直接求三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式即 ，其中 .我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）也在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是 ，这个公式中的 应该是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先根据指数函数、对数函数的性质判断 与 的大小关系，再根据对数运算将 化简，最后根据换底公式、不等式性质等判断出 的大小关系.
【详解】
， ， ，所以 最小， ，因为 .选B.
【点睛】
本题考查对数运算，考查指数、对数函数的性质，考查不等式的性质，考查基本分析判断能力.属基本题.
3．已知 是等差数列，且 ，则 的前 项和等于（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据 也是等差数列，再利用等差数列了前 项和公式求解.
【详解】
.选C.
【点睛】
本题考查等差数列的判定、通项公式、前 项和公式，考查基本求解能力，属基本题.
4．已知向量 的夹角为 ，则 等于（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近 ，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断.
【详解】
由散点图得负相关，所以 ，因为剔除点 后，剩下点数据更具有线性相关性， 更接近 ，所以 .选D.
【点睛】
本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.属基础题.
【解析】先根据抛物线的标准方程和定义找到 与 的关系，再化简 的等价条件，最后根据两范围包含关系确定充要关系.
【详解】
因为 ，所以 ，
因为 真子集，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，选B.
【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程、充要条件的判定，考查基本判断分析能力，属基础题.
6．相关变量 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程 ，相关系数为 ；方案二：剔除点 ，根据剩下数据得到线性回归直线方程： ，相关系数为 .则（）
2．已知在复平面内，复数 对应的点分别是 ，则复数 对应的点在（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】先根据复数除法法则化简计算，再根据复数几何意义确定点坐标，最后作判断.
【详解】
，对应的点的坐标是 ，在第四象限.选D.
【点睛】
本题考查复数的几何意义、复数运算，考查数学运算能力.属基础题.
【点睛】
本题考查正棱锥的平行关系、等角定理，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.属中档题.
12．已知函数 （ 为自然对数的底），若方程 有且仅有四个不同的解，则实数 的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】首先需要根据方程特点构造函数 ,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数 在 上的零点个数，再转化成方程 解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】首先要根据面面平行的性质定理确定截面的形状，再根据正四面体的性质、等角定理等确定点 的具体位置、 的长度，从而求出截面面积.
【详解】
设截面与 分别相交于点 则 ，过点 作平面 的垂线，垂足为 ，则 是底面 的中心.设 ，则 ，又因为 ， ，所以 ，所以 ，所以四边形 的面积 .选C.
2019届山东省高三第一次大联考数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 的元素个数是（）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解析】根据两个函数图像交点的个数确定 的元素个数.
【详解】
由幂函数 的图像可以知道，它们有三个交点 ，所以集合 有三个元素.选D.
【点睛】
本题考查集合的表示、交集的运算，考查幂函数的图像.考查直观想象能力.属基础题
8．执行如图所示程序框图，输出的结果是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】首先要根据程序框图正确得到等比数列模型，再根据等比数列前 项和公式求解.
【详解】
如图所示 时， 是等比数列 的前 项和，即 ，由 ，所以输出的是 .选B.
【点睛】
本题考查程序框图、等比数列的判定、等比数列的前 项和公式，考查基本分析判断与求解能力.属基本题.
【详解】
因为函数 是偶函数， ，所以零点成对出现，依题意，方程 有两个不同的正根，又当 时， ，所以方程可以化为： ，即 ，
记 ， ，设直线 与 图像相切时的切点为 ，则切线方程为 ，过点 ，所以 或 （舍弃），所以切线的斜率为 ，由图像可以得 .选D.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.属中档题.
【点睛】
本题考查圆的方程、双曲线的定义及其标准方程.考查基本分析判断与求解能力.属基本题.
10．在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边 直接求三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式即 ，其中 .我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）也在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是 ，这个公式中的 应该是（）
【解析】先根据向量夹角公式求 ，再根据二倍角公式得结果.
【详解】
因为 ，所以 .选.
【点睛】
本题考查向量的坐标运算、二倍角公式，考查基本求解能力，属基本题.
5．已知 是抛物线 上的点，点 的坐标为 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】首先根据三角形面积公式 ,确定 应该等于 ,再根据余弦定理得到答案.
【详解】
因为 ，所以 .选C.
【点睛】
本题考查余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数关系式，考查基本分析求解能力.属基本题.
11．如图， 是棱长为 的正方体， 是棱长为 的正四面体，底面 , 在同一个平面内， ，则正方体中过 且与平面 平行的截面面积是（）
9．过两点 分别作斜率不为 且与圆 相切的直线 ，当 变化时，交点 的轨迹方程是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】首先根据圆的方程找到圆心和半径，然后根据圆的切线性质发现动点 满足的几何条件，从而判断出动点 的轨迹，再根据双曲线的标准方程求出轨迹方程.
【详解】
圆方程为 与 轴相切于点 ，设 与圆的切点分别为 ，则 ，所以点 的轨迹是以 为焦点且实轴长为 的双曲线的右支， ，方程为 ，所以选A.