江南十校2019届高三第一次联考

2019年安徽省“江南十校”综合素质检测
数学（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、设集合}{2
,1,0,1,2--=U ,{}U x x x A ∈>=,12,则=A C U
{}2,2.-A {}1,1.-B {}2,0,2.-C {}1,0,1.-D
2、复数i
i
z -=1（i 为虚数单位），则=-z
22.
A 2.
B 2
1
.C 2.D 3、抛物线2
2x y =的焦点坐标是
⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21.B ⎪⎭⎫ ⎝⎛81,0.C ⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,81.D 4、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若C B c b 2,3,72===，则C 2cos 的值为
37.
A 95.
B 9
4
.C 47.D 5、已知边长为1的菱形ABCD 中，︒
=∠60BAD ，点E 满足→→=EC BE 2，则→
→•BD AE 的值是
31.-A 21.-B 41.-C 6
1.-D
5、我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.” 意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积：曲线)0(2
L y x y ≤≤=绕y 轴旋转一周得几何体Z ,将Z 放在与y 轴垂直的水平面α上，用平行于平面α，且与Z 的顶点O 距离为l 的平面截几何
体Z ，的截面圆的面积为l l ππ=2
)(.由此构造右边的几何体1Z :其中⊥AC 平面
α,πα=⊂=11,,AA AA L AC ,它与Z 在等高处的截面面积都相等，图中EFPQ 为矩形，
且l FP PQ ==,π，则几何体Z 的体积为
2.L A π
3.L B π 221.L C π 32
1
.L D π
7、已知函数)0)(3
2cos()(>+
=ωπ
ωx x f 的最小正周期为π4，则下面结论正确的是 .A 函数)(x f 在区间()π，0上单调递增
.B 函数)(x f 在区间()π，0上单调递减 .C 函数)(x f 的图像关于直线3
2π
=
x 对称 .D 函数)(x f 的图像关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛032，π对称 8、设函数1
31
3)(2
+-•=x x x x f ，则不等式0)log 1()log 3(22<-+x f x f 的解集是
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛22,0.A ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,22.B ()2,0.C ()
+∞,2.D
9、已知双曲线142
2
2=-b y x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 为右支上一点且直线2PF 与x 轴垂直，若21PF F ∠的角平分线恰好过点()0,1，则21F PF ∆的面积为
12.A 24.B 36.C 48.D
10. 已知函数()()x
eInx
x x g x k x x f -=
+-=
4,11（e 是自然对数的底数），若对()[]3,1,1,021∈∃∈∀x x ，使得)()(21x g x f ≥成立，则正数k 的最小值为
2
1
.A 1.B 324.-C 324.+D 11. 如图，网格线上的小正方形的边长为1，粗线（实线、虚线）画出的某几何体的三视图， 其中的曲线都是半径为1的圆周的四分之一，则该几何体的表面积为
20.A 4
20.π
+
B 4320.π+
C 4
520.π
+D
12. 计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电脑的通和断两种状态相对应。

现有一个2019位的二进制，其第一个数字位1，第二个数字为0，且在第k 个0和第k+1个0之间有2k+1个1)(*
∈N k ，即4
434421Λ个
2019101011101111，则该数的所有数字之和为 1973.A 1974.B 1975.C 1976.D
二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应
位置)
13. 设x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤+-≥-+02201202y x y x y x ，则y x z +=3的最小值为
14. 已知
41cos 31cos sin 2=+⋅ααα，且3
1
)tan(=
+βα，则βtan 的值为 15. 在()6
z y x ++的展示式中，所有形如2z y x b a ),(*
∈N b a 的项的系数之和是 （用
数字作答）
16. 如图，三棱锥BCD A -中，,12,8,10======CD AB BD BC AD AB 点P 在侧面ACD 上，且到直线AB 的距离是21，则PB 的最大值是
17、已知数列{}n a 与{}n b 满足)(2.......*
321N n b a a a a n n ∈=++++，且{}n a 为正项等
比数列，21=a ，423+=b b . （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
（2）若数列{}n c 满足)(*1
N n b b a c n n n
n ∈=
+，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：1<n T .
二、简答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
18、斜三棱柱111C B A ABC -中，底面是边长为2的正三角形，71=
B A ，
ο6011=∠=∠AC A AB A .
（1）证明：平面⊥BC A 1平面ABC ；
（2）求直线1BC 与平面11A ABB 所成角的正弦值.
19、某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2011-2018年的相关数据如下表所示：
注：年返修率=
年生产台数
年返修台数
（1）从该公司2011-2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以ξ表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求ξ的分布列和数学期望；
（2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y （百万元）关于年生产台数x （万台）的线性回归方程（精确到）.
附：线性回归方程∧∧+=a x b y 中，∑∑∑∑====∧
⋅-⋅⋅-=
---=
n
i i
n
i i
i n
i i
n
i i i
x
n x
y x n y
x x x
y y x x
b 1
2
_2
1
_
_2
1
_
_
1
_)()
)((，
._
_x b y a ⋅-=∧∧
20、设O 是坐标原点，圆O :)3(2
2
2
≥=+r r y x ，椭圆C 的焦点在x 轴上，左、右顶点分
别为A ，B ，离心率为
3
5
，短轴长为4.平行x 轴的直线l 与椭圆C 和圆O 在y 轴右侧的交点分别为E ，F ，直线AE 与y 轴交于点M ，直线BE 与y 轴交于点N . （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）当1612≤•≤→
→
FN FM 时，求r 的取值范围.
21、已知定义在区间)2,0(上的函数R m x x
m
x f ∈+=
,ln )(. （1）证明：当1=m 时，1)(≥x f ；
（2）若曲线)(x f y 过点)0,1(A 的切线有两条，求实数m 的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作的第一题计分.
22、（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=α
αsin 104y cos 101x （α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标为5cos =θρ.
（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）点()n m P ,为曲线2C 上一点，若曲线1C 上存在两点B A ,，使得︒=∠90APB ，求n 的取值范围.
23、（选修4-5：不等式选讲）设函数)1212lg()(a x x x f -++-=.
（1）当4=a 时，求函数()x f 的定义域；
（2）若函数()x f 的定义域R 为，求a 的取值范围.。