复变函数课件柯西积分公式PPT课件

π
π
2i π ecos cos(sin )d π ecos sin(sin )d
0
π
因为 ez dz 2π i,
z 1 z
ez
dz 2i
π ecos cos(sin )d
π ecos sin(sin )d
z 1 z
0
π
比较两式得 π ecos cos(sin )d π . 0
第二页，共19页。
2
积分曲线 C 取作以 z0 为中心, 半径为很小的 的正向圆周 z z0 ,
由 f (z)的连续性,
在 C 上函数 f (z)的值将随着 的缩小而逐渐
接近于它在圆心 z0 处的值,
C
f( z
z) z0
dz
将接近于
C
f (z0 )dz. z z0
( 缩小)
C
f (z0 )dz z z0
第十四页，共19页。
14
课堂练习
计算积分
ez z 3 z(z2 1) dz.
答案 有三个奇点 z 0, z 1, z 1
z
3
ez z(z2
dz 1)
i(e
e 1
2).
第十五页，共19页。
15
四、小结与思考
柯西积分公式是复积分计算中的重要公式, 它的证明基于柯西–古萨基本定理, 它的重要性 在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在
边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函
数的重要工具.
柯西积分公式:
f (z0 )
1 2i
f (z) dz. C z z0
第十六页，共19页。
16
思考题
柯西积分公式是对有界区域而言的, 能否推 广到无界区域中?
第十七页，共19页。
17
思考题答案
可以. 但对函数 f (z) 要做一些限制,
z 1 z
0
解 根据柯西积分公式知,
ez dz 2i ez 2i;
z 1 z
z0
令 z rei , (π π ) z r 1,
ez dz
z 1 z
e π rei π rei
irei d
π ieei d
π
第十三页，共19页。
13
π ieei d π iecos i sin d
由柯西积分公式
ez dz 2i ez 2ei.
z 2 z 1
z1
第十页，共19页。
10
例3
计算积分
z
i
1
z
(
z
1 2
1)
dz.
2
1
f (z)
解
z(
z
1 2
1)
1 z(z i)(z i)
z(z i) zi
z0 i,
因为 f (z) 在 z i 1 内解析, 由柯西积分公式
2 1
f (z0 ) C
z
1 z0
dz
2if
( z0
).
第三页，共19页。
3
二、柯西积分公式
定理
如果函数 f (z) 在区域 D内处处解析, C 为 D
内的任何一条正向简单 闭曲线, 它的内部完全含
于 D, z0 为C 内任一点, 那末
f
(z0 )
1 2π
i
C
f (z) z z0
dz.
证 因为 f (z) 在 z0 连续,
7
三、典型例题
例1 求下列积分
1 sin z
(1)
dz;
2i z 4 z
(2)
z
4
z
1
1
z
2
3
dz.
解 (1) 1 sin z dz 2i z 4 z 因为 f (z) sin z 在复平面内解析,
z 0 位于 z 4内,
第八页，共19页。
8
由柯西积分公式
1
2i
sin z dz
z 4 z
1 2i
2i
sin
z
z0
0;
(2) 1 2 dz.
z 4 z 1 z 3
1 dz 2 dz 2i 1 2i 2
z 4 z 1
z 4 z 3
6i.
第九页，共19页。
9
例2 计算积分
ez dz.
z 2 z 1
解 因为 f (z) ez 在复平面内解析,
z 1 位于 z 2内,
C z0
D
则 0, ( ) 0,
第四页，共19页。
4
当 z z0 时, f (z) f (z0 ) .
设以 z0 为中心, 半径为 R (R ) 的正向圆周K :
z z0 R全在 C 的内部,
则
f (z) dz f (z) dz
C z z0
K z z0
f (z0 )dz f (z) f (z0 )dz
复变函数课件柯西积分公式
第一页，共19页。
1
一、问题的提出
设 B 为一单连通域, z0 为 B 中一点.
如果
f (z) 在 B内解析, 那末
f (z) z z0
在
z0
不解析.
所以
C
f (z) dz 一般不为零, z z0
C 为 B 内围绕 z0 的闭曲线.
根据闭路变形原理知,
该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值.
以任意小,
根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关,
所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.
f (z0 )
1 2i
f (z) dz C z z0
柯西积分公式
[证毕]
柯西介绍
第六页，共19页。
6
关于柯西积分公式的说明:
(1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的
值表示.
(这是解析函数的又一特征)
设 f (z) 在 G 及边界 C 上解析,
并且当 z 时, f (z) 一致趋于零
(即 0,R 0,使当 z R时, f (z) )
则对 G 内任意一点 ,
有
f
(
)
1 2π
i
C
f (z)
z
dz,
其中积分方向应是顺时针方向.
放映结束，按Esc退出. 第十八页，共19页。
18
z
i
1
z(
z
1 2
1)
dz
zi 1
z(z i) dz zi
2i 1 z(z i) zi
2
2
2i
1 2i 2
i.
第十一页，共19页。
11
例４ 设 C 表示正向圆周 x2 y2 3,
f (z)
3 2 7
C z
1d ,
求
f (1 i).
解 根据柯西积分公式知, 当 z 在 C 内时,
f (z) 2πi (3 2 7 1) 2i(3z2 7z 1), z
故 f (z) 2i(6z 7), 而 1 i 在 C 内,
所以 f (1 i) 2(6 13i).
第十二页，共19页。
12
例6 求积分 ez dz, 并证明 π ecos cos(sin )d π .
(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积
分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分
表达式.
(这是研究解析函数的有力工具)
(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平
均值.
如果 C 是圆周 z z0 R ei ,
f
( z0
)
1 2π
2π 0
f (z0ຫໍສະໝຸດ R ei )d .第七页，共19页。
K z z0
K
z z0
2if (z0 )
K
f (z) f (z0 )dz z z0
C
z0 R
K
D
第五页，共19页。
5
f (z) f (z0 )dz f (z) f (z0 ) ds
K
z z0
K
z z0
R K
ds
2π .
上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就可